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Cálculo III Cálculo III Rafael da Silva Valada Organizado por Universidade Luterana do Brasil Universidade Luterana do Brasil – ULBRA Canoas, RS 2016 Rafael da Silva Valada Conselho Editorial EAD Andréa de Azevedo Eick Astomiro Romais, Claudiane Ramos Furtado Dóris Cristina Gedrat Kauana Rodrigues Amaral Luiz Carlos Specht Filho Mara Lúcia Salazar Machado Maria Cleidia Klein Oliveira Thomas Heimann Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores a emissão de conceitos. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem prévia autorização da ULBRA. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal. Dados técnicos do livro Diagramação: Marcelo Ferreira Revisão: Ane Sefrin Arduim Apresentação Desde muito tempo, a humanidade desenvolvera a ideia fundamental do cálculo diferencial e integral. Arquimedes, em 300 A.C, já tra- balhava intuitivamente com o conceito de limite ao tentar avaliar a área de um círculo através da construção de polígonos internos e externos ao círculo e calculando as médias entre as áreas dos mesmos. O limite estava em ir aumentando o número de lados do polígono. É interessante observar que um dos grandes feitos do cálculo diferencial foi a obtenção da área abaixo de curvas num plano cartesiano, e, assim, a área exata do círculo pôde ser apurada. Issac Newton e Gotfilde Leibneiz desenvolveram o ferramental matemáti- co para a construção do cálculo diferencial para funções de uma variável real e, neste livro, veremos a extensão de seus trabalhos para funções de duas ou mais variáveis. Para isso, começaremos por fazer uma definição apropriada para funções de duas ou mais variáveis e objetos que as definem, como o do- mínio de definição, bem como gráficos de funções de duas ou mais variáveis. Posteriormente, repetindo os passos da construção do cálculo diferen- cial e integral para uma variável, definiremos o processo de limite para funções de duas variáveis e, subsequentemente, o operador da derivada parcial, que é uma generalização das derivadas que já aprendemos em cursos anteriores de cálculo. Veremos a aplicação das derivadas parciais à obtenção de pontos críticos de funções multivariadas, e a construção de um novo objeto matemático chamada derivada direcional. Mais geral que a derivada parcial, a derivada direcional implica na definição do chamado gradiente de uma função. O gradiente é uma função vetorial que indica a direção em que ocorre a maior taxa de crescimento de uma função, ou a menor taxa de cresci- mento de uma função. Apresentação v Por fim, estenderemos as operações de integrais anteriormente defini- das para funções de uma variável e para funções de duas ou três variáveis, levando às definições de integrais duplas e triplas. Essas novas integrais herdam as propriedades de linearidade das inte- grais simples, quando a operação é sobre constantes e somas. Se a integral simples representa geometricamente a área abaixo de uma curva contínua no plano cartesiano, a integral dupla representa geometrica- mente o volume abaixo de superfície representado no espaço tridimensional. Integrais duplas também são amplamente usadas na obtenção da área entre curvas, bem como integrais triplas são usadas para obtenção do vo- lume de sólidos. Neste livro, procurou-se ser o mais objetivo possível quanto a defini- ções e provas de teoremas, e também na resolução de exemplos resolvidos. Tendo em vista que o aprendizado em Matemática se dá através do conhe- cimento e do pleno exercício deste conhecimento, o livro apresenta uma série de exercícios resolvidos, de modo que algumas questões de exemplo são resolvidas no próprio corpo do livro, e outras são resolvidas através de vídeos, chamados Videoexemplos, que serão devidamente disponibilizados na plataforma virtual da disciplina. Tenhamos um bom trabalho em nossos estudos, buscando sempre o prazer e a diversão ao estudar Matemática. O matemático francês Hery Poin- caré dizia que o matemático nasce matemático e que o estudo apenas revela suas habilidades ocultas. Pois bem: deixemos, então, que nossas habilidades mais naturais sejam afloradas ao estudarmos cálculo multivariado. 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital .........................1 2 Integrais Impróprias ............................................................19 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais ............................32 4 Limites de Funções de Duas Variáveis ..................................61 5 Derivadas Parciais ...............................................................72 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações .....................................93 7 Máximos e Mínimos de Funções de duas Variáveis ............115 8 Gradiente e Derivada Direcional .......................................127 9 Integrais Duplas e suas Aplicações ....................................146 10 Integrais Triplas e suas Aplicações .....................................164 Sumário Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – ULBRA – Canoas (RS). Rafael da Silva Valada1 2 Cálculo III Introdução Neste capítulo, estudaremos limites que recaem em formas in- determinados. De certa maneira, já estudamos esses casos em disciplinas iniciais de cálculo diferencial e integral, mas sem aplicação de uma técnica robusta que funcionasse para todos os casos. Indeterminações do tipo zero sobre zero, ou infinito sobre infinito, eram resolvidas com alguns algoritmos de reso- lução ou simplificações algébricas. Veremos que estes casos eram expressões de uma regra mais geral, chamada de Regra de L’Hôpital. 1 Formas indeterminadas Admita o limite ( ) 0 sin lim x x x→ (1) Neste caso, as técnicas já estudadas para obtenção de limites, a saber, inspeção direta ou manipulações algébricas apropriadas, não funcionam. O que torna o limite 1 problemático é o fato de o numera- dor e o denominador tenderem ambos a zero, levando a uma indeterminação do tipo 0 0 . Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 3 Neste caso específico, podemos construir um raciocínio que levará à solução de nosso problema: sabemos que à me- dida que 0x → , a função seno pode ser próxima de seu pró- prio argumento, ou seja, para x pequeno sin( )x x≈ . Isso é equivalente a obtermos aproximações lineares locais para a função sin( )x . Lembre que se uma função ( )f x for diferenciável em um ponto 0x , então para valores 0x x→ temos a aproximação: ( ) ( )( )0 0 0( ) 'f x f x f x x x≈ + − (2) E quanto mais próximo x estiver de 0x melhor é a aproxi- mação. Admitindo que ( ) sin( )f x x= e que 0 0x = temos: ( ) ( )sin( ) sin 0 cos(0) 0x x x≈ + − = E, assim, podemos fazer: ( ) 0 0 0 sin lim lim lim1 1 x x x x x x x→ → → = = = (3) Resolvendo o limite. Observe que se aplicarmos a aproxi- mação linear local ao denominador do limite 1, ou seja, a x obtemos a própria função x . Com intuito de obter uma regra geral que possa ser apli- cada a qualquer caso vamos estender a ideia da aproximação linear local para um grupo maior de funções. 4 Cálculo III 2 Regra de L’Hôpital Admita que o limite: 0 ( )lim ( )x x f x g x→ (4) seja uma forma indeterminada do tipo 0 0 , ou seja: 0 0 lim ( ) 0, lim ( ) 0. x x x x f x g x → → = = Admita, também que as funções ( )f x e ( )g x sejam dife- renciáveis em 0x x= e que '( )f x e '( )g x sejam contínuas em0x x= . A diferenciabilidade de ( )f x e ( )g x em 0x x= garante a continuidade das funções neste ponto e a implicação: 0 0 0 0( ) lim ( ) 0, ( lim ( ) 0) .x x x xf x f x g x g x→ →== = = Por fim, a continuidade de '( )f x e '( )g x em 0x x= im- plica: 0 0 0 0'( ) lim '( ), '( lim '( ).)x x x xf x f x g x g x→ →== Neste ponto, aplicaremos as aproximações lineares locais de ( )f x e ( )g x , ao limite 4, analogamente ao que fizemos com o limite 1 e, assim, obtém-se: Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 5 ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0 0 '( )lim lim ( ) 'x x x x f x f x x xf x g x g x g x x x→ → + − = + − (5) Observe que 0 0( ) 0 .), ( 0f x g x= = e podemos fazer: ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 '( )lim lim ( ) 'x x x x f x x xf x g x g x x x→ → − = − (6) Finalmente, simplificando os termos 0x x− que aparecem no limite à direita da igualdade, temos: ( ) ( )0 0 0 0 '( )lim lim ( ) 'x x x x f xf x g x g x→ → = (6) A equação 6 é conhecida como a Regra de L’Hôpital. Observe que aplicando a regra de L’Hôpital ao limite 1, obtemos imediatamente: ( ) 0 0 0 sin cos( )lim lim lim cos( ) 1 1x x x x x x x→ → → = = = (7) Na prática, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, enquan- to as indeterminações acontecerem no limite, mas não sim- plesmente. Resta definirmos na forma de uma proposição ou teorema o resultado acima para possíveis casos de indeterminação. A seguir veremos tais casos. 6 Cálculo III 3 Tipos de formas indeterminadas 3.1 Forma do tipo 0 0 Teorema 1: suponha que lim represente um dos limi- tes lim, lim , lim , lim , lim , x a x xx a x a+ −→ →+∞ →−∞→ → e que lim ( ) 0f x = e lim ( ) 0g x = . Se ( ) ( )0 0lim ' 'f x g x tem um valor finito L , ou se este limite for +∞ ou −∞ , então: ( ) ( )0 0 0 0 '( )lim lim ( ) 'x x x x f xf x g x g x→ → = (8) Exemplos: 1) Em cada questão, confirme a forma indeterminada do tipo 0 0 e use a regra de L’Hôpital para seu efetivo cálculo: a) 2 2 4lim 2x x x→ − − b) 0 sin(2 )lim x x x→ c) 2 1 sin( )lim cos( )x x xpi→ − d) ( ) 4 3 lim 1sinx x x − →+∞ Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 7 e) 20 tan( )lim x x x−→ f) 0 2 1 cos( )lim x x x→ − Resoluções: a) 2 2 2 2 2 2 4 2 4 0 2lim lim lim lim 2 4 2 2 2 0 1x x x x x x x x→ → → → − − ⇒ = ⇒ = = − − b) Videoexemplo c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 sin cos cos1 sin( ) 02lim lim lim lim cos( ) 0 sin sincos 2 cos 02lim 0 1sin 2 x x x x x x xx x x xpi pi pi pi pi pi pi pi pi → → → → → − − − = = ⇒ = − = = = d) Videoexemplo e) 2 20 0 0 0 2 0 2tan( ) tan(0) 0 sec ( ) sec (0) 1lim lim lim lim lim 0 0 2 2 0 0x x x x x x x x x− − − − −→ → → → → = = ⇒ = = = ∃ ⋅ f) Videoexemplo 3.2 Forma do tipo ∞ ∞ Teorema 2: suponha que lim represente um dos limi- tes lim, lim , lim , lim , lim , x a x xx a x a+ −→ →+∞ →−∞→ → e que lim ( )f x = ∞ e 8 Cálculo III lim ( )g x = ∞ . Se ( ) ( )0 0lim ' 'f x g x tem um valor finito L , ou se este limite for +∞ ou −∞ , então: ( ) ( )0 0 0 0 '( )lim lim ( ) 'x x x x f xf x g x g x→ → = (8) Exemplos: 2) Em cada questão, confirme a forma indeterminada do tipo ∞ ∞ e use a regra de L’Hôpital para seu efetivo cálculo: a) b) 0 ln( )lim 1 sin( ) x x x +→ c) 3 2 3 4lim x x x x x→+∞ + − d) e) 3 3lim x x e x→+∞ f) Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 9 Resoluções: a) 1 1lim lim lim 0x xx x x x e e e∞→+∞ →+∞ →+∞ ∞ = ⇒ = = ∞ b) Videoexemplo c) d) Videoexemplo e) 3 3 3 3 3 2 3 9 27lim lim lim lim 3 6 6 x x x x x x x x e e e e x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ ∞ ∞ ∞ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∞ ∞ ∞ ∞ f) Videoexemplo 3.3 Forma do tipo 0 ⋅∞ e ∞ − ∞ As indeterminações do tipo 0 ⋅∞ e ∞ − ∞ podem ser resolvi- das, às vezes, através de manipulações algébricas que levam às formas indeterminadas 1.3.1 e 1.3.2, e então se utiliza a regra de L’Hôpital para a conclusão. Primeiro, vamos observar por qual razão 0 ⋅∞ e ∞ − ∞ são formas indeterminadas:  Admita o limite: 10 Cálculo III 0 lim ln( ) x x x +→ (1.9) Aplicando propriedades de limites podemos escrever: (1.10) E daí segue a indeterminação, pois temos limites confli- tantes: enquanto o primeiro tende a zero o segundo tende a infinito.  Considere o limite: 0 1 1lim sin( )x x x+→ − (11) Neste caso, também temos um caso de limites conflitantes, pois enquanto um “puxa” para cima o outro “puxa” para baixo. Exemplos: 3) Calcule os limites abaixo: a) 0 lim ln( ) x x x +→ b) ( ) 0 lim 1 tan( ) sec( ) x x x +→ − c) 0 1 1lim sin( )x x x+→ − d) 2lim x x x x →+∞ + − Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 11 e) 0 1lim x x x+→ ⋅ f) 0 1lim x x x+→ ⋅ Resoluções: a) b) Videoexemplo c) d) Videoexemplo e) 0 0 0 0 1 1lim 0 lim lim lim 1 1 x x x x xx x x x x+ + + +→ → → → ⋅ = ∞ ⋅ ⇒ ⋅ = = = f) Videoexemplo 12 Cálculo III 3.4 Formas do tipo 00 , 0∞ , 1∞ As formas indeterminadas do tipo 00 , 0∞ , 1∞ também mos- tram um caráter indeterminado por indicarem limites conflitan- tes em sua essência. Novamente, as soluções às vezes podem ser obtidas por manipulações algébricas que recaiam nas formas 0 0 ou ∞ ∞ . Então, para calcularmos )()( lim xg ax xf → , faremos: )()(lim xg ax xfy → = Aplicando logaritmo natural nos dois membros da igual- dade: Reescrevendo: Aplicando a propriedade do logaritmo da potência: Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 13 Transformando na forma de potência: O problema consiste em resolver o expoente . Exemplos: 4) Calcule os limites abaixo: a) ( ) 1 0 lim 1 x x x → + b) ( ) 1 0 lim x x xe x → + c) 3lim 1 x x x→+∞ − d) 0 1lim x x x+→ ⋅ e) 0 lim x x x +→ f) 0 1lim x x x+→ ⋅ 14 Cálculo III Resoluções: a) b) Videoexemplo c) d) Videoexemplo e) f) Videoexemplo Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 15 Recapitulando Neste capítulo, estudamos operações com limites indetermina- dos nas formas 0 0 e ∞ ∞ . Vimos que tais indeterminações po- dem ser resolvidas com a chamada regra de L’Hôpital, que afirma que tais indeterminações são resolvidas ao calcularmos as derivadas de numerador e denominador que geraram essas indeterminações. Referências ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v.1, 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. ______. Cálculo, um novo horizonte. Gabarito: 2, 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Thomson, 2002. Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: http://phet.colorado.edu/pt_ BR/ Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx 16 Cálculo III Atividades Resolva os limites abaixo: 1) 2 7 49lim 7x x x→ − − 2) 2 23 6 9lim 7 12x x x x x→ − + − + 3) 0 cos( ) 2 1lim 3x x x x→ + − 4) 0 2lim ln( ) x x x +→ 5) ( ) 2 lim 2 sec( ) x x x pi pi + → − 6) ( ) 12 0 lim 1 3 x x x +→ +7) [ ]sin( ) 0 cossec( )lim x x x +→ 8) 1 ln( ) 0 lim x x x +→ 9) sin( ) 0 lim x x x +→ Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 17 10) x x x1lim ∞→ 11) )ln( lim 2 x x x ∞→ 12) )( )cos(1lim 0 xsen x x − → 13) )/1( )/1(lim xarctg xsen x ∞→ 14) )(cot 0 )1(lim xg x x ( → 15) ]1)/.[cos(lim − ∞→ xx x m 16) x x x ( ∞→ 31lim 17) )]1ln().1[(lim 1 −− (→ xx x Gabarito 1) 14 2) 0 3) 2 3 4) 0 5) 2− 18 Cálculo III 6) 23e 7) 1 8) e 9) 1 10) 1 11) ∞ 12) 0 13) 1 14) – e 15) 0 16) 3e 17) 0 Rafael da Silva Valada1 Capítulo 2 Integrais Impróprias 1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – ULBRA – Canoas (RS). 20 Cálculo III Introdução Neste capítulo, veremos como podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo, mesmo que os limites de integração sejam infinitos ou quando há pontos de descontinuidade da função, a qual estamos integrando. A solução prevê utilizar- mos a operação de limite juntamente com a operação de in- tegral. 1 Integrais Impróprias O teorema fundamental do cálculo afirma que se f for con- tínua em [ ],a b e F for uma antiderivada de f em a, b então ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a= −∫ (1) Observe que, caso nossa integral possua limites no infinito, o teorema não se aplica, visto que o infinito não é um número, mas, sim, uma ideia, e não está sujeito às operações básicas da aritmética. Outra questão é se a função ( )f x possui uma desconti- nuidade infinita no intervalo fechado [ ],a b , ou seja, a função tende ao infinito para um ponto c pertencente a [ ],a b . Para esses casos, chamamos a integral de imprópria, por possuir uma impropriedade invalidando a aplicação do teorema fun- damental do cálculo. Capítulo 2 Integrais Impróprias 21 Este aparente problema será resolvido com a inserção da operação de limite em nossas integrais. 2 Integrais sobre intervalos infinitos Uma integral imprópria com intervalos infinitos pode possuir as seguintes formas: ( ) a f x dx ∞∫ (2) ( ) b f x dx −∞ ∫ (3) ( )f x dx ∞ −∞ ∫ (4) 3 Integrais com pontos de descontinuidades infinitas Uma integral imprópria com intervalos descontínuos infinitos pode possuir as seguintes formas: ( ) b a f x dx∫ (5) 22 Cálculo III quando ( )f c representa uma descontinuidade infinita de ( )f x e c pertence a [ ],a b . ( ) b a f x dx∫ (6) quando ( )f a representa uma descontinuidade infinita de ( )f x . ( ) b a f x dx∫ (7) quando ( )f b representa uma descontinuidade infinita de ( )f x . 4 Resolução de integrais impróprias Para uma integral imprópria temos duas possibilidades:  A integral converge: dizemos que a integral converge quando suas partes constituintes convergirem para um valor real.  A integral diverge: dizemos que a integral diverge quando suas partes constituintes divergirem, ou seja, re- sultarem em um valor infinito. Para a devida resolução, ou seja, para transformarmos as impropriedades apresentadas nas equações 2 a 7, devemos introduzir a operação de limites nas integrais: Capítulo 2 Integrais Impróprias 23  Integrais sobre intervalos infinitos ( ) lim ( ) a a f x dx f x dx β β ∞ →+∞ =∫ ∫ (8) ( ) lim ( ) b b f x dx f x dxβ β→−∞−∞ =∫ ∫ (9) ( ) lim ( ) lim ( ) c c f x dx f x dx f x dx β β ββ ∞ →−∞ →∞ −∞ = +∫ ∫ ∫ (10) onde c representa qualquer número real.  Integrais sobre descontinuidades infinitas se ( )f a representa uma descontinuidade infinita de ( )f x . se ( )f b representa uma descontinuidade infinita de ( )f x . ( ) lim ( ) lim ( ) b b c x c a a f x dx f x dx f x dx β β β − +→ → = +∫ ∫ ∫ (10) se ( )f c representa uma descontinuidade infinita de ( )f x . 24 Cálculo III Exemplos: 1) Calcule as integrais abaixo: a) ( )22 1 1 dx x ∞ − ∫ b) 0 xe dx −∞ −∫ c) 3 1 dx x ∞∫ d) 0 sin( )xe x dx− ∞∫ e) ( )22 1 x dx x ∞ −∞ + ∫ f) xdx ∞ −∞ ∫ g) 1 0 1 dx x∫ h) ( ) 7 2 32 1 1 dx x− + ∫ Capítulo 2 Integrais Impróprias 25 i) 3 0 1 3 dx x−∫ j) ( )2 4 0 1 3 dx x −∫ k) dx∫ l) 1 0 1 1 dx x−∫ Resoluções: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 22 1 1lim 1 1 ____________________________________ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ____________________________________ 1 1lim lim 11 dx dx x x dudx u x du dx dxx udx du u du u u xx dx xx β β β β β ∞ →∞ →∞ − − →∞ ⇒ − − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − − − ∴ = = = = = − − − − = − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ a integral con 1 1lim 1 2 1 1 verge10 2 2 β β β→∞ − − = − − − = + = ⇒1 = 1 26 Cálculo III b) Vídeoexemplo c) 2 3 3 3 1 1 3 3 11 2 2 2 2 lim ____________________________________ 1 2 2 ____________________________________ 1 a integral co 1 1 1 1lim lim 0 2 2 2 1 2 nve 2 dx dx x x dx xx dx x x dx x x β β β β β ∞ ∞ →∞ − − ∞ →∞ →∞ ⇒ − = = = − − − − = = − = + = ⋅ ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ rge d) Videoexemplo e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 22 2 2 1 22 2 2 1 2 22 2 lim lim 1 1 1 ____________________________________ 1 2 21 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 11 __________________________________ x x xdx dx dx x x x x du dudx u x x dx dx xx x x du udx u du x u xux β β ββ − − ∞ →−∞ →∞ −∞ = + + + + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = + − − ∴ = = = = = − ++ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ __ Capítulo 2 Integrais Impróprias 27 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 22 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 lim lim 1 1 1 1lim lim 2 1 2 1 1 1 1 1lim lim 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 a integr1 4 4 a0 x xdx dx x x x x β β ββ β β β β β ββ β →−∞ →∞ →−∞ →∞ →−∞ →∞ + + + − − = + + + − − − − − + − + + + + − = + = ⇒ ∫ ∫ l converge f) Videoexemplo g) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 0 1 1lim lim ln( ) lim ln(1) l a integral div n( ) 0 erge dx dx x x x ββ β ββ β + + +→ → → = = = − = + ∞ = ∞ ⇒ ∫ ∫ h) Videoexemplo i) 28 Cálculo III j) Videoexemplo k) ( ) ( ) ( ){ } 2 2 2 1 1 1 1 1 1lim lim ln 1 1 1 li a integral diverge m ln 1 2 ln(1 1) dx dx x x x ββ ββ β + + + → → → = = − − − − − − − − − = ∞ ⇒ ∫ ∫ l) Videoexemplo Recapitulando Neste capítulo, estendemos a ideia fundamental de funções de uma variável para funções de duas ou mais variáveis. Vimos a descrição genérica do domínio de funções através de exem- plos do domínio expressos em termos analíticos, bem como gráficos. Por fim, vimos alguns exemplos de gráficos de fun- ções de duas variáveis e tais gráficos representam superfícies tridimensionais. Referências ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v.1, 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. ______. Cálculo, um novo horizonte. v.2, 6.ed. Porto Ale- gre: Bookman, 2000. Capítulo 2 Integrais Impróprias 29 STEWART, J. Cálculo. v. 1 SãoPaulo: Thomson, 2002. Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: http://phet.colorado.edu/pt_ BR/ Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx Atividades 1) Resolva as integrais abaixo: a) 4 31 1 dx x ∞∫ b) 3 41 1 dx x ∞ − ∫ c) 2 1 5 2 dx x −∞ − ∫ d) xdx ∞ −∞ ∫ e) 2 0 xe dx− ∞∫ f) 1 3 1 dx x − −∞ ∫ g) ( ) 7 2 32 1 1 dx x− + ∫ 30 Cálculo III h) ( ) 10 2 0 1 3 dx x −∫ i) 1 0 1 1 dx x −∫ j) ( )( )0 1 2 dx x x ∞ + +∫ Gabarito a) Converge para 3 b) ∞ ⇒ diverge c) ∞ ⇒ diverge Capítulo 2 Integrais Impróprias 31 d) ∞ ⇒ diverge e) Converge para 1/2 f) Converge para – 1/2 g) Converge para 9 h) ∞ ⇒ diverge i) ∞ ⇒ diverge j) Converge para )2ln( k) Converge para e1 l) ∞ ⇒ diverge m) Converge para – 1/4 n) Converge para – 3/2 o) ∞ ⇒ diverge p) Converge para 1/2 Rafael da Silva Valada1 Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – ULBRA – Canoas (RS). Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 33 Introdução Neste capítulo, o objetivo principal é estender a ideia fun- damental que temos de funções, uma variável real para fun- ções de duas ou mais variáveis reais. Analisando aspectos básicos de nossa compreensão de funções de uma variável, obtemos domínios análogos para o domínio de funções de duas variáveis, bem como representações gráficas destes domínios. Também estudaremos gráficos de funções de duas variá- veis. 1 Funções de duas variáveis 2 ou mais variáveis Admita uma placa fina e delgada, ou seja, a espessura da chapa é muito menor que as dimensões x e y. Admita ain- da que localmente houve a transferência de energia (calor) para a placa. Neste caso, a temperatura de qualquer pon- to da placa para cada intervalo de tempo t será dada por duas coordenadas espaciais, a saber (x,y) e uma coordenada temporal t. A função que descreve a temperatura da chapa necessariamente será uma função de três variáveis u(x,y,t). Dessa maneira, para cada entrada x, y, t haverá um único valor de temperatura u. 34 Cálculo III Figura 1 Distribuição de Temperaturas em uma chapa fina (FONTE, 2014). Em nossos estudos, iremos nos deter nas funções de duas ou três variáveis. Em cursos mais avançados de matemática há o surgimento de funções n-dimensionais em espaços n-dimen- sionais, e as propriedades estudadas serão casos mais gerais do que estudaremos em nossa disciplina. A seguir, temos as definições de funções de duas e três variáveis:  Função de duas variáveis: uma função f de duas variáveis, x e y , é uma regra que associa um número real ( , )f x y para cada ponto ( , )x y de algum conjunto D no plano xy . ( , )z f x y= (1) Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 35  Função de três variáveis: uma função f de três vari- áveis , ,x y z é uma regra que associa um número real ( , , )f x y z para cada ponto ( , , )x y z de algum conjunto D no espaço xyz . ( , , )w f x y z= (2) 2 Domínio de funções de duas variáveis reais Para o caso de uma função de duas variáveis ( , )z f x y= , a ideia de domínio de funções de uma variável é estendida natu- ralmente. Vamos pensar um pouco: para uma função de uma variável, ( )y f x= , o domínio representa o conjunto de valores de x que “podem” ser utilizados na função, ou seja, o domínio é constituído por pontos na reta dos reais que implica que tere- mos a construção de retas sobre a reta dos reais. O conjunto de todos estes pontos representa o domínio de ( )f x . De forma resumida, o domínio de uma função ( )y f x= será um conjunto de pontos dispostos em uma reta. Quando temos uma função de duas variáveis, ( , )z f x y= , é natural pensar que o domínio será o conjunto de pares ,x y que “podem” ser usados na função. Ora, como a disposição destes pontos está no plano ( , )x y , podemos dizer que o domí- nio de funções de duas variáveis são regiões do plano ( , )x y . De forma resumida, o domínio de uma função ( , )z f x y= será um conjunto de pontos dispostos em um plano. 36 Cálculo III De forma análoga, o domínio de uma função de três variá- veis será um conjunto de pontos dispostos no espaço. 3.2.1 Problemas associados ao domínio de z=f(x,y) Podemos identificar alguns “problemas” associadas ao domí- nio de funções conhecidas, como as funções racionais, funções logarítmicas, funções trigonométricas e funções irracionais, ou combinações das mesmas. Quando falamos em problemas nos referimos a possíveis restrições que aparecem no domínio Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 37 de z=f(x,y) a própria estrutura da função. Abaixo citamos al- guns desses casos: 1 ( , ) 0 ( , ) z h x y h x y = ⇒ ≠ (3) ( , ) ( , ) 0z h x y h x y= ⇒ ≥ (4) ( )ln ( , ) ( , ) 0z h x y h x y= ⇒ > (5) A definição do domínio de uma função de duas variáveis pode ser expressa de forma analítica ou de forma gráfica. Em cada caso, as restrições do domínio devem ficar claras. Exemplos: 1) Obtenha o domínio das funções abaixo, expressando sua resposta de forma analítica e forma gráfica: a) ( )2 2( , ) 25f x y x y= − + b) 2 24 ( , ) x y f x y y − − = c) 2 2( , ) 25 yf x y x y = + − d) 2( , )f x y y x= − e) ( )2 2( , ) ln 1f x y x y= − − 38 Cálculo III f) 2 5( , ) 2 xyf x y y x − = − Resoluções: a) b) Videoexemplo Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 39 c) d) Videoexemplo e) 40 Cálculo III f) Videoexemplo 3 Gráficos de funções de duas variáveis Analogamente ao gráfico de f(x), que é definido como o grá- fico da função ( )y f x= no plano xy , definimos o gráfico de ( , )z f x y= no espaço ( , , )x y z como sendo o gráfico da equação ( , )z f x y= . Abaixo, temos alguns exemplos de gráficos de funções de duas variáveis:  11 2 z x y= − − Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 41 Figura 2 Gráfico 1. Gráfico de um plano. Fonte: autor, (2014).  2 21z x y= − − Figura 3 Gráfico 2 Fonte: autor (2014). 42 Cálculo III  2 2z x y= + Figura 4 Gráfico 3. Fonte: autor (2014). 4 Curvas de nível de funções de duas variáveis Seja uma função ( , )z f x y= cortada por um plano horizontal=k. Todos os pontos da intersecção ( , )f x y k= pro- jetados sobre o plano xy formam curvas que recebem o nome de curvas de nível de altura k. Um conjunto de curvas de nível é chamado de Mapa de Contorno da função ( , )z f x y= . Considere, por exemplo, o gráfico da função que plotamos 2 2z x y= + acima, dada pela Figura 4: Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 43 Figura 5 Gráfico 3. Fonte: autor (2014). A representação da vista superior deste gráfico é dada na Figura 6: Figura 6 Vista superior do Gráfico 3. Fonte: autor (2014). 44 Cálculo III Agora, vamos plotar a função 2 2z x y= + um plano pa- ralelo ao plano xy em alguma altura específica, por exemplo 1z = , neste caso temos as Figuras 7 e 8: Figura 7 Gráfico 3 cortado por um plano de altura 1. Fonte: autor (2014). Figura 8 Vista superior da intersecção da função com o plano. Fonte: autor (2014). Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 45 Observe a curva que aparece da intersecção da função com o plano. Neste caso, temos a curva de nível de altura 1: Figura 8 Curva de Nível k=1. Fonte: autor (2014). Caso incluamos vários planos de diferentesalturas, tere- mos o mapa de contorno da função 2 2z x y= + dado na Figura 9. 46 Cálculo III Figura 9 Curvas de Nível da função 2 2z x y= + . Fonte: autor (2014). Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 47 Exemplos: 2) Esboce o mapa de contorno das funções abaixo: a) ( )2 2( , ) 25 , 0,1,2,3,4,5f x y x y k= − + = b) 2 2( , ) 4 , 0,1,3f x y x y k= + = c) 2 2( , ) , 4,0,9f x y y x k= − = − d) ( ) ( )2 2( , ) 2 3 , 1,4,9f x y x y k= − + − = e) 3( , ) , 1,0,1, 2f x y x y k= − = − f) 2( , ) , 1, 2,3f x y y x k= − = Resoluções: a) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 25 , 0,1,2,3,4,5 25 25 25 f x y x y k x y k x y k x y k = − + = ∴ − + = ⇒ − + = ⇒ + = − 48 Cálculo III b) Videoexemplo c) 2 2( , ) , 4,0,9f x y y x k= − = − Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 49 d) Videoexemplo e) 3( , ) , 1,0,1, 2f x y x y k= − = − 50 Cálculo III f) Videoexemplo Recapitulando Neste capítulo, estendemos a ideia fundamental de funções de uma variável para funções de duas ou mais variáveis. Vimos a descrição genérica do domínio de funções de tais funções através de exemplos do domínio expressos em termos analí- ticos, bem como gráficos. Por fim, vimos alguns exemplos de gráficos de funções de duas variáveis e tais gráficos represen- tam superfícies tridimensionais. Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 51 Referências KREYSZIG, E. Matemática Superior para Engenharia v.1, 9.ed., LTC, 2009. ZIll, D. G, Cullen, M. R. Equações Diferenciais. v.1, 3.ed, Makron Books, 2001. ______. Matemática Avançada para Engenharia. v.1, 3.ed Bookman, 2009. Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: http://phet.colorado.edu/pt_ BR/ Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx Atividades 1) Obtenha o domínio das funções abaixo, expressando sua resposta de forma analítica e forma gráfica: a) ( )2 2( , ) 36f x y x y= − + b) 2 24 ( , ) x y f x y y − − = 52 Cálculo III c) 2 2 ( , ) 5 2 xyf x y x y = + − d) 3( , )f x y y x= − e) ( )2 2( , ) ln 1f x y x y= + − f) 2 3 ( , ) x yf x y y x + = − g) 2sin( )( , ) xf x y y x = − 2) Esboce o mapa de contorno das funções abaixo: a) ( , ) , 2, 1,0,1, 2,3f x y y x k= − = − − b) ( , ) , 0,1, 2,3, 4,5f x y y x k= − = c) 2 2( , ) , 4,9,16,25f x y x y k= + = d) 2 2 ( , ) , 1, 2,3, 4 2 3 x yf x y k= + = e) ( ) ( )2 22 1( , ) , 1, 2,3, 4 2 3 x y f x y k − − = + = f) 2 2( , ) , 4,0, 4f x y y x k= − = − g) 2( , ) , 0,1, 4,9f x y y k= = Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 53 Gabarito 1) a) b) 54 Cálculo III c) Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 55 d) e) 56 Cálculo III f) Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 57 g) 2) a) Imagem abaixo 58 Cálculo III b) Imagem abaixo c) Imagem abaixo Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 59 d) Imagem abaixo e) Imagem abaixo 60 Cálculo III f) Imagem abaixo g) Imagem abaixo Rafael da Silva Valada1 Capítulo 4 Limites de Funções de Duas Variáveis 1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – ULBRA – Canoas (RS). 62 Cálculo III Introdução O processo de limite utilizado para funções de uma variável real pode ser generalizado para funções de duas ou mais vari- áveis. A ideia fundamental de limite se mantém invariante, po- rém, os caminhos para os quais podemos chegar a um ponto do qual queremos avaliar o limite, que para funções de uma variável eram dois, se mostrará infinito para funções de duas ou mais variáveis. 1 Limites de funções de duas ou mais variáveis Quando procuramos o limite de uma função de uma variável, temos as seguintes operações: 0 lim ( ). x x f x → (1) Que implica em calcularmos os limites laterais 0 lim ( ) x x f x +→ (2) e 0 lim ( ) x x f x −→ (3) Dessa maneira, temos apenas dois sentidos nos quais x pode se aproximar de 0x . Capítulo 4 Limites de Funções de Duas Variáveis 63 Quando calculamos o limite de funções de duas ou mais variáveis é um pouco mais complexo, tendo e vista que pode- mos chegar até o ponto ( )0 0,x y , por infinitos caminhos. Neste contexto, temos dois casos possíveis: 1.1 Limites ao longo de curvas Neste caso, chegamos até o ponto ( )0 0,x y por uma curva parametrizada por função da variável t. Esses limites ao lon- go de curvas paramétricas podem ser obtidos substituindo as equações paramétricas dentro da equação para a função f e computando o limite apropriado da função resultante que será de uma variável. Assim temos, para limites de funções de duas e três variáveis, respectivamente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , lim ( , ) lim ( ), ( ) lim ( , , ) lim ( ), ( ), ( ) x y x y t t x y z x y z t t f x y f x t y t f x y z f x t y t z t → → → → = = (4) Exemplos: 1) Calcule o limite da função 2 2( , ) xyf x y x y = − + através das seguintes curvas: a) 0y = b) 0x = c) y x= d) y x= − e) 2y x= 64 Cálculo III Resolução: a) ( ) ( ) ( )0 0, , 0 0 02 2 2 0 0lim lim ( ,0) lim lim 0 0 ao longo do eixo x x y x y t t t y xy f t x y t→ → → → = ⇒ − = = − = = + b) ( ) ( ) ( )0 0, , 0 0 02 2 2 0 0lim lim (0, ) lim lim 0 0 ao longo do eixo y x y x y t t t x xy f t x y t→ → → → = ⇒ − = = − = = + c) ( ) ( )0 0 2 2 2 2 2 2, , 0 0 0 20 lim lim ( , ) lim lim 2 1 1lim ao longo da r 2 eta 2 x y x y t t t t y x xy t tf t t y x x y t t t→ → → → → = ⇒ − = = − = − + + = − = − = d) e) ( ) ( ) ( )0 0 2 2 3 3 2 22 2 2 4, , 0 20 0 20 2 lim lim ( , ) ao lo lim lim l ngo da curva im 0 1 x y x y t t t t y x xy t tf t t x y t tt t y t t x → → → → → = ⇒ − = = − = − + + + = − = + = Capítulo 4 Limites de Funções de Duas Variáveis 65 1.2 Limites gerais O limite de uma função de duas variáveis pode ser definido da seguinte forma: Seja f uma função de duas variáveis, então ( ) ( )0 0, , lim ( , ) x y x y f x y L → = (5) se dado qualquer 0ε > , podemos encontrar um número 0δ > de modo que ( , )f x y satisfaça ( , )f x y L ε− < (6) sempre que ( ),x y estiver no domínio de f e a distância entre ( ),x y e ( )0 0,x y satisfizer ( ) ( )2 20 00 x x y y δ< − + − < (7) O seguinte teorema relaciona a obtenção de limites de duas variáveis através da definição geral e sua obtenção atra- vés de curvas paramétricas: Teorema: (i) Se f(x,y) tende a L quando (x, y) tende a (xo, yo), então f(x, y) tende a L quando (x, y) tende a (xo, yo) ao longo de qualquer curva suave do domínio de f(x, y). (ii) Se o limite de f(x, y) deixa de existir quando (x, y) tender a (xo, yo) ao longo de alguma curva suave, ou se f(x, y) tiver limites diferentes quando (x, y) tender a (xo, yo) ao 66 Cálculo III longo de duas curvas suaves diferentes do domínio de f(x, y), então o limite de f(x, y) não existe quando (x, y) tender a (xo, yo). Exemplos: 2) Calcule o limite das funções abaixo: a) ( ) ( ) ( )3 2, 2, 3lim 4 5 7x y x xy y→ − − + − b) ( ) ( ) 2 2 2 2, 3,4 lim x y x y x y→− + c) ( ) ( ) 4 4 2 2, 0,0 lim x y x y x y→ − + d) ( ) ( )1,2 3, lim 2 2x y xy y x x xy y→ − − + − e) Mostre que o limite não existe ( ) ( ) 2 2 2 2, 0,0 2lim x y x y x y→ − + f) ( ) ( ), 1, 1 2 2 2 2 lim x y x y x y→ − − − + Resoluções: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23 2 3 , 2, 3 lim 4 5 7 2 4 2 3 5 3 7 8 72 15 7 86 x y x xy y → − − + − = − ⋅ ⋅ − + − − = − − − = − Capítulo 4 Limites de Funções de Duas Variáveis 67 b) Videoexemplo c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 24 4 2 2 2 2 2 2, 0,0 , 0,0 , 0, 2 0 2 0lim lim lim 0 0x y x y x y x y x yx y x y x y x y→ → → − + − = ⇒ = − = + + d) Videoexemplo e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2, 0,0 , 0,0 , 0,0 2 2 2 2 2 2 2 2, 0,0 , 0,0 , 0,0 2 0 2 0lim 0 lim lim 2 2 0 0 2 0 20 lim lim 1 1 lim 0 x y x y x y x y x y x y x y xy x y x y x yx y x y → → → → → → − − = ⇒ = ⇒ = = + + ⋅ − − ⇒ = ⇒ = − = − ⇒ = ∃ + + f) Videoexemplo 2 Continuidade Lembramos que definimos uma função de uma variável conti- nua pela assertiva 0 0lim ( ) ( )x x f x f x→ = (8) Estando o conceito de continuidade para funções de duas e três variáveis temos ( ) ( )0 0, 0, 0 lim ( , ) ( , ) x y x y f x y f x y → = (9) ( ) ( )0 0 0, , 0 0 0, , lim ( , , ) ( , , ) x y z x y z f x y z f x y z → = (10) 68 Cálculo III Exemplos: 3) Determine se ( , )f x y é contínua no ponto especificado: a) ( )2( , ) 3 2 em 1,3f x y x xy= + − b) 2 2( , ) xf y y x x y = − c) ( , ) 4f x y xy= − d) e) ( )2( , ) 5 3 em 1,0f x y x xy= + f) 2 ( , ) xf x y e= Resoluções: a) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , 1,3 , 1,3 ( , ) 3 2 em 1,3 ( 1,3) 3 1 21) 2) 1 3 3 lim ( , ) ( 1,3) lim 3 2 3 x y x y f x y x xy f f x y f x xy → − → − = + − − = − + − = − ⇒ = − + = − b) Videoexemplo c) A função é cont ( , ) 4 4 ínua 4p a 0 4 ar f x y xy xy xy xy = − ⇒ − ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ d) Videoexemplo Capítulo 4 Limites de Funções de Duas Variáveis 69 e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , 1,0 , 1,0 ( , ) 5 3 em 1,0 1,0 5 1 3 1 0 5 lim ( , ) (1,0) li 1) 2 m 3 5) 5 x y x y f x y x xy f f x y f x xy → → = + = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ =+ = f) Videoexemplo Recapitulando Repetindo os passos para a construção da derivada, estuda- mos neste capítulo a generalização da operação de limite para funções de duas ou mais variáveis. Vimos que a principal di- ferença entre esses limites e os limites de funções de uma va- riável são os caminhos pelos quais podemos chegar ao ponto do qual pretendemos avaliar o limite. Também generalizamos o conceito de continuidade de funções de uma variável para funções de duas variáveis. Referências ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v.1, 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. ______. Cálculo, um novo horizonte. v.2, 6.ed. Porto Ale- gre: Bookman, 2000. STEWART, J. Cálculo. v. 1 São Paulo: Thomson, 2002. 70 Cálculo III Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: http://phet.colorado.edu/pt_ BR/ Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx Atividades 1) Resolva os limites abaixo: d) ( ) ( ) ( ), 0,0 6 23 2 lim x y x x y→ + e) ( ) ( ), 0,0 2 3 5 5 3lim 2 2x y x y y x→ − Gabarito 1) a) 5 Capítulo 4 Limites de Funções de Duas Variáveis 71 b) 119 13 c) 0 d) ∃ e) ∃ Rafael da Silva Valada1 Capítulo 5 Derivadas Parciais 1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – ULBRA – Canoas (RS). Capítulo 5 Derivadas Parciais 73 Introdução A derivada de uma função de duas ou mais variáveis será in- troduzida neste capítulo. Veremos as definições, bem como devemos proceder para computar tais derivadas. As regras an- teriormente estudadas de derivação permanecem as mesmas, porém, como estamos calculando derivadas de funções de no mínimo duas variáveis, devemos também calcular a derivada com respeito a cada variável. 1 Derivadas parciais de funções de duas variáveis Analogamente ao limite que define a derivada de uma função de uma variável, ( )y f x= 0 ('( ) lim ( ) ,) x f x x ff x x x∆ → ∆ − = ∆ + (1) podemos estender a mesma ideia para uma função de duas variáveis. Porém, quando derivamos uma função de duas va- riáveis ( , )z f x y= , temos duas opções; calcular a derivada com respeito a variável x ou a variável y . 1.1 Derivada com respeito a x Se ( , )z f x y= , então a derivada parcial de f em relação a x é a derivada com respeito a x da função que resulta quan- 74 Cálculo III do y é mantido fixo e fazemos x variar. O limite 1 pode ser estendido: 0 (( , ) lim , ) ( , ) xx f f xf x y x x y f x y x∆ → ∂ ∆ −+ = = ∆∂ (2) onde denota a derivada parcial de ( , )f x y com res- peito a variável x . 1.2 Derivada com respeito a y Se ( , )z f x y= , então a derivada parcial de f em relação a y é a derivada com respeito a y da função que resulta quan- do x é mantido fixo e fazemos y variar. O limite 1 pode ser estendido: 0 (( , ) lim , ) ( , ) yy f f xf x y y y y f x y y∆ → ∂ + ∆ − = = ∆∂ (3) onde denota a derivada parcial de ( , )f x y com res- peito a variável y . Exemplos: 1) Calcule as primeiras derivadas parciais (com respeito a x e a y) das funções abaixo: a) 3 2( , ) 2 2 4f x y x y y x= + + b) f (x,y) = x3 y + 5y3 Capítulo 5 Derivadas Parciais 75 c) 2 2( , ) 3 2f x y x xy y= − + d) e) ( , ) sin( ) cos(7 )f x y x y= f) 2 21( , ) 24 2 2 f x y x y= − − g) 2 3 4 x yz e= h) 2sin(4 )xyz e y= i) y xz ye= j) 2 ln( )xz y e xy= + k) ln( 2)z xy= + l) 4 3 22 3 1z x y xy y= − + + Resoluções: a) 3 2 3 3 2 2 2 2 ( , ) 2 2 4 6 0 4 6 4 4 2 0 4 2 x x y y f x y x y y x f x y f x y f x y f x y = + + = + + ⇒ = + = + + ⇒ = + b) Videoexemplo 76 Cálculo III c) d) Videoexemplo e) ( ) ( , ) sin( ) cos(7 ) cos( ) cos(7 ) cos( ) cos(7 ) sin( ) 7sin(7 ) 7sin( )sin(7 )y y x x f x y x y f x y f x y f x y f x y = = ⇒ = = − ⇒ = − f) Videoexemplo g) 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 2 2 2 ( , ) 4 4 2 8 4 3 12 x y x y x y x y x y y y x x f x y e f xy e f xy e f x y e f x y e = = ⋅ ⇒ = = ⋅ ⇒ = h) Videoexemplo i) 2 2 2 1 y x y y x x y y y y x x x y x x x y z ye y yz y e z e x x yz e y e z e e x x = − = ⇒ = − = + ⇒ = + j) Videoexemplo Capítulo 5 Derivadas Parciais 77 k) ln( 2) 1 2 2 1 2 2 x y x y z xy yz y z xy xy xz x z xy xy = + = ⇒ = + + = ⇒ = + + l) Videoexemplo 2 Taxas de variação e inclinações Dada uma função de duas variáveis ( , )f x y e suas respec- tivas derivadas parciais ( , )xf x y e ( , )yf x y , a interpretação geométrica das derivadas no ponto ( )0 0,x y , ( )0 0,xf x y e ( )0 0,yf x y , mais uma vez, estende a interpretação geométrica da deriva de uma função de uma variável: ( )0 0,xf x y representa a inclinação da reta tangente no ponto ( )0 0,x y da curva ( , )f x y interceptada pela plano 0y y= Figura 1 Derivada parcial com respeito a x. Fonte: Wikipédia (2014). 78 Cálculo III  ( )0 0,yf x y representa a inclinação da reta tangente no ponto ( )0 0,x y da curva ( , )f x y interceptada pela pla- no 0x x= .Figura 2 Derivada parcial com respeito a y. Fonte: Wikipédia (2014). 3 Notação Como vimos nas definições de derivada parcial 2 e 3, temos duas formas de representar as derivas parciais de uma função ( , )z f x y= . Notação Compacta Notação Diferencial Derivada com respeito a x ( , )x xz f x y= z f x x ∂ ∂ = ∂ ∂ Derivada com respeito a y ( , )y yz f x y= z f y y ∂ ∂ = ∂ ∂ Capítulo 5 Derivadas Parciais 79 4 Derivadas parciais de ordens superiores Lembre-se que podemos calcular as derivadas sucessivas de uma função de uma variável y=f(x), obtendo assim derivadas de qualquer ordem, onde a ordem representa o número de deriva- das calculadas. Assim, para uma função de uma variável temos:  Primeira ordem: ' dyy dx =  Segunda ordem: 2 2'' d yy dx =  Terceira ordem: 3 3''' d yy dx = e assim sucessivamente. No caso das derivadas parciais, a cada derivada obtida podemos calcular o resultado em função de x ou em função de y, dessa maneira temos a seguinte árvore: Figura 3 Derivada parcial até segunda ordem. Fonte: autor (2014). 80 Cálculo III Observe que a sequência das variáveis a serem derivadas muda conforme a notação. Exemplos: 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das fun- ções abaixo: a) 2 3 4( , )f x y x y x y= + b) ( )2 2( , ) lnf x y x y= + c) 3 5( , ) 2 yf x y x e= d) ( , ) cos( )xf x y e y= e) ( , ) cos( )sinh( ) sin( ) cosh( )f x y x y x y= + f) 2 3 4( , )f x y x y x y= + g) ( )( , ) lnf x y xy= h) 4 2 3 2( , ) 2 4 3f x y xy x y x y= − + − i) 2 2( , )f r s r s= + j) ( , ) cos xf x y x y = k) 2 2( , , ) 3f x y z x z xy= + Capítulo 5 Derivadas Parciais 81 l) ( , , ) t x yf x y z xe ye ze−= − + Resoluções: a) 2 3 4 3 2 3 3 2 3 2 2 2 4 2 3 ( , ) 2 12 2 4 6 4 6 3 6 4 y xx x xy y y yx f x y x y x y f y x y f xy x y f xy x f x y f x y x f xy x = + = + = + ⇒ = + = = + ⇒ = + b) Videoexemplo c) 3 5 5 2 5 2 5 3 5 3 5 2 5 ( , ) 2 12 6 30 50 10 30 y y y y y yy xx y y x y x x y y f x y x e f xe f x e f x e f x e f x e f x e = = = ⇒ = = = ⇒ = d) Videoexemplo 82 Cálculo III e) ( , ) cos( )sinh( ) sin( ) cosh( ) sin( )sinh( ) cos( ) cosh( ) cos( )sinh( ) sin( ) cosh( ) sin( ) cosh( ) cos( )sinh( ) cos( ) cosh( ) sin( )sinh( ) cos( )sinh( ) sin( ) cosh( ) x xx xy y yy yx f x y x y x y f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y f = + = − + = − − ⇒ = − + = + = + ⇒ = −sin( ) cosh( ) cos( )sinh( )x y x y + f) Videoexemplo g) ( ) 2 2 ( , ) ln 1 1 0 1 1 0 xx x x yy y yx y f x y xy f f x x f f yf y f = = − = ⇒ = = − = ⇒ = h) Videoexemplo Capítulo 5 Derivadas Parciais 83 i) 84 Cálculo III j) Videoexemplo k) l) Videoexemplo 5 Derivadas parciais de funções com mais de duas variáveis Quando calculamos a derivada de funções de mais de duas variáveis, termos mais opções conforme o número de variáveis que define as funções. No entanto, a ideia fundamental da derivada parcial é a mesma, ou seja, quando derivamos a função com respeito a uma variável, fixamos as demais. Capítulo 5 Derivadas Parciais 85 Exemplos: 3) Calcule as derivadas parciais indicadas das funções abaixo: a) b) c) ( ) 2 2 ln( )xyx y ∂ ∂ ∂ ∂ d) e) ( )3 23 cos(xyx ∂ ∂ f) ( )2 22 x yx y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ Resoluções: a) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 3 4 2 3 4 3 3 3 3 4 2 2 3 2 4 2 12 24 24 x y x y x y x y x x x x xy x y y x y xy x x x x y x y xy x ∂ ∂ ∂ ∂ + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = + = ∂ ∂ ∂ ∂ ⇒ + = ∂ 86 Cálculo III b) Videoexemplo c) ( ) ( ) 2 2 2 ln( ) ln( ) 1 1 0 xy xy x y x y y x y y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − = ∂ ∂ ∂ d) Videoexemplo e) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 4 6 3 2 3 4 2 2 2 3 2 6 2 cos( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) sin( ) xy xy x x x x y xy y xy y xy x x x x y x y y xy x ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − = − = ∂ ∂ ∂ ∂ ⇒ + = ∂ f) Videoexemplo Recapitulando Neste capítulo, vimos a definição de derivada parcial de fun- ções de duas ou mais variáveis. Percebemos que a derivada simples, ou ordinária é um caso particular deste novo objeto. Estudamos derivadas parciais de primeira ordem, segun- da ordem e de ordens superiores. Interessantemente o cálculo das derivadas é efetivamente o mesmo para a derivada com respeito a determinada variável, ou seja, vimos que calcular Capítulo 5 Derivadas Parciais 87 a derivada parcial se resume a calcular derivadas ordinárias conforme o número de variáveis que define a função. Referências ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v.1, 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. ______. Cálculo, um novo horizonte. v.2, 6.ed. Porto Ale- gre: Bookman, 2000. STEWART, J. Cálculo. v. 1 São Paulo: Thomson. 2002. Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: http://phet.colorado.edu/pt_ BR/ Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx Atividades 1) Calcule as derivadas de primeira ordem das funções abaixo: a) 2 2( , )f r t r t= +s) s2 b) ( , ) sin( )yf x y xe y x= + c) ( , ) ln x yf x y x y + = − 88 Cálculo III d) ( , ) cos xf x y x y = e) , ) sin( ) co( s( )s φ θ φ θ= f) ( , ) Ax Byg x y Cx Dy + = + g) 2( , ) sec( )f x y x y xy= h) 2 3 3 23 5z x y x y= − i) x yz e= j) 3 2cos( )z x xy= 2) Calcule as derivadas de segunda ordem das funções abaixo: a) cos( )z x y= b) ( , ) 3 2f x y x y= + c) ( , ) xyf x y e= d) 2 3 2( , ) 5 cos( )f x y x y xy= + e) 1( , )f x y xy = Capítulo 5 Derivadas Parciais 89 f) ( , ) tan xf x y y = 3) Calcule as derivadas indicadas abaixo: a) ( )44 44 x y y xy ∂ + ∂ b) de ( , )xx x yf f x y e += c) ( )2 22 sin(2 7 )x yx y ∂ ∂ + ∂ ∂ d) ( )2 22 x yx y ∂ ∂ + ∂ ∂ e) de ( , ) cos( )xxy f x y x yf = + f) de ( , , ) sin( )xyz f x y zf x y z= + + Gabarito 1) a) 2 2 2 2 ; sr r sf f r s r s = = + + b) cos( ); sin( )x y y yf e y x f xe x= + = + 90 Cálculo III c) 2 2 2 2;x y y xf f x y x y − = = − − 2x–2y d) e) cos( )cos( ); sin( )sin( )s sφ θφ θ φ θ= = − f) ( ) ( ) ( ) ( )2 2; yx AD BC BC AD f y f x Cx Dy Cx Dy − − = = + + g) 2 2 2 3 2 sec( ) sec( ) tan( ); sec( ) sec( ) tan( )y xf xy xy x y xy xy f x xy x y xy xy = + = + h) 3 2 2 2 2 36 15 ; 9 10z zxy x y x y x y x y ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ i) 2 1 ; x x y yz z xe e x y y y ∂ ∂ − = = ∂ ∂ j) 3 242 2 2 23 cos( ) sin( ); 2 sin( )z zx xy x y xy x y xy x y ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ 2) a) ( ) ( ) ( )3/2cos sin1 1; cos ;4 2xx yy xy yx y y f f x y f f x x = − = − = = − b) ( ) ( ) ( )3/2 3/2 3/2 9 1 3; ; 4 3 2 3 2 2 3 2xx yy xy yx f f f f x y x y x y = − = − = = − + + + Capítulo 5 Derivadas Parciais 91 c) 2 2e ; e ; e exy xy xy xyxx yy xy yxf y f x f f xy= = = = + d) 3 2 210 ; 30 ; 30xx yy xy yxf y f x y f f xy= = = = e) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5/2 5/2 5/2 3/2 3 3 3 1; ; 4 4 4 2xx yy xy yx y x xyf f f f xy xy xy xy = = = = − f) 3) a) 24x b) ( ) ( )3/2 1e1 4 x yx y x y ++ − + c) ( )2196 cos 2 7x x y− + d) ( )5/22 3 4 y y x+ 92 Cálculo III e) ( )sin x y+ f) ( )cos x y z− + + Rafael da Silva Valada1 Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – ULBRA – Canoas (RS). 94 Cálculo III Introdução Neste capítulo, iremos perceber que a derivada parcial de uma função de duas variáveis é um caso particular de um obje- to matemático mais geral chamado Derivada Direcional. Tais derivadas indicam a taxa de variação de nossa função com respeito a qualquer direção arbitrária. Também neste capítulo, aparecerá o gradiente de uma função de duas variáveis como o indicativo das direções de maiores e menores taxas de cres- cimento da função. 1 Funções Diferenciáveis de duas variáveis Primeiramente, vamos recordar a definição mais intuitiva de diferenciabilidade de funções de uma variável: Uma função ( )y f x= , diferenciável em um ponto 0x x= é aquela que satisfaz as seguintes propriedades:  ( )f x é contínua em 0x x= .  O gráfico de ( )f x possui uma reta tangente não vertical em 0x x= . Podemos definir uma função diferenciável de uma maneira mais formal: uma função f de uma variável é diferenciável em 0x se existe um número 0'( )f x tal que f∆ pode ser escrita na forma 0'( )f f x x xε∆ = ∆ + ∆ (1) Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 95 onde ε é uma função de x∆ tal que ε vai para zero se x∆ vai para zero e 0ε = se 0x∆ = . Para o caso de funções de duas variáveis, podemos esten- der as definições acima, fazendo as devidas adequações: (i) Uma função ( , )z f x y= , diferenciável em um ponto ( )0 0,x y é aquela que satisfaz as seguintes proprieda- des:  ( , )f x y é contínua em ( )0 0,x y .  A superfície ( , )z f x y= tem um plano tangente não ver- tical em ( )0 0,x y . Uma função f de duas variáveis é diferenciável em ( )0 0,x y se ( )0 0,xf x y e ( )0 0,yf x y existirem e f∆ puder ser escrita como 0 0 0 0 1 2( ) ( ), ,yxf f x x f xy y yy xε ε∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ (2) onde 1ε e 2ε são funções de x∆ e y∆ tendendo a zero, se cada quantidade respectiva tende a zero e são nulos se os deltas são nulos. 2 Diferenciais Quando estudamos a diferencial para funções de uma variável )(xfy = , definimos a diferencial como uma variável inde- pendente, podendo valer qualquer número real. A diferencial de y foi definida como: 96 Cálculo III (3) Para uma função de duas variáveis, ),( yxfz = , definimos as diferenciais e como variáveis independentes, podendo valer qualquer valor. Logo, a diferencial , também chamada de diferencial total, é definida como: Exemplos: 1) Dada a função , se x varia de 3 para 3,02 e y varia de 2 para 1,95, determine: a) A variação exata da função ),( yxfz = para as varia- ções indicadas. b) A variação aproximada, usando diferenciais. 2) O comprimento e a largura de um retângulo foram me- didos com uma régua, encontrando-se 50 cm e 40 cm, respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, 0,1. Utilize diferenciais para estimar o erro máximo come- tido no cálculo da área do retângulo e compare com o erro exato. 3) Uma lata cilíndrica possui diâmetro da base medindo 10 cm e altura medindo 12 cm. Usando diferenciais, calcule Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 97 a variação no volume da lata quando o diâmetro aumenta para 10,04 cm e a altura aumenta para 12,01 cm. 4) Um cone circular reto possui raio da base igual a 8 cm e altura 20 cm. Utilize diferenciais para calcular a variação no volume do cone, quando o raio aumenta 0,01 cm e a altura diminui 0,01 cm. Resoluções 1) a) A variação exata é dada por ozzz −=∆ (final menos inicial). O valor inicial da função é calculado quando 3=x e 2=y : O valor final da função é calculado quando e Então a variação exata será: b) Usando diferencial, aplicamos 98 Cálculo III Se x varia de 3 para 3,02, então Se y varia de 2 para 1,95, então Então: Veja que , isto é, usando diferencial o valor da variação, é próxima da variação exata. Quanto menores as variações das variáveis independentes, mais o valor da diferencial se aproxima do valor exato. Normalmente, utilizamos a diferencial para calcular a variação de funções ou de grandezas, pois o cálculo se torna mais fácil. 2) Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 99 Área: yxA .= erro: Usando diferencial: ou Erro exato: Veja que a diferença nos cálculo é de 0,01 cm². 3) 100 Cálculo III 4) Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 101 2.1 Igualdade das derivadas mistas No capítulo 5, percebemos nos exemplos que as derivadas mistas são idênticas para as questões-exemplo resolvidas. Neste ponto, podemos enunciar o seguinte teorema: Seja f uma função diferenciável de duas variáveis. Se xf , yf , xxf e yyf são contínuas em um conjunto aberto, então xy yxf f= (3) 102 Cálculo III ou 2 2f f y x y x ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ (4) 3 Regra da cadeia Quando estudamos as regras de derivação, aparece a chama- da regra da cadeia, que possibilita que calculemos a derivada de uma função mesmo quando ela não está escrita em termos da variável a qual estamos derivando. Dito de outra forma, se ( )y f x= e x , por sua vez, é uma função de t , ( )x x t= , po- demos calcular a derivada com respeito de t diretamente da função y , usando a regra da cadeia que afirma: dy dy dx dt dx dt = (5) Desejamos, neste momento, desenvolver regras análogas para funções de duas variáveis, e para tal enunciaremos dois teoremas: 3.1 Teorema 1 Se ( )x t e ( )y t são diferenciáveis em t e se ( , )z f x y= for diferenciável no ponto ( )( ), ( )x t y t , então ( )( ), ( )z f x t y t= é diferenciável em t e dz z dx z dy dt x dt y dt ∂ ∂ = + ∂ ∂ (6) Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 103 Exemplos: 1) Dado a função e ( )x t , ( )y t , determine dz dt : a) ; cos( ), sin( )z xy y x t y t= + = = b) 2 2 3; ,z x y x t y t= = = c) 2 3 4 23 ; ,z x y x t y t= = = d) 2sin( ); ,z x y x t y t= = = Resoluções: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ; cos( ), sin( ) , sin( ) 2 1sin( ) cos( ) 1 2 2, cos( ) 2 1 2 2 2 cos( ) cos( ) sin( ) 2 cos z xy y x t y t dz z dx z dy dt x dt y dt z y dx t x dtxy y dz y xt t z x dy dt xy y xy yt y dtxy y dz y x x x yy x dt xy y xy y xy y t t t = + = = ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ = = − ∂ + + ⇒ = − +∂ + + + = = ∂ + + + − ⇒ = − + = + + + + − = ( )( ) ( )( ) 2 2cos ( ) cos( ) sin ( ) 2 cos( )sin( ) sin( )( ) sin( ) sin dz t t t dt t t tt t t + − ⇒ = ++ b) Videoexemplo 104 Cálculo III c) d) Videoexemplo 3.2 Teorema 2 Se ( , )x u v e ( , )y u v são tiverem derivadas de primeira ordem no ponto ( , )u v e se ( , )z f x y= for diferenciável no ponto ( )( , ), ( , )x u v y u v , então ( )( , ), ( , )z f x u v y u v= tem derivadas de primeira ordem no ponto ( ),u v dadas por: z z x z y u x u y u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7) e z z x z y v x v y v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (8) Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 105 Exemplos: 2) Dada a função ( , )z f x y= e ( , )x x u v= , ( , )y y u v= , de- termine z u ∂ ∂ e z v ∂ ∂ a) , 2 , xy uz e x u v y v = = + = b) ( )2 2 2tan ; ,uz x y x x y u vv= − = = c) 23 2 ; ln , lnz x y x u v u y u v v= − = + = − d) 22cos( )sin( ) ,z x y x u y u v= = = + 106 Cálculo III Resoluções: a) ( ) 2 2 , 2 , ; 12 1 12 2 2 2 xy xy xy xy x uv y y u v x uz e x u v y v z z x z y z z x z y u x u y u v x v y v z ye x z xe y x y u u v x y u v v v z z x z y z xye xe e y u x u y u u v v u ue v + = = + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = =∂ ∂ ∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∴ = + ⇔ = ⋅ + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 2 2 x u uv u y x uv v v u uvuu v y x v y v v u v z u ve e v v u v z z x z y z u xuye xe e y v x v y v v v v u v uu uv u uve e v v v + + + + + ∂ + = ⇒ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∴ = + ⇔ = ⋅ + − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − − = − = = 2 2 22 2 2 2 2 2 2 u uv u uv v vu z ue e v v v + + − ∂ −⇒ = ∂ b) Videoexemplo Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 107 c) 23 2 ; ln , ln ; 3 2 1 2 ln ln 1 3 1 2 2 3 3 3 34 z x y x u v u y u v v z z x z y z z x z y u x u y u v x v y v z x z y x v y u u u u x yu v v v z z x z y z v u u x u y u u u u v uu u = − = + = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂∂ = − ∂ ∂ ∂ = + =∂ ∂ ∂ ∂ = = − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∴ = + ⇔ = ⋅ + − ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + = − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2 3 2 4 3 3 4 3 ln 2 ln 1 3ln 2ln 2 ln ln 2 ln 2 ln 2 v u z u v u u u u z z x z y z u v v x v y v v u v u v u v z u v v − ∂ + − ⇒ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∴ = + ⇔ = ⋅ − ⋅ − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + = + + = + ∂ ⇒ = + ∂ d) Videoexemplo 108 Cálculo III 4 Taxas relacionadas em duas direções Umas das mais importantes aplicações da regra da cadeia é a determinação de taxas que se relacionam em duas direções. A seguir, teremos alguns exemplos que contemplam tal aspecto. Exemplos: 3) Resolva os problemas abaixo: a) A que taxa está variando a área de um retângulo se seu comprimento é de 8 metros e está crescendo a 3 m/s, enquanto que sua largura é de 6 metros e está crescendo a 2 m/s? b) Dois lados de triângulo têm comprimento a=5 cm e b= 10 cm e o ângulo entre eles é π/3. Se a estiver crescendo a uma taxa de 2 cm/s, e b estiver crescen- do a uma taxa de 1 cm/s e θ mantendo-se constante, a que taxa está crescendo ou decrescendo o terceiro lado? Resoluções: a) A que taxa está variando a área de um retângulo se seu comprimento é de 8 metros e está crescendo a 3 m/s, enquanto que sua largura é de 6 metros e está crescendo a 2 m/s? Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 109 8, 6 8, 6 3 3 2 3 6 2 8 34 m3 m s s 2 4 x y x y dA A dx A dyA xy dt x dt y dt A dxy dA dAx dt y xA dy dt dtx y dt dA dt = = = = ∂ ∂ = ⇒ = + ∂ ∂ ∂ = = ∂ ⇒ = + ⇒ = ⋅ + ⋅ =∂ = = ∂ ⇒ = b) Videoexemplo Recapitulando Neste capítulo, vimos a extensão da definição de diferencia- bilidade de funções de uma variável para funções de duas variáveis. Obtemos regras equivalentes à regra da cadeia para funções de duas variáveis através de dois teoremas fundamen- tais. Por fim, aplicamos essa nova relação para o estudo de problemas de variação bidimensional. Referências ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v.1, 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. ______. Cálculo, um novo horizonte. v.2, 6.ed. Porto Ale- gre: Bookman, 2000. 110 Cálculo III STEWART, J. Cálculo. V.1. São Paulo: Thomson, 2002. Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: http://phet.colorado.edu/pt_ BR/ Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx Atividades 1) Dada a função ( , )z f x y= e ( )x t , ( )y t , determine dz dt : a) ( ) 22 3ln 2 ; ,z x y x t y t= + = = b) 13cos( ) sin( ); , 3z x xy x y t t = − = = c) 41 2 ; ln( ),z x xy x t y t= + − = = d) 1 1 33; ,xyz e x t y t−= = = e) ( )2cos ; , 2 ttz xy x y e= = = 2) Dada a função ( , )z f x y= e ( , )x x u v= , ( , )y y u v= , de- termine z u ∂ ∂ e z v ∂ ∂ a) 28 2 3 ; ,z x y x y x uv y u v= − + = = − b) ; 2cos( ), 3sin( ) xz x u y v y = = = Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 111 c) 2 1; ,x yz e x uv y v = = = d) 2 3; cos( ), sin( )z x y xy x u v y u v= − = = e) 2 2 3; , 4 xz x u v y uv y = = − = 3) Dois lados de triangulo têm comprimentos a=4 cm e b=3 cm, mas estão crescendo a uma taxa de 1 cm/s. Se a área do triângulo permanece constante, a que taxa está varian- do o ângulo θ entre a e b quando θ=π/6 4) Suponhamos que as dimensões de uma caixa retangular variam de 9 cm, 6 cm e 4 cm, para 9,02 cm, 5,97 cm e 4,01 cm, respectivamente. Usando diferenciais, podemos dizer que uma aproximação da variação do volume desta caixa é: a) 0,06 cm³ d) 2,10 cm³ b) – 0,06 cm³ e) 1,80 cm³ c) – 2,10 cm³ 5) Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5 volts/min, enquanto R é 40 ohms e decresce à razão de 2 ohms/min. Usando a lei de Ohm, R VI = , e a regra da cadeia, a taxa de variação à qual a corrente I (em ampères) varia é: a) – 0,225 ampères/min d) 0,025 ampères/min 112 Cálculo III b) – 0,025 ampères/min e) 0,125 ampères/min c) 0,225 ampères/min 6) A altura de um cone circular reto é 15 cm e está aumen- tando a 0,2 cm/min. O raio da base é 10 cm e está de- crescendo a 0,3 cm/min. Com que rapidez o volume está variando? 7) O comprimento, a largura e a altura de uma caixa retan- gular crescem a uma taxa de 1 pol/s, 2 pol/s e 3 pol/s, res- pectivamente. A que taxa o volume está crescendo quando o comprimento é 2 pol, a largura 3 pol e a altura 6 pol? 8) As dimensões de um bloco de madeira retangular foram medidas como 10 cm, 12 cm e 20 cm, com um possível erro de 0,05 cm em cada uma das medições. Usando di- ferencial, calcule o erro aproximado na área superficial do bloco. 9) A potência consumida numa residência elétrica é dada por P = E²/R (em watts). Se E = 200 volts e R = 8 ohms, em quanto a potência vai variar se E é decrescida de 5 volts e R é decrescida de 0,2 ohm? Gabarito 1) a) Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 113 b) c) d) e) 2) a) 2 2 3 3 2 224 16 2 3, 16 24 2 3u v uv v u v u v u− − + − − − b) 3 sin 2cos cos, 3sin 3sin u u v v v − − c) , 0ue d) 2 2 3 3 3 2 4 4 3 3 4 2 2 3 sin cos 4 sin cos , 2 sin cos sin cos 3 sin cos u v v u v v u v v u u v u v v − − + + − e) 2 2 2 2 2 3 4 3, 4 4 u v v u u v uv + − 3) r s7 3 36 ad/− 4) b 5) c 114 Cálculo III 6) 7) 60 pol³/s 8) 8,4 cm² 9) 125 watts Rafael da Silva Valada1 Capítulo 7 Máximos e Mínimos de Funções de duas Variáveis 1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – ULBRA – Canoas (RS). 116 Cálculo III Introdução Neste capítulo, estenderemos a ideia fundamental de obtermos pontos críticos para funções de duas variáveis. Tais conceitos já haviam sido desenvolvidos para funções de uma variável e desempenhavam um papel central nas aplicações do cálculo diferencial e integral, tendo em vista a grande quantidade de problemas e a vastidão de suas aplicações na ciência, enge- nharia,economia e outras áreas. Para tal, começaremos de- finindo máximo e mínimo local de funções de duas variáveis. 1 Máximos e mínimos locais de funções de duas variáveis  Máximo Local e Absoluto: uma função de duas variáveis ( , )f x y possui um máximo local ou relativo em um pon- to ( )0 0,x y se ao definirmos um círculo com centro em ( )0 0,x y todos os pontos dentro desse círculo satisfazem a condição ( ) ( )0 0, ,f x y f x y≥ . Um máximo global ou absoluto estende o círculo de modo a cobrir todo o es- paço bidimensional que definem o domínio de f .  Mínimo Local e Absoluto: uma função de duas variáveis ( , )f x y , possui um mínimo local ou relativo em um pon- to ( )0 0,x y se ao definirmos um círculo com centro em ( )0 0,x y todos os pontos dentro desse círculo satisfazem a condição ( ) ( )0 0, ,f x y f x y≤ . Um mínimo global ou absoluto estende o círculo de modo a cobrir todo o es- paço bidimensional que definem o domínio de f . Capítulo 7 Máximos e Mínimos de Funções de duas Variáveis 117 2 Extremo relativo Tendo em vista a construção de máximos e mínimos relativos de funções de uma variável, onde a derivada se anula em tais pontos, implicando em retas tangentes horizontais no ponto estudado, parece razoável supor que máximos ou mínimos re- lativos em um ponto ( )0 0,x y aparecerão quando as derivadas parciais naquele ponto forem nulas, implicando em planos tangentes horizontais avaliados em ( )0 0,x y . Dests maneira ,podemos enunciar o seguinte teorema: Teorema: se f possuir um extremo relativo (máximo ou mí- nimo relativo) em ( )0 0,x y e suas derivadas de primeira ordem existirem neste ponto, então ( )0 0, 0x xf y = (1) e ( )0 0, 0y xf y = (2) 3 Pontos críticos e teste da segunda derivada Novamente estendendo a definição feita para funções de uma variável, um ponto crítico de uma função de duas variáveis é aquele onde as derivadas parciais de primeira ordem se anu- 118 Cálculo III lam, ou a função não é diferenciável naquele ponto implican- do que uma ou outra derivada parcial não exista no ponto supracitado. Tal definição indica um método para a obtenção de pontos críticos, mas não demonstra como se pode avaliar se estamos diante de um ponto de máximo ou mínimo relativo. Para fazer a devida classificação devemos fazer o teste da segunda de- rivada. A classificação pode ser em mínimo relativo, máximo relativo ou ponto de sela. Teorema: seja f uma função de duas variáveis tal que suas segundas derivadas são contínuas em um círculo centra- do em ( )0 0,x y , ponto crítico de f , e seja D o determinante expresso por ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , xx xy x yy y f x y f x y D f x y f x y = (3) Então, temos quatro possibilidades:  Se 0D > e ( )0 0, 0xxf x y > então ( )0 0,x y é um mínimo relativos de f .  Se 0D > e ( )0 0, 0xxf x y < então ( )0 0,x y é um máximo relativos de f .  Se 0D < então ( )0 0,x y é um ponto de sela de f .  Se 0D = nada pode ser afirmado. Capítulo 7 Máximos e Mínimos de Funções de duas Variáveis 119 4 Algoritmo de determinação de pontos críticos de uma função de duas variáveis A seguir, enumeramos uma sequência de passos para a deter- minação de pontos críticos de uma função de duas variáveis: 1) Calcule ( ),xf x y e ( ),yf x y . 2) Faça ( ), 0xf x y = e ( ), 0yf x y = . 3) Observe que (2) leva a um sistema de duas incógnitas para x e y ; resolva o sistema obtendo os pontos críticos de f . 4) Calcule ( )0 0,xxf x y , ( )0 0,yyf x y e ( )0 0,xyf x y onde ( )0 0,x y representa um ponto crítico de f . 5) Repita (4) para todos os pontos obtidos em (2). 6) Monte o determinante ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , xx xy x yy y f x y f x y D f x y f x y = 7) Classifique os pontos conforme:  Se 0D > e ( )0 0, 0xxf x y > então ( )0 0,x y é um mínimo relativos de f .  Se 0D > e ( )0 0, 0xxf x y < então ( )0 0,x y é um máximo relativos de f .  Se 0D < então ( )0 0,x y é um ponto de sela de f .  Se 0D = nada pode ser afirmado. 120 Cálculo III Exemplos: 1) Localize todos os pontos críticos e pontos de sela das fun- ções abaixo: a) 2 2( , ) 3 2 8f x y x xy y y= − + − b) 4 4( , ) 4f x y xy x y= − − c) 2( , ) 2 2 1f x y x xy y x= + − − + d) 2 4( , )f x y xy x y = + + e) 2( , ) yf x y x y e= + − Resoluções: a) ( ) ( ) ( ) 2 2 2,6 ( , ) 3 2 8 6 2 0 6 2 0 2 2 8 0 2 2 8 0 6 2 06 2 0 6 2 0 4 24 6 2 2 8 32 2 8 0 6 6 Mas 6 2 3 3 6 2 Ponto Crítico: : 2 6 6 2,6 4 x x xx x y x y yy f x y x xy y y f x y f x y f x y f x y x yx y x y y y x yx y x y x y x y x f f x P f = ⇔ = ⇒ = ⇒ = = − + − = − ∴ = ⇒ − = = − + − ∴ = ⇒ − + − = − =− = − = ⇔ ⇒ ⇒ = ⇒ = − + = ×− + − = − + = = ∴ = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2,6 0 0 0 0 2,6 2,6 e : 2,6 é ponto de mínimo re , , 6 2 2 2 8 , , 2 2 2 2 8 0 6 0 lativo yy y xx xy xy xy y xy yx xx f x y f x y f D f x y f x y f f P f D f − ∴ = ⇒ = = = − = = − ∴ ⇒ − = > = > ⇒ b) Videoexemplo Capítulo 7 Máximos e Mínimos de Funções de duas Variáveis 121 c) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2, 2 0 0 0 0 2, 2 0 0 0 0 2, 2 ( , ) 2 2 1 2 2 0 2 2 0 Ponto Crítico: : 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 , , 2 1 0 0 1 , , 1 0 , 2 1 1 x x xx y y yy yy yy xy yx xx xx xy xy xy f x y x xy y x f x y f x y f x f x x y y x f f f x y f x y f f D f x y f x y D P f f f − − − = + − − + = + − ∴ = ⇒ + − = = − ∴ = ⇒ − = + = ⇒ = − = = ∴ = = ∴ = ⇒ = = = − = = ∴ ⇒ ⇒ − = − ( ) ( )2, 1e : 2, 2 é ponto de s1 0 2 la0 exx Pf − −< = > ⇒ { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2, 2 0 0 0 0 2, 2 0 0 0 0 2, 2 ( , ) 2 2 1 2 2 0 2 2 0 Ponto Crítico: : 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 , , 2 1 0 0 1 , , 1 0 , 2 1 1 x x xx y y yy yy yy xy yx xx xx xy xy xy f x y x xy y x f x y f x y f x f x x y y x f f f x y f x y f f D f x y f x y D P f f f − − − = + − − + = + − ∴ = ⇒ + − = = − ∴ = ⇒ − = + = ⇒ = − = = ∴ = = ∴ = ⇒ = = = − = = ∴ ⇒ ⇒ − = − ( ) ( )2, 1e : 2, 2 é ponto de s1 0 2 la0 exx Pf − −< = > ⇒ d) Videoexemplo e) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0,0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 0,0 0,0 ( , ) 2 0 2 0 1 0 1 0 0 0 1 2 2 , , 2 0 1 2 , , 0 1 0 0 2 0 2 0 Ponto Crítico: : 0,0 e y x x y y y xx xx xx xyy xy x y y yy yy yy xy y xx yx f x y x y e f x f x f e f e x y e f f f x y f x y f e f D f x y f x y f f f D f P = + − = ∴ = ⇒ = = − ∴ = ⇒ − = = ⇒ = = = ∴ = = − ∴ = − ⇒ = = = − − = = ∴ ⇒ = − < = > ⇒ ⇒ ( ): 0,0 é ponto de máximo relativoP { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0,0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 0,0 0,0 ( , ) 2 0 2 0 1 0 1 0 0 0 1 2 2 , , 2 0 1 2 , , 0 1 0 0 2 0 2 0 Ponto Crítico: : 0,0 e y x x y y y xx xx xx xyy xy x y y yy yy yy xy y xx yx f x y x y e f x f x f e f e x y e f f f x y f x y f e f D f x y f x y f f f D f P = + − = ∴ = ⇒ = = − ∴ = ⇒ − = = ⇒ = = = ∴ = = − ∴ = − ⇒ = = = − − = = ∴ ⇒ = − < = > ⇒ ⇒ ( ): 0,0 é ponto de máximo relativoP sela 2) Resolva os problemas abaixo: a) Ache três números positivos cuja soma
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