Cálculo de Funções de Várias Variáveis

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CÁLCULO APLICADO - VARIAS VARIÁVEISCÁLCULO APLICADO - VARIAS VARIÁVEIS
FUNÇÕES DE VÁRIASFUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEISVARIÁVEIS
Autora: Me. Tal i ta Druziani Marchiori
Revisor : Ra imundo A lmeida
I N I C I A R
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introdução
Introdução
Caro aluno, nesta unidade, entraremos em um “mundo novo”, o mundo das
várias variáveis. Se re�etirmos, veremos que muitos elementos em nossa
volta se descrevem através de funções de duas ou mais variáveis. Desde
exemplos simples, como a área de nossa residência, até exemplos mais
complexos, como a temperatura da atmosfera. Logo, o estudo sobre funções
de várias variáveis é fundamental.
Iniciaremos esta unidade abordando o comportamento do domínio e imagem
de uma função de várias variáveis, além disso, aprenderemos como esboçar
seus grá�cos. Em seguida, apresentaremos os conceitos do cálculo diferencial
de várias variáveis, como a derivada direcional, vetor gradiente e a regra da
cadeia. Esses conceitos serão utilizados para funções de duas variáveis reais,
mas eles podem ser aplicados para várias variáveis.
Você perceberá que a maioria dos conceitos expostos nesta unidade
recordam os conceitos vistos no cálculo ordinário, podemos considerá-los
como uma extensão deles. Por �m, resolva os exemplos e exercícios
propostos e pesquise exemplos em outras literaturas, que enriquecerão sua
aprendizagem!
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Até o momento estudamos apenas funções de uma única variável. Porém, em
nosso cotidiano, dependemos de cálculos com várias variáveis.
Consequentemente, muitas situações na área da engenharia são descritas por
funções de várias variáveis, como a resistência dos materiais, a mecânica dos
�uidos, a mecânica quântica e etc.
Diante disso, destacamos o estudo das funções reais de duas variáveis reais.
Porém, todos os conceitos podem ser aplicados para funções de três ou mais
variáveis. Uma função f de duas variáveis reais é uma relação que associa
cada par ordenado (x,y) de um conjunto A a um único valor real f(x,y), ou seja,
f: A R² R. O conjunto A é denominado domínio de f, já o conjunto Img(f) =
{f(x,y); (x,y) A} é denominado imagem de f.
Por exemplo, considere a função de duas variáveis reais de�nida por 
 . Para o par ordenado (2,1), temos:
f(2,1) = = 3.
Funções de Várias Variáveis:Funções de Várias Variáveis:
Esboço de Grá�cosEsboço de Grá�cos
⊂ →
∈
f (x,y) = x+yx−y
2+1
2−1
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Note que f só não está de�nida nos pares ordenados (x,y) tais que x-y = 0, ou
seja, nos pares (x,y) com x = y. Portanto, o domínio de f é o conjunto A = {(x,y) 
 R² ; x y}, e a imagem de f é Img(f) = { ; (x,y) A}, que pode ser reescrita
como Img(f) = { ; x y com x, y R}.
Uma forma de visualizar como uma função de duas variáveis se comporta é
esboçando seu grá�co. O grá�co de uma função f: A R² R é dado pelo
conjunto a seguir:
= { (x, y, z) R³; z = f(x,y), (x,y) A}.
Como podemos observar pela de�nição de , o grá�co de f é um
subconjunto de R³. Exempli�cando, o grá�co de f(x,y) = 6 - 3x -2y tem a
equação 3x+2y+z=6, que representa um plano, conforme esboço na Figura
2.1:
Para desenharmos o plano 3x + 2y + z = 6, determinamos as interseções com
os eixos. Considere que y = z = 0, então x = 2, a partir disso obtemos o ponto
(2, 0, 0), que é a intersecção do plano com o eixo x. Em seguida, considere x =
z = 0, encontramos a intersecção do plano com o eixo y no ponto (0, 3, 0). Do
mesmo modo, considerando x = y = 0, determinamos o ponto (0, 0, 6) que
intersecciona o eixo z e o plano. Na Figura 2.2, destacamos os pontos de
intersecção com os eixos e sombreamos o grá�co de f no primeiro octante.
∈ ≠ x+yx−y ∈
x+y
x−y ≠ ∈
⊂ →
G f ∈ ∈
G f
Figura 2.1 - Grá�co da função f(x,y) = 6 - 3x - 2y 
Fonte: Elaborada pela autora.
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A representação geométrica em um grá�co de uma função de duas variáveis,
na maioria das vezes, é trabalhosa. Para isso, temos o conceito de curvas de
nível que nos auxilia visualizar geometricamente o comportamento de uma
função. A representação de uma curva de nível costuma ser mais fácil de ser
obtida, se comparada ao grá�co, pois uma curva de nível de uma função f(x,y)
é um subconjunto de R².
Dessa forma, considerando z = f(xy) e c elementos da imagem de f, chamamos
de curva de nível de f o conjunto de todos os pares (x,y) pertencentes ao
domínio de f tais que f(x,y) = c. Por exemplo, considere a função h(x,y) = x² +
y², como x²+y² 0 para qualquer par ordenado (x,y), temos que a imagem de h
é o conjunto dos números reais positivos.
Agora, considere c , a curva de nível correspondente a z = c é h(x,y) = c, ou
seja, x²+y² = c. Mas essa igualdade representa circunferências de centro na
origem e raio . Se c = 0, a curva de nível se reduz ao ponto (0,0). Podemos
conferir a representação grá�ca dessa igualdade a seguir:
Figura 2.2 - Grá�co da função f(x,y) = 6 - 3x - 2y no primeiro octante 
Fonte: Elaborada pela autora.
≥
∈ R+
c√
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Por outro lado, considerando y = z = 0, obtemos x = 0, x = z = 0, y = 0 e x = y =
0, z = 0. Portanto, o ponto (0,0,0) é o ponto de interseção com os três eixos.
Na Figura 2.4 veremos que as curvas de nível projetadas no eixo z se tornam
os cortes horizontais do grá�co de h, ou seja, podemos montar o grá�co de h
a partir de suas curvas de nível.
Figura 2.3 - Curvas de nível da função h(x,y) = x²+y² 
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 2.4 - Esboço do grá�co da função h(x,y)=x²+y² 
Fonte: Elaborada pela autora.
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Para nos ajudar a visualizar as funções de duas variáveis gra�camente,
podemos utilizar softwares. Por exemplo, todas as imagens desta seção
foram elaboradas com o auxílio do software GeoGebra. Este software possui
uma versão online e gratuita.
praticar
Vamos Praticar
Sabemos que as funções descrevem, através de modelos matemáticos, quase tudo
que está a nossa volta. E, muitos desses modelos são descritos por funções de
várias variáveis. Por exemplo, a temperatura da atmosfera e o volume de um
cilindro circular.
Com base no que estudamos, assinale a alternativa correta.
reflitaRe�ita
Antes de iniciar os estudos desta unidade, você já sabia que funções de várias variáveis
descrevem eventos simples de nosso cotidiano? No início desta seção, citamos
exemplos presentes na área de engenharia, porém existem exemplos simples de
situações que são descritas por funções de várias variáveis. Por exemplo, a área de um
retângulo depende de duas quantidades: comprimento e largura; o volume de um
prisma retangular depende de três variáveis: comprimento e largura da base e a altura
do prisma. Além dos exemplos citados, existem diversos outros. Quais funções de
várias variáveis estão presentes em seu cotidiano?
√
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a) O domínio da função f(x,y)= é dado pelo conjunto R² A = {(x,y) R² ; x 1}.
b) A imagem da função g(x,y)= é dada pelo intervalo [0,9].
c) O gráfico de g(x,y)= representa uma esfera de centro na origem e raio 3.
d) As curvas de nível da função g(x,y)= são dadaspor circunferências de centro
(0,0) e raio 3.
e) A equação 3x+2y =0 é uma curva de nível para função f(x,y)=6-3x-2y para o ponto c=6.
x+y+1√
x−1 ∈ ≠
 9 − x − y2 2− −−−−−−−−√
 9 − x − y2 2− −−−−−−−−√
 9 − x − y2 2− −−−−−−−−√
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A de�nição de derivada direcional de uma função f de duas variáveis no ponto
( ) na direção de um vetor unitário u = < a, b > é dada por:
caso esse limite exista.
Considerando f(x,y) = x²+ y², vamos calcular a derivada direcional de f no
ponto (1,1) na direção do vetor u, em que u é o versor do vetor v = <-1,1> .
Com efeito, inicialmente, note que foi necessário trabalhar com a direção u
sendo o versor do vetor v, pois, pela de�nição, a direção precisa ser um vetor
unitário. Sendo u = <a,b> um vetor unitário qualquer, temos que:
Como a direção desejada é dada por u = , logo:
Derivadas Direcionais e VetoresDerivadas Direcionais e Vetores
GradientesGradientes
,x0 y0
 f ( ,   ) =   ,Du x0 y0 limh→0
f ( + ha,   + hb) − f ( , )x0 y0 x0 y0
h
 f (1,  1) =   = = 2a + 2b.Du limh→0
f (1 + ha,  1 + hb) − f (1,1)
h
lim
h→0
(1 + ha) + (1 + hb) − 22 2
h
= ( ,  )(−1,1)
(−1) + 12 2√
−1
2√
1
2√
 f (1,  1) = 2  +  2    = 0.Du
−1
2–√
1
2–√
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Quando trabalharmos com os vetores canônicos i = < 1, 0 > e j = <0, 1>, as
derivadas direcionais recebem uma nomenclatura especial: derivadas parciais
de f. Se u = i = <1,0>, denotamos e a denominamos derivada parcial
de f, em relação a x e. Se u = j = <0,1>, denotamos e a denominamos
derivada parcial de f, em relação a y.
A derivada parcial de uma função f em relação a x é a derivada de g(x) = f(x,y),
ou seja, mantemos a variável y como uma constante. Já a derivada de uma
função f em relação a y é a derivada de g(y) = f(x,y), em que mantemos x
constante.
Por exemplo, considerando f(x,y) = 2xy - 4y. Logo:
1. (x,y) = 2y(x’) - 0 = 2y, pois olhamos y como constante e derivamos
em relação a x;
2. (x,y) =2x(y’)-(4y)’= 2x - 4, pois olhamos x como constante e
derivamos em relação a y;
3. (2,1) = 2.1 = 2, substituindo o ponto (2,1) no que determinamos no
item 1;
4. (0, 1) = 2 . 0 + 4 = 4, substituindo o ponto (0,1) no que
determinamos no item 2.
Considere uma função de duas variáveis f(x,y) diferenciável em x e y, isto é, 
e existem. Então, f tem derivada direcional na direção de qualquer vetor u =
<a,b> e (x,y) a + (x,y) b.
Se retornarmos no cálculo da derivada direcional de f(x,y)=x²+y² no ponto (1,1)
e direção u = <a,b>, realizado no início deste tópico, observamos que essa
relação foi satisfeita, pois obtemos que 2a + 2b, (x,y)= 2x e 
(x,y)=2y, logo, (1,1)= 2 e (1,1)=2.
Note que a relação (x,y) a + (x,y) b diz que a derivada direcional
pode ser escrita como o produto escalar entre dois vetores, pois <
(x,y), (x,y)>.<a,b>=< (x,y), (x,y)>. u.
Dessa forma, o vetor < (x,y), (x,y)> possui uma nomenclatura e notação
especial: se f é uma função de duas variáveis x e y, o gradiente de f é a função
 f =Du f x
 f =Du f y
f x
f y
f x
f y
f x
f y
 f (x,y) =Du f x f y
 f (1,  1) =Du f x
f y f x f y
 f (x,y) =Du f x f y
 f (x,y) =Du
f x f y f x f y
f x f y
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vetorial ∇f  de�nida por ∇f  (x,y) = < (x,y), (x,y)>.
Sendo f(x,y) = sen x + , obtemos:
, pois consideramos y como constante;
, pois consideramos x como constante.
Portanto,
∇f  (x,y) = < , > e
∇f  (0,1) = < , >=<2,0>.
Com a nomenclatura do vetor gradiente, podemos escrever a derivada
direcional de uma função de duas variáveis f na direção u, por exemplo:
 ∇f  (x,y) . u.
Para determinar a derivada direcional da função f(x,y) = x²y³-4y no ponto (2,-1)
e direção v = 2 i + 5 j. Primeiro, observamos que
v =2<1,0>+5<0,1>=<2,0>+<0,5>= <2,5>
não é um vetor unitário, logo um vetor unitário na direção v é dado por seu
versor, ou seja, u = . Dessa forma, temos que
(x,y)= 2xy³ e (x,y)=3x²y² -4.
Logo, (2,-1) = -4 e (2,-1) = 8. E, pela apresentada,
 ∇f  (2,1) . u = <-4, 8> . = - + = . 
praticar
f x f y
exy
(x,y) = cos x  +  y f x exy
(x,y) = x f y exy
cos x  +  y exy x exy
cos 0  +  1. e0.1 0. e1.0
 f (x,y) =Du
= = ⟨ ,   ⟩v|v|
⟨2,5⟩
2 +52 2√
2
29√
5
29√
f x f y
f x f y
 f (2,−1) =Du ⟨ ,   ⟩229√
5
29√
8
29√
40
29√
32
29√
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praticar
Vamos Praticar
Quando determinamos a derivada de uma função de uma variável em um ponto
qualquer, não precisamos nos preocupar com a direção desse ponto, pois ela é
única. No cálculo diferencial de funções de várias variáveis isso muda.
Com base no que aprendemos nessa seção, assinale a alternativa correta.
a) , sendo f(x,y)=x²+xy e u = <1,1>.
b) , sendo f(x,y)=x²+xy e u = <3,4>.
c) Se f(x) = com , temos que (x,y)= .
d) Se f(x,y) = sen x + 2 cos y , temos que (x,y)= -2 sen x.
e) Temos que ∇f  (x,y) = <4 - 2x, 4 - 4y> se f(x,y) = 4 - x²- 2y².
 f (1,2) = 5Du
 f (1,2) = 4Du
,1 − x − y2 2− −−−−−−−−√ x + y ≤ 12 2 f x
−x−y
1−x −y2 2√
f y
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Sabemos que uma aplicação do cálculo diferencial de uma variável é
interpretar a derivada de uma função f(x) como uma taxa de variação, o
mesmo ocorre para as derivadas direcionais de funções de várias variáveis.
Portanto, como a derivada direcional de f(x,y) para qualquer direção u é uma
taxa de variação, uma pergunta natural é: em qual dessas direções f varia
mais rapidamente e qual a taxa máxima de variação? A resposta, por sua vez,
tem ligação direta com o gradiente de f, e está enunciada no próximo
teorema.
Teorema 2.1: se, f é uma função de duas variáveis e e existam e sejam
contínuas. O valor máximo da derivada direcional é o módulo do vetor
gradiente ∇f, e ocorre quando u tem a mesma direção que ∇f .
Podemos utilizar esse resultado para aplicações, por exemplo, suponha que a
função f(x,y)=x²+3y² represente a distribuição de temperatura, em graus
Celsius, no plano xy de um material, em que x e y estão em centímetros. No
caso do ponto (1,1), qual a direção de maior crescimento da temperatura?
Aplicações das DerivadasAplicações das Derivadas
DirecionaisDirecionais
f x f y
 fDu
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A taxa de variação da temperatura em determinada direção u é dada por .
Dessa forma, temos que ∇f (x,y) = <2x, 6y>, então ∇f (1,1) = <2,6>. Pelo
Teorema 2.1, a temperatura aumenta mais rapidamente na direção do vetor
gradiente ∇f  (1,1) = <2,6> ou, equivalentemente, ∇f  (1,1) = 2 <1,0> + 6 <0,1> =
2 i + 6 j.
Se desejarmos calcular a maior taxa de aumento pelo Teorema 2.1, basta
determinarmos o módulo do vetor gradiente. Logo,
ou seja, a taxa máxima de aumento da temperatura no material é de
aproximadamente 6,3 ºC por cm. 
praticar
Vamos Praticar
Como já mencionamos, todos os conceitos aplicados para funções de duas variáveis
podem ser estendidos para funções de três ou mais variáveis. Considere a função
f(x,y,z)=1 + x² + 2y² + 3z², que descreve a temperatura de um material em um ponto
(x,y,z) do espaço, em que f é dada em Celsius e x, y e z em centímetros. Analise as
alternativas seguir e assinale a correta.
a) A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto (-1, 1, 0) é de,
aproximadamente, 4,5 ºC por centímetro.
b) A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto (-1, 1, 0) é de,
aproximadamente, 4,8 ºC por centímetro.
c) A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto (-1,1, 0) é de,
aproximadamente, 6,2 ºC por centímetro.
d) A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto (-1, 1, 0) é de,
aproximadamente, 7 ºC por centímetro.
 fDu
|⟨2,6⟩| = = = 22 + 62 2− −−−−−√ 40−−√ 10−−√
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e) A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto (-1, 1, 0) é de,
aproximadamente, 7,7 ºC por centímetro.
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Nesta seção, consideramos que a função f é diferenciável, ou seja, suas
derivadas parciais existem e são contínuas. Devemos recordar, também, que
no cálculo diferencial para funções de uma variável existe uma regra que nos
auxilia a calcular a derivada de uma função composta, denominada Regra da
Cadeia.
Para funções de mais variáveis compostas também utilizamos a regra da
cadeia, porém ela tem muitas versões. Isso ocorre, pois a função f pode
depender de n variáveis, que chamaremos de intermediárias, e as n variáveis
intermediárias podem ser vistas como funções que dependem de n variáveis,
por sua vez, denominadas variáveis independentes.
Para compreendermos o caso geral da regra da cadeia, precisamos analisar
duas situações. Primeiro, suponha que f(x,y) seja uma função diferenciável de
x e y, em que x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t. Então f(x,y) =
f(g(t), h(t)) é uma função diferenciável de t e, a Regra da Cadeia, que veremos
generalizada posteriormente, nos garante que
Regra da Cadeia para Funções deRegra da Cadeia para Funções de
Várias VariáveisVárias Variáveis
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em que representa a derivada de f em relação a t, como usávamos no
cálculo diferencial para funções de uma variável.
Nesta primeira versão, temos que f depende indiretamente de t, uma vez que
x e y são funções de t. Por exemplo, considere f(x,y)=x²y+4xy³, em que x = sen
2t e y = cos t. Utilizando a regra acima, vamos determinar quando t = 0.
Note que
.
Mas, para t = 0, x = sen 0 = 0 e y = cos 0 = 1. Logo, 4 .2 + (0). (-0) =8.
Agora, vamos supor que f(x,y) seja uma função diferenciável de x e y, em que
x = g(s,t) e y = h(s,t) são funções diferenciáveis de s e de t. Portanto,
 e
Nessa segunda versão, s e t são variáveis independentes; x e y são variáveis
intermediárias e f (x,y) = f(g(s,t), h(s,t)) é a variável dependente. Considere f(x,y)
= sen y, onde x = st² e y = s²t, pela Regra da Cadeia,
( sen y)(t²) + ( cos y)(2st )=t² sen (s²t) + 2 st² cos (s²t) e
( sen y)(2st) + ( cos y)s² = 2st sen (s²t) + s² cos (s²t).
Por �m, temos uma versão geral, em que n variáveis intermediárias e m
variáveis independentes. Como veremos, a derivada parcial da função f terá n
termos, um para cada variável intermediária.
Regra da Cadeia: suponha que f seja uma função diferenciável de n variáveis 
e cada é uma função diferenciável de m variáveis .
Então, f é uma função diferenciável de e
,
= + ,df
dt
f x
dx
dt
f y
dy
dt
df
dt
dz
dt
= + = (2xy + 4y ) (2 cos 2t)   + (x + 12xy ) (−sen t)dxdt f x
dx
dt f y
dy
dt
3 2 2
=dzdt
=   +  f s f x xs f y ys
=   +   .f t f x xt  f y yt
ex
=f s ex ex est
2 est2
=.f t ex ex est
2 est2
,   , . . . ,  x1  x2  xn xj ,   ,  . . . ,  t1 t2 tm
,   ,  . . . ,  t1 t2 tm
= x +  x +. . .+  f ti f x1 
1ti f x2 2ti f xnxnti
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para cada i = 1, 2, …, m.
Por exemplo, se f(x,y,z) = x³y + yz³, onde x = t.s, y = ts² e z =t²s, pela Regra da
cadeia, temos que:
.
Com as regras e conceitos aprendidos nesta unidade, estamos aptos para
esboçar e derivar os mais variados tipos de funções de duas variáveis. Esses
conceitos nos auxiliarão em matérias futuras.
ti
=     +   +     = (3x y .  s)   + [(x + z )s ]   +   (3yz  2ts)f t f x xt f y yt f z zt
2 3 3 2 2
= 3t   + t + + 6 = 4t   + 73s5 3s5 t6s5  t6 s5 3s5 t6 s5
saiba mais
Saiba mais
Nesta unidade, vimos alguns conceitos do cálculo diferencial para funções de
duas variáveis e veri�camos uma relação entre esses conceitos com os conceitos
vistos com o cálculo diferencial para funções de uma variável.
Não abordamos os conceitos de limite e continuidade de funções de duas
variáveis, porém tais conceitos são extensões da teoria que já sabemos para
funções de uma variável. Para conhecer com mais precisão essa teoria, acesse o
vídeo aula.
ASS I ST IR
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praticar
Vamos Praticar
Ao compormos duas funções obtemos uma nova função denominada função
composta. As funções compostas, na maioria das vezes, são mais difíceis de serem
diferenciadas, mas, como vimos nessa seção, temos a Regra da Cadeia para nos
auxiliar neste processo. Observando os conceitos aprendidos nessa seção, assinale
a alternativa correta.
a) Sendo f (x,y) = x²y com x = e y = 2t + 1, temos que .
b) Sendo f (x,y) = x²y com x = e y = 2t + 1, temos que se t=1.
c) Se f(u,v)= u.v com u = x² e v = 3x+1, temos que .
d) Se u = em que x = rs y = rs² e z =r²s sent, .
e) Se u = em que x = rs y = rs² e z =r²s sent, , se r=2, s =1 e t=0.
e−t = 4xy t  + 2xdfdt e
t  2
e−t = 4 ,dfdt e
−2
= 8x + 2xdzdx
2
y + y zx4 2 3 ,et e−t = 4x y  + + 2yz   + 3y zus 3 x4  3 2 2
y + y zx4 2 3 ,et e−t = 100us
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indicações
Material Complementar
LIVRO
Um curso de cálculo: volume II
Hamilton Luiz Guidorizzi
Editora: LTC - GEN
ISBN: 978-85-216-1280-3
Comentário: esse livro traz a teoria do cálculo
diferencial de várias variáveis de forma completa, além
de conter vários exercícios resolvidos. Essa é uma ótima
bibliogra�a para pesquisar suas dúvidas e aprofundar o
conhecimento.
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FILME
O jogo da imitação
Ano: 2014
Comentário: esse �lme narra a história de como os
conhecimentos em Matemática, lógica e ciência da
computação do cientista Alan Turing contribuíram para
as estratégias usadas pelos Estados Unidos durante a
Segunda Guerra Mundial.
T R A I L E R
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conclusão
Conclusão
Nesta unidade, familiarizamos com as funções de várias variáveis. Essas
funções, que ainda não haviam sido estudadas por nós, são muito
importantes, pois elas descrevem diversas situações cotidianas.
Iniciamos a unidade aprendendo como essas funções se comportam
gra�camente. Em seguida, vimos os conceitos do cálculo diferencial de várias
variáveis. Como percebemos, esses conceitos são extensões do cálculo
ordinário já estudado.
Esperamos que você tenha aproveitado essa disciplina ao máximo,
resolvendo exemplos e exercícios e pesquisando suas dúvidas. Lembre-se de
que, a dedicação in�uencia a aprendizagem. Muito sucesso, até a próxima!
referências
Referências Bibliográ�cas
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo: volume 2. 5. ed. Rio de Janeiro: Grupo
GEN, 2010.
STEWART, J. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008.
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