eletromagnetismo campos_variantes

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Eletromagnetismo – EEE174
Prof. Msc. Amauri Fagundes Balotin
Curso de Engenharia Elétrica
Faculdade de Engenharia e Arquitetura – FEAR
Universidade Passo Fundo – UPF 2014/01
Eletromagnetismo
Aula 10 – Campos variantes no tempo
Prof. Msc. Amauri F. Balotin - Eletromagnetismo 2014/01
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Eletromagnetismo
Campos Variantes no tempo
As relações básicas dos campos elétricos e
magnéticos estacionários já foram obtidas. De agora
em diante, examinaremos situações em que os
campos elétricos e magnéticos são dinâmicos ou
variáveis no tempo
Dois novos conceitos serão introduzidos: o campo
magnético produzido por um campo magnético
variável e o campo magnético produzido pelo campo
elétrico variável.
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9.1 – Introdução
Deve-se mencionar que, no caso de campos EM
estáticos, os campo E e H são independentes um do
outro, enquanto que, no caso de campos EM
dinâmicos, os dois campos são interdependentes.
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Devemos lembrar, que:
Cargas estacionárias Campos eletrostáticos
Correntes contínuas Campos Magnetostáticos
Correntes Variáveis no Tempo Campos eletromagnéticos (ou
ondas)
9.2 – Lei de Faraday
De acordo com os experimentos de Faraday, um
campo magnético estático não produz fluxo de
corrente, mas um campo magnético variável no
tempo produz uma tensão induzida (Fem) em um
circuito fechado, o que causa um fluxo de corrente.
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Faraday descobriu que a fem induzida ( em volts),
em qualquer circuito fechado, é igual à taxa de
variação no tempo do fluxo magnético enlaçado
pelo circuito.
9.2 – Lei de Faraday
A Lei é expressa por:
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Onde:
N é o número de espiras n circuito
 𝜙 é o fluxo magnético
𝑓𝑒𝑚 = −
𝑑𝜙
𝑑𝑡
= −𝑁
𝑑𝜙
𝑑𝑡
9.2 – Lei de Faraday
A Lei é expressa por:
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O sinal negativo mostra que a tensão induzida
age de tal forma a se opor à variação de fluxo
que a induziu. Essa propriedade é conhecida
como Lei de Lenz, destaca o fato de que o
sentido de fluxo de corrente no circuito é tal que
o campo magnético produzido pela corrente
induzida se opõe ao campo magnético original.
𝑓𝑒𝑚 = −
𝑑𝜙
𝑑𝑡
= −𝑁
𝑑𝜙
𝑑𝑡
9.2 – Lei de Faraday
A variação de fluxo com o tempo, que aparece
nas equações anteriores, pode ser causada de três
maneiras:
 Quando se tem uma espira estacionária em um
campo Mag. B variável no tempo.
Quando se tem uma área de uma espira variável
no tempo em um campo Mag. B estacionário.
Quando temos os dois casos juntos.
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9.2 – Lei de Faraday
Este é o caso da figura abaixo,
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A equação torna-se
𝑉𝑓𝑒𝑚 = 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 = − 
𝑆
𝜕𝐵
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝑆
9.2.1 – fem transformador
Aplicando Stokes,
 
𝑆
∇ × 𝐸 ∙ 𝑑𝑆 = − 
𝑆
𝜕𝐵
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝑆
9.2 – Lei de Faraday
Podemos tomar as duas integrais sobre superfícies
idênticas, e obtemos:
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10 9.2.1 – fem transformador
Essa é uma das equações de
Maxwell para campos variáveis
no tempo.
𝛻 × 𝐸 = −
𝜕𝐵
𝜕𝑡
Podemos observar que a fig. Obedece a Lei de Lenz,
pois a corrente induzida I flui de forma a produzir um
campo magnético que se opõe a B(t).
9.2 – Lei de Faraday
Quando uma espira condutora se move em um
campo B estático, uma fem é induzida na espira.
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Considerando que a força
sobre uma carga em
movimento com velocidade u
em um campo mag. B é:
9.2.2 – fem Movimento
𝐹𝑚 = 𝑄𝑢 × 𝐵
9.2 – Lei de Faraday
O campo elétrico em movimento é definido como:
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Se considerarmos uma espira
condutora, movendo-se com
velocidade uniforme u, como
constituída de um grande número de
elétrons livres, a fem induzida será:
9.2.2 – fem Movimento
𝐸𝑚 =
𝐹𝑚
𝑄
= 𝑢 × 𝐵
𝑉𝑓𝑒𝑚 = 
𝐿
𝐸 ∙ 𝑑𝑙 = 
𝐿
𝑢 × 𝐵 ∙ 𝑑𝑙
9.2 – Lei de Faraday
Este tipo de fem é denominada de fem de
movimento ou de fluxo cortante porque se dá
devido à ação do movimento.
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13 9.2.2 – fem Movimento
𝑉𝑓𝑒𝑚 = 
𝐿
𝐸 ∙ 𝑑𝑙 = 
𝐿
𝑢 × 𝐵 ∙ 𝑑𝑙
9.2 – Lei de Faraday
Neste caso temos tanto o caminho fechado quanto
o campo magnético variáveis no tempo.
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Combinando as equações dos itens anteriores
obtemos:
9.2.3 – fem transformador + fem Movimento
𝑉𝑓𝑒𝑚 = 
𝐿
𝐸 ∙ 𝑑𝑙 = − 
𝑆
𝜕𝐵
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝑆 + 
𝐿
𝑢 × 𝐵 ∙ 𝑑𝑙
9.3 – Corrente de deslocamento
Agora, reconsideraremos a Lei circuital de Ampère
para situação de variação temporal.
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∇ × 𝐻 = 𝐽 +
𝜕𝐷
𝜕𝑡
 𝐻 ∙ 𝑑𝑙 = 𝐼 + 𝐼𝑑
9.3 – Corrente de deslocamento
Esta é a equação de Maxwell para campos
variáveis no tempo.
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∇ × 𝐻 = 𝐽 +
𝜕𝐷
𝜕𝑡
O termo Jd é conhecido como densidade de
corrente de deslocamento e J é a densidade de
corrente de condução.
9.3 – Corrente de deslocamento
Esta é a equação de Maxwell para campos
variáveis no tempo.
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A corrente de deslocamento está associada com
os campos elétricos variáveis no tempo, e, portanto,
existe em todos os condutores imperfeitos por onde
circulam correntes de condução que variam com
tempo.
 𝐻 ∙ 𝑑𝑙 = 𝐼 + 𝐼𝑑
9.4 – Equações de Maxwell
Logo, as equações de Maxwell para campos
variáveis são:
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∇ × 𝐻 = 𝐽 +
𝜕𝐷
𝜕𝑡
𝛻 × 𝐸 = −
𝜕𝐵
𝜕𝑡
𝛻 ∙ 𝐷 = 𝜌𝑣
𝛻 ∙ 𝐵 = 0
 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 = − 
𝑆
𝜕𝐵
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝑆
 𝐻 ∙ 𝑑𝑙 = 𝐼 + 
𝑆
𝜕𝐷
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
𝐵 ∙ 𝑑𝑆 = 0
 
𝑆
𝐷 ∙ 𝑑𝑆 = 
𝑣
𝜌𝑣𝑑𝑣
7.5 – Equações de Maxwell para campos Estáticos
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Forma Diferencial
(ou pontual)
𝛻 ∙ 𝐵 = 0
Forma Integral
 
𝑆
𝐵 ∙ 𝑑𝑆 = 0
𝛻 ∙ 𝐷 = 𝜌𝑣
 
𝑆
𝐷 ∙ 𝑑𝑆 = 
𝑣
𝜌𝑣𝑑𝑣
𝛻 × 𝐸 = 0 
𝐿
𝐸 ∙ 𝑑𝑙 = 0
𝛻 × 𝐻 = 𝐽 
𝐿
𝐻 ∙ 𝑑𝑙 = 
𝑆
 𝐽 ∙ 𝑑𝑆
*Lei de Gauss
*Inexistência de
cargas magnéticas
*Conservação de
campo eletrostático
*Lei de Ampère