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+ y2
i+
yz
x2 + y2
j� k
�
:
224 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A. A. e SILVA & M. P. MATOS
Seção 5.3 Caminhos Regulares
1. No item (f) se considerarmos x = cos t, y = sen t e z = t, obteremos x2 + y2 = 1, z = t e,
portanto, o grá…co da curva 
 é uma hélice circular.
2. A coordenada y (t) da curva 
 é dada por: y (0) = 0 e para 0 < t � 1 temos y(t) = t2 sen (1=t),
com derivada y0 (t) dada por: y0 (0) = 0 e
y0(t) = 2t sen (1=t) + t2 cos (1=t) � ��1=t2� = 2t sen (1=t)� cos (1=t) ; t 2 (0; 1];
Se considerarmos tn = 1=n�, com n 2 N, teremos tn ! 0 e, contudo, y0(tn) = (�1)n não tem
limite, com n!1. Assim, y0(t) é descontínua em t = 0. Portanto, a curva r (t) não é regular.
3. Pondo x = t e y = t2, obtemos y = x2. Logo, o grá…co da curva 
1 é um arco de parábola. As
curvas 
1 e 
2 possuem o mesmo traço, com orientações opostas, pois a mudança de parâmetro
�(t) = 3� t tem derivada negativa �0(t) = �1.
4. Vamos provar apenas o item (a).
(a) Como r (t) = ti + 2tj + t2k e P = r(1) = (1; 2; 1); o vetor velocidade nesse ponto é
r0(1) = i+ 2j+ 2k; e a reta tangente à curva 
 no ponto P é dada por
x = 1 + s; y = 2 + 2s; z = 1 + 2s; s 2 R:
O plano normal à curva 
 no ponto P é dado por
PX � r0(1) = 0, x+ 2y + 2z = 8:
(b)
����� reta tangente: x = �4s; y = 1; z = �=8 + s; s 2 R;plano normal: �4x+ z = �=8:
(c)
����� reta tangente: x = e3 (1 + 3s) ; y = e�3 (1� 3s) ; z = 3
p
2 (1 + s) ; s 2 R;
plano normal: xe3 � ye�3 +p2z = e6 � e�6 + 6:
(d)
����� reta tangente: x = 1 + s; y = 1 + 3s; z = 1 + 4s; s 2 R;plano normal: x+ 3y + 4z = 8:
(e)
����� reta tangente: x = �=2 + 2s; y = 5; z = 1� 3s; s 2 R;plano normal: 2x� 3z = � � 3:
5. Como
r (t) =
2ti
1 + t2
+
(1� t2)j
1 + t2
+ k e r0 (t) =
2(1� t2)i
(1 + t2)2
+
�4tj
(1 + t2)2
;
temos que
jr (t)j =
p
2;
��r0 (t)�� = 2
1 + t2
e r (t) � r0 (t) = 0
e, portanto,
cos � =
r (t) � r0 (t)
jr (t)j jr0 (t)j = 0;
mostrando que o ângulo entre os vetores r (t) e r0 (t) é constante, isto é, não depende de t.
6. Em cada caso, k; k1 e k2 representam constantes e exibiremos alguns detalhes para o item (e).
CAPÍTULO 5 INTEGRAL DE LINHA 225
(a) y = kx.
(b) y = k1x e z = k2x.
(c) y = bx=a+ k1 e z = cx=a+ k2.
(d) z � x = xz e x+ 2y2 = 8xy2.
(e) De acordo com (5.11), as curvas integrais do campo F = Li+M j+Nk são as soluções do
sistema
dx
L
=
dy
M
=
dz
N
e manipulações com essas equações nos levam à relação
dx+ dy + dz = 13 (L+M +N)
�
dx
L
+
dy
M
+
dz
N
�
:
Como L+M +N = 0, resulta
dx+ dy + dz = 0, x+ y + z = k1:
Ainda de (5.11), obtemos
xdx
xL
=
ydy
yM
=
zdz
zN
, xdx+ ydy + zdz = 0, x2 + y2 + z2 = k2;
com k2 > 0. Portanto, as curvas integrais de F são as circunferências(
x+ y + z = k1
x2 + y2 + z2 = k2; k2 > 0;
:
resultante do corte das esferas x2 + y2 + z2 = k2 pelos planos x+ y + z = k1:
Seção 5.4 Calculando Integral de Linha
1. Como
x = cos t; y = sen t e z = t; t 2 [0; 2�];
temos que
s =
Z 2�
0
p
x0(t)2 + y0(t)2 + z0(t)2dt =
p
2
Z 2�
0
dt = 2
p
2�:
2. (a) �152 , (b) 0, (c) log
�
4
9
� � 2, (d) �4 , (e) p23 , (f) 2�, (g) 12 , (h) 0, (i) 43 , (j) ��2 , (k) 4�(� � b),
(l) 0, (m) � 920 , (n) 19.
3. (a) 243�4 , (b)
40
3 , (c)
5
6 , (d)
137
10 , (e) 13.
4. 0.
5. 1/4
6. 1/3
7. Segue diretamente da relação F � dr = (F �T) ds = jFj cos �ds.
226 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A. A. e SILVA & M. P. MATOS
8. Sejam r1(t), t 2 [a; b] e r2(u), u 2 [
; d] as representações paramétricas de 
1 e 
2, respectiva-
mente. Existe uma bijeção ' : [a; b]! [
; d], u = '(t), com derivada contínua e de mesmo sinal
em [a; b], tal que
r1(t) = r2('(t)); t 2 [a; b]:
Se F é um campo vetorial contínuo na região 
 contendo as curvas 
1 e 
2, entãoZ
F(r) � dr1 =
Z b
a
F(r1(t)) � r01(t)dt
e como u = '(t) e r1(t) = r2(u); temos que du = '0(t)dt e
r01(t) =
dr1
dt
=
dr2
du
'0(t) = r02(u)'
0(t):
Logo, Z b
a
F(r1(t)) � r01(t)dt = �
Z
F(r2(u)) � (r02(u))'0(t)dt = �
Z
F(r2(u)) � r02(u)du:
pois '0(t) > 0 ou '0(t) < 0.
Seção 5.5 Independência do Caminho
1. Como ilustração, vamos exibir as soluções para os itens (a) e (i).
(a) Temos L = sen y � y senx+ x e M = cosx+ x cos y + y, de modo que
Mx = � senx+ cos y = Ly
e a forma diferencial é exata. O potencial é solução do sistema
'x = sen y � y senx+ x (I) e 'y = cosx+ x cos y + y: (II)
Integrando (I) parcialmente em relação a x; obtemos
'(x; y) = x sen y + y cosx+ 12x
2 + h(y):
Derivando a última equação em relação a y e comparando com (II), vem
'y = x cos y + cosx+ hy = cosx+ x cos y + y:
Logo, hy = y, ou seja, h = 12y
2. Assim,
'(x; y) = x sen y + y cosx+ 12(x
2 + y2) + k:
(b) ' (x; y) = x senxy + k.
(c) ' (x; y; z) = (x� y) z + 12
�
x2 � y2�+ k.
(d) não.
(e) não.
(f) não.
CAPÍTULO 5 INTEGRAL DE LINHA 227
(g) ' (x; y; z) = y2 senx+ xz3 � 4y + 2z + k.
(h) ' (x; y; z) = x+ 2x2y � x3z2 + 2y � z3 + k.
(i) O campo F = (ex sen z + 2yz) i+ (2xz + 2y) j+
�
ex cos z + 2xy + 3z2
�
k é de classe C1 no
domínio estrelado R3 e um cálculo direto nos dá
rotF = (2x� 2x) i+ (ex cos z + 2y � (ex cos z + 2y)) j+ (2z � 2z)k = 0
e, portanto, F é um campo conservativo. Como
F(tx; ty; tz) =
�
etx sen(tz) + 2t2yz
�
i+
�
2t2xz + 2ty
�
j
+
�
etx cos(tz) + 2t2xy + 3t2z2
�
k;
temos que
F(tx; ty; tz) � r(x; y; z) = x �etx sen(tz) + 2t2yz�+ y �2t2xz + 2ty�
+z
�
etx cos(tz) + 2t2xy + 3t2z2
�
e o potencial ' (x; y; z) é
'(x; y; z) =
Z 1
0
x
�
etx sen(tz) + 2t2yz
�
+ y
�
2t2xz + 2ty
�
+z
�
etx cos(tz) + 2t2xy + 3t2z2
�
dt+ k
= ex sen z + 2xyz + y2 + z3 + k,
sendo k constante:
2. 2e2� � 5e� � 5� � 310 .
3. Calcule div(rotF).
4. Em qualquer região contida em D = f(x; y) 2 R2 : a � xy � bg:
Seção 5.6 Teorema de Green
1. (a) 0, (b) 0, (c) 2�, (d) 0, (e) 0, (f) 0.
2. Veja o Exemplo 5.57.
3. Inteiramente análogo ao Exercício 2.
4. Como L = fy e M = �fx temos, pelo Teorema de Green, queI
@D
fydx� fxdy =
ZZ
D
(�fxx � fyy) dxdy = �
ZZ
D
�fdxdy = 0:
5. Aplicando o Teorema de Green, com L = �gfy e M = gfx; resultaI
@D
(fxdy � fydx) g =
ZZ
D
[@x (gfx) + @y (gfy)] dxdy:
228 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A. A. e SILVA & M. P. MATOS
Observando que
@x (gfx) = gxfx + gfxx e @y (gfy) = gyfy + gfyy;
obtemos
@x (gfx) + @y (gfy) = gxfx + gyfy + g (fxx + fyy) = gxfx + gyfy
e, portanto, I
@D
(fxdy � fydx) g =
ZZ
D
(gxfx + gyfy) dxdy:
6. O campo vetorial F = i tem componentes L = 1, M = 0 e divF = 0. Da fórmula da divergência
(5.28), obtemos I
n1(x; y)ds =
I
(F � n)ds =
ZZ
D
(divF)dxdy = 0;
onde a região D é delimitada por 
. Procedendo de forma similar com o campo F = j, obtemosI
n2(x; y)ds =
I
(F � n)ds =
ZZ
R
(divF)dxdy = 0:
7. Considerando o campo vetorial F = f (x; y) i, obtemos L = f (x; y), M = 0 e divF = fx. Assim,
pela fórmula vetorial do Teorema de Green, obtemosI
@D
n1f(x; y)ds =
I
@D
(F � n)ds =
ZZ
D
(divF)dxdy =
ZZ
D
fxdxdy:
Não sendo possível utilizar um instrumento adequado de medição, para conhecermos a área de
uma superfície qualquer seria necessário nos deslocar sobre todos os pontos da superfície e, então,
aferir a extensão percorrida. Em muitos casos, deslocar-se de um ponto a outro pode constituir tarefa
praticamente impossível de ser realizada, em razão da inexistência de meios de locomoção ou em
virtude de um consumo excessivo de tempo e recursos, como seria o caso de avaliarmos a área de uma
região montanhosa.
A integral de superfície é uma excelente ferramenta para resolver problemas relacionados ao cálculo
de áreas, quando métodos comuns de medição não puderem ser aplicados. Nesta direção, determinare-
mos a área de