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1 Curso: Engenharia de produção Ano: 2015-2° semestre Disciplina: Vetores e Geometria Analítica Turma: Professor: Alice Lima de Souza da Cruz AULA 1 Conteúdo: Revisão de conceitos fundamentais Temas: Equações de 1º e 2º grau, função de primeiro grau, sistemas de equações do 1º grau Objetivo: Introduzir conceitos práticos de eletricidade e recordar conceitos sobre capacitância e associação de capacitores Revisão Equação é uma sentença que expressa uma relação de igualdade entre duas expressões algébricas. Equação do 1º grau ou linear Uma equação linear é aquela que pode ser escrita da forma , onde é uma incógnita, ou seja é um termo desconhecido, é o coeficiente de e deve ser diferente de 0 e é chamado termo independente. Resolvê-la é encontrar todos os valores de (raiz) que satisfaçam a igualdade. Sabemos que somente um valor de satisfaz esta igualdade, isto é, todos os números reais que multiplicados por e somados com resultem zero. Equação do 2º grau ou quadrática Uma equação quadrática em é aquela que pode ser escrita na forma. onde é uma incógnita. Neste caso, as raízes da equação serão e . O grau é definido pelo maior expoente da incógnita ( ). Quanto à completeza da equação, diz-se que é incompleta quando um dos monômios que completa a sequência decrescente do polinômio é igual a zero. Ex.: (falta o termo independente(c)). Exemplo: (falta o termo linear ( )) Exemplo: 2 (faltam os termos b e c) Exemplo: Quando temos todos os graus presentes no polinômio, então se diz que a equação é completa, e podemos encontrar as raízes da equação por meio da fórmula de Bhaskara. (não existe) Exemplo: , Mas como esta fórmula foi deduzida? Sua dedução utiliza a ideia de “completar quadrados”. Acompanhe a dedução com atenção. Soma-se o inverso de c dos dois lados da igualdade (se ≠0 admite inverso). Comparando a sentença anterior com um produto notável, se nota que faltam termos. Multiplicar a equação toda por para que o primeiro termo passe a ser e o apareça no termo que contém , passando a ser . Veja que o segundo termo do quadrado perfeito é multiplicado por 2, para esse 2 aparecer no segundo termo da equação de 2º grau, devemos multiplicar por 2. O 2 do segundo termo é o que queríamos, porém o 2 do primeiro termo não é o que queríamos, para resolvermos esse problema multiplicaremos por 2 mais uma vez, porque dessa forma o 2 do primeiro termo pode ser elevado ao quadrado. Veja que o primeiro termo está completo, e o segundo também, porém falta o terceiro. Pela comparação podemos ver que o termo que falta é o , pois ele é o . Para resolver isso vamos somar 3 dos dois lados da equação . Agora nós temos o quadrado perfeito formado . Vamos escreve-lo na forma reduzida O lado direito da equação, , é uma constante, ou seja, nós conhecemos seu valor ao resolver uma equação de 2º grau, portanto, mudaremos seu nome para a letra grega delta. Tirar a raiz quadrada de ambos os lados para tirarmos o quadrado da equação do lado esquerdo. Lembremos que ao fazer isso o delta ficará dentro da raiz quadrada, e não podemos afirmar se seu valor será positivo ou negativo, então colocaremos o sinal positivo e negativo do lado da raiz. Como nosso objetivo é descobrir o valor de “x” iremos isola-lo. Assim, a partir da equação de segundo grau podemos deduzir a sua fórmula Funções Uma função de um conjunto A em um conjunto B é a lei que associa para todo elemento em A um único elemento em B. ou R1 = corresponde a uma função, pois cada elemento de A corresponde a um elemento de B. R2 = corresponde a uma função. R3 = não corresponde a uma função, pois o um elemento de A tem dois correspondentes em B. R4 = não corresponde a uma função, pois um dos elementos de A não possui correspondente em B. Função de 1º grau Uma função de primeiro grau é uma função polinomial de grau 1, e, assim, tem a forma de 1 2 3 2 3 4 R1 5 -5 3 2 5 4 R2 4 2 -2 R3 4 6 8 R4 4 , onde e são constantes e . A representação gráfica de pontos da equação é feita por meio de pares ordenados, onde o primeiro número se refere à abscissa (eixo x) e o segundo a ordenada (eixo y). Exemplo: O gráfico cartesiano é constituído pelos pontos correspondentes dos pares ordenados, sendo cada par associado a um ponto. Exemplo: Sistema Linear Conjunto de duas ou mais equações lineares com n incógnitas. Podemos resolver estes sistemas lineares por meio de dois métodos: substituição e adição. Exemplo: Método da substituição Exemplo: Método da adição 5 Exercícios 1. Resolva as equações em . a) ( b) c) d) e) f) g) h) i) 2. Dada a função , com e com , determine: a) b) c) d) 3. Construa o gráfico da função com três pontos negativos e três positivos. 4. Dado o sistema abaixo, calcule o valor de x e y. a) b) c)
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