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Topografia aplicada à Engenharia Civil - prof. Iran C. S. Corrêa

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feitas em épocas diferentes, permite determinar a nova posição M' da marca, 
relativa à antiga posição M. 
 
1.3 Cálculo do Método da Variação das Coordenadas 
 
 Este método determina o deslocamento de pontos por processo analítico em função da 
variação de αd , o qual representa a diferença angular entre duas medidas efetuadas em 
épocas diferentes. 
 
 Considerando-se a figura 41, temos: 
 
Topografia Aplicada à Engenharia Civil 2006 / 8ª Edição Iran Carlos Stalliviere Corrêa 
Departamento de Geodésia – IG/UFRGS Porto Alegre/RS 
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α
dα
N
E
I
M
M'
EM
NM
EI
NI
(EM-EI)
(N
M
-N
I)
lα
 
Fig.41 
 
 Partindo-se da fórmula do sistema cartesiano, temos: 
IM
IM
NN
EE
tg
−
−
=α 
 
logo, podemos dizer que: 
 
IM
IM
NN
EE
arctg
−
−
=α 
 
derivando-se a equação, temos: 
 
IM
IM
NN
EE
darctgd
−
−
=α (1) 
 
sabendo-se que a derivada do arco tangente de um ângulo é: 
 
21 V
dV
darctgV
+
= 
 
e considerando-se para o caso que "V" é igual a: 
 
IM
IM
NN
EE
V
−
−
= 
 
derivando a equação (1) teremos: 
 
2
2
2
)(
)(
1
)(
))(())((
IM
IM
IM
IMIMIMIM
NN
EE
NN
dNdNEEdEdENN
d
−
−
+
−
−−−−−
=α 
 
pela figura 41, podemos deduzir que: 
 αα sen.)( lEE IM =− 
e 
 αα cos.)( lNN IM =− 
 
substituindo, temos: 
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2
2
2
)(
)sen.(
1
)(
)(sen.)(cos.
IM
IM
IMIM
NN
l
NN
dNdNldEdEl
d
−
+
−
−−−
=
α
αα
α
α
αα
 
 
onde: 
 
2
22
2
)(
)sen.()cos.(
)(
)(sen.)(cos.
IM
IM
IMIM
NN
ll
NN
dNdNldEdEl
d
−
+
−
−−−
=
αα
αα
α
αα
αα
 
 
simplificando-se os denominadores e colocando-se αl em evidência, temos: 
 
)sen(cos
)(sen.)(cos.
222 αα
αα
α
α
αα
+
−−−
=
l
dNdNldEdEl
d IMIM 
 
simplificando-se, temos: 
 
α
αα
α
l
dNdNdEdE
d IMIM
)(sen)(cos −−−
= 
 
a equação acima nos fornece αd em radianos; para transformá-la em segundos, devemos 
multiplicar a equação por 206265. Logo: 
 206265
)(sen)(cos
" ×
−−−
=
α
αα
α
l
dNdNdEdE
d IMIM (2) 
 
 Se efetuarmos o mesmo cálculo para a estação II da figura 40 teremos: 
 206265
)(sen)(cos
" ×
−−−
=
β
ββ
β
l
dNdNdEdE
d IMIM (3) 
 
Da equação (2) e (3) 
 MdE e MdN representam a variação das coordenadas da barragem 
 IdE e IdN representam a variação das coordenadas da estação 
 
Se considerarmos que as estações, a partir das quais são efetuadas as medidas 
angulares, não sofrem perturbações ou deslocamento, pode-se escrever as equações αd e βd 
da seguinte forma: 
206265
sencos
" ×
−
=
α
αα
α
l
dNdE
d MM 
 206265
sencos
" ×
−
=
β
ββ
β
l
dNdE
d MM 
 
Isolando-se uma das incógnitas nas duas equações, temos: 
 MM dNdE
ld
αα
α α sencos
206265
"
−=
×
 
logo: 
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α
α
α α
cos
sen
206265
".
M
M
dN
ld
dE
+
= (4) 
e 
 MM dNdE
ld
ββ
β β sencos
206265
"
−=
×
 
logo: 
 
β
β
β β
cos
sen
206265
".
M
M
dN
ld
dE
+
= (5) 
 
Igualando-se as equações (4) e (5) teremos: 
 
β
β
β
α
α
α βα
cos
sen
206265
"
cos
sen
206265
".
MM dN
ld
dN
ld
+
=
+
 
 
multiplicando-se os denominadores pelos numeradores temos: 
 αβα
β
βαβ
α βα cos.sen.)cos
206265
"
(cos.sen)cos
206265
".
( MM dN
ld
dN
ld
+×=+× 
isolando-se MdN temos: 
 )cos
206265
".
()cos
206265
".
(cos.sen.cos.sen. β
α
α
β
αββα αβ ×−×=−
ldld
dNdN MM 
ou 
 )cos
206265
".
()cos
206265
".
()cos.sencos.sen(. β
α
α
β
αββα αβ ×−×=−
ldld
dN M 
onde 
 
αββα
β
α
α
β
αβ
cossencossen
)cos
206265
".
()cos
206265
".
(
−
×−×
=
ldld
dNM 
ou 
 
)sen(
)cos
206265
".
()cos
206265
".
(
βα
β
α
α
β
αβ
−
×−×
=
ldld
dN M 
 
 Obtendo-se o valor de MdN , podemos calcular o valor de MdE a partir das equações 
(4) e (5). 
 Aconselha-se o emprego de quatro grupos de quatro séries de medidas por época em 
condições diferentes de temperatura e de pressão. 
 
 
1.4 Exercício Aplicativo 
 Deseja-se calcular o deslocamento sofrido por uma barragem da qual se obteve os 
dados da tabela abaixo em duas épocas diferentes. Desenhar o deslocamento em perfil e plana 
na escala horizontal de 1:1.000 e na vertical de 1:100. 
 
 
 
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PRIMEIRA TOMADA DE DADOS PARA O CÁLCULO DE DESLOCAMENTO DA 
BARRAGEM 
Est. PV Azimute Distância N E 
I 5,000 115,000 
 1 304°12’54,8” 90,690 55,995 40,006 
 2 336°40’50,3” 63,159 63,000 89,998 
 3 21°57’39,2” 66,850 66,999 140,000 
 4 50°52’38,6” 96,675 66,000 190,000 
 5 65°29’13,3” 137,383 62,000 240,000 
 6 73°02’28,8” 172,407 55,288 279,910 
 7 336°40’50,3” 63,159 63,000 89,998 
 8 21°57’39,2” 66,850 66,999 140,000 
 9 50°52’38,6” 96,675 66,000 190,000 
 10 65°29’13,3” 137,383 62,000 240,000 
 11 21°57’39,2” 66,850 66,999 140,000 
 12 50°52’38,6” 96,675 66,000 190,000 
 II 84°24’02,4” 102,489 15,000 217,000 
II 
 1 283°02’26,8” 181,489 55,995 40,006 
 2 290°42’14,1” 135,770 63,000 89,998 
 3 304°01’53,8” 92,913 66,999 140,000 
 4 332°06’09,8” 57,706 66,000 190,000 
 5 26°04’31,3” 52,326 62,000 240,000 
 6 57°21’51,2” 74,705 55,288 279,910 
 7 290°42’14,1” 135,770 63,000 89,998 
 8 304°01’43,8” 92,913 66,999 140,000 
 9 332°06’09,8” 57,706 66,000 190,000 
 10 26°04’31,3” 52,326 62,000 240,000 
 11 304°01’53,8” 92,913 66,999 140,000 
 12 332°06’09,8” 57,706 66,000 190,000 
 
 
 
SEGUNDA TOMADA DE DADOS PARA O CÁLCULO DE DESLOCAMENTO DA 
BARRAGEM 
PV Azimute I dα Azimute II dβ dN dE 
1 304°12’49,8” 283°02’24,3” 
2 336°40’52,8” 290°42’08,6” 
3 21°57’55,3” 304°01’39,7” 
4 50°53’09,1” 332°05’52,5” 
5 65°29’24,0” 26°04’55,9” 
6 73°02’31,5” 57°21’55,2” 
7 336°40’55,5” 290°42’00,1” 
8 21°57’58,9” 304°01’10,8” 
9 50°53’04,4” 332°05’30,2” 
10 65°29’22,1” 26°04’45,2” 
11 21°57’47,3” 304°01’29,2” 
12 50°53’10,0” 332°05’38,0” 
 
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Departamento de Geodésia – IG/UFRGS