Lista__Representacao_Canonica_II

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Universidade Federal do Piauí
Centro de Ciências da Natureza
Departamento de Matemática
Acadêmico(a): Marcelo Ayrton Silva Marques NOTA
Curso: Bacharelado em Matemática Período: 2023.1
Disciplina: Algebra Linear II Professor: Carlos Humberto Rúbrica do Professor
Resolução da Lista de Exercícios
Exercícios propostos 11.1.1
(1) Seja A um operador num espaço vetorial real V de dimensão finita.
(a) A complexificação de Ac : Vc −→ Vc é diagonalizável ⇐⇒ o polinômio minimal de A é um
produto de polinômios primos dois a dois distintos.
Resolução:
( =⇒ )
Suponha que o complemento de A seja diagonalizável. Isso implica que existe uma base de
autovetores para o complemento de A, denotada por B, onde cada autovetor corresponde a
um autovalor distinto.
Seja m(x) o polinômio minimal de A, que é o polinômio mônico de menor grau que anula
A. Como o complemento de A é diagonalizável, cada autovalor tem multiplicidade 1 (pois é
um produto de polinômios primos dois a dois distintos). Portanto, o polinômio minimal de
A pode ser escrito como um produto de polinômios primos dois a dois distintos.
Assim, a prova da ida está completa.
( ⇐= )
Suponha que o polinômio minimal de A seja um produto de polinômios primos dois a dois
distintos. Isso implica que a decomposição primária de A consiste em uma soma direta de
subespaços invariantes. Além disso, cada subespaço invariante possui um único autovalor
associado, garantindo que cada autovalor tenha multiplicidade 1.
Portanto, cada autovalor de A possui multiplicidade 1, o que implica que o complemento de
A é diagonalizável.
Assim, a prova da volta está completa.
Concluímos, portanto, que o complemento de uma transformação A é diagonalizável se
e somente se o polinômio minimal de A é um produto de polinômios primos dois a dois
distintos.
(b) Se W é um espaço de Vc então χ(W ) é também um espaço.
Resolução:
Seja W um subespaço de VC (a complexificação de V ). Precisamos provar que x(W ) também
é um subespaço vetorial.
Para isso, vamos verificar as duas condições necessárias:
1. χ(W ) é um conjunto não vazio: Como W é um subespaço de VC , sabemos que ele
contém pelo menos o vetor nulo (0). Portanto, χ(0) está em χ(W ), o que implica que χ(W )
é não vazio.
2. χ(W ) é fechado em relação às operações de adição e multiplicação por escalar: Seja
u e v vetores em χ(W ), e s um escalar. Precisamos mostrar que su e u + v também estão
em χ(W ).
- Para su, como u está em χ(W ), existe um vetor w em W tal que χ(w) = u. Portanto,
χ(sw) = sχ(w) = su, o que implica que su está em χ(W ).
- Para u+v, como u e v estão em χ(W ), existem vetores w1 e w2 em W tais que χ(w1) = u e
χ(w2) = v. Como W é um subespaço vetorial, w1 +w2 está em W . Portanto, χ(w1 +w2) =
1
χ(w1) + χ(w2) = u+ v, o que implica que u+ v está em χ(W ).
Assim, mostramos que χ(W ) satisfaz as condições de um subespaço vetorial. Portanto,
concluímos que se W é um subespaço de VC , então χ(W ) também é um subespaço vetorial.
(c) Se Vc = W1
⊕
W2 então Vc = χ(W1)
⊕
χ(W2)
Resolução:
Seja Vc = W1 ⊕W2. Para provar que V = χ(W1)⊕ χ(W2), onde χ é uma função aplicada a
cada vetor, vamos mostrar que as componentes de V e χ(W1)⊕ χ(W2) são iguais.
Vamos considerar uma componente arbitrária i de V . Pela definição de χ, a i-ésima com-
ponente de χ(W1) é dada por χ(W1)i = Ci(Ac)(W1), onde Ci(Ac) é uma função aplicada à
componente i do vetor W1.
Agora, analisemos a i-ésima componente de χ(W1) ⊕ χ(W2). Pela definição de ⊕ (soma
direta), essa componente é dada por (χ(W1)⊕ χ(W2))i = χ(W1)i + χ(W2)i.
Substituindo as expressões anteriores, temos:
(χ(W1)⊕ χ(W2))i = χ(W1)i + χ(W2)i = Ci(Ac)(W1) + Ci(Ac)(W2)
Por outro lado, vamos considerar a i-ésima componente de C(Acχ)(W ), onde C(Acχ) é uma
função aplicada ao vetor Vc.
A i-ésima componente de C(Acχ)(W ) é dada por C(Acχ)(W )i = Ci(Ac)(Vc).
Substituindo a expressão dada inicialmente, temos:
C(Acχ)(W )i = Ci(Ac)(Vc) = Ci(Ac)(W1 ⊕W2)
Agora, usando a propriedade da função Ci(Ac), que é uma função linear, podemos distribuir
a função Ci(Ac) sobre a soma direta:
C(Acχ)(W )i = Ci(Ac)(W1 ⊕W2) = Ci(Ac)(W1) + Ci(Ac)(W2)
Comparando essa expressão com a componente correspondente de (χ(W1)⊕χ(W2)), podemos
ver que elas são iguais:
C(Acχ)(W )i = Ci(Ac)(W1) + Ci(Ac)(W2) = (χ(W1)⊕ χ(W2))i
Portanto, podemos concluir que V = χ(W1)⊕ χ(W2) é verdadeiro, o que implica que
C(Acχ)(W ) = χ(C(Ac)(W ))
.
(d) CAc(χ(w)) = χ(CAc(w))
Resolução:
Seja w um elemento arbitrário. Vamos analisar dois casos:
Caso 1: w ∈ A
Neste caso, temos:
χ(w) = 1 (por definição da função característica)
CAc
(w) = 1− χ(w) = 1− 1 = 0 (complemento relativo)
Portanto, temos:
CAc
(χ(w)) = CAc
(1) = 1− 1 = 0
χ(CAc(w)) = χ(0) = 0
Assim, concluímos que CAc(χ(w)) = χ(CAc(w)) quando w ∈ A.
Caso 2: w /∈ A
Neste caso, temos:
χ(w) = 0 (por definição da função característica)
CAc
(w) = 1− χ(w) = 1− 0 = 1 (complemento relativo)
Portanto, temos:
CAc(χ(w)) = CAc(0) = 1
χ(CAc
(w)) = χ(1) = 1
2
Assim, concluímos que CAc(χ(w)) = χ(CAc(w)) quando w /∈ A.
Concluímos que a igualdade CAc(χ(w)) = χ(CAc(w)) é válida para todos os elementos w,
seja w ∈ A ou w /∈ A.
Portanto, a igualdade CAc
(χ(w)) = χ(CAc
(w)) é verdadeira para qualquer w pertencente ou
não ao conjunto A.
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