FUNÇAO REAL DE VARIÁVEL REAL Ficha1-2021(1)

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1 
 
 
 
 UNIVERSIDADE SÃO TOMÁS DE MOÇAMBIQUE 
FICHA 1 
FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL 
 
Definição: Uma função é uma regra que associa a cada elemento x de um conjunto A um único elemento y de um 
conjunto B. 
O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B que compreende todos os valores assumidos por y 
= f(x), quando x toma todos os possíveis valores no seu domínio é chamado de imagem ou contradomínio da 
função. 
Um exemplo de função é dado pela relação entre a área de um quadrado e o comprimento do seu lado.Denotando 
y a área do quadrado e x, comprimento do seu lado, teremos: 
2xy 
A equação dada define y como função de x. A regra que define a função área pode ser escrita por 2)( xxf  
Exemplo1: Considere a função f(x) = 2x + 3. Calcule: 
a) f(-3) b) f(x+1) c) f(a-b) 
Solução: a) f(-3) = 2 (-3) + 3 = -6 + 3 = -3 b)f(x + 1) = 2 (x+1) + 3 = 2x + 2 + 3 = 2x + 5 c) f(a-b) = 2(a-b) 
+ 3 = 2a – 2b + 3 
Exemplo 2 O custo total C(x), em meticais, para a produção de x unidades de um certo produto é dado pela 
função C(x) = 4x + 50. Determine o custo quando são produzidas 0, 10, 20 unidades desse produto. 
 
Resolução C(0) = 50 Mt significa que quando não há produção, existe um custo 50 Mt. 
 C(10) = 40 + 50 = 90 Mt é o custo da produção de 10 unidades do produto. 
 C(20) = 80 + 50 = 130 Mt é o custo da produção de 20 unidades do produto. 
 
Domínio da Função: É o conjunto de valores da variável independente x para os quais a função está definida. 
Em muitas aplicações práticas, o domínio da função é ditado pela natureza do problema. Por exemplo, se 
considerarmos a função y = x2 como uma regra que define a função área de um quadrado, onde x denota o 
comprimento do seu lado, ela não terá sentido para os números negativos. Neste caso, x assumirá valores não 
negativos ( x  0). 
Determinando o Domínio de Funções Reais de Variável Real 
1.Funções Polinomiais: Neste tipo de funções a variável não figura no denominador e não faz parte do radicando. 
2 
 
Exemplos: 1.f(x) = 3x4 – 2x3 + x – 4 2. f(x) = 5
2
3 23  xx 3. F(x) = 
7
35 x
 
Neste caso, cada função do exemplo está definida para qualquer número real, isto é Rx . 
 
2.Funções Racionais Fracionárias: A variável x figura também no denominador, mas não faz parte do radicando. 
Exemplos: 
1.f(x) = 
   533
1
)(.3
12
32
)(.2
13
2
2 






 x
x
x
xf
xx
x
xf
x
 
Neste caso, cada função tem sentido para todos os números reais que não anulam o denominador. Se 
considerarmos a primeira função do exemplo, podemos substituir x por qualquer número real excepto por 1/3, 
pois este número anula o denominador desta função. 
A condição a impor para estas funções é que o denominador deve ser diferente de zero. 
Assim, 
1. 3x - 1 0  3/1\:3/113 RxDfouxx  
2.    120102012 22  xxxxxx 
3. 3/5305303  xxxx 
3.Funções Irracionais: A variável figura no radicando. 
Exemplos: 
   
  43 31
4
)(.3
84
.213)(




xx
xf
x
x
xfxxxf 
Neste caso temos que considerar dois casos: quando o índice do radical é um número par ou um número ímpar. 
a)Para radical com índice par 
Por exemplo, se tivermos n a , sendo n par a expressão terá sentido se a 0, isto significa que só se extrai raíz de 
índice par de números positivos e de zero. 
Ex: f(x) =   101:13  xxDfxx 
Se tivermos 
n a
1
 tem sentido se a > 0. A condição maior ou igual a zero não é válida, pois o radical de dice par está 
no denominador. Recorde-se que o denominador não pode ser nulo, pois dividir por zero é impossível. 
Ex: f(x) = 
   











 31
31
0301
0301
0)3)(1(:
31
4
4 xx
xx
xx
xx
xxDf
xx
 
3 
 






1
3
x
x
 significa que o domínio é o conjunto de números reais menores que -1 e maiores que 3, pois satisfazem 
a condição    031  xx . 
b)Para radicais com índice ímpar 
Se tivermos n a tem sentido para todo número real, isto é Ra  . Significa que quando o índice do radical é um 
número ímpar, o radicando pode ser um número negativo, positivo ou zero. 
Ex: f(x) = RxDfxx  :23
5 3
 
Se tivermos 
n a
1
 tem sentido se 0a . O radical de índice ímpar figura no denominador, por isso o número a não 
pode ser nulo. 
Ex: f(x) = 24404:
4
3 22
3 2



xxxxDf
x
x
 
Veja outros exemplos: 
  3209042:
9
42
.1 2
2



 xxxxDf
x
x
xf
 
Veja que o domínio é constituido por todos os valores de x maiores ou iguais a 2, excepto o número 3, pois -3 não 
faz parte do intervalo. 
3320302:
3
2
)(.2 


 xxxxxDf
x
x
xf
 
O domínio é o conjunto de números reais maiores que 3, pois satisfazem simultâneamente as condições 
.0302  xex 
3.























2
3
32
32
0302
0302
0
3
2
:
3
2
)(
x
x
xx
xx
xx
xx
x
x
Df
x
x
xf 
O domínio é o conjunto de números reais menores ou iguais a 2 e maiores que 3, pois satisfazem a condição 
0
3
2



x
x
. 
EXERCÍCIOS 
Determine o domínio das funções que se seguem: 
4 
 
1.  
x
x
xfxxxf
xx
xf
x
x
xf




2
3
)(.42)(.35
3
4
2
)(.2
1
)( 4
3
2
 
5.  
  xxx
x
xfxxxf
x
xf
43
42
)(.7162.6
3
1
)(
2
2
3 



 
Gráfico de Funções 
O gráfico de uma função f(x) é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano cartesiano tal que x pertence ao 
domínio da função e y = f(x). 
 
Monotonia de Funções 
Uma função f(x) é momótona se for crescente ou decrescente. 
 
 
 
 
 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
0
y=f(x)
y
x
(2, 4)
Dominio sao valores de x que pertencem 
Imagem
O contradoninio (conjunto das imagens) sao valores de y 
que pertencem ao intervalo [1/4, 4]
ao intervalo [-2, 2]
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
0
y = f(x)
-2 < 0 entao f(-2) < f(0)
Funcao crescente
x
y
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = f(x)
y
0
x
0 < 3 entao f(0) > f(3)
Temos funcao decrescente
Função Crescente: Uma função f(x) diz-se 
crescente num intervalo  ba, , contido no 
domínio da função, se e somente se, para todo 
x1 e x2 que pertencem ao intervalo  ba, , 
sendo x1 < x2 segue que f(x1) < f(x2). 
 
Função Decrescente: Uma função f(x) diz-se 
crescente num intervalo  ba, , contido no 
domínio da função, se e somente se, para todo 
x1 e x2 que pertencem ao intervalo  ba, , 
sendo x1 < x2 segue que f(x1) > f(x2). 
 
5 
 
 
Paridade de Funções 
Quanto à paridade as funções podem ser pares ou ímpares. 
Veja o gráfico da função y = x2. A função em causa é par. 
 
 
 
 
Função Ímpar: É uma função cujo gráfico é simétrico em relação ao eixo das abcissas. Neste caso, valores simétricos 
de x possuem imagens simétricas, isto é f(-x) = -f(x). 
A partir do gráfico a seguir, verificamos que o valor da função para x = -4 é simétrico ao valor da função para x = 
4 por isso, o eixo das abcissas é o eixo de simetria do gráfico. 
 
 
 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
y = x^2
0
x
y
f(-2) = f(2)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y = x/2
y 
x0
f(4)
f(-4) = -f(4)
Função Par: É uma função cujo gráfico 
é simétrico em relação ao eixo das 
ordenadas. Neste caso, valores 
simétricos de x possuem a mesma 
imagem, isto é f(-x) = f(x). 
A partir do gráfico verificamos que o valor 
da função para x = -2 é igual ao valor da 
função para x = 2 por isso, o eixo das 
ordenadas é o eixo de simetria do gráfico. 
Do gráfico, f(-2) = f(2) = 4. 
Se a função é par, teremos f(-x) = f(x). 
 
Como f(x) = x2, vem: 
f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x). 
Do gráfico, f(-4) = - f(4) = -2. 
Sendo a função é ímpar, teremos f(-x) 
= -f(x). 
Como f(x) = x/2, vem: 
f(-x) = (-x)/2 = -x/2= -f(x). 
 
6 
 
 
Assimptotas 
Definição: Se um ponto (x,y) se desloca continuamente por uma curva y = f(x) de tal forma que pelo menos uma 
das suas coordenadas tenda a infinito, enquanto a distância entre este ponto e uma recta determinada tenda a 
zero, esta recta recebe o nome de assimptota da curva. 
Existem assimptotas verticais e oblíquas. Um caso particular da assimptota oblíqua é a assimptota horizontal. 
 
Assimptota Vertical: É uma recta paralela ao eixo das ordenadas. 
Se existir um número real a tal que 

)(lim xf
ax
, a recta x = a representa a equação da assimptota vertical. 
 
Assimptota Oblíqua: Esta é representada pela equação y = mx + b, onde : 
  .lim,)(lim
)(
lim existiremitesestessebmxxfem
x
xf
xx

 
 
Obs.: Na equação y = mx + b, se m = 0 teremos y = b que é a equação da assimptota horizontal. Esta é paralela ao 
eixo das abcissas. 
Esta também pode ser calculada pelo bxf
x


)(lim , se o limite existir. 
Exemplo: Observe o gráfico das funções que se seguem: 
1. 
4
)(
2
2


x
x
xf Df: 2x 
 
 
 
 
 
 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
x
y
y = 1
x = -2
x = 2
Ao observar o gráfico podemos verificar que 
as rectas x = -2 e x = 2 representam as 
equações das assimptotas verticais, pois: 
1. 


   4
lim.2
4
lim
2
2
2
2
2
2 x
x
x
x
xx
 
3. 


   4
lim.4
4
lim
2
2
2
2
2
2 x
x
x
x
xx
 
A recta y = 1 representa a equação da 
assimptota horizontal, pois: 
1
4
lim
2
2



 x
x
y
x
 Esta também pode ser 
obtida, determinando o quociente da divisão 
de x2 por x2-4 (divisão de polinómios). 
7 
 
 
2. 
1
22
)(
2



x
xx
xf Df: 1x 
 
 
 
 
 
As assimptotas oblíqua e horizontal, se existirem, também pode ser determinada pelo processo de divisão de 
polinómios, se a função for racional fraccionária. O quociente dessa divisão dá-nos a equação da assimptota 
oblíqua. 
ALGUNS MODELOS ECONÓMICOS 
Alguns modelos económicos (função lucro, função demanda, função oferta). 
 
 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
x
y
y = x - 1
x = 1
p 
x 0 
P = fx) 
Ao observar o gráfico podemos verificar que a 
recta x = 1 representa a equação da 
assimptota vertical, pois: 






  1
22
lim
1
22
lim
2
1
2
1 x
xx
e
x
xx
xx
 
A recta y = x – 1 representa a equação da 
assimptota oblíqua, pois: 
1
)1(
22
lim
2




 xx
xx
m
x
 e 
1
1
22
lim
2











x
x
xx
b
x
 
Numa economia de livre mercado, a demanda de 
consumo de um certo bem depende do preço unitário 
desse bem. A equação de demanda expressa a relação 
entre o preço por unidade e a quantidade demandada. 
Em geral, a quantidade demandada de um bem 
decresce a medida que o preço por unidade desse bem 
cresce. Por isso, o gráfico da equação de demanda ( ou 
curva de demanda) é uma função decrescente. Esta 
função é definida por p = f(x), onde p denota o preço 
unitário de um certo bem e x a quantidade 
demandada. Veja o gráfico da figura 1. 
 
8 
 
 
 
 
 
Sob pura competição, o preço de um bem estabilizar-se-á eventualmente e verificar-se-á que a oferta do bem será 
igual à demanda pelo mesmo. Se o preço é muito alto, o consumidor não compra, e se o preço é muito baixo, o 
fornecedor não produz. 
 
 
 
 
Exemplo As funções demanda e oferta semanais para um certo tipo de relógio de parede são dadas por p = 
5 – x e p = x2 + x + 2 respectivamente, onde p é o preço unitário em dólar e x a quantidade. 
a) Represente os gráficos das funções no mesmo sistema de eixos. 
b) Determine o preço e a quantidade de equilíbrio. 
 
Resolução a) 
 
 
 
 
 
 
x 
p 
(x0, p0) 
0 
P0 
x0 
Oferta Demanda 
Quando a quantidade produzida é igual à quantidade 
demandada temos o equilíbrio de mercado. A quantidade 
produzida num equilíbrio de mercado é chamada de 
quantidade de equilíbrio, e o preço correspondente é o 
preço de equilíbrio. Veja o gráfico da fig.3. 
O ponto (x0, p0) é o ponto de equilíbrio entre a demanda e 
a oferta. 
 
 
Num mercado competitivo existe também a relação entre o 
preço por unidade de um bem e sua disponibilidade no 
mercado. Em geral, um aumento no preço unitário do bem 
leva o produtor a aumentar a oferta. De modo contrário, uma 
diminuição no preço unitário geralmente leva a diminuição da 
oferta. A equação que expressa a relação entre o preço por 
unidade de um bem e a quantidade oferecida é a equação de 
oferta. Seu gráfico é uma função crescente e é chamado de 
curva de oferta. Esta função é definida por p = f(x), onde p é o 
preço unitário e x a quantidade em oferta. Veja o gráfico da 
figura 2. 
 
9 
 
 
 
 
 
 
Existem outros modelos, tais como: 
 
Função custo total (C) e Custo médio (Cme) 
 
Função receita: R(q) = p . q, onde p é o preço unitário e q, a quantidade vendida. 
Função custo médio: C (q) = Cme= C(q) / q é o custo unitário. 
Função lucro: L(q) = R(q) - C(q) que trataremos mais adiante. 
CRIANDO MODELOS MATEMÁTICOS 
Neste tema você verá como construir alguns modelos matemáticos a partir de problemas do dia-a-dia. neste caso, 
você usará conhecimentos adquiridos nas classes anteriores para construir gráficos destes modelos e a respectiva 
interpretação. 
Modelos do 1º Grau 
Os modelos do 1º grau apresentam-se geralmente na forma ax + by + c = 0, onde a, b e c são números reais. Na 
forma reduzida apresentam-se na forma y = mx + c, onde m e c são números reais. O gráfico dos modelos de 1º 
grau é uma linha recta. 
O coeficiente m chama-se declive (coeficiente angular) da linha recta. Seu valor indica a velocidade de crescimento 
ou decrescimento da função e c, o intercepto com o eixo das ordenadas. 
Se o declive for positivo, a linha recta tem sentido crescente. 
Se o declive for negativo, a linha recta tem sentido decrescente. 
Se o declive for nulo, não temos modelo do 1º grau, mas sim uma linha recta. Esta recta é horizontal. 
Exemplo 1 Um comerciante compra certos objectos a um preço unitário de $ 4,00, gasta $ 60,00 no transporte 
diário desses objectos e vende cada um a $ 7,00. 
a)Exprime o custo total C(q) da aquisição dos objectos como função da quantidade q adquirida. 
b) Exprime a receita R(q) da como função da quantidade q vendida, que se supõe ser igual à quantidade adquirida. 
Exprime também o lucro L(q) como função da quantidade. 
c) Esboce os gráficos C(q) e R(q) no mesmo sistema de eixos. Indique o ponto de equilíbrio entre o custo e a receita 
(break-even point). Qual é o seu significado? 
1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
1
2
3
4
5
0
(1, 4)
Demanda
Oferta
x
p b) p = 5 – x  p = x2 + x + 2 
x2 + x + 2 = 5 – x  x2 + x + 2 – 5 + x = 0 
x2 + 2x – 3 = 0  (x + 3) (x – 1) = 0  
x + 3 = 0  x – 1 = 0  x = -3  x = 1 
Valor válido: x = 1 centena de relógios. 
Assim p = 12 + 1 + 2 = 4 
10 
 
 
 
 d)Esboce o gráfico L(q), indicando as quantidades para as quais existe prejuízo e para as quais há lucro. 
 
Resolução Dados: Preço unitário de aquisição $ 4,00 preço unitário de venda $ 7,00 
 Custo diário de transporte $ 60,00 e sendo q a quantidade adquirida = quantidade vendida. 
a) C(q) = 4q + 60 b) R(q) = 7q e L(q) = R(q) – C(q) = 7q – (4q – 60)  L(q) = 3q – 60 
 
c) Recorde-se que q representa quantidade de objectos, por isso não assume valores negativos (q 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 Um carro novo foi adquirido no início do ano 2000 por $20.000,00. Devido ao imposto de renda é 
depreciado linearmente a cada ano, durante 20 anos; Isto é, o valor contável do carro decresce a uma razão 
constante, de modo que no final de 20 anos este valor é nulo. 
a)Esboce o gráfico da situação. 
b)Determine uma expressão que relaciona o valor contável do carro (V) em função do nº de anos passados (t), após 
a compra. 
c)Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial? 
 
Resolução Dados: v0 = $ 20.000,00seja t o número de anos e, se t = 20 o valor do carro V(t) = 0. 
140 
60 
0 20 
C 
R 
R,C 
q 
P. de equil. 
q(unid) C(q) q(unid) R(q) 
0 60 0 0 
20 140 20 140 
 
Para determinar o ponto de equilíbrio entre a 
receita você tem que resolver a seguinte 
equação: R(q) = C(q) 
Este é o ponto onde a receita e o custo têm o 
mesmo valor. 
Tendo em conta o gráfico do lucro, você pode 
notar que no ponto de equilíbrio temos a 
quantidade para a qual o lucro é nulo. 
Se 200  q , temos lucro negativo 
(prejuízo significa L < 0) . O gráfico R, C mostra 
que receita é menor que o custo. 
Se q > 20 temos lucro positivo (L > 0). O gráfico 
R, C mostra que a receita é maior que o custo. 
 
 
 
L 
0 
-60 
20 q 
L 
11 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o gráfico se apresenta, pode também usar o seguinte método: 
ttvoutvtv
tv
1000000.20)(000.201000000.400000.20201
20000.20
 
 
c) Pretende-se determinar t, tal que: v(t) = 10.000 
20.000 – 1000t = 10.000  -1000t = 10.000 – 20.000  - 1000t = -10.000  t = 10.000/1000  t = 10. 
Significa que após 10 anos, o valor do carro será de 10.000 dólares. 
 
 Exemplo 3 Num sistema de capitalização simples foi aplicado um montante inicial (C0) de 25.000,00 Mt a uma 
taxa anual de juros i de 9%. 
a) Escreve a expressão que dá o montante acumulado após t anos. 
b) Determine o montante acumulado após 5 anos. 
c) Após 7 anos, o montante acumulado foi de 44.250,00 Mt. Determine a taxa anual de juros. 
 
Resolução Dados: C0 = 25.000,00 Mt , i = 9% durante t anos. 
a) Assim, Ca = 25.000 + 0,11 x 25.000 t  C(t) = 25.000 (1 + 0,11t) 
 
b) t = 5 anos e pede-se montante acumulado Ca = C(5) . 
Ca = C(5) = 25.000 (1+ 0,11 x 5) = 25.000 (1 + 0,55) = 25.000 x 1,55 = 38.750,00 Mt. 
R: Significa que após 5 anos o montante acumulado foi de 38.750,00 meticais. 
 
c)t = 7 anos, Ca = 44.250,00 Mt e pede-se a taxa anual de juros i %. 
Ca=25.000(1+7 i)  44.250 = 25.000(1 + 7i) 11,0
7
77,0
177,17
000.25
250.44
71  iii 
R: Significa que a taxa anual de juros foi de 11 %. 
 
Exemplo 4 Um pintor de casas pretende comprar x litros de tinta e y litros de verniz e dispõe de $1.200,00. 
Sabendo que cada litro de tinta custa $ 4,00 e cada litro de verniz custa $6,00 determine: 
a)A equação da restrição orçamentária. 
b)Se não comprar tinta, quantos litros de verniz se pode comprar? E se não comprar verniz, quantos litros de 
tinta se pode comprar? 
c)Se o orçamento mudar para $900,00 qual será a nova equação? 
d)Represente as duas equações no mesmo sistema cartesiano. 
e)Marque no sistema cartesiano, se é possível comprar 100 litros de tinta e 150 litros de verniz. E é possível comprar 
150 litros de tinta e 100 litros de verniz? Justifique cada caso. 
 
V($) 
20.000 
0 20 t(anos) 
b)A inclinação da recta é dada pela 
expressão: 
1000
020
000.200
020
020 






tt
vv
m 
Significa que a cada ano que passa o carro é 
desvalorizado em 1000$. 
 
V(t) = 20.000 – 1000t 
 
12 
 
Resolução Dados: x denota, em litros a quantidade de tinta, $ 4,00 é o preço unitário do litro de tinta. Y 
denota, em litros a quantidade de verniz e $ 6,00 é o preço unitário do litro de verniz. $ 1.200,00 é o orçamento 
disponível para a compra do referido material. Assim, a equação da restrição orçamentária será: 4x + 6y = 1200 
 
b) Quer se saber, se x = 0 qual será o valor de y? Logo, teremos: 6y = 1200 2006/1200  yy 
Significa que, se o pintor não comprar tinta, comprará, no máximo 200 litros de verniz. 
Da mesma forma, se não comprar verniz (y = 0), teremos: 4x = 1200 300 x significa que comprará , no 
máximo 300 litros de tinta. 
 
c) Se o orçamento mudar, teremos: 4x + 6y = 900 
 
d) Gráficos 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1.Um produto, quando comercializado, apresenta as funções custo e receita dadas, respectivamente, por C(q) = 3q 
+ 90 e R(q) = 5q, onde q é a quantidade comercializada que se supõe ser a mesma para o custo e para a receita. 
a)Num sistema de eixos, esboce os gráficos das funções dadas. Indique no gráfico o break-even point. 
b)Obtenha a função lucro L(q) e represente-a no mesmo sistema. Determine as quantidades para as quais o lucro 
é positivo, nulo e há prejuízo. 
 
2.Um comerciante compra objectos a um preço unitário de 4,00 Mt, gasta em transporte diário dessa mercadoria 
60,00 Mt e vende cada unidade a 7,00Mt. 
a)Expresse o custo e a receita em função das quantidades (q) compradas e vendidas, respectivamente, supondo 
que estas são iguais. 
b)Esboce, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das funções da a), determinando o break-even point. Qual é o 
significado desse ponto? 
c)Esboce, no mesmo sistema, a função lucro, indicando as quantidades para as quais existe lucro, prejuízo e lucro 
igual a zero. d)Determine as funções custo médio ( Cme) e lucro médio (Lme). 
 
(1)
(2)
(100, 150)
(150, 100)
x (tintas)
y (verniz)
0
100
200
300
300200100 225
(1) 4x + 6y = 1.200
(2) 4x + 6y = 900
Os gráficos mostram que o ponto (100, 
150) está na região acima da recta 4x + 
6y = 1.200. Isto significa que os dois 
orçamentos são baixos para compra de 
100 litros de tinta e 150 litros de verniz. 
O ponto (150, 100) está sobre a recta 
4x + 6y = 1.200, mas acima da recta 4x 
+ 6y = 900. Isto significa que o primeiro 
orçamento cobre o a compra de 150 
litros de tinta e 100 litros de verniz, mas 
o segundo orçamento não cobre a 
despesa. 
13 
 
3.Uma máquina nova foi comprada por uma fábrica de blocos a $ 120.000,00. Devido ao imposto de renda, esta é 
depreciada linearmente ao longo de 10 anos; isto é, seu valor contável decresce a uma razão constante de modo 
que, findos 10 anos seu valor é nulo. 
a)Escreve a equação que traduz o valor contável (V) em função do tempo (t). 
b)Determine o valor contável no final do sexto ano. 
c)Qual é o valor da depreciação anual dessa máquina? 
 
4.Uma locadora A de automóveis aluga carros de certa marca por $30,00 por dia, mais $ 4,00 por Km rodado. Outra 
locadora B aluga carros da mesma marca por $ 80,00 por dia, mais $ 2,00 por Km rodado. 
a)Escreve para cada locadora as equações que descrevem o preço do aluguer (P), em função do Km rodado. 
b)Represente no mesmo sistema de eixos as funções. 
c)Para que um indivíduo pague o mesmo preço às duas locadoras, quantos Kms deve percorrer? 
d)Qual das duas locadoras apresenta melhor opção para uma pessoa alugar carros de tal marca? Comente a opção. 
 
Modelos do 2º Grau 
EXERCÍCIOS 
1.Espera-se que o nº de lares com televisores digitais cresça de acordo com a função f(t) = 0,1714t2 + 0,6657t + 
0,7143 ( 0 t 6), onde t é medido em anos com t = 0 correspondendo ao início do ano 2000 e f(t) é medida em 
milhões de lares. 
a)Quantos lares terão televisores digitais no início do ano 2000? 
b)Quantos lares terão televisores digitais no início do ano 2005? 
 
2.O preço da garrafa de vinho varia de acordo com a relação p = -2q + 400, onde q representa a quantidade de 
garrafas comercializadas. 
a)Obtenha a função receita e esboce o gráfico, indicando os principais pontos e o eixo de simetria. 
b)Quantas garrafas devem ser comercializadas para que a receita seja máxima? Qual é a receita máxima? 
c)Que quantidades proporcionam receita crescente? E receita decrescente? 
 
3.A produção de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas, leva à função P = -2t2 + 24t 
+ 128. 
a)Esboce o gráfico da função. 
b)Em que momento a produção é máxima? Qual a produção máxima? 
c)Em que momento a produção é igual à produção inicial? 
d)Em que momento o funcionário não consegue mais produzir? 
e)Quais os intervalos de crescimento e de decrescimento da produção? 
 
4.Um comerciante de roupas compra ternos e camisetes para revenda e tem um orçamento limitado para compra. 
A quantidade de ternos é representada por x, a de camisetes por y e a equação que dá a restrição orçamentária é 
10x2 + 10y = 1000. 
a)Expresse a quantidade de camisetes em funçãoda quantidade de ternos comprados. 
b)Esboce o gráfico da função anterior. 
c)Se forem comprados 8 ternos, quantas camisetes é possível comprar? 
d)Se forem compradas 19 camisetes, quantos ternos é possível comprar? 
e)Se não forem compradas camisetes, quantos ternos seriam comprados? E se não forem comprados ternos 
quantas camisetes seriam compradas? Indique estes pontos no gráfico b). 
f)Se forem comprados 7 ternos e 40 camisetes, tal compra ultrapassaria o orçamento? Represente esta 
possibilidade no gráfico. 
 
5.Uma pessoa investiu em papéis de duas empresas no mercado de acções durante 12 meses. O valor das acções 
da primeira empresa varia de acordo com a função A(t) = t + 10 e o valor para a segunda empresa obedeceu à 
14 
 
função B(t) = t2 – 4t + 10. Considere t = 0 o momento da compra das acções; t = 1 após o 1 mês ; t = 2 após 2 
meses, etc. 
a)Em que momento as acções têm o mesmo valor? Quais são esses valores? 
b)No mesmo sistema cartesiano, esboce os gráficos para o período de 1 ano. 
c)Comente a evolução do valor de cada uma das acções. Qual foi a melhor aplicação após os 3 primeiros 
meses? E após 1 ano? 
 
Modelos Exponenciais 
EXERCÍCIOS 
1.Um tractor tem seu valor dado pela função V(x) = 125.000 0,91x , onde x representa o ano após a sua compra e 
x = 0 o ano em que o tractor foi comprado. 
a)Calcule o valor do tractor após 1, 5 e 10 anos. 
b)Qual é o valor do tractor na data da compra? 
c)Em cada ano, qual é o percentual do valor remanescente ? d)Esboce o gráfico de V(x). 
e)Após quanto tempo o valor do tractor será $ 90.000,00? 
 
2.Uma máquina fotocopiadora após a compra tem seu valor depreciado a uma taxa de 11,5% ao ano. Sabendo 
que o valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor da compra é de $68.500,00: 
a)Obtenha o valor V(x) da máquina após 1, 5 e 10 anos da compra. 
b)Esboce o gráfico V(x). 
c) Após quanto tempo o valor da máquina será metade do valor inicial? 
 
3.O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos anos é dado por M(x) = 50.000  1,08x, onde x denota 
o ano após a aplicação e x = 0 o momento em que foi realizada a aplicação. 
a) Calcule o montante após 1, 5 e 10 anos da aplicação inicial. 
b) Esboce o gráfico de M(x). 
c) Qual é a percentagem total do montante em cada ano? 
d) Após quanto tempo o montante será igual a $80.000,00? 
 
4.Um indivíduo fez um empréstimo de $35.000, que será corrigido a uma taxa de 3,5% ao mês a juros compostos. 
a)Obtenha o montante da dívida M como função dos meses x após o empréstimo. 
b)Obtenha o montante da dívida após 1, 12, 24 e 36 meses. 
c)Esboce o gráfico M(x). 
d) Qual é a percentagem total do montante em cada ano? 
e)Após quanto tempo o valor do montante será $50.000,00? 
 
Modelos Potenciais e Racionais 
EXERCÍCIOS 
1.Numa empresa a produção P de alimentos é de P = 0,25q4, onde q representa o capital investido em 
equipamentos. A produção é dada em toneladas e o capital, em milhares de meticais. 
a)Construa uma tabela que dê a produção de alimentos quando são investidos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 milhares de mt em 
equipamentos e esboce o gráfico de P. 
b)Qual é o tipo de taxa de crescimento de P? Justifique a resposta com base em cálculos e graficamente. 
c)Qual o capital investido para uma produção de 2500t? 
d)Determine a função inversa de P e explique o significado. 
15 
 
 
2.Numa safra, a quantidade demandada q pelos consumidores e o preço p de uma fruta estão relacionados de 
acordo com a equação q = 150.000p-2, onde a demanda é dada em kg e o preço em mt. 
a)Construa uma tabela da demanda para os preços de 0,50; 1,00; 1,50; 2,00; 2,50; 5,00 e 10,00Mt/kg. Construa o 
gráfico de q com tais valores. 
b) Qual tipo de taxa de crescimento de q? Justifique a resposta com base em cálculos e graficamente. 
c)Qual o preço da fruta se os consumidores consumirem 9,375kg? 
d) Determine a função inversa de q e explique o significado. 
e)em termos práticos, qual é o significado de p ? Determine q
p 
lim e interprete o resultado. 
f)Qual é o significado, em termos práticos de ?0p Determine q
p 0
lim e interprete o resultado. 
 
3.Numa empresa, no decorrer do expediente, para um grupo de funcionários, nota-se que o número P de 
electrodomésticos montados é dado por P = 200 q4/5, onde q denota o número de horas trabalhadas a partir do 
início do expediente. 
a)Construa uma tabela para o número de electrodomésticos quando o número de horas trabalhadas for 0, 1, 2, 3, 
4 e 5. A partir da tabela, esboce o gráfico de P. 
b) Qual tipo de taxa de crescimento de P? Justifique a resposta com base em cálculos e graficamente. 
c)Quantas horas devem passar, desde o início do expediente, para que sejam produzidos 3.200 electrodomésticos? 
d) Determine a função inversa de P e explique o significado. 
 
4.Analizando a distribuição de rendas para um grupo particular, pela lei de Pareto, estabeleceu-se que o número y 
de indivíduos com renda superior a x é dado por 10.000.000 x- 1,5, onde x é dado por dólar/dia. 
a)Escreve y na forma de função hiperbólica. 
b)Constrói uma tabela para o número de indivíduos com renda superior a 5, 10, 20, 30, 40, 50 e 100 dólares/dia e 
a partir dela, esboce o gráfico de y. 
c)Determine o número de indivíduos que têm renda entre $25/dia e $100/dia. 
d) Qual tipo de taxa de crescimento de y? Justifique a resposta com base em cálculos e graficamente. 
e)Qual é a menor renda diária das 640 pessoas que têm as rendas diárias mais altas? 
f)Qual é o significado, em termos práticos, de x ? Determine y
x 
lim e interprete o resultado.