Roteiro para aula de integral definidax

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Roteiro para aula de integral definida 
Somatório 
3333
1
3
321 nj
n
i
++++=∑
=
L ( ) ( ) ( ) ( )nFmFmFiF
n
mi
++++=∑
=
L1 
Exemplos : =∑
=
5
1
2
i
i 
( ) =+∑
−=
2
2
23
i
i 
Teoremas 
Seja c uma constante, então, 
I. cnc
n
i
⋅=∑
=1
 
II. ( ) ( )∑∑
==
⋅=⋅
n
i
n
i
iFciFc
11
 
III. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∑∑∑
===
+=+
n
i
n
i
n
i
iGiFiGiF
111
 
IV. 
( )
2
1
1
+⋅
=∑
=
nni
n
i
 
V. 
( )( )
6
121
1
2 ++⋅
=∑
=
nnni
n
i
 
 
Área sob uma curva 
 
 
 
 
Como obter a área sob � no intervalo [�, �] ? 
 
Podemos criar subintervalos em [�, �] e fazer a soma das áreas retangulares. 
 
 
 
 
 
Se ∑ A for a soma das áreas dos retângulos, então, 
Retângulos inscritos Retângulos circunscritos 
∑≥ AS ∑≤ AS 
 
 
 
Exemplo: Seja a função real definida por ( ) 42 +−= xxf , faça uma estimativa da área abaixo da 
curva, limitada no primeiro quadrante pelo intervalo [0, 2]. 
a) Por 4 retângulos inscritos com bases iguais. 
 
 
 
 
 
 
b) Por 4 retângulos circunscritos com bases iguais. 
 
 
 
 
Compare os resultados, o que você observou? 
 
 
 
 
Como fazer então para obter a área S? 
 
Devemos fazer com que o intervalo [a, b] tenha infinitas partições. 
 
( ) ( )∫∑ =∆=
=
∞→
b
a
n
i
ii
n
dxxfxcfS
1
.lim 
altura de cada área retangular ( )icf com iin xcx ≤≤−1 
base de cada área retangular: 1−−=∆ nni xxx 
Voltando ao exemplo. 
Cálculo da área por � retângulos inscritos 
 
 
( ) =








+−=⋅








+−=∆= ∑∑∑∑
==
∞→
=
∞→
=
∞→
n
i
n
i
n
n
i
n
n
i
ii
n n
n
i
n
n
i
xcfS
11
3
2
1
2
2
1
88lim244lim.lim ; como n é constante, 
teremos 
( )( )
=








⋅+




 ++
−=








+−=
∞→
==
∞→
∑∑ nn
nnn
n
n
i
n
n
n
i
n
i
n
8
6
1218lim188lim 3
11
2
3 
 
3
168
3
88
3
44
3
8lim8
6
328lim 2
23
3 =+−=








+−−−=








+








/
++/
−=
∞→∞→
n
n
nnn
n
nn
 
 
Agora é a sua vez! Faça o cálculo da área utilizando retângulos circunscritos. 
1−nx nx 
( ) ( )ii xfcf = 
Utilizando retângulos de bases iguais, cada uma das bases 
terá medida de 
n
2
, dessa forma a abscissa da base do 
i’ésimo retângulo que determinará sua altura será 
n
i 2⋅ ,e 
portanto sua altura será 
( ) 44424 2
22
2 +−=+





⋅−=+−=
n
i
n
ixxf ii