Modelagem Matemática - Integração Numérica em Python

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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
Assinale a única alternativa que apresenta o valor da
integral de sen(x) no intervalo de 0 a 1. Utilize o método de
Romberg, com aproximação até n = 2:
0,45970
0,55970
0,65970
0,41970
0,49970
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para resolver o problema de integração numérica em
um intervalo definido, é necessário que o enunciado
forneça alguns elementos importantes, como a
Questão 1 de 10
Corretas (10)
Em branco (0)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Integração Numérica… Sair
A
B
C
função a ser integrada, a técnica de integração a ser
utilizada, o valor inicial do intervalo de integração, o
valor final do intervalo de integração e a quantidade
de partições (n).
Neste caso, temos:
- A função a ser integrada é f(x) = sen(x);
- A técnica de integração a ser utilizada é a
Extrapolação de Romberg;
- O valor inicial do intervalo de integração é 0;
- O valor final do intervalo de integração é 1; e
- A quantidade de partições é dada por 2 , sendo n =
2.
Portanto, aplicando os conceitos do método de
Romberg, podemos usar o seguinte código em
Python para calcular a integral:
import scipy as sp
from scipy import integrate
func = lambda x:sp.sin(x)
result = integrate.romberg(func, 0, 1, show=True)
Ao executar este código, obtemos o valor da integral
de sen(x) no intervalo de 0 a 1, que é
aproximadamente 0,45970. Portanto, a alternativa
correta é a A.
n
2 Marcar para revisão
Assinale a única alternativa que apresenta o valor da
integral de -x² no intervalo de 0 a 1. Divida o intervalo de
integração em 10 partes. Utilize o método dos Retângulos:
-0,333
-0,433
-0,233
D
E
-0,533
-0,133
Resposta correta
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correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para resolver o problema de integração numérica em
um intervalo definido, é necessário que o enunciado
forneça alguns elementos importantes, como a
função a ser integrada, o valor inicial do intervalo de
integração, o valor final do intervalo de integração e a
quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada
intervalo).
Neste caso, temos:
- A função a ser integrada é f(x) = -x²;
- O valor inicial do intervalo de integração é 0;
- O valor final do intervalo de integração é 1;
- O intervalo de integração é dividido em 10 partes,
de modo que o tamanho de cada intervalo é 0,1.
Aplicando os conceitos do método dos Retângulos,
podemos calcular a integral da função. O método dos
Retângulos é uma técnica de integração numérica
que aproxima a integral de uma função dividindo a
área sob a curva da função em retângulos e somando
suas áreas.
Podemos implementar esse método em Python da
seguinte maneira:
import numpy as np
import math
f = lambda x: -x**2
a = 0; b = 1; N = 10
x = np.linspace(a,b,N+1)
y = f(x)
dx = (b-a)/N
x_medio = np.linspace(dx/2,b - dx/2,N)
soma_retangulo = np.sum(f(x_medio) * dx)
print("Integral:",soma_retangulo)
A
B
C
D
E
O resultado obtido é -0,333, que corresponde à
alternativa A, a resposta correta da questão.
3 Marcar para revisão
Assinale a única alternativa que apresenta o valor da
integral de cos(-x) no intervalo de 0 a 1. Divida o intervalo
de integração em 10 partes. Utilize o método dos
Retângulos:
0,842
0,742
0,642
0,542
0,942
Resposta correta
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correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para resolver este problema de integração numérica
em um intervalo definido, precisamos considerar
alguns elementos importantes fornecidos pelo
enunciado, como a função a ser integrada, o valor
inicial e final do intervalo de integração e a
quantidade de intervalos ou o tamanho de cada
intervalo.
Neste caso, a função a ser integrada é f(x) = cos(-x),
o valor inicial do intervalo de integração é 0, o valor
final é 1 e o intervalo de integração é dividido em 10
partes, o que significa que o tamanho de cada
intervalo é 0,1.
A
B
C
D
E
Aplicando os conceitos do método dos Retângulos,
podemos calcular a integral utilizando o seguinte
código em Python:
import numpy as np
import math
f = lambda x: np.cos(-x)
a = 0; b = 1; N = 10
x = np.linspace(a,b,N+1)
y = f(x)
dx = (b-a)/N
x_medio = np.linspace(dx/2,b - dx/2,N)
soma_retangulo = np.sum(f(x_medio) * dx)
print("Integral:",soma_retangulo)
O resultado obtido, 0,842, corresponde à alternativa
A, que é a resposta correta para esta questão.
4 Marcar para revisão
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da
integral de x  - cos(x) no intervalo de 1 a 2. Utilize o
método de Romberg, com aproximação até n = 2:
2
2,26551
2,28551
2,24551
2,22551
2,20551
Resposta correta
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correta. Confira o gabarito comentado!
A
B
C
D
E
Gabarito Comentado
O método de Romberg é um método de integração
numérica que utiliza a extrapolação de Richardson
para obter uma aproximação mais precisa da integral.
O método de Romberg é um método de segunda
ordem, o que significa que a precisão da aproximação
aumenta de forma quadrática com o número de
iterações. No exemplo fornecido, a integral de x  -
cos(x) no intervalo de 1 a 2 é calculada utilizando o
método de Romberg, com aproximação até n = 2. O
resultado da integral é 2,26551. O método de
Romberg é um método eficiente para calcular
integrais numéricas, especialmente quando a função
a ser integrada é complexa ou quando o intervalo de
integração é grande.
2
5 Marcar para revisão
Assinale a única alternativa que apresenta o valor da
integral de e-x no intervalo de 0 a 1. Divida o intervalo de
integração em 10 partes. Utilize o método de Simpson:
0,632
0,532
0,432
0,332
0,732
Resposta correta
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correta. Confira o gabarito comentado!
A
B
Gabarito Comentado
Para resolver o problema de integração numérica em
um intervalo definido, é necessário que o enunciado
forneça alguns elementos importantes, como a
função a ser integrada, o valor inicial do intervalo de
integração, o valor final do intervalo de integração e a
quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada
intervalo).
Neste caso, temos que a função a ser integrada é f(x)
= e-x, o valor inicial do intervalo de integração é 0, o
valor final do intervalo de integração é 1 e o intervalo
de integração é dividido em 10 partes, de modo que o
tamanho de cada intervalo é 0,1.
Aplicando os conceitos para o método de Simpson,
podemos utilizar o seguinte código em Python:
import numpy as np
import math
f = lambda x: np.exp(-x)
a = 0; b = 1; N = 10
x = np.linspace(a,b,N+1)
y = f(x)
dx = (b-a)/N
soma_Simpson = dx/3 * np.sum(y[0:-1:2] + 4*y[1::2] +
y[2::2])
print("Integral:",soma_Simpson)
O resultado obtido, 0,632, corresponde à alternativa
A, que é a resposta correta para esta questão.
6 Marcar para revisão
Assinale a única alternativa que apresenta o valor da
integral de sen (x) no intervalo de 0 a 1. Utilize o método
de Romberg, com aproximação até n = 2:
2
0,27268
0,29268
C
D
E
0,25268
0,23268
0,21268
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para resolver o problema de integração numérica em
um intervalo definido, é necessário que o enunciado
forneça alguns elementos importantes, como a
função a ser integrada, a técnica de integração a ser
utilizada, o valor inicial do intervalo de integração, o
valor final do intervalo de integração e a quantidade
de partições (n).
Neste caso, temos que a função a ser integrada é f(x)
= sen (x), a técnica de integração a ser utilizada é a
Extrapolação de Romberg, o valor inicial do intervalo
de integração é 0, o valor final do intervalo de
integraçãoé 1 e a quantidade de partições é dada por
2 , sendo n = 2.
Aplicando esses conceitos para o método de
Romberg, podemos usar o seguinte código em
Python:
import scipy as sp
from scipy import integrate
func = lambda x: sp.sin(x)**2
result = integrate.romberg(func, 0, 1, show=True)
Com isso, obtemos o resultado de 0,27268, que
corresponde à alternativa A, sendo esta a resposta
correta.
2
n
7 Marcar para revisão
A
B
C
D
E
Assinale a única alternativa que apresenta o valor da
integral de x - cos(x) no intervalo de 1 a 2. Utilize o
método de Romberg, com aproximação até n = 2:
1,43217
1,45217
1,47217
1,41217
1,49217
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para resolver o problema de integração numérica em
um intervalo definido, é necessário que o enunciado
forneça alguns elementos importantes, como a
função a ser integrada, a técnica de integração a ser
utilizada, o valor inicial do intervalo de integração, o
valor final do intervalo de integração e a quantidade
de partições (n).
Neste caso, temos que a função a ser integrada é f(x)
= x - cos(x), a técnica de integração a ser utilizada é
a Extrapolação de Romberg, o valor inicial do
intervalo de integração é 1, o valor final do intervalo
de integração é 2 e a quantidade de partições é dada
por 2 , sendo n = 2.
Aplicando os conceitos para o método de Romberg,
podemos utilizar o seguinte código em Python:
import scipy as sp
from scipy import integrate
func = lambda x: x - sp.cos(x)
result = integrate.romberg(func, 1, 2, show=True)
n
A
B
C
D
E
Após a execução do código, obtemos o resultado
1,43217, que corresponde à alternativa A, sendo esta
a resposta correta.
8 Marcar para revisão
Assinale a única alternativa que apresenta o valor da
integral de cos(-x) no intervalo de 0 a 1. Divida o intervalo
de integração em 10 partes. Utilize o método dos
Trapézios:
0,841
0,741
0,641
0,541
0,941
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para resolver o problema de integração numérica em
um intervalo definido, é necessário que o enunciado
forneça alguns elementos importantes, como a
função a ser integrada, o valor inicial do intervalo de
integração, o valor final do intervalo de integração e a
quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada
intervalo).
Neste caso, temos que a função a ser integrada é f(x)
= cos(-x), o valor inicial do intervalo de integração é
0, o valor final do intervalo de integração é 1 e o
A
B
C
D
E
intervalo de integração é dividido em 10 partes, de
modo que o tamanho de cada intervalo é 0,1.
Aplicando os conceitos para o método dos Trapézios,
podemos utilizar o seguinte código em Python:
import numpy as np
import math
f = lambda x: np.cos(-x)
a = 0; b = 1; N = 10
x = np.linspace(a,b,N+1)
y = f(x)
y_maior = y[1:]
y_menor = y[:-1]
dx = (b-a)/N
soma_trapezio = (dx/2) * np.sum(y_maior + y_menor)
print("Integral:",soma_trapezio)
O resultado obtido, 0,841, corresponde à alternativa
A, que é a resposta correta para esta questão.
9 Marcar para revisão
Assinale a única alternativa que apresenta o valor da
integral de x - cos(x) no intervalo de 0 a 1. Utilize o
método de Romberg, com aproximação até n = 2:
-0,34147
-0,36147
-0,38147
-0,32147
-0,30147
Resposta correta
A
B
C
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para resolver o problema de integração numérica em
um intervalo definido, é necessário que o enunciado
forneça alguns elementos importantes, como a
função a ser integrada, a técnica de integração a ser
utilizada, o valor inicial do intervalo de integração, o
valor final do intervalo de integração e a quantidade
de partições (n).
Neste caso, temos que a função a ser integrada é f(x)
= x - cos(x), a técnica de integração a ser utilizada é
a Extrapolação de Romberg, o valor inicial do
intervalo de integração é 0, o valor final do intervalo
de integração é 1 e a quantidade de partições é dada
por 2 , sendo n = 2.
Aplicando esses conceitos ao método de Romberg,
podemos usar o seguinte código em Python:
import scipy as sp
from scipy import integrate
func = lambda x: x - sp.cos(x)
result = integrate.romberg(func, 0, 1, show=True)
Executando este código, obtemos o resultado
-0,34147, que corresponde à alternativa A, sendo esta
a resposta correta.
n
10 Marcar para revisão
Assinale a única alternativa que apresenta o valor da
integral de x - sen(x) no intervalo de 1 a 2. Utilize o
método de Romberg, com aproximação até n = 2:
0,54355
0,56355
0,58355
D
E
0,52355
0,50355
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para resolver o problema de integração numérica em
um intervalo definido, é necessário que o enunciado
forneça alguns elementos importantes, tais como:
- A função a ser integrada;
- A técnica de integração a ser utilizada;
- O valor inicial do intervalo de integração;
- O valor final do intervalo de integração; e
- A quantidade de partições (n)
Neste caso, temos que:
- A função a ser integrada é f(x) = x - sen(x);
- A técnica de integração a ser utilizada é a
Extrapolação de Romberg;
- O valor inicial do intervalo de integração é 1;
- O valor final do intervalo de integração é 2; e
- A quantidade de partições é dada por 2 , sendo n =
2.
Portanto, aplicando os conceitos para o método de
Romberg, podemos utilizar o seguinte código em
Python:
import scipy as sp
from scipy import integrate
func = lambda x: x - sp.sin(x)
result = integrate.romberg(func, 1, 2, show=True)
Após a execução do código, obtemos o resultado
0,54355, que corresponde à alternativa A, sendo esta
a resposta correta.
n