Apostila - Derivadas - Cálculo Diferencial

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Universidade Anhembi Morumbi
Escola de Tecnologia e Engenharia
Cálculo Diferencial
DERIVADAS
Aluno(a):
Professor: Izaias Cordeiro Néri
São Paulo
2014
CONTEÚDO
1 Derivadas 2
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Retas Tangentes e Inclinações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Derivada como Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Notação de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Derivada de f em um número a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Técnicas de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Derivadas de uma constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Potências de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Regras da Soma e da Diferença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.4 Funções Exponenciais e Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Exercícios - Técnicas de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9 Exercícios - Taxa de variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10 Regra do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.11 Regra do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.12 Exercícios - Regras Produto e Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.13 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.13.1 Decomposição das funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.13.2 Usando a Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.14 Exercícios - Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.15 Regra da Cadeia em Funções Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.16 Exercícios - Funções Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Aplicações de Derivadas 34
2.1 Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Exercícios - Máx. e Mín. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Teste da primeira derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2 Teste da segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Exercícios - Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
CAPÍTULO 1
DERIVADAS
1.1 Introdução
As derivadas estão presentes em vários contextos e por meio dela é possível medir taxas
segundo a qual uma quantidade varia em relação a outra. São muito utilizadas em Engenharia,
Ciências Naturais, Economia, Ciência da Computação e demais áreas que utilizam o Cálculo
Diferencial.
Grandezas como velocidade, inflação de uma moeda, número de bactérias em crescimento
ou decrescimento em uma cultura, a intensidade de um terremoto, a voltagem de um sinal
elétrico e assim por diante, são alguns exemplos de aplicações das derivadas.
Vejamos um exemplo.
O gráfico representa a temperatura mensal
média ( em graus Fahrenheit) de uma cidade
dos EUA. Faça uma estimativa da inclinação
desse gráfico no ponto indicado e dê uma in-
terpretação física do resultado.
Resolução:
Observamos no gráfico que no ponto dado
ele decresce 28 unidades de temperatura para
cada mudança de duas unidades em x. Portanto estimamos a inclinação no ponto dado como:
inclinação =
−28
2
= −14 graus por mês. Isso significa que as temperaturas médias diárias, em
novembro, estão 14 graus mais baixas do que as temperaturas correspondentes em outubro.
2
1.2. RETAS TANGENTES E INCLINAÇÕES CAPÍTULO 1. DERIVADAS
1.2 Retas Tangentes e Inclinações
Considere uma curva modelada por uma função y = f(x). Para encontrarmos a reta
tangente à curva num ponto P (a, f(a)), pegamos um ponto vizinho Q(x, f(x)), de modo que
x 6= a, e calculemos a inclinação da reta secante PQ.
mPQ =
f(x)− f(a)
x− a
Figura 1.1: Reta secante ao gráfico
Agora faremos o ponto Q aproximar de P com x tendendo a a
Figura 1.2: Ponto Q se aproxima de P
3
1.2. RETAS TANGENTES E INCLINAÇÕES CAPÍTULO 1. DERIVADAS
Definição 1.2.1 A reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P (a, f(a)) é a reta que
passa por P e tem inclinação dada por:
m = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
desde que esse limite exista.
A reta tangente ao gráfico de f em P é a reta que passa por P e tem esse coeficiente angular.
Sua equação é dada por:
y − f(a) = m(x− a)
Exemplo 1.2.1 Encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico y = x2 no ponto P(1,1).
Solução: Inicialmente temos a = 1 e f(x) = x2 e, portanto, a inclinação é dada por
m = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limx→1
x2 − 1
x− 1 = 2
Exemplo 1.2.2 Encontre uma equação de reta tangente à hipérbole y = 3/x no ponto (3,1).
Solução: Inicialmente temos a = 3 e f(x) = 3/x e, portanto, a inclinação é dada por:
m = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limx→3
3/x− 1
x− 3 = −1/3
Como temos x0 = 3 e y0 = 1 montamos a equação da reta como y − 1 = −1
3
(x − 3) o que
equivale a y = −x
3
+ 2.
Figura 1.3: Reta tangente ao Gráfico no ponto (3,1)
4
1.2. RETAS TANGENTES E INCLINAÇÕES CAPÍTULO 1. DERIVADAS
Exemplo 1.2.3 Encontre as inclinações das retas tangentes ao gráfico da função f(x) =
√
x
nos pontos (1, f(1)) e (4, f(4)).
Solução: Para o ponto P (1, f(1)):
m = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limx→1
√
x− 1
x− 1 = limx→1
√
x− 1
(
√
x− 1)(√x+ 1) =
1
2
Solução: Para o ponto P (4, f(4)):
m = lim
x→4
f(x)− f(4)
x− 4 = limx→4
√
x− 2
x− 4 = limx→4
√
x− 2
(
√
x− 2)(√x+ 2) =
1
4
Exemplo 1.2.4 Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x3 − 4x + 1 no ponto
P (p, f(p)).
Solução: Para o ponto P (p, f(p)) temos:
m = lim
x→p
f(x)− f(p)
x− p = limx→p
(x3 − 4x+ 1)− (p3 − 4p+ 1)
x− p =
= lim
x→p
(x3 − p3)− 4(x− p) + 1− 1
x− p = limx→p
(x− p)(x2 + xp+ p2)− 4(x− p)
x− p =
= lim
x→p
(x2 + xp+ p2 − 4) = 3p2 − 4 ∴ m = 3p2 − 4
Desafio
Observe o gráfico a seguir e determine a equação da reta tangente à curva no ponto
P (p, f(p)).
Figura 1.4: Desafio reta tangente
5
1.3. DERIVADA COMO FUNÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS
Exercícios
E - 01 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:
(a) f(x) =
1
x2
(2, f(2))
(b) f(x) = 3x− x2 (1, f(1))
(c) f(x) = x3 − 3x (−1, f(−1))
E - 02 Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x3 − 4x+ 1 no ponto x = a.
E - 03 Considere a parábola y = 1 + x + x2. Encontre a inclinação à essa curva nos pontos
cujas coordenadas x são:
(a) −1
(b)
1
2
(c) 3
Respostas
E - 01 (a) y =
3
4
− x
4
(b) y = x+ 1
(c) y = 2
E - 02 y = (3a2 − 4)x− 2a3 + 1
E - 03 (a) y = −x
(b) y = 2x+
3
4
(c) y = 7x− 8
Desafio y =
p
4
x− p
2
8
1.3 Derivada como Função
Definição 1.3.1 A derivada de f em relação a x é dada por:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
Desde que o limite exista.
6
1.3. DERIVADA COMO FUNÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS
1.3.1 Notação de derivada
Considerando a função denotada por y = f(x), algumas notações de derivadas podem ser
utilizadas,são elas:
f ′(x) = y′ =
dy
dx
=
df
dx
=
d
dx
f(x)
1.3.2 Derivada de f em um número a
A derivada de f em um número a, denotada por f ′(a), é dada por:
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
Exemplo 1.3.1 Determine a derivada de f(x) = 3x2.
Solução: f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
3(x+ h)2 − 3x2
h
= lim
h→0
3x2 + 6xh+ 3h2 − 3x2
h
= lim
h→0
6xh+ 3h2
h
= lim
h→0
(6x+ 3h) = 6x
Exemplo 1.3.2 Determine a derivada de f(x) = −5x+ 4.
Solução: f ′(x) = lim
h→0
−5(x+ h) + 4− (−5x+ 4)
h
= lim
h→0
−5x− 5h+ 4 + 5x− 4
h
= lim
h→0
−5h
h
= −5
Exemplo 1.3.3 Determine a derivada de f(x) =
2
x
.
Solução: f ′(x) = lim
h→0
2
x+ h
− 2
x
h
= lim
h→0
2x− 2(x+ h)
(x+ h)x.h
= lim
h→0
2x− 2x− 2h
(x+ h)x.h
= lim
h→0
−2h
(x+ h)x.h
=
= lim
h→0
−2
(x+ h)x
= − 2
x2
Exemplo 1.3.4 Determine f ′(3) em f(x) = x− x2.
Solução: f ′(3) = lim
h→0
f(3 + h)− f(3)
h
= lim
h→0
(3 + h)− (3 + h)2 − (3− 32)
h
=
= lim
h→0
3 + h− 9− 6h− h2 − 3 + 9
h
= lim
h→0
−5h
h
= −5
7
1.3. DERIVADA COMO FUNÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS
Observação: A derivada de uma função f aplicada em um ponto a qualquer representa a
inclinação da reta tangente à curva nesse exato ponto.
Figura 1.5: Gráfico e Reta Tangente do Exemplo 2.3.4
Exemplo 1.3.5 Determine f ′(−1) para a função f(x) = 2x2 − 1.
Solução: f ′(−1) = lim
h→0
f(−1 + h)− f(−1)
h
= lim
h→0
2(−1 + h)2 − 1− (2(−1)2 − 1)
h
=
lim
h→0
2h2 − 4h
h
= lim
h→0
2h− 4 = −4
Exercícios
E - 01) Determine a derivada de f(x) = 2x2 − x.
E - 02) Determine a derivada de f(x) =
√
x.
E - 03) Determine a derivada da função f(x) = x2 − 6x aplicada no ponto (2, f(2)).
E - 04) Determine f ′(−2) para as seguintes funções:
a) f(x) =
1
x
b) f(x) = x3 − 3x c) f(x) = 4x+ 1
8
1.4. TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS
E - 05) Considere a função f(x) =
1
1 + x
. Calcule:
a) f ′(2) b)f ′(0) c) f ′(−3)
E - 06) Encontre f ′(t) se f(t) = 4t2 + t.
Desafio
Mostre que a função dada por f(x) = ax2 + bx+ c tem como derivada
df
dx
= 2ax+ b.
Respostas
E - 01) f ′(x) = 2x− 1
E - 02) f ′(x) =
1
2
√
x
E - 03) f ′(2) = −2
E - 04) (a) f ′(−2) = −1
4
(b) f ′(−2) = 9
(c) f ′(−2) = 4
E - 05) (a) f ′(2) = −1
9
(b) f ′(0) = −1
(c) f ′(−3) = −1
4
E - 06) f ′(t) = 8t+ 1
Desafio: Faça a derivada em relação a x.
1.4 Técnicas de Derivação
Até agora vimos a maneira de calcular a derivada pela definição usando limites. A partir
desse ponto iremos usar alguns teoremas que nos possibilitarão calcular derivadas de forma
mais eficaz.
1.4.1 Derivadas de uma constante
Toda função no formato f(x) = k, com k ∈ R, é denominada função constante. A regra da
Constante é dada por:
d
dx
[k] = 0
Exemplos
d
dx
[−1] = 0; d
dx
[
√
3] = 0;
d
dx
[7] = 0
d
dx
[pi] = 0
9
1.4. TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS
1.4.2 Potências de x
Seja f uma função polinomial de grau n dada por f(x) = xn. A regra da potência é dada por:
d
dx
[xn] = n.xn−1
Exemplos
d
dx
[−1x3] = −3x2; d
dx
[x5] = 5x4;
d
dx
[7x3] = 21x2
d
dx
[pi.x4] = 4pi.x3
Exemplo 1.4.1 Determine a derivada da função f(x) =
1
x2
.
Solução: Primeiro, usando propriedade de potênciação, faremos f(x) =
1
x2
virar
f(x) = x−2. Em seguida aplicaremos a regra da Potências de x.
f ′(x) = −2.x−2−1 = −2x−3 = − 2
x3
Exemplo 1.4.2 Determine a derivada da função f(x) =
√
x.
Solução: Transformaremos f(x) =
√
x em f(x) = x1/2. Agora derivando temos
df
dx
=
1
2
x−1/2 =
1
2
√
x
Exemplo 1.4.3 Determine a derivada da função f(x) =
√
x
x2
.
Solução: f(x) =
√
x
x2
=
x1/2
x2
= x1/2−2 = x−3/2 ⇒ f(x) = x−3/2
f ′(x) = −3
2
.x−3/2−1 = −3
2
.x−5/2 = − 3
2
√
x5
Derivada de funções com radicais
Ao derivar funções que envolvam radicais, deve-se reescrever a função com exponentes racionais.
y =
n
√
xp = x
p
n
10
1.4. TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS
Exemplo 1.4.4 Determine a derivada da função f(x) =
1
2
3
√
x2
.
Solução: Reescrever a função f(x) =
1
2
3
√
x2
=
1
2x2/3
=
1
2
x−2/3. Agora derivando:
f ′(x) =
1
2
.(−2
3
)x−
2
3
−1 ⇒ f ′(x) = −1
3
x−
5
3 = − 1
3
3
√
x5
1.4.3 Regras da Soma e da Diferença
Se tivéssemos a função f(x) = x3 − 3x+ 4 qual seria o procedimento para derivá-la?
Definição 1.4.1 A derivada da soma (diferença) de duas ou mais funções deriváveis é a soma
(diferença) de suas derivadas.
df
dx
[f(x) + g(x)] =
df
dx
[f(x)] +
df
dx
[g(x)]
Exemplo 1.4.5 Determine a inclinação do gráfico de f(x) = x3 − 4x+ 2 no ponto (1,−1)
Solução:
df
dx
[x3 − 4x+ 2] = 3x2 − 4 ⇒ df
dx
[1] = 3(1)2 − 4 = −1
1.4.4 Funções Exponenciais e Logarítmicas
A função exponencial é toda função no formato y = ax, sendo a um número real positivo,
tal que 0 < a 6= 1. Sua derivada é dada por:
dy
dx
[ax] = ax.ln(a)
Toda função definida pela lei de formação f(x) = loga(x) com 0 < a 6= 1 é denominada
função logarítmica de base a. Sua derivada é dada por:
dy
dx
[loga(x)] =
1
x.ln(a)
11
1.5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS CAPÍTULO 1. DERIVADAS
Casos especiais
Vamos abordar os casos em que a base tanto na função exponencial quanto na logarítmica
é o número de Euler e.
dy
dx
[ex] = ex ;
dy
dx
[ln(x)] =
1
x
Exemplo 1.4.6 Se f(x) = x2 + 3x − 7ex, encontre f ′(x).
Solução: Usando a regra da soma(subtração) teremos: f ′(x) = 2x+ 3x.ln(3)− 7ex
Exemplo 1.4.7 Encontre a derivada de f(x) = −5ln(x) + 3ex +√x.
Solução: Lembrando que a função y =
√
x deve ser transformada em y = x1/2. Temos que
f ′(x) = −5.1
x
+ 3ex +
1
2
√
x
Exemplo 1.4.8 Determine a derivada da função f(x) = −1
2
x4 + 2.5x − 2
3
ln(x)
Solução: f ′(x) = −1
2
.4x3+2.5x.ln(5)− 2
3
.
1
x
. Melhorando os valores e as operações teremos:
f ′(x) = −2x3 + 2.ln(5).5x − 2
3x
1.5 Funções Trigonométricas
Vamos apresentar a derivada de apenas três funções trigonométricas mais utilizadas. São
elas sen(x), cos(x) e tg(x). Sendo suposto que a variável x está medida em radianos.
df
dx
[sen(x)] = cos(x)
df
dx
[cos(x)] = −sen(x) df
dx
[tg(x)] = sec2(x)
Exemplo 1.5.1 Determine a derivada da função f(x) = 3sen(x)− cos(x)
Solução: f ′(x) = 3.cos(x)− (−sen(x)) = 3.cos(x) + sen(x)
Exemplo 1.5.2 Determine a derivada da função f(x) =
1
3
.tg(x) + 2.cos(x) +
5
x2
Solução: f ′(x) =
1
3
.sec2(x)− 2.sen(x)− 10
x3
12
1.6. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR CAPÍTULO 1. DERIVADAS
1.6 Derivadas de Ordem Superior
A derivada f ′ de uma função f é também uma função que pode ter novamente sua derivada.
Podemos representar as derivadas de ordem superior com duas notações:
dnf
dxn
= f (n)(x)
Exemplo 1.6.1 Determine a terceira derivada da função f(x) = −x5 + x3 − 8
Solução: Vamos calcular todas as derivadas até chegar na ordem requerida.
Primeira Derivada =
df
dx
= f ′(x) = −5.x4 + 3x2
Segunda Derivada =
d2f
dx2
= f ′′(x) = −20.x3 + 6x
Terceira Derivada =
d3f
dx3
= f (3) = −60.x2 + 6
Exemplo 1.6.2 Determine a terceira derivada da função f(x) = 5.cos(3x)
Solução:
Primeira Derivada → f ′(x) = −5.sen(3x).3 = −15.sen(3x)
Segunda Derivada → f ′′(x) = −15.cos(3x).3 = −45.cos(3x)
Terceira Derivada → f ′′′(x) = 45.sen(3x).3 = 135.sen(3x)
Exemplo 1.6.3 Determine a segunda derivada da função f(x) = x2 + ln(x)
Solução:
Primeira Derivada f ′(x) = 2x+
1
x
Segunda Derivada f ′′(x) = 2− 1
x2
13
1.7. EXERCÍCIOS - TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS
1.7 Exercícios - Técnicas de Derivação
E - 1) Encontre
dydx
.
(a) y = 4x7
(b) y = −3x12
(c) y =
1
2
(x4 + 7x)
(d) y =
x2 + 1
5
E - 2) Encontre f ′(x).
(a) f(x) =
1
x3
+
1
x7
(b) f(x) = 2
√
x− 3
x8
(c) f(x) =
√
x+
1
x
(d) f(x) =
x2 + 4x+ 3√
x
(e) f(x) = 4pi2
(f) f(x) =
√
10
x7
E - 3) Encontre f ′(x).
(a) f(x) = 5x2 − 3x+ 1
(b) f(x) =
√
x3 + 2
x
E - 4) Encontre
dy
dt
.
(a) y = t2 − t
(b) y =
t2 + 1
3t
E - 5) Diferencie as funções dadas a seguir:
(a) y = x+
5
√
x2
(b) y = x
√
x+
1
x2.
√
x
(c) y = 3x+ ex
(d) y = x2 + 2ex + 5cos(x)
(e) y = x− 3.cos(x)
(f) y = sen(x)− cos(x)
E - 6) Determine as derivadas de ordem superior indicadas.
(a) f(x) = 4x4 + 2x ; f (3)(x)
(b) f(x) = 5x2 − 1
x3
; f (2)(x)
(c) f(x) =
1
x
; f (3)(x)
(d) f(x) = ln(x) ; f (2)(x)
14
1.7. EXERCÍCIOS - TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS
E - 7) Seja f(x) = −3x4 + 1
x
, determine f”(2).
E - 8) Encontre
d2y
dx2
.
(a) y = 7x3 − 5x2 + x
(b) y = x− 1
x
(c) y = x3 − 3x
(d) y = ex − cos(x)
E - 9) Seja y = x2 − 3x. Verifique que x.d
2y
dx2
− dy
dx
= 3.
E - 10) Seja x = cos(t). Verifique que
d2x
dt2
+ x = 0.
E - 11) Seja f(x) = sen(x), calcule f ′(pi).
E - 12) Determine a equação de reta tangente ao gráfico da função f(x) = −2x4 + 5x2 − 3 no
ponto (1, 0).
E - 13) Determine a equação de reta tangente ao gráfico da função y = x3+x no ponto (−1,−2).
E - 14) Determine a equação de reta tangente ao gráfico da função y = 3
√
x+ 5
√
x no ponto (1, 2).
E - 15) Determine a equação de reta tangente ao gráfico da função f(x) =
1
x
no ponto (−1,−1).
E - 16) Determine o valor da derivada da função no ponto dado.
(a) f(x) =
1
x
ponto (1, 1)
(b) f(x) = 4− 4
t
ponto
(
1
2
,
4
3
)
Desafio
A lei da gravidade universal de Isaac Newton afirma que a intensidade de força F exercida
por um corpo de massa M sobre um corpo de massa m é
F =
GMm
r2
Onde G é uma constante e r a distância entre os corpos. Determine a derivada de F em
relação a r.
(
dF
dr
)
15
1.7. EXERCÍCIOS - TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS
Respostas
E - 1) (a)
dy
dx
= 28x6 (b)
dy
dx
= −36x11 (c) dy
dx
= 2x3 +
7
2
(d)
dy
dx
=
2
5
x
E - 2) (a) f ′(x) = − 3
x4
− 7
x8
(b) f ′(x) =
√
x
x
+
24
x9
(c) f ′(x) =
1
2
√
x
− 1
x2
(d) f ′(x) =
3x2 + 4x− 3
2x3/2
(e) f ′(x) = 0
(f) f ′(x) = −7
√
10
x8
E - 3) (a) f ′(x) = 10x− 3
(b) f ′(x) =
√
x3 − 4
2x2
E - 4) (a)
dy
dt
= 2t (b)
dy
dt
=
1
3
− 1
3x2
E - 5) (a) y′ = 1 +
2
5x3/5
(b) y′ =
3x4 − 5
2x7/2
(c) y′ = 3 + ex
(d) y′ = 2x+ 2ex − 5sen(x)
(e) y′ = 1 + 3sen(x)
(f) y′ = cos(x) + sen(x)
E - 6) (a) f (3)(x) = 96x
(b) f (2)(x) = 10− 10
x5
(c) f (3)(x) = − 6
x4
(d) f (2)(x) = − 1
x2
E - 7) −143, 75
E - 8) (a)
d2y
dx2
= 42x− 10
(b)
d2y
dx2
= − 2
x3
(c)
d2y
dx2
= 6x
(d)
d2y
dx2
= ex + cos(x)
E - 9) Demonstração
E - 10) Demonstração
E - 11) f ′(pi) = cos(pi) = −1
E - 12) y = 2x− 2
E - 13) y = 4x+ 2
E - 14) y =
8x+ 22
15
E - 15) y = −x− 2
E - 16) (a) −1 (b) 16
Desafio
dF
dr
= −2GMm
r3
16
1.8. TAXA DE VARIAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS
1.8 Taxa de Variação
Existem diversas aplicações de taxa de variação em nossa vida real. Alguns exemplos são:
Velocidade, Aceleração, Crescimentos Populacional, Taxa de Produção dentre outros.
Definição 1.8.1 A taxa de variação instantânea ou simplesmente taxa de variação,
de y = f(x) em x é o limite da taxa de variação média no intervalo [x, x + ∆x] quando
∆x tende a zero.
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
Observação Importante: Em problemas da vida real, é importante listar as unidades de
medida para uma taxa de variação. As unidades para∆y/∆x são "unidades"y por "unidades"x.
Por exemplo, se y é medido em metros e x é medido em segundos, então ∆y/∆x é medido em
m/s.
Exemplo 1.8.1 No instante t = 0, um mergulhador pula de um trampolim de 32 pés de altura.
Como a velocidade inicial do mergulhador é 16 pés por segundo, sua função posição é:
h = −16t2 + 16t+ 32
a) Quando o mergulhador atinge a água?
b) Qual é a velocidade de impacto do mergulhador?
Solução:
a) Faremos h = 0. −16t2 + 16t + 32 = 0, o que leva ao resultado t = −1 e t = 2. Como
a solução t = −1 não faz sentido ao problema, concluímos que o instante que o mergulhador
atinge a água é t = 2s.
b) Para a velocidade de impacto faremos h′(2). Primeiro vamos derivar a função h.
h′(x) = −32t+ 16. E agora temos: h′(2) = −32.(2) + 16 = −48 pés por segundo.
Exemplo 1.8.2 O lucro proviniente da venda de x unidades de um relógio é dado por:
P = 0, 0002x2 + 10x
Determine o lucro marginal para o nível de produção de 50 unidades.
Solução:
dP
dx
= 0, 0002.2x+ 10 → dP
dx
[50] = 0, 0002.2.50 + 10 = 10, 02 $/unidade
17
1.9. EXERCÍCIOS - TAXA DE VARIAÇÃO CAPÍTULO 1. DERIVADAS
1.9 Exercícios - Taxa de variação
01 - A eficácia E (em uma escala de 0 a 1) de um analgésico t horas após ter entrado na corrente
sanguínea é dada por: E =
1
27
(9t+ 3t2 − t3), 0 ≤ t ≤ 4, 5. Determine a taxa de variação
de E para t = 2 h.
02 - A 0
o
Celsius, a perda de calor H ( em quilocalorias por metro quadrado por hora) do corpo
de uma pessoa pode ser modelada por H = 33(10
√
v− v+ 10, 45) em que v é a velocidade
do vento (em metros por segundo). Determine
dH
dv
.
03 - A altura s, em pés, no instante t, em segundos, de uma moeda jogada do topo de um
prédio é dada por s = −16t2 + 555. Determine as velocidades instantâneas quando t = 2s
e quando t = 3 s.
04 - A receita R (em dólares) do aluguel de x apartamentos pode ser modelada por
R = 2x(900 + 32x− x2). Determine a receita marginal quando x = 14.
05 - O curso C, em dólares, da produção de x unidades de um produto é dado por
C = 3, 6
√
x+ 500. Determine o custo marginal quando x = 9.
06 - O lucro P (em dólares) da venda de x unidades de livros de Cálculo é dado por
P = −0, 05x2 + 20x− 1000. Determine o lucro marginal quando x = 150.
07 - A temperatura T (em graus Fahrenheit) de um doente pode ser modelada pela equação
T = −0, 0375t2 + 0, 3t+ 100, 4, em que t é o tempo em horas decorrido desde o momento
em que a pessoa começou a apresentar sinais de febre. Determine DT/dt.
08 - A posição de uma partícula é dada pela equação s = f(t) = t3 − 6t2 + 9t onde t é medido
em segundos e s, em metros.
(a) Encontre a velocidade no tempo t.
(b) Qual a velocidade após 4 s?
(c) Qual a aceleração no tempo t?
18
1.10. REGRA DO PRODUTO CAPÍTULO 1. DERIVADAS
Respostas
01 - 1/3
02 -
dH
dv
=
165√
v
− 33
03 - v(2) = −64pés/s v(3) = −96 pés/s
04 -
dR
dx
[14] = 2416 $/apto
05 -
dC
dx
[9] = 0, 6 $/produto
06 -
dP
dx
[150] = 5 $/livro
07 -
dT
dt
= −0, 075t+ 0, 3
08 - (a) V = 3t2 − 12t + 9 (b) v = 9m/s
(c) γ = 6t− 12
1.10 Regra do Produto
Aqui vale chamar a atenção em relação ao produto de funções. Pode ser confuso nesse
primeiro momento a derivação do produto de funções se comparado com a derivação da soma,
pois a derivada da soma de duas funções é a soma de seus resultados, porém o mesmo não
ocorre com o produto.
Definição 1.10.1 Se f e g são deriváveis em relação a x, então o produto f.g também
é, sendo que:
[f(x).g(x)]′ = f ′(x).g(x) + f(x).g′(x)
ou seja, a derivada do produto f.g é f derivada multiplicada por g sem derivar somado
com f sem derivar multiplicada por g derivada.
Exemplo 1.10.1 Encontre a derivada da função f(x) = x.ex.
Solução: Usando a regra do produto, temos
f ′(x) = [x]′.ex + x.[ex]′ = 1.ex + x.ex = ex.(1 + x)
Exemplo 1.10.2 Determine a derivadada função f(x) =
√
x.(1− x).
Solução: Usando a regra do produto, temos
f ′(x) = [
√
x]′.(1− x) +√x.(1− x)′ = 1− 3x
2
√
x
19
1.11. REGRA DO QUOCIENTE CAPÍTULO 1. DERIVADAS
Observação. Esse exemplo poderia ser resolvido apenas aplicando propriedades de potências
sem precisarmos usar a regra do produto. Vejamos:
f(x) =
√
x.(1− x) = x 12 (1− x) = x 12 − x 12+1 = x 12 − x 32
Com isso a função ficou com o formato f(x) = x
1
2 − x 32 o que derivando dá:
f ′(x) =
1
2
√
x
− 3
2
√
x =
1− 3x
2
√
x
Vemos que o mesmo resultado foi obtido, porém em algumas funções não podemos fazer essa
mesma estratégia e derivar sem usar a regra do produto. Que é o caso do primeiro exemplo.
1.11 Regra do Quociente
Definição 1.11.1 Se f e g são deriváveis em relação a x, então o quociente
f
g
também
é, sendo que: [
f(x)
g(x)
]′
=
f ′(x).g(x)− f(x).g′(x)
g2(x)
Exemplo 1.11.1 Determine a derivada da função f(x) =
ex
1 + x
.
Solução: f ′(x) =
[ex]′.(1 + x)− ex.(1 + x)′
(1 + x)2
=
ex + x.ex − ex.1
(1 + x)2
=
x.ex
(1 + x)2
Exemplo 1.11.2 Determine a derivada da função f(x) =
x2 + x
x
.
Solução: Recorrendo à regra do quociente, temos:
f ′(x) =
[x2 + x]′.x− (x2 + x).[x]′
x2
=
(2x+ 1).x− (x2 + x).1
x2
=
=
2x2 + x− x2 − x
x2
=
x2
x2
= 1
20
1.12. EXERCÍCIOS - REGRAS PRODUTO E QUOCIENTE CAPÍTULO 1. DERIVADAS
Observação: Nem sempre que temos um quociente devemos usar a regra do quociente.
Em alguns casos é mais fácil e rápido reescrever primeiro a função e, em seguida, derivar sem
fazer uso da regra do quociente. É o caso deste exemplo, que poderia ser feito da seguinte forma
reescrevendo a função f . Vejamos:
f(x) =
x2 + x
x
=
x2
x
+
x
x
= x+ 1 ⇒ f ′(x) = 1
Exemplo 1.11.3 Determine f ′(2) em f(x) =
x2 − 1
x2 + 1
.
Solução: Primeiro vamos derivar a função f usando a regra do quociente.
f ′(x) =
2x.(x2 + 1)− (x2 − 1).2x
(x2 + 1)2
=
4x
(x2 + 1)2
Agora podemos calcular f ′(2).
f ′(2) =
4.2
(22 + 1)2
=
8
25
1.12 Exercícios - Regras Produto e Quociente
E - 1) Determine as derivadas de:
(a) f(x) = (3x2 + 6)(2x− 1
4
)
(b) f(x) = (3− x2)(x3 − x+ 1)
(c) f(x) = (x3 − 3x)(2x2 + 3x+ 5)
(d) f(x) =
2x+ 5
3x− 2
(e) f(x) =
x2 − 4
x+ 0, 5
(f) f(x) =
x2 − 1
x2 + x− 2
E - 2) A curva y =
1
1 + x2
é chamada de Bruxa de Agnesi
1
. Encontre uma equação de reta
tangente para essa curva no ponto
(
− 1, 1
2
)
.
E - 3) A curva y =
x
1 + x2
é chamada de Serpentina. Encontre uma equação de reta tangente
a essa curva no ponto
(
3,
3
10
)
.
1
Em matemática, a curva de Agnesi, atribuída a Maria Gaetana Agnesi, é uma curva estudada por Agnesi
em 1748 no seu livro Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana.
21
1.12. EXERCÍCIOS - REGRAS PRODUTO E QUOCIENTE CAPÍTULO 1. DERIVADAS
E - 4) Encontre uma equação da reta tangente à curva em um ponto dado.
(a) y =
2x
x+ 1
(1, 1)
(b) y = 2.x.ex (0, 0)
(c) y =
√
x
x+ 1
(4; 0, 4)
(d) y =
ex
x
(1, e)
E - 5) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado.
(a) f(x) = (x2−2x+1)(x−2); em (0,−2)
(b) f(x) = (x2 − 1)2; em (−2, 9)
(c) f(x) =
x− 2
x+ 1
; em
(
1,−1
2
)
(d) f(x) =
2x+ 1
x− 1 ; em (2, 5)
(e) f(x) =
x+ 3
x+ 2
; em
(
1,
4
3
)
(f) f(x) =
1
5x− 3; em
(
1,
1
2
)
E - 6) Determinar o valor da derivada da função no ponto dado.
(a) f(x) = x.(x2 + 3);−→ f ′(2)
(b) f(x) = (x− 4)(x+ 2);−→ f ′(4)
(c) f(x) = x2(3x3 − 1);−→ f ′(1)
(d) f(x) =
x2
x+ 3
;−→ f ′(−1)
(e) f(x) =
2x2 − 3
3x+ 1
;−→ f ′(3)
(f) f(x) =
3x
x2 + 4
;−→ f ′(−1)
E - 7) Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico f(x) =
x
x+ 4
no ponto x0 = 1.
E - 8) Considere a função f(x) = x2.ex. Calcule f ′(−1).
E - 9) Calcule
dy
dx
para:
(a) y =
cos(x)
x2 + 1
(b) y =
x+ 1
tg(x)
(c) y = ex.cos(x)
(d) y =
1 + ex
1− ex
(e) y =
x+ 1
x.ln(x)
(f) y =
ex
x+ 1
(g) y =
√
x
cos(x)
(h) y = x2.cos(x)
E - 10) Encontre f ′(x)
(a) f(x) = 4.cos(x) + 2.sen(x)
(b) f(x) = −4.x2.cos(x)
(c) f(x) =
5− cos(x)
5sen(x)
(d) f(x) =
1
cos(x)
−
√
2.sen(x)
cos(x)
(e) f(x) =
sen(x)
x2 + sen(x)
(f) f(x) = (x2 + 1).sen(x)
22
1.12. EXERCÍCIOS - REGRAS PRODUTO E QUOCIENTE CAPÍTULO 1. DERIVADAS
E - 11) Encontre
d2f
dx2
.
(a) f(x) = x.cos(x)
(b) f(x) = x.sen(x)− 3.cos(x)
(c) f(x) = sen(x).cos(x)
E - 12) Calcule f ′(3) para função f(x) =
x
x+ 1
.
PROBLEMAS
E - 13) À medida que o sangue se move do coração através das artérias principais em dire-
ção aos capilares e de volta para as veias, a pressão arterial sistólica cai continua-
mente. Considere uma pessoa cuja pressão arterial sistólica P (em mmHg) é dada por
P =
25t2 + 125
t2 + 1
, 0 ≤ t ≤ 10, em que t é medido em segundos. A que taxa a pressão
arterial varia após 5 segundos do sangue ter saído do coração?
E - 14) Considere a população de uma cultura de bactérias. O número de bactérias P pode ser
modelado por P = 500
(
1 +
4t
50 + t2
)
em que t é o tempo (em horas). Determine a
taxa de variação da população quando t = 2.
E - 15) A porcentagem P de peças defeituosas produzidas por um funcionário novo t dias após
ele ter começado a trabalhar pode ser modelada por P =
t+ 1750
50(t+ 2)
. Determine as taxas
de variação de P quando t = 1 e t = 10.
E - 16) A temperatura T (em graus Fahrenheit) de alimentos colocados em um refrigerador é
modelada por T = 10
(
4t2 + 16t+ 75
t2 + 4t+ 10
)
em que t é o tempo (em horas). Determine a
taxa de variação de T em relação a t quando t = 1.
E - 17) O modelo f(t) =
t2 − t+ 1
t2 + 1
mede o nível de oxigênio em um lago, em que t é o tempo
decorrido (em semanas) após os resíduos orgânicos terem sido despejados no lago. De-
termine a taxa de variação de f em relação a t quando t = 2.
E - 18) As vendas mensais de planos M de uma academia recém-construída são modeladas por
M(t) =
300t
t2 + 1
+ 8 em que t é o número de meses desde que a academia foi inaugurada.
a) Determine M'(t).
b) Determine M'(3).
23
1.12. EXERCÍCIOS - REGRAS PRODUTO E QUOCIENTE CAPÍTULO 1. DERIVADAS
TESTES
E - 19) A derivada da função f(x) =
ln(x)
x
é:
(a) f ′(x) =
1− ln(x)
x
(b) f ′(x) =
1− ln(x)
x2
(c) f ′(x) =
1
x2
− ln(x)
(d) f ′(x) =
ln(x)
x2
− 1
E - 20) Considere a função y = x.ex. Avalie as sentenças.
I) y” = ex(2 + x)
II) y′(−1) = 1
e
III) y”(0) = 2e
(a) Somente I é verdadeira.
(b) Somente II é verdadeira.
(c) Somente III é verdadeira.
(d) Todas são falsas.
E - 21) A reta tangente à curva f(x) = x2.ex no ponto (1, e), é igual a:
(a) y = e.(3x+ 4)
(b) y = e.(3x− 4)
(c) y = e.(3x+ 2)
(d) y = e.(3x− 2)
E - 22) A derivada da função f(x) = x2.cos(x) equivale a:
(a) f ′(x) = −2x.sen(x)
(b) f ′(x) = 2x.sen(x)
(c) f ′(x) = 2x.cos(x)− x2.sen(x)
(d) f ′(x) = 2x.cos(x) + x2.sen(x)
E - 23) Considere as afirmações a seguir e avalie.
I) Se f(x) = xex, então f ′(x) = ex.
II) Se f(x) = x.sen(x), então f ′(0) = 0.
III) Se f(x) =
x
cos(x)
, então f ′(x) = − 1
sen(x)
(a) Somente III é verdadeira.
(b) Somente II é verdadeira.
(c) Somente I e II são verdadeiras.
(d) Somente II e III são verdadeiras.
24
1.12. EXERCÍCIOS - REGRAS PRODUTO E QUOCIENTE CAPÍTULO 1. DERIVADAS
E - 24) O valor de f ′(3), sendo a função f(x) =
2x+ 1
x2 + x
.
(a) − 5
12
(b) − 25
144
(c)
5
12
(d)
73
144
E - 25) A derivada da função f(x) =
2x+ 1
x− 1 aplicada no ponto (2, 5) equivale a:
(a) −3 (b) 5
(c)
11
6
(d) −1
E - 26) Considere a função f(x) =
4x−5
x2 − 1 . Analise as sentenças.
I) f ′(x) =
−4x2 + 10x− 4
(x2 − 1)2
II) f ′(0) = −4
III) f ′(2) = 3
(a) Somente II é falsa.
(b) Somente III é falsa.
(c) Todas são corretas.
(d) Todas são falsas.
Respostas
(E - 1) (a) f ′(x) = 8x2 − 1, 5x+ 12
(b) f ′(x) = −5x4 + 12x2 − 2x− 3
(c) f ′(x) = 10x4 + 12x3− 3x2− 18x− 15
(d) f ′(x) = − 19
(3x− 2)2
(e) f ′(x) =
x2 + x+ 4
(x+ 0.5)2
(f) f ′(x) =
1
(x+ 2)2
(E - 2) y =
x
2
+ 1
(E - 3)
27
50
− 2x
25
(E - 4) (a) y =
x+ 1
2
(b) y = 2x
(c) y =
13
25
− 3x
100
(d) y = e
(E - 5) (a) y = 5x− 2
(b) y = −24x− 39
(c) y =
3x− 5
4
(d) y = 11− 3x
(e) y =
13− x
9
(f) y =
7− 5x
4
25
1.12. EXERCÍCIOS - REGRAS PRODUTO E QUOCIENTE CAPÍTULO 1. DERIVADAS
(E - 6) (a) f ′(2) = 15
(b) f ′(4) = 6
(c) f ′(1) = 13
(d) f ′(−1) = −5
4
(e) f ′(3) = 0, 75
(f) f ′(−1) = 9
25
(E - 7)
4
25
(E - 8) −1
e
(E - 9) (a)
dy
dx
=
−(x2 + 1)sen(x)− 2x.cos(x)
(x2 + 1)2
(b)
dy
dx
= cotg(x)− (x+ 1)cossec2(x)
(c)
dy
dx
= ex(cos(x)− sen(x))
(d)
dy
dx
=
2ex
(ex − 1)2
(e)
dy
dx
= −
(
x+ ln(x) + 1
x2ln2(x)
)
(f)
dy
dx
=
ex.x
(x+ 1)2
(g)
dy
dx
=
(2.x.tg(x) + 1).sec(x)
2
√
x
(h)
dy
dx
= x(2cos(x)− x.sen(x))
(E - 10) (a) f ′(x) = −4.sen(x) + 2.cos(x)
(b) f ′(x) = 4x(x.sen(x)− 2cos(x))
(c) f ′(x) =
1
5
(csc2(x)− 5.ctg(x).csc(x)
(d) f ′(x) = (sen(x)−
√
2).sec2(x)
(e) f ′(x) =
x(x.cos(x)− 2.sen(x))
(x2 + sen(x))2
(f) f ′(x) = (x2 + 1).cos(x) + 2.x.sen(x)
(E - 11) (a)
d2f
dx2
= −2.sen(x)− x.cos(x)
(b)
d2f
dx2
= 5.cos(x)− x.sen(x)
(c)
d2f
dx2
= −4.sen(x).cos(x)
(E - 12) 0, 01
Respostas dos Problemas
(E - 13)
dP
dt
[5] = −1, 48 mmHg/s
(E - 14)
dP
dt
[2] = −31, 55 bactérias/h
(E - 15)
dP
dt
[1] = −3, 88 dP
dt
[10] = −0, 242
(E - 16)
dT
dt
[1] = −9, 33 oF/h
(E - 17)
df
dt
[2] =
3
25
oxigênio(m3)/semana
(E - 18) a) M ′(t) = −
(
300(t2 − 1)
(t2 + 1)2
)
b) −24 vendas/meses
26
1.13. REGRA DA CADEIA CAPÍTULO 1. DERIVADAS
Respostas dos Testes
(E - 19) b
(E - 20) b
(E - 21) d
(E - 22) c
(E - 23) b
(E - 24) b
(E - 25) a
(E - 26) b
1.13 Regra da Cadeia
Essa nova regra de derivação trata das funções compostas e agrega versatilidade às regras
apresentadas anteriormente.
Definição 1.13.1 Se f e g forem diferenciáveis e F = f ◦ g for a função composta
definida por F(x) = f(g(x)), então F é diferenciável e F' é dada pelo produto
F ′(x) = f ′(g(x)).g′(x)
Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) forem funções diferenciáveis, então
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
1.13.1 Decomposição das funções compostas
Escreva cada função como a composição de duas funções
1. y =
√
3x2 − 4x u = 3x2 − 4x y = √u
2. y =
1
x+ 2
u = x+ 2 y =
1
u
1.13.2 Usando a Regra da Cadeia
Exemplo 1.13.1 Determine a derivada de y = (x2 − 5)5.
Solução: Para aplicar a regra da cadeia, primeiro vamos identificar a função interna u.
y = (x2 − 5)5 u = x2 − 5 y = u5, du
dx
= 2x
dy
du
= 5u4
agora aplicando a regra, podemos reescrever a derivada da seguinte forma:
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
= 5.u4.(2x) = 5(x2 − 5)4.(2x) = 10x.(x2 − 5)4
27
1.13. REGRA DA CADEIA CAPÍTULO 1. DERIVADAS
Exemplo 1.13.2 Determine a derivada de y = (3x− 2x2)3.
Solução: y = (3x− 2x2)3 u = 3x− 2x2 y = u3.
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
= 3u2.(3− 4x) = 3(3x− 2x2)2.(3− 4x) = (3x− 2x2).(9− 12x)
(3x− 2x2).(9− 12x) = 27x− 54x2 + 24x3
Exemplo 1.13.3 Determine a derivada de y =
√
3x2 − 4x.
Solução: Primeiro devemos transformar a raíz em potência.
y =
√
3x2 − 4x = (3x2 − 4x)1/2
Agora podemos aplicar a regra da cadeia.
y = (3x2 − 4x)1/2 u = 3x2 − 4x y = u1/2 du
dx
= 6x− 4 dy
du
=
1
2
u−1/2
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
=
1
2
.u−1/2.(6x− 4) = 6x− 4
2.u1/2
=
6x− 4
2.
√
u
=
6x− 4
2.
√
3x2 − 4x =
3x− 2√
3x2 − 4x
Exemplo 1.13.4 Determine a derivada de y =
(
x2 + 1
x− 4
)4
.
Solução: Note que a função interna à potência é um quociente, portanto será usada a regra
da cadeia com a regra do quociente.
y =
(
x2 + 1
x− 4
)4
u =
x2 + 1
x− 4 y = u
4
du
dx
=
2x(x− 4)− (x2 + 1).1
(x− 4)2 =
2x2 − 8x− x2 − 1
(x− 4)2 =
x2 − 8x− 1
(x− 4)2
dy
du
= 4u3
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
= 4u3.
x2 − 8x− 1
(x− 4)2 = 4
(
x2 + 1
x− 4
)3
.
x2 − 8x− 1
(x− 4)2 =
(x2 + 1)3(4x2 − 32x− 4)
(x− 4)5
28
1.14. EXERCÍCIOS - REGRA DA CADEIA CAPÍTULO 1. DERIVADAS
Exemplo 1.13.5 Determine a derivada de y = 3
√
(−2x3 + 6x2 − 4x+ 9)2.
Solução: Aqui, novamente, devemos transformar a raíz em potência.
y = (−2x3 + 6x2 − 4x+ 9)2/3 u = −2x3 + 6x2 − 4x+ 9 y = u2/3
du
dx
= −6x2 + 12x− 4 dy
du
=
2
3
.u−1/3
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
=
2
3
.u−1/3.(−6x2 + 12x− 4) = 2(−6x
2 + 12x− 4)
3.u1/3
=
−12x2 + 24x− 8
3. 3
√−2x3 + 6x2 − 4x+ 9
1.14 Exercícios - Regra da Cadeia
E - 1) Determinar as derivadas de:
(a) y =
√
2x+ 1
(b) y = (x2 − 1)6
(c) y = (3x− 2x2)3
(d) y = 3
√
(x2 + 4)2
(e) y = (x2 + 3x)4
(f) y =
√
5− 3x
(g) y =
3
√
3x3 + 4x
(h) y = (2x3 + 1)2
E - 2) Determine f ′(x) de:
(a) f(x) =
3
(x3 − 4)2
(b) f(x) =
1
x2 − 2
(c) f(x) = x2
√
x− 2
(d) f(x) =
1√
x+ 2
E - 3) Um estudo de meio ambiente indica que o nível médio diário P de certo poluente no
ar, em partes por milhão, pode ser modelado pela equação P = 0, 25
√
0, 5n2 + 5n+ 25
em que n é o número de residentes na comunidade, em milhares. Determine a taxa na
qual o nível do poluente está aumentando, se a população da comunidade for de 12.000
pessoas.
E - 4) Você depositou $1.000,00 em uma aplição com uma taxa de juros anual r ( na forma deci-
mal), capitalizada mensalmente. Ao final de cinco anos, o saldo é deA = 1000
(
1 +
r
12
)60
.
Determine as taxas de variação de A em relação a r quando:
(a) r = 0, 08 (b) r = 0, 10
29
1.15. REGRA DA CADEIA EM FUNÇÕES ESPECIAIS CAPÍTULO 1. DERIVADAS
Respostas
(E - 1) (a) y′ =
1√
2x+ 1
(b) y′ = 12x(x2 − 1)5
(c) y′ = (9− 12x)(3x− 2x2)2
(d) y′ =
4x
3 3
√
x2 + 4
(e) y′ = (8x+ 12)(x2 + 3x)3
(f) y′ = − 3
2
√
5− 3x
(g) y′ =
9x2 + 4
3 3
√
(3x3 + 4x)2
(h) y′ = 24x5 + 12x2
(E - 2) (a) f ′(x) = − 18x
2
(x3 − 4)3
(b) f ′(x) = − 2x
(x2 − 2)2
(c) f ′(x) =
5x2 − 8x
2
√
x− 2
(d) f ′(x) = − 1√
(x+ 2)3
(E - 3)
dP
dn
≈ 0, 17 poluente/pessoa.
(E - 4) (a)
dA
dr
= 7399, 89 (b)
dA
dr
= 8158, 55
1.15 Regra da Cadeia em Funções Especiais
Para algumas funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais, podemos aplicar a regra
da cadeia.
• y = sen(u)→ y′ = cos(u).u′
• y = cos(u)→ y′ = −sen(u).u′
• y = ln(u)→ y′ = u
′
u
• y = eu → y′ = eu.u′
Exemplo 1.15.1 Determine a derivada de y = sen(5x).
Solução: Fazendo u = 5x teremos y = sen(u) e, portanto, y′ = cos(5x).5 = 5.cos(5x)
Exemplo 1.15.2 Determine a derivada de y = sen(−x2 + 3x).
Solução: Fazendo u = −x2 + 3x, teremos y′ = (−2x+ 3).cos(−x2 + 3x)
30
1.15. REGRA DA CADEIA EM FUNÇÕES ESPECIAIS CAPÍTULO 1. DERIVADAS
Exemplo 1.15.3 Determine a derivada de y = cos(2x).
Solução: Fazendo u = 2x, teremos y′ = −2.sen(2x)
Exemplo 1.15.4 Determine a derivada de y = cos(x− x3).
Solução: Fazendo u = x−x3, teremos y′ = (1−3x2).[−sen(x−x3)] = (3x2−1).sen(x−x3)
Exemplo 1.15.5 Determine a derivada de y = ln(x).
Solução: Fazendo u = x, teremos y′ =
u′
u
=
x′
x
=
1
x
Exemplo 1.15.6 Determine a derivada de y = ln(2x+ x4).
Solução: Fazendo u = 2x+ x4, teremos y′ =
u′
u
=(2x+ x4)′
2x+ x4
=
2 + 4x3
2x+ x4
Exemplo 1.15.7 Determine a derivada de y = e2x.
Solução: Fazendo u = 2x, teremos y′ = eu.u′ = e2x.2 = 2e2x
Exemplo 1.15.8 Determine a derivada de y = ex
2−3x
.
Solução: Fazendo u = x2 − 3x, teremos y′ = ex2−3x.(2x− 3)
Exemplo 1.15.9 Determine a derivada de y = ecos(2x).
Solução: Fazendo u = cos(2x), teremos y′ = eu.u′ = ecos(2x).[cos(2x)]′ = ecos(2x)[−2.sen(2x)],
ajustando a função chegamos em: y′ = −2.sen(2x).ecos(2x)
31
1.16. EXERCÍCIOS - FUNÇÕES ESPECIAIS CAPÍTULO 1. DERIVADAS
1.16 Exercícios - Funções Especiais
E - 1) Calcule a derivada.
(a) y = e3x (b) y = sen(t2)
E - 2) Calcule f ′(x) sendo que:
(a) f(x) = (3x2 + 1)3 (b) f(x) = cos(3x)
E - 3) Calcule
dy
dx
, sendo y = ln(x2 + 3x).
E - 4) Seja f(x) = x2.e3x. Determine f ′(x).
E - 5) Seja y = x.e−x. Calcule
dy
dx
.
E - 6) Calcule
d2y
dx2
, sendo y = cos(5x).
E - 7) Determine y′:
(a) y =
(
x+ 1
x2 + 1
)4
(b) y =
3
√
x2 + 3
E - 8) Determine a derivada das funções a seguir:
(a) y = sen(4x)
(b) y = sen(t3)
(c) y = esen(x)
(d) y = (sen(x) + cos(x))3
(e) y = ln(x2 + 3x+ 4)
(f) y = cos(x2 + 3)
(g) y = e−5x
(h) y = ln(2t+ 1)
(i) y =
√
x+ ex
E - 9) Derive as funções a seguir:
(a) y = x.e3x
(b) y = e−x.sen(x)
(c) y = e−x
2
.ln(2x+ 1)
(d) y = ex.cos(2x)
E - 10) Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto (0, 1).
(a) y =
2
1 + e−x
(b) y = (1 + 2x)10
E - 11) Encontre uma equação da reta tangente à curva y = x2.e−x no ponto
(
1,
1
e
)
.
32
1.16. EXERCÍCIOS - FUNÇÕES ESPECIAIS CAPÍTULO 1. DERIVADAS
E - 12) Se a equação de movimento de uma partícula for dada por S = A.cos(ωt+ δ), dizemos
que a partícula está num MHS (Movimento Harmônico Simples). Encontre a velocidade
no instante t. Obs: A, ω e δ são constantes.
E - 13) O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou uma força de amortecimento
( tal como amortecedor de um carro) é frequentemente modelado pelo produto de uma
função exponencial e uma função seno ou cosseno. Suponha que a equação de movimen-
tos de um ponto sobre essa mola é S(t) = 2.e−1,5.t.sen(2pi.t) onde S é medido em cm e
t, em segundos. Encontre a velocidade após 2 segundos.
Respostas
(E - 1) (a) y′ = 3.e3x (b) y′ = 2t.cos(t2)
(E - 2) (a) y′ = 18x.(3x2 + 1)2 (b) y′ = −3.sen(3x)
(E - 3)
dy
dx
=
2x+ 3
x2 + 3x
(E - 4) f ′(x) = x.e3x(2 + 3x)
(E - 5)
dy
dx
=
1− x
ex
(E - 6)
d2y
dx2
= −25.cos(5x)
(E - 7) (a) y′ = −4(x+ 1)
3(x2 + 2x− 1)
(x2 + 1)5
(b) y′ =
2x
3(x2 + 3)2/3
(E - 8) (a) y′ = 4.cos(4x)
(b) y′ = 3t2.cos(t3)
(c) y′ = cos(x).esen(x)
(d) y′ = 3(sen(x) + cos(x))2.(cos(x) −
sen(x))
(e) y′ =
2x+ 3
x2 + 3x+ 4
(f) y′ = −2x.sen(x2 + 3)
(g) y′ = −5.e−5x
(h) y′ =
2
2t+ 1
(i) y′ =
ex + 1
2
√
x+ ex
(E - 9) (a) y′ = e3x(3x+ 1)
(b) y′ = e−x.(cos(x)− sen(x))
(c) y′ = 2e−x
2
(
−x.ln(2x+ 1) + 1
2x+ 1
)
(d) y′ = ex(cos(2x)− 2sen(2x))
(E - 10) (a) y =
x
2
+ 1 (b) y = 20x+ 1
(E - 11) y =
x
e
(E - 12) V (t) = −A.ω.sen(ωt+ δ)
(E - 13) V (2) ≈ 0, 2 cm/s
33
CAPÍTULO 2
APLICAÇÕES DE DERIVADAS
Agora veremos como o Cálculo pode nos ajudar a investigar problemas de Matemática e
Física. A partir dessa parte daremos enfâse aos problemas de otimização.
2.1 Máximos e Mínimos
Definição 2.1.1 Seja f uma função definida em um intervalo I e c um número em
I, Então:
• f(c) é máximo de f em I se f(x)≤ f(c) para todo x em I.
• f(c) é mínimo de f em I se f(x)≥ f(c) para todo x em I.
Figura 2.1: Gráficos - Máximo e Mínimo
34
2.1. MÁXIMOS E MÍNIMOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
2.1.1 Problemas de Otimização
Exemplo 2.1.1 Um fazendeiro tem 1200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que
está à margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões
do campo que tem maior área?
Solução: Primeiro faremos um esboço da situação descrita no problema.
Equacionando temos, 2x+ y = 1200 → y = 1200− 2x
Como a área é dada por A = x.y, então A = x.(1200− 2x) = 1200x− 2x2. Fazendo a derivada
de A, em relação a x obtemos A′ = 1200 − 4x, e em seguida, fazendo A' = 0, chegamos em
1200− 4x = 0→ x = 300
Substituindo esse valor (x = 300) em y = 1200− 2.300, chegaremos em y = 600. Portanto, as
medidas procuradas são x = 300m e y = 600m
Exemplo 2.1.2 Deve-se construir uma caixa com base retangular, de retângulo de cartolina
com 16 pol de largura e 21 pol de comprimento, cortando-se um quadrado de cada quina. De-
termine as dimensões desse quadrado para que a caixa tenha o volume máximo possível.
Solução: O volume da caixa será dado por V = x(16−2x)(21−2x) = 2(168x−37x2 +2x3).
Fazendo a derivada de V em relação a x, temos V ′ = 2(168 − 74x + 6x2) = 0. Resolvendo a
equação obtém-se x1 = 3 e x2 = 28/3, como o segundo valor está fora do domínio da função
V (x), a resposta é x = 3.
35
2.1. MÁXIMOS E MÍNIMOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
Exemplo 2.1.3 Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos
devem receber uma cerca reforçada que custa R$3,00 o metro, enquanto os dois restantes custam
R$2,00 o metro. Quais são as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com
R$6000,00?
Solução: Primeiro devemos montar uma equação que representa o custo em relação a x.
Fazendo 2x ∗ (R$2, 00) + 2y ∗ (R$3, 00) = R$6000, 00 → 4x + 6y = 6000 → y = 6000− 4x
6
=
y = 1000 − 2
3
x. Agora substituímos na fórmula da área A = x.y, ficamos com
A(x) = x.
(
1000− 2
3
x
)
= 1000x − 2
3
x2 → A′(x) = 1000 − 4
3
x = 0 → x = 750 m.
Substituindo esse valor em y = 1000 − 2
3
x obtemos y = 1000 − 2
3
.750 = 500 m.
As dimensões procuradas são x = 750 m e y = 500 m.
Exemplo 2.1.4 Um dono de uma fazenda de gado leiteiro está planejando fazer um pasto
retangular ao lado de um rio. Para que haja capim suficiente para o rebanho, o pasto deve
conter 180.000 m2. Não é preciso colocar a cerca ao longo do rio. Quais as dimensões exigirão
a menor quantidade de cerca?
Solução: Primeiro vamos fazer uma ilustração dos dados do enunciado.
A área é dada por A = x.y o que fica
180000 = x.y → y = 180.000
x
.
A função que minimiza o perímetro será dada
por p(x) = x+ 2y e, substituindo o valor de y
obtemos p(x) = x+ 2.
180000
x
= x+
360.000
x
.
Agora faremos p′(x) = 0.
1− 360.000
x2
= 0 → x = 600 m.
Para terminar substituimos esse valor na equação da área 180.000 = 600.y → y = 300 m.
36
2.2. EXERCÍCIOS - MÁX. E MÍN. CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
2.2 Exercícios - Máx. e Mín.
E - 1 Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 por 30 cm,
destacando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o
tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume possível?
E - 2 Um campo retangular está limitado por uma cerca em três de seus lados e por um
córrego reto no quarto lado. Encontre as dimensões do campo com área máxima que
pode ser cercado com 1000 m de cerca.
E - 3 Um campo deve ter o formato de um triângulo retângulo com a hipotenusa ao longo de
um rio reto e uma cerca delimitando os dois catetos do campo. Encontre as dimensões
do campo de maior área que pode ser cercado com 1000 m lineares de cerca.
E - 4 Um retângulo deve ser inscrito em um triângulo retângulo com lados de comprimento
6, 8 e 10 cm. Encontre as dimensões do retângulo com a maior área, supondo que ele
está posicionado com seus lados sobre os catetos.
E - 5 Uma área com 288 m2 deve ser cercada. Em dois lados opostos será usada uma cerca
que custa $1,00 o metro e nos lados restantes, uma cerca que custa $2,00. Encontre as
dimensões do retângulo com menor custo.
E - 6 Umacaixa de base quadrada é mais alta do que larga. Para poder mandá-la pelo
correio, sua altura e o perímetro da base devem somar não mais do que 108 polegadas.
Qual é o volume máximo dessa caixa?
E - 7 Uma caixa aberta deve ser feita com uma folha de metal de 3 por 8 cm, cortando-se
quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Encontre o volume máximo
que uma caixa dessas pode ter.
E - 8 Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de
2.250 cm3. O material para a base e a tampa do recipiente custa $2 por cm2 e dos
lados, $3 por cm2. Encontre as dimensões do recipiente de menor custo.
E - 9 Um recipiente com a forma de um paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume
de 2.000 cm3. O custo da base da tampa é o dobro do custo dos lados. Encontre as
dimensões do recipiente de menor custo.
37
2.3. GRÁFICOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
E - 10 Um recipiente de base quadrada, lados verticais e aberto em cima deve ser feito de 90
m2 de material. Encontre as dimensões do recipiente com o maior volume.
Respostas
(E - 1)
10
3
cm
(E - 2) 500 m e 250 m
(E - 3) 500 m cada lado
(E - 4) 3 cm e 4 cm
(E - 5) 24 m ($1,00) e 12 m ($2,00)
(E - 6) 11664 pol3
(E - 7)
200
27
cm3
(E - 8) 15 cm e 10 cm
(E - 9) 10 cm e 20 cm
(E - 10)
√
30
√
30
2
2.3 Gráficos
Veremos aqui como as derivadas afetam o formato de um gráfico.
Definição 2.3.1 Seja f definida em um intervalo e sejam x1 e x2, pontos do intervalo.
(a) f é crescente no intervalo se f(x1) < f(x2), para x1 < x2.
(b) f é decrescente no intervalo se f(x1) > f(x2), para x1 < x2.
(c) f é constante no intervalo se f(x1) = f(x2), para todos os pontos x1 e x2.
Figura 2.2: Função Crescente
Figura 2.3: Função Decrescente
38
2.3. GRÁFICOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
2.3.1 Teste da primeira derivada
Definição 2.3.2 Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e dife-
renciável no intervalo aberto ]a, b[.
(a) Se f ′(x) > 0 para todo valor de x em ]a,b[, então f é crescente em [a, b].
(b) Se f ′(x) < 0 para todo valor de x em ]a,b[, então f é decrescente em [a, b].
(c) Se f ′(x) = 0 para todo valor de x em ]a,b[, então f é constante em [a, b].
Exemplo 2.3.1 Encontre os intevalos nos quais f(x) = x2− 4x+ 3 é crescente e os intervalos
nos quais é decrescente.
Solução: Derivamos f. f ′(x) = 2x − 4, em seguida calcularemos o ponto crítico fazendo
f ′(x) = 0→ 2x− 4 = 0→ x = 2, depois faremos a análise gráfica dos sinais.
Observamos que:
f ′(x) > 0 quando x > 2 e portanto, f(x) é crescente nesse intervalo.
f ′(x) < 0 quando x < 2 e portanto, f(x) é decrescente nesse intervalo.
Exemplo 2.3.2 Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento para função
f(x) = 3x4 + 4x3 − 12x2 + 2.
Solução: Diferenciando f obtemos f ′(x) = 12x3 + 12x2 − 24x = 12x(x2 + x − 2) =
= 12x(x+ 2).(x− 1). Fazendo a análise dos sinais
Crescente em: −2 < x < 0 e x > 1 Decrescente em: x < −2 e 0 < x < 1
Pontos Críticos: Máximo x = 0 e Mínimo x = −2 e x = 1
39
2.3. GRÁFICOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
2.3.2 Teste da segunda derivada
Definição 2.3.3 O teste
(a) Se f ′′ > 0 para todo x em I ,então o gráfico de f é côncavo para cima em I.
(b) Se f ′′ < 0 para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I.
Figura 2.4: Teste da segunda derivada
Ponto de Inflexão
Definição 2.3.4 Ponto de inflexão: Um ponto P na curva y = f(x) é chamado ponto
de inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para
côncava para baixo ou vice-versa em P.
40
2.3. GRÁFICOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
Exemplo 2.3.3 Determine os intervalos de concavidade da função f(x) = x4 + x3 − 3x2 + 1.
Solução: Faremos as derivadas. f ′(x) = 4x3 + 3x2 − 6x e f ′′(x) = 12x2 + 6x− 6
f ′′(x) = 6(2x− 1)(x+ 1). Agora faremos um estudo do sinal da segunda derivada.
Côncava p/ cima em: x < −1 e x > 1/2 Côncava p/ baixo em:−1 < x < 1/2
Obs.: A notação de intervalo por colchetes também pode ser utilizada como resposta.
Côncava p/ cima em: ]−∞;−1[ e ]1/2;∞[ Côncava p/ baixo em: ]− 1; 1/2[
Notamos que os pontos de inflexão ocorrem em: x = −1 e x = 1/2
Exemplo 2.3.4 Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e pontos
críticos da função f(x) = x3 − 3x
Solução: Faremos o estudo dos sinais da primeira derivada.f ′(x) = 3x2 − 3
Em seguida o estudo dos sinais da segunda derivada. f ′′(x) = 6x
Respostas
Intervalo de Crescimento: x < −1 ou x > 1
Intervalo de Decrescimento: −1 < x < 1
Côncavo p/ cima: x > 0
Côncavo p/ baixo: x < 0
Pontos Críticos: Máximo x = −1, Mínimo x = 1 e Inflexão x = 0
41
2.4. EXERCÍCIOS - GRÁFICOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
2.4 Exercícios - Gráficos
E - 1 Para as funções a seguir determine os intervalos de crescimento e decrescimento e os
pontos críticos.
(a) f(x) = −2x2 + 4x+ 3
(b) f(x) = x2 + 8x+ 10
(c) f(x) = 6x3 − 15x2 + 12
(d) f(x) = x4 − 12x3
E - 2 Determine os intervalos de concavidade e ponto(s) de inflexão das funções a seguir.
(a) f(x) = x3 − 6x2 + 15
(b) f(x) = x3 − 12x
(c) f(x) = x4 − 32x+ 4
(d) f(x) = x4 − 4x3 + 2
E - 3 Determine os intervalos de crescimento, decrescimento e concavidade e todos os pontos
críticos das funções a seguir.
(a) f(x) = x4 − 18x2 + 5
(b) f(x) = x3 − 5x2 + 7x
(c) f(x) = −x3 + 3x2 − 2
(d) f(x) = 5 + 3x2 − x3
E - 4 Observe os gráficos a seguir e determine os intervalos de crescimento e decrescimento.
a) b)
42
2.4. EXERCÍCIOS - GRÁFICOS CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
Respostas
(E-1) (a) Crescente: x < 1, Decrescente: x > 1 e Máximo: x = 1
(b) Crescente: x > −4, Decrescente: x < −4 e Mínimo: x = −4
(c) Crescente: x < 0 ou x > 5/3, Decrescente: 0 < x < 5/3, Máximo: x = 0 e
Mínimo: x = 5/3
(d) Crescente: x > 9, Decrescente: x < 9 e Mínimo: x = 9
(E-2) (a) Côncavo para cima: x > 2, Côncavo para baixo: x < 2 e Ponto de Inflexão:
x = 2.
(b) Côncavo para cima: x > 0, Côncavo para baixo: x < 0 e Ponto de Inflexão:
x = 0.
(c) O gráfico é sempre côncavo para cima e não há ponto de inflexão.
(d) Côncavo para cima: x < 0 e x > 2, Côncavo para baixo: 0 < x < 2 e Pontos
de Inflexão: x = 0 e x = 2.
(E-3) (a) Crescente: −3 < x < 0 e x > 3, Decrescente: x < −3 e 0 < x < 3, Côncavo
p/ cima: x < −
√
3 e x >
√
3, Côncavo p/ baixo: −
√
3 < x <
√
3, Máximo:
x = 0, Mínimo: x = −3 e x = 3 e Inflexão: x = −
√
3 e x =
√
3.
(b) Crescente: x < 1 e x > 7/3, Decrescente: 1 < x < 7/3, Côncavo p/ cima:
x > 5/3, Côncavo p/ baixo: x < 5/3, Máximo: x = 1, Mínimo: x = 7/3 e
Inflexão: x = 5/3.
(c) Crescente: 0 < x < 2, Decrescente: x < 0 e x > 2, Côncavo p/ cima: x < 1,
Côncavo p/ baixo: x > 1, Máximo: x = 2, Mínimo: x = 0 e Inflexão: x = 1.
(d) Crescente: 0 < x < 2, Decrescente: x < 0 e x > 2, Côncavo p/ cima: x < 1,
Côncavo p/ baixo: x > 1,Máximo: x = 2,Mínimo: x = 0 e Inflexão: x = 1..
(E-4) a) Crescimento: x < −1 e 0 < x < 1 Decrescimento: −1 < x < 0 e x > 1
b) Crescimento: x < 1 e x > 3 Decrescimento: 1 < x < 3
43
	Derivadas
	Introdução
	Retas Tangentes e Inclinações
	Derivada como Função
	Notação de derivada
	Derivada de f em um número a
	Técnicas de Derivação
	Derivadas de uma constante
	Potências de x
	Regras da Soma e da Diferença
	Funções Exponenciais e Logarítmicas
	Funções Trigonométricas
	Derivadas de Ordem Superior
	Exercícios - Técnicas de Derivação 
	Taxa de Variação
	Exercícios - Taxa de variação
	Regra do Produto
	Regra do Quociente
	Exercícios - Regras Produto e Quociente
	Regra da Cadeia
	Decomposição das funções compostas
	Usando a Regra da Cadeia
	Exercícios - Regra da Cadeia
	Regra da Cadeia em Funções Especiais
	Exercícios - Funções Especiais
	Aplicações de Derivadas
	Máximos e Mínimos
	Problemas de OtimizaçãoExercícios - Máx. e Mín.
	Gráficos
	Teste da primeira derivada
	Teste da segunda derivada
	Exercícios - Gráficos