10. TEOREMA DE GREEN

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Teoria Exercícios
Introdução
Bem, nós já vimos como calcular uma integral de linha pela
sua definição. Porém, muitas vezes, parametrizar a curva em
que devemos integrar não é uma tarefa tão simples, muitos
menos derivar essa parametrização! Felizmente, há uma
solução para facilitar sua vida nesses casos! :D
O Teorema de Green, que vamos aprender agora, nos fornece
a relação entre uma integral de linha sobre uma curva
fechada e uma integral dupla sobre a região do plano
delimitada por ela. Vamos explicar!
Primeiramente, devemos saber o que é uma curva orientada
positivamente. É simples: imagine-se caminhando sobre a
fronteira da região ao lado. Você vê o domínio D à sua
esquerda, não vê? Pronto, a curva está orientada
positivamente.
Essa definição também vale para regiões com “furos”, veja:
Entendeu? Isso é simples, mas muito importante!
Definição do Teorema
Assim, sendo D uma região fechada no plano , que possui
10. TEOREMA DE GREEN
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CÁLCULO 3
Guia Provas
1. O Que São Integrais Duplas
2. Integrais Duplas Sobre
Regiões Gerais
3. Mudança de Variáveis
4. Coordenadas Polares
5. Integrais Triplas
6. Coordenadas Cilíndricas
7. Coordenadas Esféricas
8. Integrais de Linha - Caso
Escalar
9. Integrais de Linha - Caso
Vetorial
10. Teorema de Green
Teoria Exercícios
11. Campos Conservativos
12. Parametrização de
Superfícies
13. Áreas de Superfícies
14. Integrais de Superfície -
Caso Escalar
15. Integrais de Superfície -
Caso Vetorial
16. Teorema de Stokes
17. Teorema de Gauss
fronteira orientada positivamente, percorrida apenas
uma vez, pelo Teorema de Green,
Onde é um campo vetorial que
possui derivadas de 1ª ordem contínuas em . Importante: O
campo deve estar definido em toda a região !
Em resumo: nós usamos esse teorema para fugir de uma
integral de linha complicada, resolvendo, em vez dela, uma
integral dupla. Bom, já percebeu que você tem que saber
resolver integrais duplas, né?! Então, se você não se lembra
disso, é bom dar uma revisada.
Repare que a integral de linha se dava sobre o contorno da
região , e a integral dupla se dá sobre a própria região.
Então, você vai precisar identificar essa região e escrevê-la
em integrais iteradas, como em qualquer exercício de
integral dupla.
E qual é a função que você vai integrar? Tendo as
componentes e do campo vetorial, você vai calcular as
derivadas parciais e e fazer a diferença entre esses
resultados. Daí, é só resolver a integral dupla!
Confuso? Vamos ver um exemplo pra você entender isso ai.
Exemplo: Calcule ,
onde é a circunferência .
Passo 1: Calcular 
Essa integral parece complicada de calcular pela definição
não é? Então vamos usar o Teorema de Green
Temos:
Passo 2: Montar a integral
Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode
ser escrita como:
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Passo 3: Calcular a integral
Antes de sair calculando, analise a integral que você achou. A
integral de linha se dava sobre a circunferência ,
certo? Então, a integral dupla se dará sobre o interior dessa
curva, ou seja, sobre o círculo .
Como a região de integração é um círculo, o ideal seria
utilizar coordenadas polares e escrever a integral iterada.
Mas aqui não precisamos disso! Basta você se lembrar de que
, então:
Utilizando coordenadas polares, o domínio seria e 
 e teríamos:
Então, podemos dizer que:
Tranquilo, né?
Casos especiais
Agora vamos ver uns casos especiais, variações que você
pode encontrar nos exercícios que for resolver.
Caso 1: Nem sempre o campo vetorial F está definido em todo
o domínio D, então, não podemos aplicar Green diretamente.
Por exemplo, o campo
=
para a região de integração . Como há
descontinuidade na origem (não podemos ter 0 no
denominador!), devemos removê-la antes de aplicar o
Teorema. Nossa região passa a ser a da figura abaixo. O
círculo menor possui um raio qualquer entre 0 e 2, pode ser
1, para facilitar suas contas.
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Caso 2: Em alguns casos, a aplicação do Teorema de Green
levará à integral dupla de um número, por exemplo, 
. Nesse caso, basta lembrar que 
 e calcular a área da região de
integração, como nós vimos no exemplo lá em cima.
Caso 3: Você deve ter em mente que só pode aplicar esse
Teorema em curvas fechadas. Mas e se você não conseguir
calcular uma integral de linha aberta pela definição, não tem
jeito?
Tem sim, em muitos casos, o melhor caminho é “fechar” a
curva que o enunciado forneceu (na melhor forma que você
conseguir), com uma reta, curva, depende da questão. Ainda
mais se o valor de for uma expressão simples, use
Green!
Nesse exemplo ao lado, temos uma curva qualquer, de
parametrização complicada.
Para aplicar o Teorema, formamos uma curva ,
assim, calculamos a integral sobre indiretamente pela
expressão:
Teremos:
Beleza? Vamos ver uns exercícios agora pra fixar isso aí!
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