Matematica-A06

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Instituto Universal Brasileiro Educação de Jovens e Adultos a Distância BRASILEIRO Curso a distância de: SUPLETIVO PREPARATÓRIO ENSINO MÉDIO Série MatemáticaENSINO MÉDIO SÉRIE MATEMA TICA AULA 6 DETERMINANTES Uma matriz quadrada de ordem n tem um único valor numérico a ela associado, chamado DETERMINANTE Exemplos ( 5 3 a) Se A = Det (A) = 28 (ou seja determinante dessa matriz A é igual a 28). 4 8 1 2 5 b) Se 0 3 10 Det (M) =3 4 2 1 NOTAÇÃO DE DETERMINANTES Indica-se um determinante de uma matriz quadrada, pelos mesmos elementos da matriz, colocados entre duas barras: Exemplos 4 5 3 8 53 det (A) = = 28 Daqui para frente, quando tivermos, por exemplo, 5 3 entendemos que se trata de um determinante de uma matriz que tem esses 4 8 mesmos elementos. outro exemplo: 1 2 5 0 3 10 significa determinante de uma matriz com os mesmos elementos. 4 2 1 Cálculo de Determinantes de ordem 2 Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, vamos utilizar o seguinte esquema:multiplicamos os elementos da multiplicamos os elementos da diagonal secundária: diagonal principal: . determinante será a diferença entre os produtos da diagonal principal pela secundária - . Exemplos 5 3 a) 4 8 = 40 - 12 = 28 4.3 = 12 5.8 = 40 2 4 b) = 1 2 1.4 4 2.2 = 4 1 c) 3 5 = 0 - 5 -2 0 3.0 = 0 - 2 5 - 2 1 d) = 7 3 1.7 = 7 2.3 = 6 e) 5 3 4 6 = 30 18 6.5 = 30 3.4 = 12 3 2 f) 5 2.5 = 3. (-2) = 6 2 5 g) = 6-5 = 1 5 18 5. V 5 25 = 5 2. 18 36 = 6Cálculo de Determinantes de ordem 3 A regra mais comum aplicada no cálculo de determinantes de ordem 3 é a chamada REGRA DE SARRUS. Veja no exemplo seguinte os passos da aplicação da regra de Sarrus, no cálculo do determinante da matriz dada: Exemplo 1 2 5 1 2 5 det(M) = 0 3 10 421 4 1° passo Copiar as duas primeiras colunas ao lado do determinante. coluna coluna 1 2 5 1 2 0 3 10 0 3 4 2 1 4 2 2° passo Multiplicar as diagonais indicadas. (A principal e suas paralelas). 1 2 5 1 2 0 3 10 0 3 4 2 1 4 2 5.0.2=0 2.10.4=80 1.3.1=3 3° passo Somar os valores destas diagonais. 4° passo Multiplicar as outras diagonais indicadas. (A secundária e suas paralelas). 1 2 5 1 2 0 3 10 0 3 4 2 1 4 2 4.3.5=60 2.10.1=205° passo Somar os valores destas outras diagonais. 60 + 20 + 0 = 80 6° passo o determinante será a diferença do valor calculado das primeiras diagonais pelo valor calculado das segundas diagonais, ou seja: 1 2 5 det(M) = 0 3 10 = 83 3 4 2 1 Outros exemplos: 1 1 7 a) 2 -2 5 = 0 4 3 1 1 7 1 1 2 2 5 2 -2 = 50 - 26 = 24 0 4 3 0 4 0 20 6 6 0 56 26 50 15 3 2 b) 2 4 0 = 1 2 0 15 3 2 15 3 2 4 0 2 4 =8-8=0 1 2 0 1 2 8 0 0 0 0 8 8 8 2 5 10 c) 1 0 3 = 4 1 2 - 2 5 10 2 5 1 0 3 1 0 = 50 - 16 = 34 4 1 2 4 1 0 6 10 0 60 - 10 16 50EXERCÍCIOS PARA VOCÊ ESTUDAR 1. Calcule o determinante de cada matriz: b) 1 4 - 2 5 = a) A = 2 5 8 5 b) 1 0 3 c) 1 0 = 1 1 5 4 1 0 1 1 -2 8 0 1 Resoluções: 1 d) -2 a) det(A) 5 2 1 = - 7 - 10 = - 17 2 1 = 3 2 2 3 = 9-4 = 5 = 6 3 det(A) = - 17 3 3 2 10 -7 2 3 1 = 2 - 3 b) 1 0 3 det(M) = 5 4 1 e) V 2 -2 8 = 2 1 (-5)=2+5= 7 5 2 - 1.5 = -5 2 V 2 = 2 1 0 3 1 0 det(M) = 5 4 1 5 4 det(M) =2-10 3. Calcule os determinantes pela regra de Sarrus: 1 2 8 1 -2 det(M) =-8 12 2 0 32 0 30 2 - 1 3 -2 1 3 1 2 3 - a) 3 0 3 b) 5 3 0 c) 4 5 6 10 2 1 4 5 2 1 7 8 9 2. Calcule os determinantes: Resoluções: 1 7 4 1 0 b) c) a) 2 - a) 1 3 2 23 2 -5 0 1 3 0 3 3 0 = 33 9 = 24 1 4 5 1 4 1 0 24 - 15 0 3 36 -2 V 2 - 2 d) e) 5 2 9 33 1 3 3 b) - 2 1 3 -2 1 Resoluções: 5 3 0 5 3 = 9 - 23 = - 14 2 1 1 2 1 1 7 a) 2 3 = 18 0 5 6 0 15 23 9 14 3c) 1 2 3 1 2 valor de X que satisfaz a igualdade é: 4 5 6 4 5 = 225 225 = 0 7 8 9 7 8 a) ( ) -2 - b) ( ) 4 105 48 72 45 84 96 c) (X) 10 d) - 1 225 225 Resolução: 4. Assinale a alternativa correta: 7 X 5 3 5 2 - 1 3 4 = 55 valor do determinante 1 -2 - 1 é: 6 4 3 3 7 X 5 7 X a) 15 - 1 3 4 1 3 = 55 b) (X) 0 6 1 2 6 1 c) ( ) - 18 d) ( ) 13 90 28 2x -42 24x -5 Resolução: 3 5 2 3 5 24x-47 1 2 1 1 2 =8-8= 0 4 3 3 4 3 - 16 9 15 - 18 20 6 24x-47-2x-118=55 8 8 55 5. Assinale a alternativa correta: 22x = 220 7 X 5 Dado -134 =55 220 22 EXERCÍCIOS PARA VOCÊ RESOLVER 1. Determine o valor dos determinantes: a) ( ) -11 a) 7 -3 4 b) ( ) 34 c) ( )-8 2 4 b) 3 6 d) ( ) 10 3 5 1 -2 3 3. Calcule o determinante da matriz A= 5 8 18 2. Dado X 3 , valor de = 43 o 44. Calcule o valor do determinante 5. Resolver a equação: 3 6 5 0 4 -1 2 4 - 2 1 19 -1 -2 1 5 X 5x CHAVE DE RESPOSTAS 1. Determine o valor dos determinantes: 1 - 2 3 1 -2 Det(A) = 5 18 5 8 Det a) -3 7 4 1 0 2 0 2 Det 0 36 10 - 8 0 30 1.(-3) = 3 7.4 = 28 46 22 4. Calcule o valor do determinante b) 2 3 4 = 4 5 12 = 4 12 1 = 3 6 5 3 6 2 4 1 2 4 = 0 6 5 = 4-60 = -56 - 1 2 1 1 2 3 5 20 6 12 12 6 - 20 -2 2 3 2 6 5 = 15 12 = 4 4.3 = 12 5 5. Resolver a equação: 2. Dado X 3 = 43 o valor de 0 4 -1 - 1 4 2 1 19 5 X 5x d) (X) 10 0 4 - 1 0 4 Resolução: 2 1 X + 4 2 1=19 5 X 5x 5 X X 3 = 43 4x-(-3)=43 - 5 0 40x 0 20(x+4) -2x 1 4 4x+3=43 -5+40x 3 4x - 3 20 20x + 80 2x + 5 - 40x = 19 20x - 2x + 5 = 19 40 4 = 19 - 22x = 19 85 - 22x = - 66 (-1) 22x = 66 1 -2 3 66 3. Calcule determinante da matriz A = 5 8 18 0 2 1 Resolução: Então