Relatório 677777

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO
CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA
DISCIPLINA: CONTROLE I
PROFESSOR: Dr. JOÃO VIANA
1ª AVALIAÇÃO – RESPOSTA DINÂMICA
ALLAS JONY DA SILVA OLIVEIRA / COD.: EE09122-78
SÃO LUÍS - MA
10/10/2011
INTRODUÇÃO
	Nesta simulação, serão estudados os circuitos RLC, ou seja, aqueles que possuem resistores, indutores e capacitores. Em geral, a análise desses circuitos resulta em equações diferenciais de ordens maiores ou iguais a dois. Porém, resolução de equações diferenciais de ordens superiores a dois está fora do objetivo desta simulação e, portanto, dois é a ordem máxima aqui estudada.
Primeiramente, uma descrição analítica referente a equações de 2º ordem será abordada e posteriormente os circuitos serão analisados aplicando essa abordagem.
	Resolução de Equações Diferenciais Lineares de 2° ordem
	
	A forma geral das equações diferenciais lineares de 2° ordem é:
	
	
	
	
	(1)
	
	
	Onde:
	
	
	
	
	
	- t é a variável independente;
	
	
	
	
	- y(t) é a variável dependente ou resposta;
	
	
	- F(t) é a função forçante (ou excitação).
	
	
	Se:
	
	
	
	
	
	- F(t) 0 então a função é dita não homogênea
	
	- F(t) = 0 então a função é dita homogênea
	
	
	A equação homogênea deve possuir duas soluções diferentes e linearmente
	independentes y1(t) e y2(t). A solução mais geral da equação homogênea é:
	
	
	yH (t)  k1 y1(t)  k2 y2 (t)
	(2)
Onde k1 e k2 são determinadas constantes tais que satisfazem as condições iniciais do circuito. Só podem ser determinadas após se encontrar a solução completa da equação diferencial.
	A solução completa da equação diferencial não-homogênea será:
	
	y(t)  yH (t)  yP (t)
	(3)
Onde yP(t) é qualquer solução da equação não homogênea e é chamada de solução particular.
1.1.1 Solução da equação homogênea
Para solucionar uma equação homogênea se pode utilizar a solução da equação de segunda ordem padrão (equação 4). Essa solução é deduzida a seguir.
	
	
	
	
	(4)
	
	
	Admitindo que yH(t) = est seja uma solução da equação 4 então:
	
	s2est  2sest  02est  0
	(5)
	est (s2  2s  02 )  0
	(6)
Para que essa equação seja satisfeita para todos os valores de t, é necessário que:
	s2  2s  02  0
	
	(7)
	A equação 7 é chamada equação característica e é usualmente escrita por
	inspeção direta da equação homogênea padrão. Obviamente para 7:
	
	 s   2  4 2 402
2
2
s    2  02
	(8)
	
	
	
	(9)
Pode-se observar que existem quatro casos possíveis de combinações para  e o. Os quatro casos possíveis estão dispostos nos itens de ‘a’ a ‘d’ que se seguem:
	a)
	 > o : CASO SUPERAMORTECIDO . No caso superamortecido as raízes
	
	são negativas (
	 2  02
	  ) e a solução da equação homogênea é a seguinte:
	
	
	
	s t
	s
	t
	
	
	
	
	
	
	(10)
Onde, s1 e s2 são, de acordo com a equação 9:
s1    2  0 2 s2    2  0 2
Um esboço gráfico para o caso superamortecido é mostrado na figura 1.
Figura 1: Gráfico para o caso superamortecido.
b)  = o : CASO CRITICAMENTE AMORTECIDO. No caso de amortecimento crítico a solução mais geral yH (t)  k1es1t  k2es2t , não dará a solução para equação homogênea. Isto ocorre porque neste caso, pela equação 9, s1 = s2 = - e as exponenciais da solução geral podem ser somadas resultando em uma resposta homogênea como yH (t)  k3et que não torna possível satisfazer as condições iniciais de um problema.
Então, para resolver tal questão, faz-se necessário tomar a equação diferencial homogênea:
=0
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	d y(t)  2 dy(t)  02 y(t)  0
	(11)
	
	
	dt 2
	dt
	
	
	
	Para o= :
	
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	d y(t)  2 dy(t)   2 y(t)  0
	(12)
	
	
	
	
	dt2
	
	dt
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	d y(t)   dy(t)   dy(t)   2 y(t)  0
	(13)
	
	dt2
	dt
	dt
	
	
	
	
	d dy
	
	dy
	
	
	
	
	
	
	
	
	 y  
	
	 y  0
	(14)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	dt dt
	
	dt
	
	
	
	Chamando:
 Então:
	x  dydt  y
	
	
	Então:
	
	(15)
	
	
	dxdt  x  0
	
	
	
Supondo:
	
	
(16)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	k t
	
	
	
	
Resulta em:
	x  k1e 2
	
	(17)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	k
	t
	k t
	
	
	
	
	
	
	
	k2k1e 2  k1e 2  0
	(18)
	
	Portanto:
	k2 
	
	
	
	
	(19)
	
	dy
	
	
	x  dt  y  k1et
	(20)
	
	
Dividindo-se toda a equação 20 por et
	
	
	et dydt  et y  k1
	(21)
	
	d
	t
	
	
	dt ye  k1
	(22)
	
	dy(t)et  k1dt
	(23)
	
	yet
	 k1t  k2
	
(24)
	
Desta maneira, obtém-se a forma desejada para a solução (combinação de duas soluções linearmente dependentes):
y  k1tet  k2et	 (25)
Um esboço do gráfico para o caso de amortecimento crítico é mostrado na figura 2.
Figura 2: Gráfico para o caso de amortecimento crítico.
c)  < o: CASO SUB-AMORTECIDO. No caso de sub-amortecimento, os
valores de s1 e s2 são valores complexos conjugados:
s    2  02 → s   j 02  2	(26)
Chamando:
Então
Usando a identidade de Euler:
Como k1 e k2 são parcelas constantes, então, pode-se denominar:
A1  k1  k2
A2  k1  k2
E a equação ficará da seguinte forma:
yH (t)  et [ A1 cosd t  A2 sendt]
ou
yH (t)  Bet cos(d t   )
O gráfico resultante da equação 34 tem a forma mostrada na figura 3.
(27)
(28)
(29)
(30)
 (31)
(32)
(33)
(34)
Figura 3: Gráfico para o caso sub-amortecido.
d)  = 0 e d = o: CASO SEM AMORTECIMENTO OU OSCILATÓRIO PURO. No caso sem amortecimento, os valores de s1 e s2 são imaginários puros:
s  j	e	s  j	(35)
	O que resulta na seguinte solução:
	
	
	
	yH (t)  k cos( d t   )
	(36)6)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(37)
	
	
	
	
	
	
	Equação característica:
	
	
	
	
	
	s 2  2s  0  0
	
	(38)
	
	Solução geral:
	
	
	
	
	
	s    2 02
	
	(39)
	
 Equação homogênea padrão: z
Onde:
= freqüência neperiana ou fator de amortecimento expresso em nepers por segundo (Np/s); 
0 = freqüência de ressonância ou freqüência natural; 
s = freqüência complexa. 
a)
 > o: SUPER AMORTECIDO
 
(40)
Onde:
-
s1    2  02
-
s2    2  02
	b)
	 = 0: CRITICAMENTE AMORTECIDO
	
	
	
	
	
	yH (t)  k1tet  k2 et
	(41)
	c)
	 < 0: SUBAMORTECIDO
	
	
	
	
	
	
	yH (t)  k1et cos d t   
	(42)
Onde:
d = 02   2 
 = 0, d = 0: SEM AMORTECIMENTO 
yH (t)  k cosd t   	(43)
1.2 Circuito RLC Paralelo Sem Fonte
Considera-se o circuito RLC paralelo mostrado na Figura 4.
Figura 4: Circuito RLC paralelo sem fonte.
Considerando a corrente Io inicial no indutor e a tensão Vo inicial no capacitor:
	
	(44)
	
	
	
	(45)
Como os três elementos estão em paralelo, eles possuem a mesma tensão. De acordo com a convenção de sinal passivo, a corrente deve entrar em cada elemento, ou seja, a corrente que atravessa cada elemento estádeixando o nó superior. Portanto, aplicando a LCK ao nó superior, tem-se
	 (46)
Derivando essa equação com relação a t e dividindo por C, tem-se:
	
 
	
	
	(47)
	
	
	Comparando a equação 47 com a equação padrão:
	
	2
d y(t)  2 dy(t)  02 y(t)  0
dt 2
	
	
	(48)
	
	
Tem-se para circuitos RLC paralelo:
	
	(49)
	
	 (50)
	
	
	
2.	OBJETIVO
	Utilizar os programas MATLAB e Simulink para obter as respostas no domínio do tempo associadas com circuitos de 1ª ordem.
RESULTADOS
Considere o circuito RLC paralelo mostrado na Figura 5, com as seguintes condições iniciais: v(0) =15V e i(0)=4 A. Utilize o programa simulink para obter a forma de onda da corrente i(t) no intervalo [0,2] segs.
	Sugestões:
Utilize blocos integradores em cascata para modelar uma equação diferencial de 2ª ordem no Simulink.
Figura 5: Circuito RLC paralelo.
Resolução:
EQUAÇÃO DIFERENCIAL RELATIVA AO PROBLEMA
Usando a lei de Kirchhoff para as correntes em um nó:
			Mas 
			Logo
			Dividindo por LC:
Figura 6: Diagrama de blocos do Simulink para resolução desta questão.
Figura 7: Forma de onda da corrente sobre o indutor no circuito da figura 5.
 
Resolva a equação diferencial do circuito RLC da Figura 5, usando a função ode45 do MATLAB, para calcular i(t) no intervalo [0,2] segs. Compare os resultados obtidos com aqueles gerados pelo Simulink na questão 1.
Sugestões:
	i) Converta uma equação diferencial de 2ª ordem em um sistema de equações 	diferenciais de 1ª ordem para resolver a equação diferencial referente ao circuito da 	Figura 1 com a função ode45.
CONVERTENDO A EDO DE 2ª ORDEM EM UM SISTEMA DE EDO’S DE 1ª ORDEM 
		Fazendo:
		Obtém-se o seguinte sistema de equações diferenciais de 1ª ordem
Em anexo, encontra-se o “script” com o código em MATLAB para resolução do sistema de equações diferenciais de 1ª ordem. 
Figura 8: Forma de onda da corrente sobre o indutor no circuito da figura 5.
No circuito RLC mostrado na Figura 9 R=1Ω, C=4F e L=20H. As condições iniciais são: i(0)=8 A e v(0)=0. Com relação a este circuito pede-se:
Figura 9.
Obtenha uma expressão analítica para v(t), T>0.
Resolução:
EXPRESSÃO ANALÍTICA
		Como , a resposta é com amortecimento supercrítico. As raízes 	da equação característica são
	
	e a resposta correspondente é
		Agora, aplicamos as condições iniciais para obter ,
		Derivando v(t), teremos:
		Em t=0,
		Como , então:
		Logo,
Determine o valor de pico e o tempo no qual este ocorre.
Resolução:
CÁLCULO PARA DETERMINAR O VALOR DE PICO DE v(t)
Logo, temos:
Valide os seus resultados com uma simulação no Simulink. Apresente um diagrama legendado com o gráfico de v(t).
Resolução:
Figura 10: Diagrama de blocos do Simulink para resolução deste item.
Figura 11: Forma de onda da tensão sobre o indutor no circuito da figura 9.
Figura 12: Valor de pico da tensão sobre o capacitor do circuito da figura 9.
Figura 13: Valor de pico da tensão sobre o capacitor do circuito da figura 9.
Demonstre que o instante no qual o valor de pico ocorre é correto usando as seguintes funções do MATLAB: fsolve e fminbnd.
Tabela I
	Instante da Tensão de Pico (s)
	Calculado
Analiticamente
	8,6080
	Calculado pelas
Funções do MATLAB 
	8.6081
	Erro absoluto
	10-4
	Resposta:
		Como a diferença entre os valores da tabela I é relativamente muito pequeno, então fica demonstrado que o instante da tensão de pico foi calculado corretamente.
 
Considere o circuito RLC série mostrado na Figura 14 com as seguintes condições iniciais: i(0)=12A e v(0)=12V. Com relação a este circuito pede-se:
Figura 14.
Obtenha uma expressão analítica para v(t) t>0.
EXPRESSÃO ANALÍTICA
		Como , temos uma resposta subamortecida. 
	e a resposta correspondente é
		Agora, aplicamos as condições iniciais para obter ,
		Como ,
		Mas,
		Para t=0,
		Substituindo , teremos:
		Logo,
Determine o valor de pico e o tempo no qual este ocorre.
Resolução:
CÁLCULO PARA DETERMINAR O VALOR DE PICO DE v(t)
	 Para k=1, temos:
Logo, temos:
Valide os resultados com uma simulação no Simulink. Apresente um diagrama legendado com o gráfico de v(t).
Resolução:
Figura 15: Diagrama de blocos do Simulink para resolução deste item.
Figura 16: Forma de onda da tensão sobre o indutor no circuito da figura 14.
Figura 17: Valor de pico da tensão sobre o capacitor do circuito da figura 14.
Figura 18: Valor de pico da tensão sobre o capacitor do circuito da figura 14.
d) O tempo de acomodação de um sistema dinâmico é definido como o tempo necessário para que o sinal de saída permaneça dentro de um intervalo de 5% do valor de regime permanente (valor estacionário). Utilize o Simulink e o MATLAB para determinar o tempo de acomodação para a tensão v(t) no circuito da Figura 3.
Resolução:
Tempo de Acomodação = 6.0269 s
Sugestões:
 i) Utilize os blocos “Stop Simulation” e “Relational Operation” para determinar 	 o valor de pico e o tempo no qual este ocorre no ambiente do Simulink. 
	ii) Use o bloco “To workspace” para salvar a tensão no capacitor e o tempo de simulação na área de trabalho do MATLAB na forma de vetores (“arrays”). Em seguida, escreva um “script” (arquivo com extensão .m) para realizar um varredura no sinal v(t) e determinar o tempo de acomodação.
	iii) Use o intervalo de [0,8] segs para as simulaçãoes.
[2] Baratto, G. B., (2010) EDO Para Circuitos RLC. [Internet]. Available from: <http://www-usr.inf.ufsm.br/~gbaratto/graduacao/ELC1021/atual/textos/EDO/ EDO_para_
circuitos_RLC.pdf> [Accessed 5th june 2011].
[3] Fernandes, T. S. P., (2010) Análise de Circuitos RLC. [Internet] Available from: <www.eletrica.ufpr.br/thelma/Capitulo9.pdf > [Accessed 5th june 2011].
[4] MATLAB version 7.10.0.499 Natick, Massachusetts: The MathWorks Inc., 2010.
ANEXO I – SCRIPTS E FUNÇÕES DO MATLAB USADAS NESTA IMPLEMENTAÇÃO.
SCRIPT
Q2.M
clc;
x0=[4;(15/20)];
t0=0:0.0001:2;
[tf,y]=ode45(@volpol,t0,x0);
plot(tf,y(:,1));
hold on
plot(time,sinal_out,'r');
xlabel('Tempo (s)')
ylabel('Corrente (A)');
title('Forma de Onda da Corrente sobre o Indutor');
legend('ode45','Simulink');
Q4.M
clc;
x0=fsolve(@myfun,[0 50]);
y=fminbnd(@myfun,x0(1),x0(2));
disp(x0);
disp(y);
Q5D.M
i=length(time);
tf=time(i);
 
while (sinal_out(i)<=25.2 && sinal_out(i)>=22.8)
 ti=time(i);
 i=i-1;
end
disp(ti);
FUNÇÃO
VOLPOL.M
function xdot = volpol(t,x)
xdot=[0;0];
I=4;
 
xdot(2)=I/(20*8*10^(-3))-(1/(10*8*10^(-3)))*x(2)...
...-(1/(20*8*10^(-3)))*x(1);
xdot(1)=x(2);
MYFUN.M
function [y] = myfun(t)
y=17.8891*exp(-0.1809*t)-17.8891*exp(-0.0691*t);