CÁLCULO III - UNIDADE 1 - FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

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UNIVERSIDADE GAMA FILHO
 	PRÓ-REITORIA DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
		NÚCLEO DE MATEMÁTICA
		
CADERNO DE
CÁLCULO III
ENGENHARIAS E MATEMÁTICA
Cesar Luiz Farah
Cesar Roberto Marconi da Costa
2013
CÁLCULO III
	Ementa: Funções de várias variáveis. Derivação parcial. Integração múltipla. Equações diferenciais. Transformadas de Laplace 
	Competências e habilidades: Aplicar os conceitos de limites, derivadas e integrais de funções de várias variáveis. Resolver problemas modelados por equações diferenciais. Aplicar transformada de Laplace na solução de equações diferenciais.
	Conteúdo Programático:
UNIDADE I – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Funções de duas ou mais variáveis. Limite. Continuidade. Curvas de nível. Cilindros. Superfícies quádricas.
UNIDADE II – DERIVAÇÃO PARCIAL
Derivadas parciais. Diferencial exata. Derivadas direcionais e vetor gradiente. Valores extremos de funções de duas variáveis.
UNIDADE III- INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA
Integrais duplas. Intregrais triplas. Integrais de linha. Teorema de Green. Rotacional e divergente. Teorema de Stokes.
UNIDADE IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Modelagem usando equações diferenciais. Equações separáveis. Equações diferenciais exatas.. Método do fator integrante. Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem. Equações lineares ordinárias de ordem n com coeficientes constantes. Equações lineares não homogêneas: método dos coeficientes a determinar e método da variação dos parâmetros.
UNIDADE V – TRANSFORMADA DE LAPLACE
Conceito e noções fundamentais.Uso da tabela de tranformadas. Propriedades. Transformada inversa. Derivação e integração. Solução de equações diferenciais.
	
“No século XVII, Isaac Newton, na Inglaterra, e Gottfried Leibniz, na Alemanha, inventaram de forma independente o cálculo diferencial e integral, o estudo de padrões de movimento contínuo e suas variações. Antes do cálculo, a matemática se restringia essencialmente a padrões estatísticos: contagem, medição e descrição de forma. Com a introdução de técnicas para lidar com movimentos e variações, os matemáticos puderam estudar o deslocamento dos planetas e de corpos em queda livre na Terra, o funcionando de máquinas, o fluxo de líquidos a expansão de gases, forças físicas como o magnetismo e a eletricidade, o vôo, o crescimento das plantas e animais, a disseminação de epidemias, a flutuação dos lucros e assim por diante.”
	Devlin, K, O instinto matemático, Rio de Janeiro: Record, 2009
	Leitura recomendada sobre a criação do cálculo:
	Bardi, J, S., A guerra do cálculo, Rio de Janeiro: Record, 2008
CÁLCULO III – UNIDADE 1 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
1 – INTRODUÇÃO:
	( Até agora, nos cursos de Cálculo I e Cálculo II, trabalhamos com funções de uma única variável. Funções da forma y = f(x), onde x é a variável independente e y é a variável dependente.
	Existem modelos matemáticos, no entanto, em que uma variável dependente está associada à duas ou mais variáveis independentes. Por exemplo, a fórmula para determinarmos o volume de de um cilindro circular reto é
			V = ( r² h,
	onde r é o raio da base do cilindro e h a sua altura.
	Observe que o volume V está associado ao par ordenado de valores (r, h). 
( Lembramos que os pares ordenados (x; y), x ( R e y ( R definem o conjunto R² = {(x; y) | x ( R e y ( R}, que representa o plano cartesiano.
A trinca ordenada de numeros reais, (x; y; z) define o conjunto 
R³ = {(x; y; z) | x ( R , y ( R e z ( R}, que representa o espaço a três dimensões.
Generalizando pensamos que a n-upla de números reais (
; 
; ...;
) define o conjunto 
= {(
; 
; ...;
) |
 ( R, 
( R, ... e 
( R} que é o espaço a n dimensões.
2 – DEFINIÇÃO: 
	Chamamos de FUNÇÃO REAL DE n VARIÁVEIS INDEPENDENTES a
			
3 – OBSERVAÇÃO:
	Na definição acima, D é o domínio da função; e R é o contradomínio.
	Im = {w ( R | w = f (
; 
; ...;
) } é o conjunto imagem da função. 
	Como nas funções de uma variável, D indica o conjunto onde a função está definida. Se pontos dieferentes do domínio têm imagens diferentes, a função é injetora. Se o contradomínio é igual ao conjunto imagem, a função é sobrejetora.
	Uma função injetora e sobrejetora é chamada bijetora.
4 – EXEMPLO:
	Considere a função
A imagem do ponto (- 3; 0; 4) é f (- 3, 0; 4) = 
 
Observamos que 5 também é imagem do ponto (0; - 4; 3), o que garante o fato de que a função não é injetora.
O conjunto imagem da função é Im = [0; ( [, como o contradomínio é R a função não é sobrejetora.
5 – DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO – EXEMPLO:
	Determine e esboce o domínio D da função definida pela expressão
			
	 Y
Ora, devemos ter y – 2x + 2 > 0
( y > 2x – 2 ( 
 D={(x; y) ( R² | y > 2x – 2}
O domínio da função é um
semiplano.
 0 1 X
 
 - 2
6 – 	EXERCÍCIO:
	Determine e esboce o domínio das funções
(a) w = f(x,y) = 
 Y
 0 X
 
(b) w = f(x, y) = 
 Y
 X
 
 0
 
(c) w = f(x, y) = 
 Y
 0 X
 
(d) w = f(x, y) = 
 Y
 0 X
 
(e) w = f(x, y) = 
 Y
 0 X
 
(f) w = f(x,y) = 
 Y
 0 X
 
7 - A IDEIA INTUITIVA DE LIMITE:
	( A ideia intuitiva de limite para função de uma variável nos diz que
 se, e somente se, quando x está “próximo” de 
 temos f(x) “proximo” de L. 
( Para funções de duas variáveis diríamos que
	
 
	se, e somente se, quando (x; y) está “próximo” de 
 temos f(x; y) “próximo” de L.
8 – EXEMPLOS:
(1) Considere w = f(x, y) = 2x³ - 3y². Temos
	
(2) Considere w = f(x; y) = 
	
9 – OBSERVAÇÕES:
	( Lembramos que | a – b | indica a distância entre dois números reais a e b. 
Diremos que a e b estão próximos se | a – b | < ( qualquer que seja ( ( R, ( > 0.
A definição formal de limite, para uma função de uma variável , diz que, se 
 é ponto de acumulação do domínio da função y = f(x) então
	
 se, e somente se,
para cada número ( > 0 existir um número correspondente ( > 0 tal que, para todos os valores de x, se 0 < | x - 
 | < ( então | f(x) – L | < (.
	( Lembramos que a distância entre dois pontos A(x; y) e B(
, 
 é 
		
( No cálculo de limites de funções de mais de uma variável ocorrem, também, indeterminaçõesdo tipo 
 
10- EXEMPLO:
	Se w = f(x; y) = 
	
	
	
11- DEFINIÇÃO:
	A função w = f(x; y) se aproxima do LIMITE L, à medida que (x; y) se aproxima de 
 e escrevemos 
 se, e somente se,		
para cada número ( > 0 existir um número correspondente, ( > 0 tal que, para todos (x; y) no domínio de f, se 
0 <
 < ( então | f(x; y) – L | < (.
12- PROPRIEDADES DOS LIMITES DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS:
Considere L, M e k números reais e
 e 
	então
	(1) 
	(2) 
	(3) 
	(4) 
13- LIMITES POR DIVERSOS “CAMINHOS”:
( Nas funções de uma variável 
, se os limites laterais são iguais, ou seja, 
 e
( Para funções de duas variáveis 
se os limites são iguais para todos os caminhos (trajetórias) segundo os quais (x; y) tende à 
.
É evidente que esse processo para determinar o limite é inviável já que existe uma infinidade de caminhos segundo os quais (x; y) tende à 
. 
Na realidade usamos esse processo para verificar que o limite não existe.
14- EXEMPLO:
 Considere a função w = f(x; y) = 
; mostre que
 não existe.
(i)
Fazendo (x;y) ( (0;0) pelo caminho y = x. Y
 
 
 y = x
 0 X
(ii) Fazendo (x; y) ( (0; 0) pelo caminho y = x². Y
 
 
 y = x²
 0 X
Por dois caminhos limites diferentes resultados diferentes: o limite não existe.
15- EXERCÍCIO:
	Considere as funções abaixo e prove que, cada uma delas, não possui limite quando (x; y) ( (0; 0).
(b) 
16- OBSERVAÇÃO:
	Para as funções de duas ou mais variáveis, o conceito de continuidade é similar àquele de funções de uma variável.
17- DEFINIÇÃO:
	Diremos que a função w = f(x; y) é CONTÍNUA NO PONTO 
se, e somente se,
	(i) a função é definida em 
,
(ii) 
 existe e
(iii) 
 = f
.
18- EXEMPLO:
	A função
		
não é contínua no ponto (0; 0).
(i) A função está definida no ponto (0; 0).
(ii) Fazendo (x; y) ( (0; 0) seguindo retas de equações y = mx;
	
.
	
Para cada valor de m um resultado diferente, logo o limite não existe.
19- EXERCÍCIO:
	Mostre que a função w = f (x, y) 
 não é contínua no ponto (0, 0)
 
20- EQUAÇÃO DO PLANO - LEMBRETE:
 ( 
 
 O plano ( compreende o ponto P e o 
							 o vetor 
 é normal ao plano.	
							 Equação do plano:	
 ( P(
 
 (
	
( Planos coordenados
 Z
 
 0
							 Y	 
 X
		
Plano XY ( z = 0;
		Plano XZ ( y = 0;
		Plano YZ ( x = 0;
21- EXERCÍCIO:
	Esboce o plano de equação
(a) x = 3						(b) y = 2
 Z Z
 
 
 0 z = c
 
 X Y 0 
 
 X 
 Y 
(c) z = 4						(d) x = -2
 Z Z
 
 
 0 z = c
 Y 
 
 X 0 
 
 X 
 Y 
 
22- GRÁFICO DE FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS:
	Gráfico da função
	
 z 
 z = y – 2x
								z = 0 ( 0 = y – 2x (
								y = 2x
 0
 
 X Y
23- EXERCÍCIO:
(a)	Construir o gráfico da função
			(parabolóide)	
 Z
 0
 X Y
 
 
(b)	Construir o gráfico da função
			(cone circular)
 Z
 
 0
 Y X
24- OBSERVAÇÕES:
( As expressões 
são equações de superfícies quádricas. 
( A interseção da superfície z = x² + y² com o plano z = 4 é chamada curva de nível.
	( Maiores informações dobre auperfícies quádricas, curvas de nível e cilíndros consulte Thomas, Weir, Hass, Giordana, Cálculo, São Paulo, Addison Wesley, 2009, v.2, pg209.
25- EXERCÍCIOS:
	Esboce as superfícies quádricas de equações.
(a) 
 
(b) 
 
26- SOBRE SUPERFÍCIES CILINDRICAS:
	As superfícies cilíndricas (cilindros) são definidas por uma curva chamada diretriz e por uma reta chamada geratriz, A reta percorre a curva gerando uma superfície. A equação da curva, geralmente, é definida num dos planos cartesianos e geratriz é perpendicular ao plano. 
	(a) ) cilindro z = x²			(b) cilindro x²+y² = 1
(c) cilindro y² + z²= 1 				(d) Se a diretriz é uma reta a superfície
					 		gerada é um plano.
27- EXERCÍCIOS:
	Esboce os cilindros de equações z = 1 + x² e z = 5 - x². Como interpretar a interseção dessas superfícies. 
EXERCÍCIOS:
01- Determine o domínio e o conjunto imagem das funções
(a) f(x; y) = 
					(b) f(x; y) = 
(c) f(x; y) = 
			(d) f(x; y) = 
(e) f(x; y) = arctg 
				(f) f(x; y) = cos xy
02- Determine o domínio e o conjunto imagem da função
 (a) f(x; y) = 
;		(b) f(x; y; z) = 
		(c) f(x; y; z) = 
03- Determine o os limites, se eles existirem
(a) 
 			(b) 
(c) 
			(d) 
04- Mostre que não existe limite das funções, quando (x; y) ( (0; 0).
(a) f(x; y) = 
			(b) f(x; y) = 
	(c) f(x; y) = 
 
05- Esboce as superfícies de equações:
(a) z = x² + 4y²,				(b) 4x² + 9z² = 9y²,
(c) x² + y² - z² = 1 e			(d) x² - y² = z. 	 
RESPOSTAS:		
01- (a) Df = {(x; y) ( R² | xy ( 0} ( o plano cartesiano excluídos os eixos); Im = 
.
 (b) Df = {(x; y) ( R² | y > - x} (pontos acima da retay = - x); Im = ]0; ([
 (c) Df = {(x; y) ( R² | x ( 0 e y ( 0} (plano cartesiano excluída a origem); Im = R.
 (d)Df ={(x; y) ( R² | x ( 0 e y > 0}(semiplano superior excluído o eixo y), Im = R
 (e) Df = {(x; y) ( R² | x ( 0} (plano cartesiano excluído o eixo y), Im = ]-(/2; (/2[
 (f) Df = 
(plano cartesiano), Im = [-1; 1].
02- (a) Df = {(x; y) ( R² | y ( + x} (plano cartesiano excluídas as retas y = x e y = -x),
 Im = R. (b) Df = {(x; y; z) ( R³ | z ( 0} (semiplano superior), Im = [0; ([.
 (c) Df = R³ - {(0; 0; 0)} ( todos os pontos excluída a origem), Im = [0; 1].
03- (a) 5/2; (b) 1; (c) 0; (d) 2.
05- 
	(a)					 (b)				
 		 
(c)							(d)
 			
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�PAGE �19�
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