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Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 
 
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Capítulo I 
 
GENERALIDADES 
 
1. Conceitos Fundamentais 
 
Definição: a palavra “Topografia” deriva das palavras gregas “topos” (lugar) e “graphen” 
(descrever), que significa a descrição exata e minuciosa de um lugar. 
 
Diferença entre Geodésia e Topografia: A Topografia está inserida na Geodésia, utilizam 
métodos e instrumentos semelhantes, porém, a Geodésia se preocupa com a forma e dimensões da 
Terra, enquanto a Topografia se limita a descrição de área restritas da superfície terrestre. 
 Apesar de a superfície terrestre ser bastante irregular, formada de depressões e elevações, é 
possível considerá-la regular em face da reduzida dimensão destes acidentes em relação ao raio da 
Terra, uma vez que a máxima depressão ou elevação é inferior a 10 km, desprezível ante a extensão 
do raio médio da Terra, aproximadamente igual a 6.371 km. Nestas condições, em primeira 
aproximação, a superfície terrestre pode ser considerada como a superfície de nível médio dos 
mares - supostamente prolongada sob os continentes e normais em todos os seus pontos à direção 
da gravidade - superfície esta denominada de GEÓIDE. 
 Tendo em vista a impossibilidade de ser determinada a equação analítica representativa 
desta superfície, adotou-se como forma da Terra a de um elipsóide de revolução girando em torno do 
seu eixo menor, dito ELIPSÓIDE TERRESTRE, que é definido por: 
 
SEMI-EIXO MAIOR = a 
ACHATAMENTO: A = (a – b) / a 
 
 
 
 
Figura 1.2 
 
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Elipsóide internacional de referência (Hayford, 1924): 
a = 6.378.388 m 
b = 6.356.912 m 
A = 1 / 297 
R = (2a + b) / 3 = 6.371.220 m 
 
 É sob este conceito de forma da Terra que a GEODÉSIA trabalha nos estudos que exigem 
maior rigor matemático. 
 A TOPOGRAFIA por sua vez, que considera trechos de dimensões limitadas, admite a 
superfície terrestre como plana, o que corresponde a desprezar a curvatura da Terra. 
 Assim sendo, a GEODÉSIA e a TOPOGRAFIA têm os mesmos objetivos, diferindo nos 
fundamentos matemáticos em que se baseiam: a geodésia apoiada na trigonometria esférica e a 
topografia, na trigonometria plana. 
 
2. Objetivos da Topografia 
 
A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma 
porção limitada da superfície terrestre, do fundo dos mares ou do interior de minas, desconsiderando 
a curvatura resultante da esfericidade da Terra. Compete ainda à Topografia a locação no terreno de 
projetos elaborados de Engenharia. 
 
Divisões da Topografia: 
• PLANIMETRIA: medida de grandezas lineares e angulares em um plano horizontal; 
• ALTIMETRIA: medida de grandezas lineares e angulares em um plano vertical 
 
 
3. Influência da forma e dimensões da Terra nos levantamentos topográficos 
 
3.1. Introdução 
 
 Por levantamento topográfico pode-se entender como sendo o conjunto de operações que 
tem por objetivo a determinação da posição relativa de pontos na superfície da Terra ou a pouca 
altura da mesma. Essas operações consistem, essencialmente, em medir distâncias verticais e 
horizontais entre diversos pontos, determinar ângulos entre alinhamentos e achar a orientação destes 
alinhamentos. Complementando essas operações tem-se o cálculo das observações permitindo 
determinar distâncias, ângulos, orientações, posições, alturas, áreas e volumes. Com os dados de 
campo, depois de calculados, pode-se representar graficamente, na forma de mapas, perfis 
longitudinais e transversais, diagramas entre outros. A execução de um levantamento topográfico, 
além da necessidade de se conhecer os instrumentos utilizados nas medições requer conhecimentos 
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de geometria, trigonometria plana e esférica, física, astronomia e teoria dos erros e sua 
compensação. 
 Nos levantamentos topográficos parte-se do princípio que a Terra é plana e, por isso, os 
cálculos são essencialmente fundamentados na geometria Euclidiana e na trigonometria plana. Como 
a Terra não é plana, torna-se necessário verificar a sua influência nos levantamentos topográficos. 
 
3.2. Forma e dimensão da Terra 
 
 Geodésia é a ciência que estuda a forma e dimensão da Terra. Em termos de geometria, a 
atual superfície do Planeta é complexa. Vastas áreas (71% de sua superfície total) são tomadas 
pelos oceanos e depressões marítimas que podem atingir até 11.000 m de profundidade. A Terra 
pode caracterizar cordilheiras, montanhas, gargantas sinuosas e profundas, planícies, vales de rios e 
desfiladeiros. Algumas montanhas são muito altas, por exemplo, a altitude do Monte Everest é de 
8.848 m. A elevação média da Terra sobre o nível do mar é de 875 m. 
 Uma idéia generalizada da forma da Terra pode ser obtida pelo uso do conceito de uma 
“superfície de nível”. O fio de prumo oscilante assumirá a posição da vertical verdadeira devido à 
força da gravidade. Pela mesma razão uma superfície de água é horizontal e a linha de prumo 
verdadeira será perpendicular a esta superfície. Uma grande quantidade de superfícies de nível pode 
ser imaginada. Em topografia, especial importância é atribuída para a superfície de nível que coincide 
com o nível médio do mar, o nível de uma superfície de água inanimada dos oceanos do mundo. Esta 
superfície fechada e supostamente contínua, inclusive penetrando nos continentes, é perpendicular à 
direção da gravidade em qualquer ponto e é chamada de Superfície Datum ou simplesmente Datum. 
 As direções da gravidade são função da distribuição das densidades das rochas que formam 
a crosta terrestre. As rochas estão distribuídas de forma variável na crosta terrestre. Por esta razão, a 
superfície Datum (geóide) que é ortogonal em qualquer ponto à linha de prumo verdadeira apresenta 
uma forma complexa e irregular. 
 Quando se determina a forma geométrica de objetos procura-se, usualmente, compará-los 
com sólidos geometricamente regulares. A mesma analogia é seguida na geodésia para determinar a 
forma e tamanho da Terra. A partir de premissas teóricas e observações atuais, a Terra tem, em 
geral, uma forma que pode ser aproximada a um elipsóide de revolução cuja superfície pode ser 
calculada usando fórmulas exatas e é matematicamente bem conhecida. 
 A União Geodésica e Geofísica Internacional já definiu o Sistema de Referência GRS80 
(Geodetic Reference System, 1980), o qual adota o elipsóide de parâmetros: 
 a (semi-eixo maior) = 6.378.137 m 
e 
 α (achatamento) = 1 / 298,257 
 O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, responsável pela geodésia do Brasil, ao 
estabelecer o Sistema Geodésico Brasileiro, adotou a partir de 2005, como sistema de referência 
geocêntrico para as Américas, o SIRGAS 2000. 
 
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3.3. Influência das medidas lineares nos levantamentos topográficos 
 
 A topografia é o conjunto dos princípios, métodos, aparelhos e convenções utilizados para a 
determinação do contorno, das dimensões e da posição relativa de uma porção limitada da superfícieda Terra, do fundo dos mares ou do interior das minas. Compete, ainda, à topografia a locação no 
terreno de projetos elaborados. O topógrafo no desempenho de suas funções deve ter presente as 
seguintes superfícies: 
 (a) a superfície da Terra ao longo da qual são realizadas as operações de medição; 
 (b) o geóide que é simplesmente uma determinada superfície equipotencial do campo da 
gravidade; ao qual estão referidas as altitudes ortométricas. Nos continentes e ilhas acha-se no 
interior da crosta; e 
 (c) a superfície do modelo geométrico, às vezes denominado de superfície de referência e 
sobre a qual são efetuados os cálculos geodésicos; na esmagadora maioria das vezes é o elipsóide 
de revolução. Na topografia, essa superfície é o plano sobre o qual o topógrafo faz os cálculos 
usando em essência, a geometria Euclidiana e a trigonometria plana. 
 Não sendo a Terra plana, torna-se necessário avaliar o erro que se comete quando na 
topografia se faz uso do plano para os cálculos geométricos e trigonométricos dos levantamentos 
topográficos. 
 Nas medidas lineares, deve-se considerar o caso de redução dessa distância para a 
superfície elipsoidal e, depois, a redução da distância elipsoidal para o plano de projeção topográfica. 
 A redução da medida da distância para a superfície elipsoidal é dada por: 
 So = S.R / R + H 
 
onde: 
 So é a distância reduzida à superfície elipsoidal; 
 S é a distância horizontal medida entre dois pontos do terreno; 
 R é o raio da Terra, admitida esférica (na ordem de 6.371 km); e 
 H é a altitude geométrica média da distância medida. 
 
 Alguns autores nacionais apresentam a redução de distância ao geóide. Não é a forma mais 
correta, visto que, o geóide não é uma superfície de cálculo, mas sim, o elipsóide. Por outro lado, 
talvez se deva ao fato da dificuldade em obter-se as altitudes geométricas, pois, o Instituto Brasileiro 
de Geografia e Estatística fornece as altitudes ortométricas. Entretanto, existe uma carta geoidal do 
Brasil, da qual se poderia obter a ondulação geoidal por interpolação gráfica e calcular a altitude 
geométrica. 
 
3.3.1. Planimetria 
 
 Pretende-se avaliar agora a diferença que existe quando se faz a redução da distância 
elipsoidal (para o plano de projeção topográfico). 
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Figura 1.2 
 
 
Da Fig. 1.2 do triângulo retângulo A1OB1, tira-se: 
 tg α = do / R (1.1) 
onde: 
 do é a distância no plano de projeção topográfico; e 
 α é um ângulo central. 
 
Como α é muito pequeno, podemos desenvolver em série de potência tg α e desprezando as 
parcelas superiores às de 3ª ordem, tem-se: 
 tg α ≈ α + α3 / 3 + ... 
que substituindo na equação (1.1), obtém-se: 
 α + α3 / 3 = do / R (1.2) 
mas α = So / R quando α for expresso em radianos, portanto, substituindo na equação (1.2), obtém-
se: 
 So / R + So3 / 3.R3 = do / R 
ou 
 do - So = So3 / 3.R2 (1.3) 
em que do - So representa exatamente a diferença que existe quando se faz a redução da distância 
elipsoidal para o plano de projeção topográfico. 
 Torna-se necessário avaliar até onde se pode realizar um levantamento planimétrico de 
maneira que a influência da curvatura terrestre possa ser desconsiderada. 
 Reescrevendo a equação (1.3), tem-se: 
 do - So = ∆S = So3 / 3.R2 (1.4) 
ou, ainda, 
 ∆S / So = So2 / 3.R2 (1.5) 
 
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 Considerando R ≈ 6.371 km e alguns valores para So, então, com as expressões (1.4) e (1.5) 
pode-se calcular os valores da diferença ∆S e do erro relativo ∆S / So conforme se pode ver na Tab. 
1.1: 
 
 Tabela 1.1: 
So (km) ∆S (m) ∆S / So 
10 0,01 1:1.000.000 
50 1,03 1:48.500 
100 8,21 1:12.000 
 
 Com a expressão (1.5) pode-se determinar o erro relativo da influência da curvatura terrestre 
nas distâncias medidas na superfície terrestre e depois reduzidas ao elipsóide. Assim, conhecendo-
se a exatidão que se deseja no levantamento topográfico, pode-se estabelecer como sendo 10 km, 
50 km, 100 km ou outro valor qualquer a extensão máxima do levantamento planimétrico sem levar 
em consideração a curvatura terrestre. 
 
3.3.2. Altimetria 
 
 Considerando-se, ainda, a Fig. 1.2 pode-se dizer: 
 ___ 
 ∆h = BoB - B1B (1.6) 
 
 Por outro lado, considerando o triângulo retângulo A1OB1 da Fig. 1.2 e aplicando a este o 
teorema de Pitágoras, obtém-se: 
 (R + ∆h)2 = R2 + do2 (1.7) 
que desenvolvendo chega-se a: 
 R2 + 2.∆h.R + ∆h2 = R2 + do2 
ou, 
 ∆h2 + 2.∆h.R = do2 
 ∆h.(∆h + 2.R) = do2 
 ∆h = do2 / ∆h + 2.R 
 ∆h ≈ do2 / 2.R (1.8) 
 À semelhança do que foi feito no item 3.3.1 pode-se considerar R ≈ 6.371 km e para alguns 
valores de do calcular o valor de ∆h obtendo-se: 
 
 Tabela 1.2: 
do (m) ∆h (m) 
0,1 0,0008 
0,3 0,0071 
0,5 0,0196 
0,7 0,038 
1 0,078 
2 0,314 
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 Pela análise da Tab. 1.2 e comparando com os resultados obtidos na planimetria e 
anteriormente inseridos na Tab. 1.1, pode-se constatar que o efeito da curvatura da Terra na 
altimetria é muito mais acentuado do que na planimetria. Desta forma, dependendo da precisão 
interna que se deseja no levantamento topográfico altimétrico pode não ser aconselhável deixar-se 
de considerar o efeito da curvatura da Terra.