Fórmulas e Relações Trigonométricas

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Fórmulas e Relações Trigonométricas 
 
Professor: Paulo Cezar Camargo Guedes (PC) 
 
Identidades 
1. sen2 x + cos2 x = 1 
2. tg x = sen x / cos x 
3. cotg x = cos x / sen x 
4. sec x = 1 / cos x 
5. cossec x = 1 / sen x 
6. sec2 x = 1 + tg2 x 
7. cossec2 x = 1 + cotg2 x 
 
 
Redução ao 1º Quadrante 
Arcos do tipo (   x): 
 
1º Caso:  = , 2, 3, 4, ... 
L1 (   x) =  L1 (x) 
 
2º Caso:  = /2, 3/2, 5/2, 7/2, ... 
L1 (   x) =  L2 (x) 
 
sen  cos 
tg  cotg 
sec cossec 
 
Obs.: O sinal depende do quadrante em que 
está o arco (   x) e da função L1 inicial. 
 
 
Operações com arcos 
8. sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
9. sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a 
10. cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b 
11. cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b 
12. 
tgbtga
tgbtga
batg
.1
)(


 
13. 
tgbtga
tgbtga
batg
.1
)(


 
14. sen 2a = 2sen a cos a 
15. cos 2a = cos2 a – sen2 a 
16. 
atg
tga
atg
21
2
2

 
17. 
2
cos1
2
sen
aa 
 
18. 
2
cos1
2
cos
aa 
 
19. 
a
aatg
cos1
cos1
2 

 
 
 
Transformação em Produto 
20. sen a + sen b = 2.sen





 
2
ba .cos





 
2
ba 
21. sen a – sen b = 2.sen





 
2
ba .cos





 
2
ba 
22. cos a + cos b = 2.cos





 
2
ba .cos





 
2
ba 
23. cos a – cos b = – 2.sen





 
2
ba .sen





 
2
ba 
24. tg a + tg b = 
 
ba
ba
cos.cos
sen  
25. tg a – tg b = 
 
ba
ba
cos.cos
sen  
 
 
 
 
 
 
 - /2 
 1/2 
 –1/2 
1/2 –1/2 
 /2 
 – /2 
/2 
 /2 
 – /2 
/2 – /2 
Sen x 
Cos x 
30º =  / 6 
 45º =  / 4 
60º =  / 3 120º = 2 / 3 
135º = 
3 / 4 
150º = 
5 / 6 
210º = 
7 / 6 
240º = 
4 / 3 
225º = 5 / 4 
 300º = 5 / 3 
 315º = 7 / 4 
 330º = 11 / 6 
 90º =  / 2 
180º =  
270º = 3 / 2 
0º = 0 rad 
 360º = 2 
– + 
+ – 
Tangente 
+ + 
– – 
Seno 
-1  sen x  1 
– + 
– + 
Cosseno 
-1  cos x  1 
Ângulo 30° 45° 60° 
Sen 
2
1 
2
2 
2
3 
Cos 
2
3 
2
2 
2
1 
Tg 
3
3 
1 3 
 
Gráficos da Função Seno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos da Função Cosseno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dadas as funções f(x) = a + b.Sen (cx + d) ou g(x) 
= a + b.Cos (cx + d), temos que: 
1) Período T = 2 / c 
2) Imagem Im = [– b + a , b + a] 
 
Obs.: 
1) O coeficiente b aumenta (ou diminui) a 
imagem da função, sem transladá-la. 
2) O coeficiente a translada a função para cima 
(ou para baixo) sem alterar a sua imagem. 
3) O coeficiente c divide (ou multiplica) o período 
da função sem transladá-la. 
4) O coeficiente d translada a função para a 
direita (ou para a esquerda) sem alterar o seu 
período. 
 
 
 
Propriedades 
Função 
Seno 
Função 
Cosseno 
Paridade Ímpar Par 
Período 2 2 
Imagem [-1, 1] [-1, 1] 
Domínio R R 
Crescente 1° e 4° Q 3° e 4° Q 
Decrescente 2° e 3° Q 1° e 2° Q 
 
 
Expressão Geral dos Arcos 
 
1°) Para 1 arco qualquer 
 EG = 1ª DP + 2k 
 
2°) para dois arcos simétricos 
EG = 1ª DP + k 
 
3°) Para três arcos simétricos 
EG = 1ª DP + 2k/3 
 
Onde: 1ª DP é a primeira determinação positiva 
do arco 
 
x 
Sen x 
 / 2 –  / 2  3 / 2 2 
– 1 
1 
Cos x 
x 
 / 2 –  / 2  3 / 2 2 
– 1 
1 
x  / 2 –  / 2  3 / 2 2 
– 2 
2 
2Sen x 
Sen 2x 
 / 2 –  / 2  3 / 2 2 
– 1 
1 
x 
Cos 2x 
 / 2 –  / 2  3 / 2 2 
– 1 
1 
x 
 / 2 –  / 2  3 / 2 2 
– 2 
2 
2Cos x 
x