FUNÇÕES CONTÍNUAS OU CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

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FUNÇÕES CONTÍNUAS OU CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
(Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi)
1. Introdução:
Sejam f e g funções de gráficos:
Observe que f e g se comportam de maneira diferente no ponto p. Enquanto a função g apresenta um salto a outra não. 
Ao calcular o limite da função f, observamos que o valor deste limite, quando x tende para p é igual ao valor da função quando x é igual a p, isto é:
 
Por exemplo, se e p = 2, temos que: 
As funções que se comportam desta forma em um ponto qualquer de seu domínio são ditas contínuas nesse ponto.
2. Definição:
Dizemos que uma função f é contínua em um ponto p se forem verificados as três condições abaixo:
(i)
(ii)
(iii)
Observação: quando pelo menos uma das três condições não for verificada dizemos que f é descontínua em 
Exemplos:
1) 
Verifique se a função é contínua em 
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições:
· 
· 
· 
Portanto, como a função é contínua em 
2) 
Verifique se a função é contínua em 
Solução: Primeiramente, lembramos que: 
A seguir, analisaremos uma a uma as três condições:
· 
.
· Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais:
 
e
Como e .
· 
. Portanto, como a função é contínua em 
3) 
Verifique se a função é contínua em 	
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições:
· 
.
· Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais:
 e 
Como não existe e, portanto a função dada não é contínua em 
4) 
Verifique se a função é contínua em 	
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições:
· 
.
· Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais:
 e 
Como não existe e, portanto a função dada é descontínua em 
Mostramos a seguir um esboço do gráfico de f e podemos constatar que o mesmo tem um “salto” em 
5) 
A função não é contínua no ponto pois a função dada não é definida no ponto especificado. Graficamente, temos:
6) 
A função também não é contínua no ponto pois:
· 
.
· Limites laterais:
 
e 
 
Como e .
· 
Portanto, como não foi satisfeita a terceira condição, a função dada não é contínua no ponto especificado, como confirma o gráfico a seguir:
2
1
1
)
1
(
lim
)
1
(
)
1
(
)
1
(
lim
1
)
1
(
lim
)
(
lim
1
1
2
1
1
=
+
=
+
=
-
+
×
-
=
-
-
=
®
®
®
®
-
x
x
x
x
x
x
x
g
x
x
x
x
2
1
1
)
1
(
lim
)
1
(
)
1
(
)
1
(
lim
1
)
1
(
lim
)
(
lim
1
1
2
1
1
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+
=
+
=
-
+
×
-
=
-
-
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®
®
®
®
+
x
x
x
x
x
x
x
g
x
x
x
x
)
(
lim
)
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lim
1
1
x
g
x
g
x
x
+
-
®
®
=
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lim
1
x
g
x
®
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2
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1
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®
x
g
x
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lim
)
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lim
 
:
é
 
isto
 
),
(
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x
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x
f
x
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p
x
p
x
p
x
-
+
®
®
®
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$
)
2
(
1
2
)
(
lim
1
g
x
g
x
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¹
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®
 
f(p)
)
(
lim
=
®
x
f
p
x
.
p
x
=
x
x
x
f
3
5
2
)
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+
-
=
.
4
=
x
12
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4
3
5
4
2
)
4
(
+
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×
+
-
×
=
f
12
3
4
3
5
4
2
)
3
5
2
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lim
)
(
lim
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×
+
-
×
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+
-
=
®
®
x
x
x
f
x
p
x
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4
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lim
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f
x
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x
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4
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(
lim
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ï
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2
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2
|
2
|
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x
x
x
x
0
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2
2
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2
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0
2
0
2
2
2
2
2
lim
2
|
2
|
lim
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lim
2
2
2
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-
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+
-
=
-
=
®
®
®
-
-
x
x
x
f
x
x
x
0
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0
2
2
2
2
2
lim
2
|
2
|
lim
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lim
2
2
2
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-
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-
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®
®
®
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x
x
x
f
x
x
x
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)
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lim
2
2
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x
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®
®
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lim
2
x
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x
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lim
2
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2
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2
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>
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2
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x
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(
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)
(
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(
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f
x
f
p
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®
8
1
9
1
3
)
1
(
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lim
2
2
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-
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-
=
®
®
-
x
x
f
x
x
0
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lim
3
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-
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®
®
+
x
x
f
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x
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lim
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lim
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®
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x
x
x
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x
x
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2
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4
2
2
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2
2
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2
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®
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x
x
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x
x
2
6
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2
3
2
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)
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2
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®
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x
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x
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2
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0
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2
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2
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f
f
x
x
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2
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x
 
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$
1
1
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f
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1
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î
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1
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1
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1
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2
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x
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x
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x
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1
)
1
(
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g