Ponte com 2 Vigas

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UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07 1
Exemplo de Análise de Tabuleiro com duas Vigas 
 
 
1 Introdução 
 
Mostra-se no que segue um exemplo de determinação das solicitações 
permanentes e móveis das longarinas que formam – juntamente com a laje e a 
transversina de apoio - o tabuleiro de uma ponte Classe 45. O modelo 
estrutural que se adota é o mais simples possível – a ser refinado numa análise 
definitiva – e admite a laje como uma seqüência de vigas funcionando apenas 
na direção transversal. Além disso, a rigidez à torção das longarinas é 
desprezada. Com isto, a ligação laje-longarina só transmite força vertical, como 
uma articulação interna fixa. Ver a Figura 1. 
 
No item 6 a longarina, protendida em pós-tração com aderência posterior, é 
verificada para os principais estados limites. 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: (a) Seção transversal; (b) Transversina de apoio; (c) Modelo estrutural; (d) Vão da 
ponte. 
 
 
 
Articulação fixa 
4,00 m
2,00 m0,50 m1,50 m 
1,70 m 
0,20 m 
hfl= 
0,20 m 
0,50 m 
2%
0,50 m
l = 30,00 m 
(a) Seção transversal. 
(b) Transversina de 
apoio. 
(c) Modelo estrutural. 
(c) Vão da ponte. 
Revestimento asfáltico, 
variável de 0,11 m a 0,04 m
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2. Características geométricas 
 
2.1 Longarina 
 
A largura colaborante da laje, cf. a Figura 2, é definida pelas seguintes 
parcelas: 
 
13 bbbb wfl ++= 
 
onde, de acordo com a NBR 6118:2003, item 14.6.2.2, as parcelas da laje são 
limitadas a (com 0== Mdepontosentredistânciaa , donde no caso 
mla 30== ): 
 
m
m
ma
b
m
m
ma
b
002
002
003100
501
501
003100
1
3
,
,
,,
,
,
,,
=





 =
≤
=





 =
≤
 
 
 
Sendo mbw 500,= , resulta a largura colaborante da laje (a ser usada tanto na 
análise quanto no dimensionamento) igual a: 
 
mbbbb wfl 00400250050113 ,,,, =++=++= 
 
ou seja, toda a laje pode ser considerada como participante da viga. 
 
 
 
 
Figura 2: Características geométricas da seção transversal. 
 
 
De acordo com a Figura 2, obtém-se as características geométricas da seção 
transversal (sub-índice 0 ) da tabela seguinte. 
 
 
b1=2,00 mbw =0,50 mb3=1,50 m 
1,70 m 
hfl= 
0,20 m 
2
11 
y 
CG
bfl=4,00 m
0,5113 m 
1,1887 m 
x x 
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Figura Seção b/h Ai =Área (m2) ycgi(m) 
Momento estático 
em relação ao 
eixo x 
Ai(ycgi-ycgo)2 bihi3/12 
1 3,50/0,50 0,70 0,10 0,0700 0,11841 0,00233 
2 0,50/1,70 0,85 0,85 0,7225 0,09752 0,20471 
Σ A0=1,55 S0x =0,7925 0,21593 0,20704 
 
A distância do CG da seção ao eixo x é igual a mycg 51130551792500 ,,/, == . O 
momento de inércia resulta da soma das duas últimas colunas, ou seja: 
 
4
0 422970207040215930 mI ,,, =+= 
 
 
3. Determinação das cargas atuantes na longarina 
 
3.1 Cargas permanentes 
 
As cargas permanentes originam-se do peso próprio da estrutura, do passeio, 
do revestimento asfáltico (inclusive eventual reposição de 2 kN/m2) e do 
guarda-corpo (de espessura 0,15 m, e peso próprio estimado em 1 kN/m). 
 
peso próprio g0=A0 concrγ +passeio = (1,55+0,20x0,5)x25= 41,15 kN/m
rev. asfáltico g1=Aasf asfγ +reposição = [0,5x(0,04+0,11)x24+2]x3,5= 13,30 kN/m
guarda-corpo g2 = 1,00 kN/m
Soma g = 55,55 kN/m
 
3.2 Carga móvel 
 
A carga móvel para ponte CL45 consta de um veículo de 6 rodas e peso igual a 
450 kN (ou 75 kN por roda), de uma multidão igual a 5 kN/m2, ambas 
majoradas pelo coeficiente de impacto, e de uma multidão no passeio de 
intensidade igual a 3 kN/m2, sem impacto. Assim, tem-se: 
 
Coeficiente de impacto: 19130007041007041 ,,,,, =×−=−= lϕ 
Carga de uma roda: kN258975 ,=ϕ 
Carga de multidão (na pista): 29555 mkN /,=ϕ 
Carga de multidão (no passeio): 23 mkN / 
 
Admite-se para pré-dimensionamento que a linha de distribuição transversal de 
carga (LDTC) seja a linha de influência de reação de apoio de uma viga bi-
apoiada com balanços, uma vez que a rigidez à torção da longarina está 
desconsiderada neste cálculo simplificado. Ver a Figura 3. 
 
 
 
 
 
 
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Figura 3: Determinação do trem-tipo da longarina. 
 
 
Conforme a Figura 3, tem-se a seguinte repartição de carga para a longarina 
da esquerda: 
 
Contribuição de cada par de rodas: 
 
Q=89,25(1,222+0,778)=89,25x2=178,5 kN 
 
Note-se que, na posição mais desfavorável, a longarina recebe a carga total do 
veículo com impacto, i.e., 450ϕ =535,5 kN, pois são 3 pares de roda que a 
carregam (3x178,5=535,5 kN). 
 
Multidão (no corte pelo veículo): 
 
q1=5,95(0,667x3/2)+3[(1,356+1,333)x0,10/2]=6,36 kN/m 
 
Multidão (no corte transversal fora do veículo): 
 
q2=5,95(1,278x5,75/2)+3[(1,356+1,278)x0,35/2]=23,25 kN/m 
 
O trem-tipo resultante está mostrado na Figura 4. 
 
 
Articulação fixa Articulação fixa 
3,00 m0,50 m2,00 m 0,50 m 
0,10 m 
0,15 m 
5,75 m0,35 m 
0,667 
0,778 
1,000 
1,222 
1,278 
1,333 
1,356 
4,50 m
LDTC
Corte pelo veículo
Corte fora do veículo
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Figura 4: Trem-tipo da longarina. 
 
 
Note-se que a LDTC tem uma região negativa, o que implica na existência de 
um trem-tipo negativo. A importância deste trem-tipo está na consideração da 
fadiga dos materiais. A sua determinação é feita de modo análogo ao do trem-
tipo positivo da Figura 4. 
 
 
5. Solicitações na longarina 
 
Calculam-se neste item apenas as solicitações que permitem comprovar se a 
estrutura atende os estados limites previstos em norma. 
 
5.1 Solicitações permanentes 
 
Máximo momento fletor: Mg=gl2/8=55,55x302/8=6249 kNm 
 
Máxima força cortante: Vg=gl/2=55,55x30/2=833 kN 
 
5.2 Solicitações da carga móvel 
 
O máximo momento fletor da carga móvel é obtido a seguir através de linha de 
influência da longarina, como viga bi-apoiada. Ver a Figura 5. 
 
 
 
Figura 5: Linha de influência do momento fletor no centro do vão. 
 
 
maxMq=178,5(7,52+2x6,75)+6,36[(7,5+6)6/2]+23,25[2(6x12/2)]=5680 kNm 
1,5 m1,5 m 1,5 m 1,5 m
6 m faixa do veículo 
faixa fora do veículo faixa fora do veículo 
Q=178,5 kNQ=178,5 kNQ=178,5 kN
q2=23,25 kN/m q2=23,25 kN/m q1=6,36 
kN/m 
Q=178,5 kNQ=178,5 kNQ=178,5 kN
q2=23,25 kN/m q2=23,25 kN/m q1=6,36 
kN/m 
1
7,500
6,750 6,750
6,000 6,000
4x1,5 12 m 12 m 
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Figura 6: Linha de influência da força cortante no apoio. 
 
 
maxVq=178,5(1+0,95+0,9)+6,36[(1+0,85)4,5/2]+23,25(0,85x25,5/2)=787,2 kN 
 
 
6. Pré-dimensionamento das armaduras longitudinais ativa e passiva. 
 
6.1 Dados iniciais 
 
Obtém-se neste item a cablagem a adotar, bem como a armadura passiva 
longitudinal, a qual complementa a resistência da peça no ELU-Flexão simples. 
Os dados mecânicos dos materiais a usar são os seguintes: 
 
Aço categoria CP 190 RB 15,2: 
 
resistência característica à ruptura por tração: fptk=1900 MPa, 
resistência característica ao escoamento: fpyk=0,9fptk=1710 MPa, 
valor de cálculo no ELU da resistência ao escoamento: fpyd=fpyk/1,15=1487 MPa 
 
Aço para armadura passiva: CA-50 
 
valor de cálculo no ELU da resistência ao escoamento: fyd=fyk/1,15=435 MPa 
 
Concreto Classe 30, cf. a Tabela 7.1 daNBR 6118, item 7.4.2, para classe de 
agressividade II (ver a seguir): fck=30 MPa, 0,85fcd=0,85x30/1,4=18,21 MPa. 
 
A disposição dos cabos na seção central deve obedecer aos espaçamentos 
mínimos prescritos na NBR 6118, item 18.6.2.3, após escolher na Tabela 7.2 
da NBR 6118, item 7.4.7.6, o cobrimento das armaduras em função da classe 
de agressividade do meio ambiente (CAA) em que se situará a ponte. 
Admitindo-se, por hipótese, CAA II (agressividade ambiente moderada, região 
urbana, risco pequeno de deterioração da estrutura, cf. a Tabela 6.1 da mesma 
norma), obtém-se da Tabela 7.2 o cobrimento para concreto protendido: 
mmc 35= . Para o estribo que compõe a armadura transversal, prevê-se 
diâmetro mmt 10=φ . Os espaçamentos mínimos impostos na mencionada 
Tabela 18.1, para cabos compostos por 12 cordoalhas de diâmetro nominal 
Q=178,5 kN Q=178,5 kN 
q2=23,25 kN/m q1=6,36 
kN/m 
0,950 
0,900 
1,000 
3x1,5 25,5 
Q=178,5 kN 
0,850
1/30
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15,2 mm, estão mostrados na Figura 7. O diâmetro externo da bainha para o 
cabo adotado é mmextb 85== φφ . 
 
 
 
Figura 7: Disposição dos cabos na seção central. 
 
 
Conforme mostra a Figura 7, a distância d ′ do CG dos cabos à base da viga é 
igual a: 
 
mmmacd vbt 200051722
85851035
2
,, ≅=+++=+++=′ φφ 
 
No pré-dimensionamento que segue, admite-se que a armadura passiva tenha 
mesmo CG que a armadura ativa. 
 
6.2 Estado Limite Último – Flexão 
 
No centro do vão tem-se o momento solicitante de cálculo e o braço de 
alavanca (supondo a resultante de compressão no meio da laje), iguais a: 
 
kNmMMM qgfSd 167005680624941 =+=+= )(,)max(γ 
 
m
h
dhz fl 40110200701
2
,,,, =−−=−′−= 
 
Com estes dados obtêm-se as forças resistentes no centro do vão: 
 
kN
z
MRRR Sdpasssprotsc 11929401
16700
===+=
,,,
 
 
O concreto da laje resiste a esta força com uma altura y do bloco retangular de 
tensões igual a: 
cflcd Rybf =850, , ou seja, OKmmhmmy fl 20071631042118
1011929
3
3
=≤=
××
×
= ,
,
 
mmbw 500=
mm
mm
a exth 8540
=






≥
φ
mm
mm
a extv 8550
=






≥
φmmext 85=φ 
mmc t 45=+φ 
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A armadura ativa consta de 4 cabos, cada qual com 12 cordoalhas de diâmetro 
nominal 15,2 mm (ou 
″
8
5 ). Como a área de uma cordoalha vale 140 mm2, tem-
se no total: 
 
26720140124 mmAp =××= 
 
Logo, a força de cálculo dos cabos é: 
 
kNfAR pydpprots 99931014876720
3
=××== −, 
 
Assim, a armadura passiva deve resistir à força complementar dada por: 
 
2
3
4451
435
1019361936999311929 mmAdondekNfAR sydspasss =
×
==−== ,,, 
 
Pode-se adotar 25102016 φφ ou , distribuídos simetricamente no banzo 
tracionado do qual esta armadura faz parte, mesmo até o apoio. 
 
 
6.2 Cargas Equivalentes da Protensão nos Estados Limites de Serviço 
 
Em serviço, a protensão é estabelecida de modo a contrapor-se à carga 
permanente (incluindo-se, eventualmente, a parcela quase-permanente da 
sobrecarga, que no caso de pontes é uma fração pequena da carga móvel). 
 
No exemplo, estima-se as perdas de protensão em 10% para atrito, e em 
outros 15% para as perdas por retração e fluência do concreto e por relaxação 
do aço de protensão. Assim, a força de protensão a tempo infinito (i.e., após 
todas estas perdas) é igual a 75% do valor da força inicial de protensão. Logo, 
 
0750 PP ,=∞ 
 
Por outro lado, a força inicial de protensão é fixada através da tensão inicial 
permitida por norma, a saber, MPaf ptkp 140619007407400 =×== ,,σ . Assim, 
obtém-se: 
 
kNAP pp 94481014066720
3
00 =××==
−σ , e kNP 70869448750 =×=
∞
, 
 
Para cabos parabólicos, a força 
∞
u de mudança de direção vale 2
8
l
fP
∞
, onde 
f é a flecha da parábola, e l é o comprimento do cabo, no caso igual ao vão 
da viga. Igualando a zero a soma de 
∞
u com a carga permanente da longarina, 
resulta: 
 
mkNgu /,5555−=−=
∞
 
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donde a flecha da parábola 
 
m
P
M
P
gl
fsejaoug
l
fP g 880
7086
624988
2
2 ,,, =====
∞∞
∞
 
 
Assim, a extremidade do cabo resultante (cabo único, equivalente em força e 
posição aos 4 cabos adotados) dista da base da viga: 
 
mdf 081200880 ,,, =+=′+ 
 
Como se vê, este valor é próximo da distância do CG da seção à base da peça, 
igual a m191,≈ . Por causa desta diferença, as cargas equivalentes da 
protensão, transpostas para o eixo da peça, terão nas extremidades da viga, 
após todas as perdas, um momento kNmMcp 7800811917086 −=−−=∞ ),,( , além 
das forças kNPNcp 7086−=−= ∞ e kN
luVcp 8332
305555
2
−=
×
−=−=
∞
, . Ver a 
Figura 8. 
 
 
 
 
 
Figura 8: Cargas equivalentes de protensão após todas as perdas. 
 
 
Note-se que, sob ação exclusiva da protensão, não há reação de apoio. 
 
A ancoragem dos 4 cabos na face vertical da extremidade da viga deve levar 
em consideração as dimensões da placa de ancoragem, bem como os 
afastamentos horizontal e vertical entre as várias placas e, ainda a distância 
mínima destas às bordas da peça. Ver a Figura 9. Nesta figura estão indicadas 
duas alternativas de disposição dos cabos, cf. as Figuras 9b e 9c. Nesta última, 
os cabos podem ser dispostos na face externa da viga (sem alteração de sua 
largura) com mmW 2501 = e mmX 375= , de modo que o CG dos cabos dista 
da base da viga mmXWh 5887375512501700511 ,),(),( =×+−=−− . Como 
mmd 5172,=′ , a flecha do cabo resultante altera-se para 
mmf 71551725887 =−= ,, . 
ml 30=
mkNu /,5555−=
∞
kNP 7086−=
∞
 
kNlu 833
2
−=
∞
kNlu 833
2
−=
∞
 
kNP 7086−=
∞
 
kNmMcp 780−=∞ 
kNmMcp 780−=∞
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Figura 9: Distâncias para a ancoragem dos cabos na face vertical externa da viga. 
 
 
Neste caso há redução da força de mudança de direção, que passa a valer 
mkNu /),( 45
30
715087086 2 −=
×
×−=
∞
. Ao mesmo tempo e em compensação, 
aumenta o momento kNmMcp 21268901917086 −=−−=∞ ),,( , pois o momento 
total da protensão no centro do vão continua com o mesmo valor anterior, uma 
vez que não houve alteração nos valores de 
∞
P e d ′ . Ver a Figura 10a. 
 
 
6.3 Verificação do Estado Limite Último – Força Cortante 
 
Considerando, na hipótese mais desfavorável, o valor da força de mudança de 
direção igual a mkNu /45−=
∞
, tem-se junto ao apoio o valor de cálculo da 
força cortante no concreto igual a kNVcpp 56072
304590 ,)(, −=×−×=γ , onde 
90,=pγ é o valor do coeficiente de segurança da protensão a adotar nos casos 
em que sua atuação é favorável. Assim, a máxima força cortante efetiva vem a 
ser: 
 
A=300 mm 
A mmext 85=φ
mmW 250≥
 
mmX 375≥
 
mmU 250≥
 
U U
 mmV 375≥ 
mm
WXUh
875
=++≥
mmVUbw 8752 =+≥
(a) Chapa de ancoragem do cabo, 
e diâmetro externo da bainha. 
(b) Distâncias mínimas entre chapas 
e entre chapas e a borda da viga. 
Alternativa com alargamento da viga
para bw=900 mm. 
mmUbw 5002 =≥
mmX 3753 ≥
mmW 250≥
 
mmW 250≥
 
(c) Distâncias mínimas entre chapas 
e entre chapas e a borda da viga. 
Alternativa sem alargamento da 
viga. 
mm
WXh
1625
23 =+≥
 
1
1 
2
3
4
2 
3 4 
Numeração dos cabos cf. a 
seqüência de protensão. 
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kNVVVV cppqgfefd16615607278783341 =−+=++= ,),(,)max(, γγ 
 
A tensão de compressão no concreto da alma da viga deve verificar a seguinte 
desigualdade (pondo mmbb extwefw 41522
1
=−= )(. φ , dz 90,= e 2=θcot ): 
 
2
3
47502
150090415
101661
cd
efw
efd
cwd fMPadb
V
≤=+
××
×
=+= ,),(
,
)tan(cot
,
, θθσ 
 
onde a resistência do concreto da alma, em estado duplo de tensão do tipo 
compressão-tração, é dada por: 
 
MPaffff
c
ckck
cdcd 31141
30
250
30160
250
18507070 12 ,,
)(,])(,[,, =−=−==
γ
 
 
Logo, há segurança contra o esmagamento do concreto da alma. 
 
 
6.4 Verificação de Estados Limites de Serviço 
 
Em serviço deve-se considerar a combinação das ações originadas pela carga 
permanente e protensão, e pelas cargas móveis. Destas últimas interessam 
seus valores quase-permanente (para perda de protensão por fluência e por 
relaxação do aço, mas somente se for mais desfavorável), freqüente (para 
flecha imediata, abertura de fissura, e fadiga) e raro (para determinar se há 
fissuração). Conforme a NBR 6118, item 23.5.2, o coeficiente 1ψ que define o 
valor freqüente das cargas móveis em pontes rodoviárias vale 501 ,=ψ para a 
verificação das vigas (longarinas), 801 ,=ψ para a verificação das 
transversinas, e 801 ,=ψ para a verificação das lajes do tabuleiro. O valor 
quase-permanente da carga móvel (em pontes rodoviárias) é obtido através do 
fator de combinação 202 ,=ψ , cf. a NBR 8681/1984, item 5.1.4.4 e Tabela 5. O 
valor raro (i.e., característico) das cargas móveis é o fixado em norma e 
corresponde às cargas adotadas no item 3.2 deste trabalho. 
 
6.4.1 Estado Limite de Formação de Fissuras 
 
Para saber se haverá fissuração na combinação rara das ações deve-se 
comparar o momento de fissuração com o máximo momento fletor vindo das 
cargas. 
 
A resistência do concreto na flexão, para o quantil de 5%, é dada por: 
 
MPah
h
ff ctkflct 1120921931
100
170051
100
1700511
3020
100
51
100
511
70
70
3
2
70
70
,,,]
)(,
)(,
[,
)(,
)(,
,
,
,
,
inf,, =×=
+
×=
+
= 
 
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O momento de fissuração da face inferior da viga no caso de peças 
protendidas deve vencer a tensão normal de compressão e a resistência à 
tração do concreto em flexão. Para a força normal kNPNcp 7086−=−= ∞∞, , a 
tensão de compressão é MPa
A
P
cp 57410551
107086
6
3
0
,
,,
−=
×
×
−=−=
∞
∞
σ . Assim, o 
momento de fissuração da face inferior é igual a: 
 
kNmNmmf
y
IM cpflctcr 23761023765741121189
1022974 611
02
0
=×=−−
×
=−=
∞
)],(,[,)( ,, σ 
 
 
 
Figura 10: Momentos fletores na longarina em serviço: (a) ações permanentes; (b) momentos 
fletores nas várias combinações. 
 
 
A Figura 10 mostra os diferentes diagramas de momento fletor na longarina, 
para três combinações das ações: permanente, freqüente e rara. Como se vê 
na Figura 9b, na combinação freqüente, sendo kNmkNmMcr 19012376 >= , 
não há fissuração na borda inferior da viga. 
 
ml 30=
mkNug /,, 5510455555 =−=+
∞
kNP 7086−=
∞
 
kNlu 675
2
−=
∞
kNlu 675
2
−=
∞
 
kNP 7086−=
∞
 
kNmMcp 2126−=∞ kNmMcp 2126−=∞
kNlg 3833
2
,=
2126− 2126−
 
939−
47415680939 =+−
1901568050939 =×+− ,
Mg+Mcp,∞ 
(2) Combinação freqüente das 
ações. 
(3) Combinação rara das ações. 
Mg+Mcp,∞+ψ1Mqk 
Mg+Mcp,∞+ Mqk 
(1)Combinação permanente das 
ações. 
(a) Cargas permanentes e cargas 
equivalentes da protensão após 
todas as perdas. 
(b) Momentos fletores (kNm) nas 
várias combinações das ações. 
Mcr=2376 
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Entretanto, a fissuração ocorre na combinação rara das ações. Com isto, no 
trecho da viga onde há fissuração nesta combinação, deve-se contar com a 
rigidez do Estádio II. Admitindo, grosso modo, que o diagrama de momento 
fletor seja parabólico, sua equação é (unidades kN e m): 
 
212669155230 2 −+−= xxxM ,,)( 
 
Os valores de x para kNmMcr 2376= são mem 8023206 ,, . Portanto, a viga 
terá %),,( 59100
30
2068023
=×
− do seu vão ml 30= no Estádio II na combinação 
rara das ações. 
 
6.4.2 Determinação da Rigidez Secante e da Rigidez Tangente à Flexão no 
Estádio II 
 
No que segue, determina-se de forma simplificada a rigidez secante à flexão e 
as tensões no Estádio II no concreto e na armadura passiva, assim como o 
acréscimo de tensão na armadura ativa, a partir do estado de neutralização. 
Admite-se: 
 
(a) alturas úteis iguais para ambas as armaduras, i.e., ps ddd == . 
(b) iguais módulos de elasticidade para ambas as armaduras, i.e., 
cs
s
ps E
E
==αα . No caso, tem-se MPaEE ps 200000== , e 
MPaEcs 26072305600850 =×= , , donde o coeficiente de equivalência 
677
26072
200000 ,==sα . 
(c) os materiais seguem a lei de Hooke. 
(d) o concreto à tração é desprezado. 
 
A rigidez secante à flexão de seções T protendidas no Estádio II (puro, cf. 
hipótese (d)) é dada pela seguinte expressão: 
 
)]()())(([)( xdxbhdhbhxhdhbEIEEI wflflflhflflcsIIcsII −+−+−−== 33236
22
11 
 
onde 
 
wfl bbb −=1 é a largura da mesa colaborante fora da alma da seção T; 
 
flh é a espessura da laje; 
 
x é a profundidade da linha neutra, dada pela seguinte equação cúbica: 
 
032
2
1
3
0 =+++ axaxaxa 
 
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onde 
 
wba χ=0 , )( dba w χ311 −= , )()]([ pssflfl AAhdhba ++−−= αχ 223212 , 
 
dAAhdhba pssflfl )()]([ +−−−−= αχ 2231213 
 
serviçod
n
M
P
,3
=χ 
 
 
Figura 11 - Superposição do Estado de Neutralização com a flexão composta normal na 
seção completa. 
 
 
nP é a força de neutralização (força de tração aplicada no CG da armadura 
ativa para a qual são nulas as deformações da seção de concreto e armadura 
passiva, considerada apenas a protensão, ver a Figura 11). Para as perdas 
admitidas no exemplo (10% de perdas por atrito e 15% de perdas progressivas) 
esta força pode ser estimada em: 
 
kNfAfAP ptkpptkpn 759010190067205940594005185090740
3
=×××==×××≅ −,,),,,,(
 
A deformação de neutralização correspondente é: 
 
100065594005185090
740
/,,,,,
,
==××≅
p
ptk
p
ptk
n E
f
E
f
ε 
 
O valor de cálculo do momento solicitante em serviço a considerar corresponde 
à combinação rara das cargas, ou seja: 
 
kNmMMM qgserviçod 1192956806249 =+=+= max, 
 
donde 
 
13
6
3
1021210
10119293
107590
3
−−×=
××
×
== mm
M
P
serviçod
n ,
,
χ 
 
ε
Ap
= =
−
= ∆
σ ε
ε ε ε
0
,
: :
p
c c
n n n
cp pA P
I Estado de
Neutralização
P
M
II Solicitação na
Seção Completa
A S+ A S+
= ∆ε εcp pε =S
ε S=
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A solução da equação cúbica pressupõe que a LN atinja a alma da seção, i.e., 
flhx ≥ . Se esta condição não ocorrer, refaz-se o cálculo pondo flw bb = . No 
exemplo, com mmbw 500= , mmb 35001 = , mmhfl 200= , mmd 1500= , 677,=sα , 
21172067205000 mmAA ps =+=+ , obtém-se: 
 
47620,=
d
x e flhmmx ≥= 3714, OK 
 
2161099551 NmmEI II ×= ,)( sec, 
 
A curvatura da seção é igual a: 
 
17
16
6
109785
1099551
10119291
−−×=
×
×
== mm
EI
M
r II
serviçod ,
,)( sec,
, , e adimensionalmente 
 
8967010
3
,=
r
d 
 
A tensão máxima no concreto é igual a 
 
MPax
r
EE csccsc 111371410978526072
1 7 ,,, =×××=== −εσ 
 
A tensão na armadura passivae o acréscimo de tensão na armadura ativa são: 
 
MPa
x
xd
csps 9931113714
37141500677 ,,
,
,, =−=−=∆= σασσ 
 
A tensão total na armadura ativa é, cf. a Figura 11, a soma da existente no 
estado de neutralização com o acréscimo obtido acima, donde: 
 
MPa
A
P
p
p
n
ppnp 912239931130 ,, =+=∆+=∆+= σσσσ 
 
Procurando por tentativas o valor de M para o qual dx = , e portanto 
0=∆= ps σσ , obtém-se 
kNmM 9532= , mmx 11499,= , 2161004625 NmmEI II ×= ,)( sec, , 28330
103 ,=
r
d , 
 
MPac 387,=σ . 
 
Com os dois momentos considerados, pode-se obter a rigidez tangente da 
seção transversal: 
 
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2163
6
3
3 10586201500102833089670
1095321192910
10
Nmmd
r
d
MEI II ×=××
−
×−
=×
∆
∆
= ,
,,
)(
)(
)( tan, 
 
com o qual se pode calcular deslocamentos no Estádio II. 
 
Para finalizar, note-se que na combinação freqüente das cargas a seção está 
comprimida, pois a variação do momento fletor corresponde a 
kNmMq 28405680501 =×= ,maxψ e o valor de cálculo do momento de serviço é: 
 
kNmkNmMMM qgserviçod 95329089284062491 <=+=+= max, ψ . 
 
Por conseqüência, é baixa a variação de tensões nas armaduras longitudinais. 
Assim, pode-se comprovar que na flexão da presente longarina não há 
aumento da armadura longitudinal por fadiga.