00 01 AULA PROJEÇÃO ORTOGONAL

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CURSINHO PÚBLICO MINICIPAL BAIÃO-PA Aula 00/01 
CURSINHO PÚBLICO MINICIPAL BAIÃO-PA 
 
O QUE MAIS CAI NA PROVA DE MATEMÁTICA DO 
ENEM? 
 
Conceitos de Matemática Básica, Estatística e Geometria 
Espacial são os campeões de perguntas no Enem. 
 
De acordo com o levantamento, Matemática 
Básica, que é abordada em 32,7% das perguntas do Enem 
entre 2016 e 2022, é o assunto que cai com maior 
recorrência. Isso inclui conceitos de razão, proporção e 
regra de três, porcentagem, operações com números 
inteiros e escalas, por exemplo. Em seguia aparecem 
perguntas de Estatística e Geometria Espacial, com 17,6% 
e 10,9% de incidência, respectivamente. 
Veja a relação completa dos tópicos habituais de 
Matemática segundo a última edição da Análise Enem: 
 
• Matemática Básica: 32,7% 
• Estatística: 17,6% 
• Geometria Espacial: 10,9% 
• Geometria Plana: 9,0% 
• Funções: 6,4% 
• Probabilidade: 4,5% 
• Análise Combinatória: 4,5% 
• Exponencial e Logaritmo: 4,2% 
• Trigonometria: 3% 
 
Leia mais em: 
https://guiadoestudante.abril.com.br/enem/enem-o-que-
mais-cai-em-matematica-e-dicas-de-como-estudar 
 
COMO OBTER UMA BOA NOTA? 
No cálculo da nota, o modelo matemático da TRI 
usado no Enem considera a coerência das respostas 
corretas do participante. Espera-se que participantes que 
acertaram as questões difíceis devam também acertar as 
questões fáceis, pois, entende-se que a aquisição do 
conhecimento ocorre de forma cumulativa, de modo que 
habilidades mais complexas requerem o domínio de 
habilidades mais simples. 
Fonte: Guia do Participante 
 
 
1. NOÇÕES PRIMITIVAS 
 As noções primitivas são adotadas sem definição. 
Adotaremos sem defini as noções de: 
 
PONTO, RETA E PLANO 
 
2. REPRESENTAÇÃO 
• Ponto: A, B, C, ... (letras maiúsculas latinas) 
• Reta: a, b, c, ... (letras minúsculas latinas) 
• Plano: α, β, θ, ... (letras gregas minúsculas) 
 
 
 
3. PROJEÇÃO ORTOGONAL 
De um ponto sobre um plano 
Dado um ponto P e um plano α, encontramos P’. O ponto 
P’ no plano α é chamado de projeção ortogonal do ponto P. 
 
 
 
 
 
De uma reta sobre um plano 
A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano por ser 
um ponto ou uma reta. 
1° Caso: A reta r é perpendicular ao plano α pelo ponto P’. 
O ponto P’ é a projeção ortogonal da reta r sobre o plano α. 
 
 
 
 
 
 
 
2° Caso: A reta r é paralela ou oblíqua ao plano α. 
 
 
A projeção ortogonal da reta r determinada pelos pontos P 
e Q sobre o plano α é a reta r’ determinada pelos pontos P’ 
e Q’. 
 
ENEM 2024 
PONTO, RETA E PLANO 
 
 
 
 
 
 
De uma figura qualquer sobre um plano 
As imagens M’ e N’ são as projeções das imagens M e N, 
respectivamente, sobre o plano α. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(ENEM 2023) Uma empresa de segurança domiciliar 
oferece o serviço de patrulha noturna, no qual vigilantes em 
motocicletas fazem o monitoramento periódico de 
residências. A empresa conta com uma base, de onde 
acompanha o trajeto realizado pelos vigilantes durante as 
patrulhas e orienta o deslocamento de equipes de reforço 
quando necessário. Numa patrulha rotineira, sem 
ocorrências, um vigilante conduziu sua motocicleta a uma 
velocidade constante durante todo o itinerário estabelecido, 
levando 30 minutos para conclusão. De acordo com os 
registros do GPS alocado na motocicleta, a distância da 
posição do vigilante à base, ao longo do tempo de 
realização do trajeto, é descrita pelo gráfico. 
A vista superior da trajetória realizada pelo vigilante durante 
a patrulha registrada no gráfico é descrita pela 
representação 
a) b) c) 
 
d) e) 
 
01. (ENEM 2022) Um robô, que tem um ímã em sua base, 
se desloca sobre a superfície externa de um cubo metálico, 
ao longo de segmentos de reta cujas extremidades são 
pontos médios de arestas e centros de faces. Ele inicia seu 
deslocamento no ponto P, centro da face superior do cubo, 
segue para o centro da próxima face, converte à esquerda 
e segue para o centro da face seguinte, converte à direita e 
continua sua movimentação, sempre alternando entre 
conversões à esquerda e à direita quando alcança o centro 
de uma face. O robô só termina sua movimentação quando 
retorna ao ponto P. A figura apresenta os deslocamentos 
iniciais desse robô. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A projeção ortogonal do trajeto descrito por esse robô 
sobre o plano da base, após terminada sua movimentação, 
visualizada da posição em que se está enxergando esse 
cubo, é: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
02. (ENEM 2022) Uma 
pessoa precisa se 
deslocar de automóvel 
do ponto P para o ponto 
Q, indicados na figura, 
na qual as linhas 
verticais e horizontais 
simbolizam ruas. 
 
 
 
EXÉRCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
Por causa do sentido de tráfego nessas ruas, o caminho 
poligonal destacado é a possibilidade mais curta de efetuar 
esse deslocamento. Para descrevê-lo, deve-se especificar 
qual o sentido a ser tomado em cada cruzamento de ruas, 
em relação à direção de deslocamento do automóvel, que 
se movimentará continuamente. Para isso, empregam-se 
as letras E, F e D para indicar “vire à esquerda”, “siga em 
frente” e “vire à direita”, respectivamente. 
A sequência de letras que descreve o caminho poligonal 
destacado é 
a) DDEFDDEEFFD. 
b) DFEFDDDEFFD. 
c) DFEFDDEEFFD. 
d) EFDFEEDDFFE. 
e) EFDFEEEDFFE. 
 
03. (ENEM 2022) Na figura estão destacadas duas 
trajetórias sobre a superfície do globo terrestre, descritas 
ao se percorrer parte dos meridianos 1, 2 e da Linha do 
Equador, sendo que os meridianos 1 e 2 estão contidos em 
planos perpendiculares entre si. O plano α é paralelo ao 
que contém a Linha do Equador. 
 
 
A 
 
 
 
 
vista superior da projeção ortogonal sobre o plano α dessas 
duas trajetórias é: 
a) b) 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
04. (ENEM 2022) O Atomium, representado na imagem, é 
um dos principais pontos turísticos de Bruxelas. Ele foi 
construído em 1958 para a primeira grande exposição 
mundial depois da Segunda Guerra Mundial, a Feira 
Mundial de Bruxelas. 
Trata-se de uma estrutura metálica construída no formato 
de um cubo. Essa estrutura está apoiada por um dos 
vértices sobre uma base paralela ao plano do solo e a 
diagonal do cubo, contendo esse vértice, é ortogonal ao 
plano da base. Centradas nos vértices desse cubo, foram 
construídas oito esferas metálicas, e uma outra esfera foi 
construída centrada no ponto de interseção das diagonais 
do cubo. As oito esferas sobre os vértices são interligadas 
segundo suas arestas, e a esfera central se conecta a elas 
pelas diagonais do cubo. 
Todas essas interligações são feitas por tubos cilíndricos 
que possuem escadas em seu interior, permitindo o 
deslocamento de pessoas pela parte interna da estrutura. 
Na diagonal ortogonal à base, o deslocamento é feito por 
um elevador, que permite o deslocamento entre as esferas 
da base e a esfera do ponto mais alto, passando pela esfera 
central. 
Considere um visitante que se deslocou pelo interior do 
Atomium sempre em linha reta e seguindo o menor trajeto 
entre dois vértices, passando por todas as arestas e todas 
as diagonais do cubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A projeção ortogonal sobre o plano do solo do trajeto 
percorrido por esse visitante é representada por: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
05. (ENEM 2012) O globo da morte é uma atração muito 
usada em circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em 
forma de uma superfície esférica feita de aço, onde 
motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, 
tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na 
Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte. 
 
 
 
 
 
 
 
Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está 
colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo 
centroda esfera e é perpendicular ao plano do chão. 
Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão 
colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto 
dentro da esfera, percorrendo uma circunferência que 
passa pelos pontos A e B. 
A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do 
chão é melhor representada por: 
 
 
a) b) 
 
 
 
c) d) e) 
 
 
06. (Enem 2020) Em um jogo desenvolvido para uso no 
computador, objetos tridimensionais vão descendo do alto 
da tela até alcançarem o plano da base. O usuário pode 
mover ou girar cada objeto durante sua descida para 
posiciona-lo convenientemente no plano horizontal. Um 
desses objetos é formado pela justaposição de quatro 
cubos idênticos, formando assim um sólido rígido, como 
ilustra na figura. 
 
 
 
 
Para facilitar a movimentação do objeto pelo usuário, o 
programa projeta ortogonalmente esse sólido em três 
planos quadriculados perpendiculares entre si, durante sua 
descida. 
A figura que apresenta uma possível posição desse sólido, 
com suas respectivas projeções ortogonais sobre os três 
planos citados, durante sua descida é: 
a) b) 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
07. (Enem 2012) João 
propôs um desafio a Bruno, 
seu colega de classe, ele iria 
descrever um 
deslocamento pela 
pirâmide a seguir e Bruno 
deveria desenhar a 
projeção desse 
deslocamento no plano da base da pirâmide. 
O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela 
pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a 
seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O 
desenho que Bruno deve fazer é: 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
c) d) e) 
 
08. (Enem 2016) Um grupo de escoteiros mirins, numa 
atividade no parque da cidade onde moram, montou uma 
barraca conforme a foto da Figura 1. A Figura 2 mostra o 
esquema da estrutura dessa barraca, em forma de um 
prisma reto, em que foram usadas hastes metálicas. 
 
 
 
 
 
 
Após a armação das hastes, um dos escoteiros observou 
um inseto deslocar-se sobre elas, partindo do vértice A em 
direção ao vértice B, deste em direção ao vértice E e, 
finalmente fez o trajeto do vértice E ao C. Considere que 
todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de 
menor distância entre os pontos. A projeção de 
deslocamento do inseto no plano que contém a base ABCD 
é dada por: 
 
a) b) 
 
c) d) e) 
 
09. (Enem 2017) Um menino acaba de ser mudar para um 
novo bairro e deseja ir à padaria. Pediu ajuda a um amigo 
que lhe forneceu um mapa com pontos numerados, que 
representam cinco locais de interesse, entre os quais está 
a padaria. Além disso, o amigo passou as seguintes 
instruções: a partir do ponto em que você se encontra 
representado pela letra X, ande para oeste, vire à direita na 
primeira rua que encontrar, siga em frente e vire à 
esquerda na próxima rua. A padaria estará logo a seguir. 
 
 
A padaria está representada pelo ponto numerado com: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
10. (Enem 2017) Uma pessoa pede informação na recepção 
de um prédio comercial de como chegar a uma sala, e 
recebe as seguintes instruções: suba a escada em forma de 
U à frente, ao final dela vire à esquerda, siga um pouco à 
frente e em seguida vire à direita e siga pelo corredor. Ao 
final do corredor, vire à direita. Uma possível projeção 
vertical dessa trajetória no plano do prédio é: 
 a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
11. (Enem 2019) Um grupo de países criou uma 
instituição responsável por organizar o Programa 
Internacional de Nivelamento de Estudos (PINE) com o 
objetivo de melhorar os índices mundiais de educação. 
Em sua sede foi construída uma escultura suspensa, com 
a logomarca oficial do programa, em três dimensões, que 
é formada por suas iniciais, conforme mostrada na figura. 
Essa escultura está suspensa por cabos de aço, de 
maneira que o espaçamento entre letras adjacentes é o 
mesmo, todas têm igual espessura e ficam dispostas em 
posição ortogonal ao solo, como ilustrado a seguir. 
 
 
 
Ao meio-dia. com o sol a pino, as letras que formam essa 
escultura projetam ortogonalmente suas sombras sobre o 
solo. 
A sombra projetada no solo é: 
a) b) 
 
 
c) d) 
 
 
e) 
 
 
 
01. A 02. C 03. E 04. E 05. E 06. E 
07. C 08. E 09. A 10. B 11. E 
GABARITO