Séries de Potências e Convergência

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 2
Lista de Exerćıcios – Módulo 2 – Lista 3 – Solução
1) Para cada série de potências abaixo, expanda os primeiros quatro termos não nulos e
descubra para quais valores de x 2 R a série converge.
a)
1X
n=1
1
n
xn.
b)
1X
n=0
1
n!
xn.
c)
1X
k=0
(�1)k
(2k)!
x2k.
d)
1X
k=0
(�1)k
(2k + 1)!
x2k+1.
Solução
a) Os quatro primeiro termos não-nulos são
1X
n=1
1
n
xn = x+
x2
2
+
x3
3
+
x4
4
+ · · ·
Aplicando o teste da razão, temos que
lim
�����
1
n+1x
n+1
1
nx
n
����� =
✓
lim
n
n+ 1
◆
|x| = |x|,
temos que a série
1X
n=0
1
n
xn converge quando |x| 1. Quando
|x| = 1, o teste da razão não se aplica e temos que substituir os valores de x direta-
mente.
Para x = 1 a série de potências fica
1X
n=1
1
n
(1)n =
1X
n=1
1
n
que diverge pois é a série harmônica.
Para x = �1 a série de potências fica
1X
n=1
1
n
(�1)n =
1X
n=1
(�1)n
n
que converge pois é a série harmônica alternada.
Segue que a série converge se, somente se x 2 [�1, 1).
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b) Os quatro primeiro termos não-nulos são
1X
n=0
1
n!
xn = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·
Aplicando o teste da razão, temos que
lim
��������
1
(n+ 1)!
xn+1
1
n!
xn
��������
= lim
����
n!
(n+ 1)!
x
���� = lim
|x|
n+ 1
= 0,
onde usamos que (n+ 1)! = (n+ 1)n!. Segue que a série converge para todo x 2 R.
c) Os quatro primeiro termos não-nulos são
1X
k=0
(�1)k
(2k)!
x2k = 1� x2
2!
+
x4
4!
� x6
6!
+ · · ·
Aplicando o teste da razão, temos que
lim
��������
(�1)k+1
(2(k + 1))!
x2(k+1)
(�1)k
(2k)!
x2k
��������
= lim
����
(2k)!
(2k + 2)!
x2
���� = lim
|x|2
(2k + 2)(2k + 1)
= 0,
onde usamos que (2k + 2)! = (2k + 2)(2k + 1)(2k)!. Segue que a série converge para
todo x 2 R.
d) Os quatro primeiro termos não-nulos são
1X
k=0
(�1)k
(2k + 1)!
x2k+1 = x� x3
3!
+
x5
5!
� x7
7!
+ · · ·
Aplicando o teste da razão, temos que
lim
��������
(�1)k+1
(2(k + 1) + 1)!
x2(k+1)+1
(�1)k
(2k + 1)!
x2k+1
��������
= lim
����
(2k + 1)!
(2k + 3)!
x2
���� = lim
|x|2
(2k + 3)(2k + 2)
= 0,
onde usamos que (2k + 3)! = (2k + 3)(2k + 2)(2k + 1)!. Segue que a série converge
para todo x 2 R.
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2) Nos itens abaixo, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,
demonstre porque. Se for falsa, dê um exemplo que prove sua falsidade.
a) Se
1X
n=0
|an| converge, então
1X
n=0
(an)
2 também converge.
b) Se
1X
n=0
(an)
2 converge, então
1X
n=0
|an| também converge.
c) Se lim n
p
|an| 1, de modo que a série de potências converge quando |x| 2.
Quando |x| = 2 a série também diverge, uma vez que, nesse caso, o termo geral não
vai pra zero, pois seu módulo é igual a um.
Portanto o domı́nio dessa série de potências é o intervalo aberto (�2, 2).
b) Como
lim
��������
1
(n+ 1)2n+1
xn+1
1
n2n
xn
��������
=
✓
lim
n
n+ 1
◆
|x|
2
=
|x|
2
pelo teste da razão, a série de potências converge quando |x|
2 1, de modo que a série de potências converge quando |x| 2.
Quando x = 2 a série também diverge, uma vez que, nesse caso
1X
n=1
1
n2n
2n =
1X
n=1
1
n
= 1.
pois é a série harmônica.
Quando x = �2 a série converge, uma vez que, nesse caso
1X
n=1
1
n2n
(�2)n =
1X
n=1
(�1)n
n
é a série harmônica alternada.
Portanto o domı́nio dessa série de potências é o intervalo [�2, 2).
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c) Como
lim
��������
(�1)n+1
(n+ 1)2n+1
xn+1
(�1)n
n2n
xn
��������
=
✓
lim
n
n+ 1
◆
|x|
2
=
|x|
2
pelo teste da razão, a série de potências converge quando |x|
2 1, de modo que a série de potências converge quando |x| 2.
Quando x = 2 a série converge, uma vez que, nesse caso
1X
n=1
(�1)n
n2n
2n =
1X
n=1
(�1)n
n
é a série harmônica alternada.
Quando x = �2 a série diverge, uma vez que, nesse caso
1X
n=1
(�1)n
n2n
(�2)n =
1X
n=1
1
n
= 1
é a série harmônica.
Portanto o domı́nio dessa série de potências é o intervalo (�2, 2].
d) Como
lim
��������
1
(n+ 1)22n+1
xn+1
1
n22n
xn
��������
=
✓
lim
n2
(n+ 1)2
◆
|x|
2
=
|x|
2
pelo teste da razão, a série de potências converge quando |x|
2 1, de modo que a série de potências converge quando |x| 2.
Quando |x| = 2 a série converge absolutamente, uma vez que, nesse caso
1X
n=1
����
1
n22n
xn
���� =
1X
n=1
1
n2
 1, de modo que a série de potências converge quando |x| 2.
Quando |x| = 2 a série também converge, uma vez que para x = ±2, temos que
1X
k=1
(�1)kk4k
(±2)2k =
1X
k=1
(�1)k
k
é a série harmônica alternada, que converge.
Portanto o domı́nio dessa série de potências é o intervalo fechado [�2, 2]
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4) O objetivo desse exerćıcio é apresentar algumas séries de potências que naturalmente
possuem raio de convergência diferente de zero, de um e de infinito.
a) Considere fn a sequência de Fibonacci. Utilizando o teste da razão, mostre que o raio
de convergência de
1X
n=1
fnx
n
é igual dado por R = 1/�, onde � é a razão áurea.
b) Utilizando o teste da raiz, mostre que o raio de convergência de
1X
n=1
✓
1 +
1
n
◆n2
xn
é dado por R = 1/e.
c) Utilizando o teste da razão, mostre que o raio de convergência de
1X
n=1
nn
n!
xn
é dado por R = 1/e.
Solução
a) Pelo teste da razão temos que
lim
����
fn+1xn+1
fnxn
���� = lim
fn+1
fn
|x| = �|x|
onde usamos que
lim
fn+1
fn
= �
Pelo teste da razão, temos que a série de potências converge quando �|x| 1. Ou seja, a série de potências converge quando |x| 1/�, de modo que o raio de convergência é dado por R = 1/�.
b) Pelo Teste da raiz temos que
lim n
vuut
�����
✓
1 +
1
n
◆n2
xn
����� = lim
 ✓
1 +
1
n
◆n2
|x|n
! 1
n
= lim
✓
1 +
1
n
◆n
|x| = e|x|
onde usamos que
lim
✓
1 +
1
n
◆n
= e
Pelo teste da razão, temos que a série de potências converge quando e|x| 1. Ou seja, a série de potências converge quando |x| 1/e, de modo que o raio de convergência é dado por R = 1/e.
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c) Pelo teste da razão temos que
lim
��������
(n+ 1)n+1
(n+ 1)!
xn+1
nn
n!
xn
��������
= lim
(n+ 1)n
nn
|x|
= lim
✓
n+ 1
n
◆n
|x|
= lim
✓
1 +
1
n
◆n
|x|
= e|x|
onde usamos que
lim
✓
1 +
1
n
◆n
= e
Pelo teste da razão, temos que a série de potências converge quando
e|x| 1 () |x| > 1
e
Assim, seu raio de convergência é R = 1/e.
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5) Nos itens abaixo, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,
demonstre porque. Se for falsa, dê um exemplo que prove sua falsidade.
a) Se an é positiva e a série
1X
n=0
an converge, então a série
1X
n=0
(�1)nan converge.
b) Se a série
1X
n=0
|an| diverge, então a série
1X
n=0
an diverge.
c) Toda série alternada converge.
d) Todo polinômio é uma série de potências com raio de convergência infinito.
e) Se uma série de potências
1X
n=0
cnx
n tem raio de convergência R = 1 então seu domı́nio
é (�1, 1).
Solução
a) Verdadeira. A série
1X
n=0
(�1)nan converge absolutamente, pois
1X
n=0
|(�1)nan| =
1X
n=0
an
converge.
b) Falsa. Por exemplo, tome an =
(�1)n
n
. Temos que
1X
n=0
|an| =
1X
n=0
1
n
diverge, pois é a
série harmônica e, no entanto,
1X
n=0
an converge, pelo teste da série alternada.
c) Falsa. Por exemplo, a série alternada
1X
n=0
(�1)n diverge, uma vez que seu termo geral
(�1)n não tende a zero.
d) Verdadeira. Um polinômio p(x) = b0 + b1x + · · · + bkxk de grau k é uma série de
potências
P1
n=0 anx
n, onde os coeficientes são dados por
a0 = b0, a1 = b1, . . . ak = bk
e
an = 0
para todo n > k. Como o domı́nio de um polinômio é a reta toda, segue que o raio
de convergência da série é infinito.
e) Falsa. A série de potências
1X
n=1
1
n
xn analisada na Questão 2(b) dessa lista tem R = 1
mas domı́nio [�1, 1).
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