Visualização de limites e cálculos

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UNIFACS - Cursos de Engenharia 
Disciplina: Cálculo I Semestre: 2013.2 
 
AULAS 1 e 2: Visualizando Limites de Funções e Cálculo de Limites (fatorações simples) 
OBJETIVO: Entender o conceito de limite de uma função através dos seus gráficos e calcular alguns limites. 
PALAVRAS CHAVES: limites laterais, à esquerda e à direita. Função contínua em um ponto xo 
Símbolos: 
ooo xque menores valores por xpara tende x xx

(pela esquerda) 
ooo xque maiores valores por xpara tende x xx

(pela direita) 
 . xpara tende x quando f, função da esquerda à lateral limite :)x(fmil o
xx o

 
direita pela xpara tende x quando f, função da direita à lateral limite :)x(fmil o
xx o

 
1) Veja os gráficos das funções abaixo e diga o que ocorre com os valores de f(x), quando x tende para xo. 
 
.........)x(fmil
1x


 
.........)x(fmil
1x


 
Existe limite da função nesse ponto? ________________ 
Por quê? _____________________________________ 
 
.........)x(fmil
1x


 
.........)x(fmil
1x


 
Existe limite da função nesse ponto? ________________ 
Por quê? _____________________________________ 
 
 
 
.........)x(fmil
1x


 
.........)x(fmil
1x


 
Existe limite nesse ponto? ________________ 
Por quê? _____________________________________ 
A função f é contínua no ponto x=1? _______________ 
Por quê? ______________________________________ 
 
.........)x(fmil
1x


 
.........)x(fmil
1x


 
Existe limite nesse ponto? ________________ 
Por quê? _____________________________________ 
A função f é contínua no ponto x=1? _______________ 
Por quê? ______________________________________ 
 
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
2) Considere uma função f: D → IR , e xo um ponto interior desse intervalo. Assinale V ou F nas afirmações 
abaixo, sobre os conceitos de limite e continuidade. 
a) Para uma função ter limite num ponto xo é importante que ela esteja definida nesse ponto ( .......) 
b) Uma função pode ter limite num ponto xo e não ser contínua nesse ponto ( .......) 
c) Para uma função ser contínua em xo é necessário que os limites laterais sejam iguais ( .......) 
d) Quando os limites laterais são iguais no ponto xo , a função é contínua nesse ponto ( .......) 
e) Pode existir uma função contínua em xo que não tenha limites laterais iguais ( .......) 
3) Desenhe gráficos (separados) de funções com as seguintes características: 
1º gráfico: Uma função que não tem limite no ponto x=2; 
2º gráfico: Uma função que tem limite no ponto x=2, mas não é contínua nesse ponto; 
3º gráfico: Uma função que tem limite no ponto x=2 e, além disso, é contínua nesse ponto; 
4º gráfico: Uma função que não tem limite no ponto x=1, tem limite no ponto x=3, mas é contínua no 
ponto x=3. 
 
 
 
 
4) Complete os cálculos dos seguintes limites, usando fatorações: 
a)
..........lim 
))((
 )( ) ( 
lim 
x2x
 4- x 
lim
2x2x2
2
2x

 
 
b)
..........lim 
))((
 )( ) ( 
lim 
9x
3x - x 
lim
3x3x2
2
3x

 
 
c)
..........lim 
))((
 )( ) ( 
lim 
x2x
 4- x 
lim
2x2x2
2
2x

 
 
d)
..........lim 
))((
 )( ) ( 
lim 
5x6x
 3x4 x 
lim
1x1x2
2
1x




 
e)
..........lim 
))((
 )( ) ( 
lim 
3xx
 3x4 x 
lim
3x3x2
2
3x




 
Fatorações simples: x
2
-a
2
 = (x-a)(x+a) ; ax
2
+bx+c = a(x-x1)(x-x2), onde x1, x2 são as raízes da equação ax
2
+bx+c=0 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y