Geometria Analítica - Planos

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Geometria Analítica
Seção 6 – Planos
Objetivos:
O aluno deverá reconhecer a principal forma de equação do plano (geral) 
Introdução
Se é LI, todos os planos paralelos a e são paralelos entre si. 
Logo, assim como um vetor não-nulo determina a direção de uma reta, um par de vetores LI determina a direção de um plano. Isso motiva a próxima definição:
Equações de Plano
Definição
Se e são LI e paralelos a um plano , o par é chamado par de vetores diretores de . Isto é,
 e são vetores diretores de . 
Observação
Vetores diretores de um plano surgem sempre aos pares e são LI. 
Equações de Plano
(continuação)
Equação Geral do Plano
onde:
Exemplo: Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto P(1,-3,4) e é paralelo aos vetores
 e .
Equações de Plano
(continuação)
Resolução
Primeiro encontramos um vetor normal ao plano
 
A equação do plano x + 5 y + 4z + d = 0 utilizando o ponto P, temos 1 – 15 +16 +d = 0, portanto d = -2.
Resposta
 : x + 5y + 4z – 2 = 0
Equações de Plano
(continuação)
Objetivo
Apresentar a forma de encontrar a interseção entre retas e planos e estudar a posição relativa entre reta/reta, reta/ plano e plano/ plano. 
Posição relativa entre retas e planos
Introdução
Quando a abordagem é a Geometria Analítica, em que os conjuntos são descritos por equações, a questão reduz-se naturalmente à resolução do sistema formado por elas, pois um ponto pertence à interseção se, e só se, pertence a todos os conjuntos, ou seja, se, e só se, satisfaz simultaneamente as equações de todos eles. 
Posição relativa entre retas e planos
(continuação)
São quatro as possibilidades para duas retas r e s de R3: reversas, concorrentes, paralelas distintas ou paralelas coincidentes (isto é, iguais). 
Se é um vetor diretor da reta r e é um vetor diretor da reta s, e se A e B são, respectivamente, pontos de r e s, alguns fatos devem levar considerações:
r e s são reversas se, e só se, é LI. Equivalentemente, r e s são coplanares se, e só se, é LD (isto inclui os casos: concorrentes, paralelas distintas e paralelos coincidentes).
r e s são paralelas se, e só se, é LD.
r e s são concorrentes se, e só se, são coplanares e não são paralelas, isto é, é LD e é LI.
Posição Relativa entre Retas
Duas retas r e s podem ser: coplanares ou não coplanares (reversas). 
Coplanares:
Paralelas ou coincidentes: 
Concorrentes: 
Reversas (não coplanares):
Sendo , , (ponto de r e de s), o produto misto entre eles é diferente de zero.
Posição Relativa entre Retas
(continuação)
Para uma reta r e um plano , são três as possibilidades: r estar contida em , ou serem paralelos, ou serem transversais. 
Neste último caso, a interseção de r e reduz-se a um único ponto; no segundo caso, essa interseção é vazia; e para que r esteja contida em é suficiente que dois de seus pontos, distintos, pertençam a , caso em que 
Posição relativa entre Reta e Plano
Resumo: 
Uma reta pode 
Interceptar o plano em um ponto P;
Pertencer ao plano;
Paralela ao plano.
Posição relativa entre Reta e Plano
(continuação)
Dois planos podem ser:
Paralelos ou coincidentes;
Não paralelos: os planos se interceptam e a intersecção entre eles é uma reta.
Posição relativa entre Plano e Plano