Física Clássica Aula 9

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Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
TRABALHO E ENERGIA MECAˆNICA
Rafael,
Suzana
Bras´ılia, 1o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Rafael,Suzana TRABALHO E ENERGIA MECAˆNICA
Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
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Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
Velocidades em um plano inclinado
Considere um plano inclinado de um aˆngulo θ, altura h e
comprimento l sem atrito de onde uma massa m e´ lanc¸ada com
uma velocidade inicial v0
I a massa chega a` base do plano com uma velocidade
v21 = v
2
0 + 2glsenθ
I Como a altura h = lsenθ, o mo´dulo da velocidade depende da
diferenc¸a de altura e independe da inclinac¸a˜o θ, apenas sua
direc¸a˜o...
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Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
Velocidades em um plano inclinado
I Admitindo uma superf´ıcie sem atrito
e desprezando a resisteˆncia do ar, a
massa chega a` base do plano com
uma velocidade suficiente para subir
um plano inclinado de mesma altura
h qualquer que seja sua inclinac¸a˜o α
h h
m
a a 21
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Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
Considere agora um corpo de massa m em queda livre de uma
altura z0 qualquer...
I A velocidade em uma altura intermedia´ria z1 e´ dada por
v21 = v
2
0 + 2g(z0 − z1)
I Reescrevendo-se essa mesma expressa˜o temos:
1
2v
2
1 + gz1 =
1
2v
2
0 + gz0
I Podemos dizer enta˜o que a grandeza 12v
2 + gz e´ conservada
no movimento de uma part´ıcula sob a ac¸a˜o do campo
gravitacional uniforme na vizinhanc¸a da superf´ıcie da terra.
I Se multiplicarmos a grandeza pela massa m esta ainda se
conserva visto que m se conserva no movimento
I m 12v
2
1 + mgz1 = m
1
2v
2
0 + mgz0
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Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
Energia Cine´tica e Energia Potencial Gravitacional
I Pode-se enta˜o definir a Energia Mecaˆnica de um sistema E
por E =
∑
(12mv
2 + mgz) onde a soma e´ estendida a todas as
part´ıculas do sistema.
I A parcela T = 12mv
2 e´ definida com Energia Cine´tica de uma
part´ıcula m que se move com uma velocidade v
I Por outro lado a energia da massa m em repouso a uma
altura z qualquer e´ conhecida como Energia Potencial
Gravitacional dada por U = mgz .
I A energia total de uma part´ıcula de massa m no campo
gravitacional pro´ximo da superf´ıcie terrestre, e´ dada por
E = T + U = 12mv
2 + mgz
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Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
Trabalho da forc¸a constante
I Se uma forc¸a constante F produz um deslocamento ∆x ,
definimos o trabalho realizado por esta forc¸a como sendo
∆W = F∆x
I Suponha que esta forc¸a e´ aplicada a um corpo de massa m,
em um situac¸a˜o sem atrito. De acordo com a 2a Lei e com a
equac¸a˜o de Torricelli, obtemos que ∆W = mv2/2 se o corpo
parte inicialmente do repouso.
I Isto significa que o trabalho foi convertido em energia cine´tica.
I Por outro lado, se substitu´ımos F pela forc¸a peso, teremos
∆W = mg∆x .
I Isto significa que o trabalho tambe´m pode ser interpretado
como variac¸a˜o na energia potencial.
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Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica
Trabalho da forc¸a varia´vel
I Suponha agora que a forc¸a F depende da posic¸a˜o x . Neste
caso, observe que podemos pensar na atuac¸a˜o de uma forc¸a
aproximadamente constante para um ∆x suficientemente
pequeno.
I Portanto o trabalho total deve ser a soma de todos estes
trabalhos, e no limite de ∆x → 0, obtemos
W1→2 =
∫ 2
1
F (x)dx
I Observe que podemos escrever F (x) = ma(x) = m dvdt .
Usando a regra da cadeia, dvdt =
dv
dx
dx
dt = v
dv
dx .
I Finalmente, usando a definic¸a˜o integral obtemos
W1→2 =
∫ 2
1
(mv
dv
dx
)dx = m
∫ 2
1
vdv = m
v22
2
−mv
2
1
2
= ∆T .
I Por outro lado, se
F (x) = −dU(x)
dx
⇒W1→2 =
∫ 2
1
−dU(x)
dx
dx = −∆U
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Trabalho da forc¸a varia´vel
I De acordo com a discussa˜o anterior, se F (x) = −dU(x)dx enta˜o
∆T = −∆U.
I Observe que E = T + U e neste caso ∆E = ∆T + ∆U = 0
ou seja, na˜o ha´ variac¸a˜o na energia total!
I Este tipo de forc¸a e´ denominada forc¸a conservativa (por que
conserva a energia total!).
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Exemplos
I Forc¸a ela´stica:
F (x) = −kx ⇒W1→2 = −
∫ 2
1
kxdx = k
x21
2
− k x
2
2
2
. Note que
F (x) = −dU
dx
onde U(x) = k
x2
2
I Forc¸a gravitacional:
F (x) = mg ⇒W1→2 =
∫ 2
1
mgdz = mgz . Note que
F (x) = −dU
dx
onde U(x) = −mgz
I Forc¸a gravitacional parte 2:
F (x) = G
mM
x2
⇒W1→2 =
∫ 2
1
G
mM
x2
dx = −G mM
x
. Note
que F (x) = −dU
dx
onde U(x) = −G mM
x
I Pergunta: a forc¸a eletrosta´tica e´ conservativa?
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Refereˆncias e lista de exerc´ıcios
I Livro texto, cap´ıtulo 6 (tudo).
I Exerc´ıcios livro texto cap´ıtulo 6 - TODOS.
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	Conservação da Energia Mecânica