GABARITO DA FINAL 2012.1

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Matema´tica Ba´sica (ECT1111)
Avaliac¸a˜o Final (02/07/2012) - Turma T09 - 2012.1
Prof. Leandro Ibiapina Bevila´qua
DADOS DO ALUNO Questa˜o Nota
Turma/Subturma: Q1
Nome (leg´ıvel): Q2
Q3
Q4
Assinatura: GABARITO TOTAL
QUESTA˜O 1 (2,0 pontos) Encontre a inversa de cada uma das func¸o˜es abaixo, justificando
sua resposta (se a inversa na˜o existir, explique por qual motivo isso ocorre) 1:
(a) (1,0 ponto)
f(x) = 3
√
x + 3
x− 2
(b) (1,0 ponto)
g(x) =
6 3
√
ex − 4e6
e6
(a)
f−1(x) =
2x3 + 3
x3 − 1
(b)
g−1(x) = 3`n
(
x + 4
6
)
+ 18
1Resolva cada questa˜o na folha (frente e/ou verso) em que a mesma esta´ digitada. Outras folhas na˜o sera˜o corrigidas.
Pode usar grafite.
1
QUESTA˜O 2 (4,0 pontos) (OBS: A figura nesta questa˜o e´ meramente ilustrativa.)2
Considere a figura ao lado. Sabendo que as
coordenadas dos pontos B e C sa˜o, respec-
tivamente, (0, 2) e (1, 1), responda os itens
abaixo, justificando sua resposta:
(a) (1,0 ponto) Qual a expressa˜o alge´brica de
g(x)? (DICA: Observe que o gra´fico de g(x) e´ uma
reta).
(b) (1,0 ponto) Quais sa˜o as coordenadas dos
pontos A e D?
(c) (1,0 ponto) Para qual intervalo a func¸a˜o
(f − g)(x) tem valores maiores do que
zero?
(d) (1,0 ponto) Qual a localizac¸a˜o dos ve´rtices
das para´bolas f
(
g(x)
)
e g
(
f(x)
)
?
(a) g(x) = −x + 2
(b) As coordenadas do ponto A sa˜o (−2, 4) e do ponto D sa˜o (2, 0)
(c) (f − g)(x) > 0 em todos os valores de x nos quais f(x) > g(x). Do gra´fico, vemos que este
intevalo e´ x ∈ (−∞,−2) ∪ (1,+∞).
(d) A localizac¸a˜o do ve´rtice de f
(
g(x)
)
= (−x + 2)2 e´ em (2, 0); e o de g(f(x)) = −x2 + 2 e´ em
(0, 2).
2Resolva cada questa˜o na folha (frente e/ou verso) em que a mesma esta´ digitada. Outras folhas na˜o sera˜o corrigidas.
Pode usar grafite.
2
QUESTA˜O 3 (2,0 pontos) Utilizando a notac¸a˜o de intervalo para representar sua resposta,
indique o intervalo do domı´nio no qual cada uma das func¸o˜es abaixo e´ crescente 3:
(a) (1,0 ponto) (DICA: Primeiro construa os gra´ficos e so´ depois responda a pergunta que e´ feita.)
q(x) = |x2 − x− 6|
(b) (1,0 ponto) (OBS. Ha´ um modo fa´cil de responder esta pergunta sem construir o gra´fico, mas se na˜o
estiver seguro, fac¸a o gra´fico e depois responda. Lembre-se que nem sempre ha´ tempo para esperarmos
que a soluc¸a˜o “mais fa´cil” nos ocorra...)
f(x) = |x− 7|+ |3− x|+ 8
(a) x ∈ [−2, 1
2
] ∪ [3,+∞)
(b) x ∈ (7,+∞)
3Resolva cada questa˜o na folha (frente e/ou verso) em que a mesma esta´ digitada. Outras folhas na˜o sera˜o corrigidas.
Pode usar grafite.
3
QUESTA˜O 4 (2,0 pontos) Encontre os valores de x e y que satisfazem a equac¸a˜o do item (a) e
represente em notac¸a˜o de intervalo o conjunto-soluc¸a˜o da inequac¸a˜o do item (b), explicitando seus
ca´lculos em ambos os casos4:
(a) (1,0 ponto) (DICA: Simplifique o lado esquerdo da equac¸a˜o o ma´ximo poss´ıvel e depois compare os dois
lados.)
a−3
 3√a5 · 3√a5
7
√
1
2
21 = 2xay
(b) (1,0 ponto) (DICA: Organize os termos em ordem decrescente do expoente de x, colocando-os todos do
mesmo lado da inequac¸a˜o e depois fatore.)
x3 − 9x + 45 ≥ 5x2
(a) Simplificando a espressa˜o a` esquerda do sinal de igualdade, temos:
a−3
 3√a5 · 3√a5
7
√
1
2
21 = 23a67
Portanto, a soluc¸a˜o e´ x = 3 e y = 67.
(b) Note que a inequac¸a˜o pode ser reescrita como (x+ 3)(x−3)(x−5) ≥ 0. O conjunto-soluc¸a˜o da
inequac¸a˜o e´ o conjunto de todos os nu´meros reais pertencentes ao intervalo [−3, 3] ∪ [5,+∞).
4Resolva cada questa˜o na folha (frente e/ou verso) em que a mesma esta´ digitada. Outras folhas na˜o sera˜o corrigidas.
Pode usar grafite.
4