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Z 5
0
yz
p
1 + 4y2 dydz =
25
2
Z 4
1
y
p
1 + 4y2 dy
=
25
16
Z 65
5
p
t dt =
25
24
h
65
p
65� 5
p
5
i
:
Exemplo 6.36 Seja S a porção da esfera x2 + y2 + z2 = 9, entre os planos z = 1 e z = 2: Calcular
a integral de superfície
ZZ
S
z
p
x2 + y2dS.
Solução Na Figura 6.21 ilustramos a superfície S e sua projeção no plano xy: O cálculo da integral
será apresentado de duas maneiras.
Figura 6.21: Corte da esfera por 2 planos.
Usando coordenadas cartesianas Neste caso, temos
z =
p
9� x2 � y2 e dS = 3dxdy
z
CAPÍTULO 6 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE 253
e, portanto, ZZ
S
z
p
x2 + y2dS = 3
ZZ
D
p
x2 + y2 dxdy
= 3
Z 2�
0
Z p8
p
5
r2drd�
= 2�
�
8
p
8� 5
p
5
�
:
Usando coordenadas esféricas Neste caso, temos
x = 3 cos � sen�; y = 3 sen � sen�; z = 3 cos�; 0 � � � 2�; �1 � � � �2;
e observando a Figura 6.21, vemos que sen�1 =
p
5=3 e sen�2 =
p
8=3: Logo,ZZ
S
z
p
x2 + y2dS =
Z �2
�1
Z 2�
0
3 cos�| {z }
z
3 sen�| {z }p
x2+y2
9 sen�| {z }
dS
d�d�
= 162�
Z sen�2
sen�1
u2du =
54�
3
h
(sen�2)
3 � (sen�2)3
i
= 2�
�
8
p
8� 5
p
5
�
: �
Exemplo 6.37 Seja S a porção do paraboloide 2z = x2 + y2, acima do quadrado
Dxy : 0 � x � 1; 0 � y � 1:
Calcular a integral de supaerfície
ZZ
S
xydS:
Solução Temos que
dS =
q
1 + z2x + z
2
y dxdy =
p
1 + x2 + y2 dxdy
e, consequentemente,ZZ
S
xydS =
Z 1
0
Z 1
0
xy
p
1 + x2 + y2 dxdy ( fazer u = 1 + x2 + y2)
=
Z 1
0
y
"Z 2+y2
1+y2
1
2
p
udu
#
dy
= 12
2
3
Z 1
0
y
h�
2 + y2
�3=2 � �1 + y2�3=2i dy ( fazer s = 1 + y2 e t = 2 + y2)
= 13
Z 3
2
1
2 t
3=2dt� 13
Z 2
1
1
2s
3=2ds = 115(9
p
3� 8
p
2 + 1): �
6.3.1 Massa, Centro de Massa e Momento de Inércia
Suponhamos que a superfície S representa uma placa de densidade (massa por unidade de área)
super…cial � = � (x; y; z) e que M representa a massa da placa S. Se representarmos por dM a massa
elementar da porção dS, teremos
dM = � (x; y; z) dS
254 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A. A. e SILVA & M. P. MATOS
e a massa da superfície S será, portanto,
M =
ZZ
S
� (x; y; z) dS:
As coordenadas do centro de massa C (x; y; z) da superfície S são calculadas pelas fórmulas:
x = 1M
ZZ
S
x� (x; y; z) dS; y = 1M
ZZ
S
y� (x; y; z) dS e z = 1M
ZZ
S
z� (x; y; z) dS
e o momento de inércia IL de S, em relação a um eixo L, é calculado pela fórmula
IL =
ZZ
S
�2� (x; y; z) dS;
onde � = � (x; y; z) representa a distância de um ponto P (x; y; z) da superfície S ao eixo de rotação
L: Em relação aos eixos coordenados, os momentos de inércia Ix; Iy e Iz são dados por:
Ix =
ZZ
S
�
y2 + z2
�
�dS; Iy =
ZZ
S
�
x2 + z2
�
�dS e Iz =
ZZ
S
�
x2 + y2
�
�dS:
Exemplo 6.38 Suponha que o hemisfério S : x2 + y2 + z2 = a2; z � 0, seja uniforme, isto é, tenha
densidade � constante. Calcular o centro de massa e o momento de inércia Iz do hemisfério S:
Solução Como a densidade é constante, a massa de S é
M =
ZZ
S
�dS = �
ZZ
S
dS = �A(S) = 2�a
2�:
A projeção de S no plano xy é o disco Dxy : x2 + y2 � a2 e um cálculo direto nos dá:
dS =
krFk
jrF � kj =
adxdy
z
=
adxdyp
a2 � x2 � y2 :
Assim,
x = 1M
ZZ
S
x�dS = �M
ZZ
Dxy
axdxdyp
a2 � x2 � y2
= a�M
Z 2�
0
Z a
0
r2 cos �drd�p
a2 � r2 =
a�
M
�Z 2�
0
cos �d�
� Z a
0
r2drp
a2 � r2 = 0:
Num cálculo similar, ou considerando a simetria de S em relação ao eixo z; encontramos y = 0. A
coordenada z é dada por
z = �M
ZZ
S
zdS = �M
ZZ
Dxy
adxdy =
a�A (Dxy)
M
= a=2
e o centro de massa de S é o ponto C (0; 0; a=2) do eixo z. Finalmente,
Iz =
ZZ
S
�
x2 + y2
�
�dS = �
ZZ
Dxy
�
x2 + y2
�
adxdyp
a2 � x2 � y2
= a�
Z 2�
0
Z a
0
r3drd�p
a2 � r2 = 2�a�
Z a
0
r3drp
a2 � r2 (fazer t = a
2�r2)
= �a�
Z a2
0
�
a2 � t� dtp
t
=
4�a4�
3
: �
CAPÍTULO 6 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE 255
6.3.2 Integrando Formas Diferenciais
No Capítulo 5, vimos que a integral de linha
Z
f (x; y) ds se expressa na forma diferencial, comoZ
Ldx+Mdy; e a expressão Ldx+Mdy denomina-se, também, 1-forma diferencial. Com o objetivo de
expressar a integral de superfície
ZZ
S
f (x; y; z) dS como a integral de uma forma diferencial, deixe-nos
considerar a expressão
Ldydz +Mdzdx+Ndxdy; (6.15)
denominada de 2-forma diferencial ou forma diferencial de segunda ordem, onde as funções L; M
e N são supostas contínuas, em uma região compacta 
 do espaço R3, contendo uma superfície S
parametrizada por:
S : r (u; v) = x (u; v) i+ y (u; v) j+z (u; v)k; (u; v) 2 D:
Se n é a normal unitária à superfície S e se representarmos por �; � e � os ângulos diretores do vetor
n, isto é,
n = (cos�) i+ (cos�) j+ (cos�)k;
teremos
n =
ru � rv
jru � rvj =
1
jru � rvj
�������
i j k
xu yu zu
xv yv zv
������� =
1
jru � rvj
�
@(y; z)
@(u; v)
i+
@(z; x)
@(u; v)
j+
@(x; y)
@(u; v)
k
�
e, portanto,
cos� =
1
jru � rvj
@(y; z)
@(u; v)
; cos� =
1
jru � rvj
@(z; x)
@(u; v)
e cos� =
1
jru � rvj
@(x; y)
@(u; v)
:
Se � 6= �=2, como indica a Figura 6.22, a projeção ortogonal (com sinal) da área elementar dS; sobre
o plano xy; é igual a
Figura 6.22: Projeção sobre o plano xy:
dS = sec�dA ou dA = dS cos�: (6.16)
256 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A. A. e SILVA & M. P. MATOS
De fato,
�dA = [Pr (ru)� Pr (rv)] � k =
�������
0 0 1
xu yu 0
xv yv 0
������� =
�������
0 0 1
xu yu zu
xv yv zv
�������
= (ru � rv) � k = jru � rvj jkj cos� = dS cos�:
Motivados pela relação (6.16), de…nimosZZ
S
f(x; y; z)dxdy =
ZZ
S
f(x; y; z) cos�dS =
ZZ
D
f(r(u; v))
����@(x; y)@(u; v)
���� dudv;
e a integral da forma diferencial (6.15) sobre S será, portanto,ZZ
S
Ldydz +Mdzdx+Ndxdy = �
ZZ
D
�
L
@(y; z)
@(u; v)
+M
@(z; x)
@(u; v)
+N
@(x; y)
@(u; v)
�
dudv;
onde o sinal depende da orientação da superfície S. Se 
 é uma região compacta do R3, contendo a
superfície S, e F = Li+M j+Nk é um campo vetorial de classe C1 em 
, entãoZZ
S
Ldydz +Mdzdx+Ndxdy =
ZZ
D
(L cos�+M cos� +N cos�) jru � rvj dudv
=
ZZ
S
(F � n) dS:
Exemplo 6.39 Se S é o grá…co de uma função z = f(x; y), com derivadas parciais fx e fy contínuas
na região compacta D, usando a parametrização canônica
x = u; y = v e z = f (u; v) ; (u; v) 2 D;
obtemos, após um cálculo simples,
@ (x; y)
@ (u; v)
= 1;
@ (z; x)
@ (u; v)
= �fy e @ (y; z)
@ (u; v)
= �fx
e, portanto,ZZ
S
Ldydz +Mdzdx+Ndxdy =
ZZ
D
(�Lfu (u; v)�Mfv (u; v) +N) dudv: � (6.17)
Encerrando esta seção, determinaremos o comprimento elementar (ou elemento linear) ds; de uma
curva 
 que jaz sobre a superfície S, dada pelas equações paramétricas
S : x = x (u; v) ; y = y (u; v) e z = z (u; v) ; (u; v) 2 D;
sendo D uma região compacta do plano uv. Expressando a diferencial dr = (dx) i+(dy) j+(dz)k sob
a forma
dr = (xudu+ xvdv) i+ (yudu+ yvdv) j+ (zudu+ zvdv)k
= rudu+ rvdv
vemos que o elemento linear ds da curva 
 é dado por
ds2 = jdrj2 = (rudu+ rvdv) � (rudu+ rvdv)
= jruj2 du2 + 2ru � rvdudv + jrvj2 dv2
= E (du)2 + 2F (du) (dv) +G (dv)2 ;
CAPÍTULO 6 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE 257
onde E = jruj2 ; F = ru � rv e G = jrvj2. A forma diferencial quadrática
E (du)2 + 2F (du) (dv) +G (dv)2
denomina–se primeira forma fundamental de S.
Exemplo 6.40 Considerando o plano xy; parametrizado em coordenadas polares
r(r; �) = (r cos �)i+ (r sen �)j; r � 0; 0 � � � 2�;
temos que
@r
@r
= (cos �) i+ (sen �) j e
@r
@�
= (�r sen �)i+ (r cos �) j
e daí resulta
E =
����@r@r
����2 = 1; F = @r@r � @r@� = 0 e G =
����@r@�