P1 Bases matemáticas

Prévia do material em texto

Resolução Prova 1 - 06/07/2023 - Duração: 2h
Docente: BRUNO CARVALHO NEVES - CMCC
Disciplina: Bases Matemáticas - 2023/2
Cada problema vale 20 pontos, escolha 5 questões. Justifique, de forma
legível, suas respostas. As respostas deverão ser marcadas com
caneta azul ou preta.
Nome:
R. A. :
Questão 1 (20 pontos): Determinar o conjunto-verdade em
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} das seguintes sentenças abertas:
|x2 − 3x− 1| = 3a) (x+ 6) /∈ Ab)
|x− 5| = 5− xc) (x2 − 3) ∈ Ad)
Resolução: a) Queremos determinar o conjunto-verdade em A da
sentença aberta
|x2 − 3x− 1| = 3.
Para isso, considere a seguinte mudança de variáveis:
y = x2 − 3x− 1.
Daí, temos que resolver em A a seguinte equação |y| = 3. Pela definição de
módulo, temos que
y = 3 ou y = −3 .
Com efeito, temos duas equações do segundo grau para resolver em A, a
saber,
x2 − 3x− 4 = 0 e x2 − 3x+ 2 = 0.
A primeira nos dá como resultado x = 4 e x = −1. A segunda equação,
x = 1 e x = 2. Como x = −1 /∈ A segue que o conjunto verdade será:
Vp = {1, 2, 4} .
1
b) Nesse caso, queremos encontrar todos os x ∈ A tais que x+ 6 não seja
um elemento de A. Como o conjunto A é limitado, ou seja, para y ∈ A
temos que
1 ≤ y ≤ 10.
Segue que, x+ 6 ≤ 10, ou seja, x ≤ 4. Portanto, o conjunto aonde
x+ 6 ∈ A será
V¬p = {1, 2, , 3, 4} .
Assim, o conjunto aonde x+ 6 /∈ A será o complementar do conjunto
verdade acima, ou seja,
Vp = {5, 6, 7, 8, 9, 10} .
c) Queremos todos os x em A tais que a condição |x− 5| = 5− x seja
válida. Novamente, fazendo uma mudança de variáveis,
y = x− 5,
vemos que, pela definição de módulo, temos que determinar |y| = −y. E
isso, só acontece quando os valores de y são negativos, i.e., y