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CÁLCULO 1 AULA 01 O LIMITE DE UMA FUNÇÃO CÁLCULO 1 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITES Vamos iniciar o estudo de limites com o problema da corrida do coelho e da tartaruga. REGULAMENTO DA CORRIDA A tartaruga percorre a metade de cada distância percorrida pelo coelho. A tartaruga larga com 100 metros na frente do coelho. Portanto, a distância inicial entre eles é de 100m. ..........100m........... Quando o coelho percorre 100m, a tartaruga percorre 50m. Agora, a distância entre eles é de 50m. ...........50m............ Quando o coelho percorre 50m, a tartaruga percorre 25m. Agora, a distância entre eles é de 25m. ...........25m............ Quando o coelho percorre 25m, a tartaruga percorre 12,5m. Agora, a distância entre eles é de 12,5m. ..........12,5m.......... Quando o coelho percorre 12,5m, a tartaruga percorre 6,25m. Agora, a distância entre eles é de 6,25m. ..........6,25m.......... Quando o coelho percorre 6,25m; a tartaruga percorre 3,125m. Agora, a distância entre eles é de 3,125m. .........3,125m........... A distância vai diminuindo. O coelho se aproxima da tartaruga. O coelho tende a encontrar a tartaruga. PROBLEMA DO QUADRADO Consideremos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1. Vamos desenvolver as seguintes etapas: Primeira etapa: Hachurar metade dessa figura. Área hachurada: 𝟏 𝟐 𝒐𝒖 𝟎, 𝟓 Segunda etapa: Hachurar metade do que sobrou em branco. Área hachurada: 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟒 = 𝟑 𝟒 𝒐𝒖 𝟎, 𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟕𝟓 Terceira etapa: Hachurar metade do que sobrou em branco. Área hachurada: 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟒 + 𝟏 𝟖 = 𝟕 𝟖 𝒐𝒖 𝟎, 𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟖𝟕𝟓 Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a área hachurada vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a medida da área vai se aproximando de 1 ou tendendo a 1. ½ , ¾ , 7/8, 15/16, 31/32, 63/64, 127/128, 255/256,... 0,5; 0,75; 0,875; 0,9375; 0,96875; 0,984375; 0,9921875; 0,99609375; ... GRÁFICO DE FUNÇÃO Considere a função f : IR → IR, definida por f(x) = x + 2 . Construindo uma tabela aproximando-se de 3 pela esquerda e pela direita, temos: x f(x) x f(x) 2 3,9 2,3 3,5 2,5 3,2 2,9 3,1 2,99 3,01 2,999 3,001 2,9999 3,0001 2,99999 3,00001 GRÁFICO DE FUNÇÃO Considere a função f : IR → IR, definida por f(x) = x + 2 Construindo uma tabela aproximando-se de 3 pela esquerda e pela direita, temos: x f(x) x f(x) 2 4 3,9 5,9 2,3 4,3 3,5 5,5 2,5 4,5 3,2 5,2 2,9 4,9 3,1 5,1 2,99 4,99 3,01 5,01 2,999 4,999 3,001 5,001 2,9999 4,9999 3,0001 5,0001 2,99999 4,99999 3,00001 5,00001 À medida que os valores de x se aproximam de 3, por valores menores que 3 (pela esquerda) ou por valores maiores que 3 (pela direita) os valores de f(x) se aproximam de 5. Indicamos: lim 𝑥→3− 𝑓 𝑥 = 5 (limite de f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5) lim 𝑥→3+ 𝑓 𝑥 = 5 (limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5) Esses limites são chamados limites laterais e, como são iguais, dizemos que neste caso existe o limite de f(x) quando x tende a 3, e escrevemos: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑 𝒇 𝒙 = 𝟓 Observação: quando dizemos x tende a 3, significa que x se aproxima de 3 pela esquerda ou pela direita, sem no entanto assumir o valor 3. Definição Suponha que f(x) seja definido quando está próximo ao número a. (Isso significa que f é definido em algum intervalo aberto que contenha a, exceto possivelmente no próprio a.) Então escrevemos 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 = 𝑳 e dizemos “o limite de f(x) quando x tende a a, é igual a L” se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L quanto quisermos), tornando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados de a), mas não igual a a. Exercício 05 da página 89 Para a função f, cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por quê. 𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝒇(𝒙) 𝒃 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑− 𝒇(𝒙) 𝒄 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑+ 𝒇(𝒙) 𝒅 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒇(𝒙) 𝒆 𝒇(𝟑) Exemplo Faça a representação gráfica da função f: IR → IR, definida por 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟏, 𝒔𝒆 𝒙 < −𝟏 𝒙², 𝒔𝒆 − 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏 𝟐 − 𝒙, 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏 e verifique se existe o limite de f(x) quando x tende a -1 e quando x tende a 1. Limites Infinitos Encontre lim 𝒙→𝟎 𝟏 𝒙² , se existir Limites Infinitos Encontre lim 𝒙→𝟎 𝟏 𝒙² , se existir TABELA x 1/x² ±𝟏 1 ±𝟎, 𝟓 4 ±𝟎, 𝟐 25 ±𝟎, 𝟏 100 ±𝟎, 𝟎𝟓 400 ±𝟎, 𝟎𝟏 10.000 ±𝟎, 𝟎𝟎𝟏 1.000.000 À medida que x tende a zero, x² também tende a zero, e 𝟏 𝒙² fica muito grande. Limites Infinitos Encontre lim 𝒙→𝟎 𝟏 𝒙² , se existir A partir do gráfico parece que a função f(x) pode se tornar arbitrariamente grande ao tornarmos os valores de x suficientemente próximos de zero. Assim, os valores de f(x) não tendem a um número, e não existe 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝟏 𝒙² . Para indicar esse tipo de comportamento usamos a notação 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝟏 𝒙² = ∞ O símbolo 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = −∞ pode ser lido das seguintes formas: “o limite de f (x), quando tende a a, é menos é infinito” ou “f (x) decresce ilimitadamente quando x tende a a.” Como exemplo, temos 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 − 𝟏 𝒙² = −∞ Definições similares podem ser dadas no caso de limites laterais 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂− 𝒇(𝒙) = ∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂+ 𝒇(𝒙) = ∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂− 𝒇(𝒙) = −∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂+ 𝒇(𝒙) = −∞ lembrando que “𝒙 → 𝒂−” significa considerar somente os valores de x menores que a, ao passo que “𝒙 → 𝒂+” significa considerar somente os valores de x maiores que a. Ilustrações desses quatro casos são apresentadas a seguir: Definição A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂− 𝒇(𝒙) = ∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂− 𝒇(𝒙) = −∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂+ 𝒇(𝒙) = ∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂+ 𝒇(𝒙) = −∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = ∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = −∞
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