Estrutura Atômica e Molecular dos Materiais

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CAPÍTULO 6 
 
Estrutura Atômica e Molecular dos Materiais 
 
Oswaldo Cascudo1 
Doutor, Universidade Federal de Goiás 
e-mail: ocascudo@eec.ufg.br 
 
 
1 Estrutura atômica 
Na descrição de um material, pode-se dizer, de maneira simplificada, que sua 
constituição se dá pelo conjunto de uma unidade básica que é o átomo. 
A estrutura de um material, conforme destacado por Askeland (1990), pode ser 
dividida em quatro níveis: estrutura atômica, arranjo atômico, microestrutura e 
macroestrutura. Embora no âmbito das engenharias e para os fins tecnológicos que as 
norteiam os estudos em níveis micro e, principalmente, macroestruturais sejam os que 
mais importam, há que retroceder à estrutura dos átomos e seus arranjos. Isso é 
necessário porque o arranjo dos átomos formando estruturas molecular, cristalina ou 
amorfa influencia de maneira significativa as propriedades físicas e, em particular, o 
comportamento mecânico dos materiais. 
Em suma, as características micro e macroestruturais dos materiais, tão 
importantes para a engenharia, são ditadas pela natureza da ligação atômica, que, por 
sua vez, depende essencialmente da estrutura eletrônica do átomo. Assim sendo, a 
seguir, faz-se uma revisão da estrutura atômica e, no item subseqüente, sobre as 
ligações atômicas. 
 
1.1 A estrutura do átomo: nêutrons, prótons e elétrons 
A fim de se compreender o tipo e a natureza da ligação que ocorre entre os 
átomos, considerar-se-á, no presente contexto, o modelo planetário simplificado, como 
mostrado na Figura 6.1. 
 
 
 
 
(a) modelo planetário: núcleo no centro (b) detalhes do átomo 
com elétrons “orbitando” ao seu redor 
Figura 6.1 – Modelos simplificados do átomo. 
 
 
1 O autor expressa seus sinceros agradecimentos ao Eng. Mário Sérgio Jorge dos Santos, do Núcleo de Tecnologia das 
Argamassas e Revestimentos, da Universidade Federal de Goiás (NUTEA/UFG), pela relevante colaboração na 
confecção das figuras deste capítulo. 
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Nesses modelos, percebem-se os elétrons orbitando ao redor de um núcleo, que, 
por sua vez, é composto por prótons e nêutrons. Os elétrons são partículas carregadas, 
sendo sua carga elétrica convencionada negativa e igual a 1,6 x 10-19 coulombs. Os 
prótons são também partículas carregadas, de carga elétrica numericamente igual à do 
elétron, porém de sinal contrário. Os elétrons mantêm-se, então, de certa forma, “ligados” 
a determinado núcleo por atração eletrostática, uma vez que os elétrons e o núcleo têm 
cargas de sinais opostos. Tem-se, assim, o modelo clássico de descrição atômica, em 
que se tem um núcleo carregado positivamente, formado por prótons (carregados 
positivamente) e nêutrons, e uma eletrosfera carregada negativamente, constituída de 
elétrons, os quais circundam esse núcleo e se mantêm ligados a ele por forças de 
natureza eletrostática. 
Evidentemente, esse modelo de descrição atômica é simplificado, já que a física 
tem avançado muito nos últimos anos, especialmente no âmbito da física quântica e no 
campo do estudo das partículas subatômicas. De acordo com Shackelford (1996), por 
exemplo, a estrutura detalhada do núcleo de um átomo tem o registro atualmente de um 
vasto número de partículas elementares, em oposição à descrição tradicional que 
contempla apenas prótons e nêutrons. Contudo, para os objetivos deste capítulo, vale a 
descrição clássica tradicional. 
 
1.2 Massa atômica e número atômico 
1.2.1 Massa atômica 
A massa atômica de um átomo está majoritariamente concentrada no núcleo, isto 
porque a massa de cada próton ou nêutron é igual a aproximadamente 1,67 x 10-24 g, 
enquanto que a massa de um elétron é aproximadamente 9,11 x 10-28 g, ou seja, a massa 
do elétron é apenas 0,0005 g da massa de um próton ou de um nêutron. Por isso, em 
termos práticos, pode-se dizer que a massa dos elétrons é desprezível e que a massa 
total de um átomo é proporcional ao número de prótons e de nêutrons no núcleo. A essa 
massa total de prótons e nêutrons dá-se o nome de massa atômica, que é a massa 
representativa de um átomo. 
Como a soma das massas dos prótons e dos nêutrons para se obter a massa do 
elemento resulta em valores essencialmente baixos para as unidades disponíveis de 
massa, utiliza-se para esse fim uma unidade especial para representar a massa de um 
elemento, a saber, a unidade de massa atômica (u.m.a.). A u.m.a. é definida como sendo 
1/12 da massa do carbono – 12 (C-12), o mais comum dos isótopos de carbono, o que 
significa que 1 grama equivale a 6,02 x 1023 u.m.a. Este número é o Número de 
Avogadro2, que, portanto, representa o número de prótons e/ou nêutrons necessário para 
se produzir a massa de 1 g. Em outras palavras, a massa atômica de um dado elemento 
é a massa do número de Avogadro (N) de átomos desse elemento, que, por sua vez, é 
chamado de átomo-grama, ou seja, um átomo-grama contém 6,02 x 1023 átomos. A 
massa atômica, então, é a massa do número de Avogadro (N) de átomos. N = 6,02 x 
1023/mol é o número de átomos ou moléculas em um g.mol. Assim, a massa atômica tem 
a unidade de g/g.mol. Na tabela periódica (Figura 6.2), aparece a massa atômica dos 
elementos; a determinação da massa do átomo se dá pela divisão da massa atômica pelo 
número de Avogadro (6,02 x 1023). 
Exceto pela densidade e pelo calor específico, a massa atômica exerce pequena 
influência sobre as propriedades dos materiais. Ao contrário, o número atômico é um fator 
bastante significativo. 
 
2 Amadeo Avogadro (1776-1856) foi um físico italiano que, dentre várias contribuições, “cunhou” a palavra molécula. A 
despeito de sua importância, sua hipótese de que todos os gases (a uma dada temperatura e pressão) contêm o 
mesmo número de moléculas por unidade de volume não foi em geral reconhecida no meio científico. 
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1.2.2 Número atômico 
O número atômico indica o número de elétrons ou de prótons de cada átomo 
(considerando o átomo neutro, ou seja, com cargas elétricas negativas e positivas iguais). 
Por exemplo, um átomo de cobre, que contém 29 elétrons e 29 prótons, tem um número 
atômico igual a 29. 
Como salienta Van Vlack (1984), são os elétrons, particularmente os mais 
afastados do núcleo, que afetam a maioria das propriedades de interesse da engenharia, 
a saber: “eles determinam as propriedades químicas; estabelecem a natureza das 
ligações interatômicas e, conseqüentemente, as características mecânicas e de 
resistência; controlam o tamanho do átomo e afetam a condutividade elétrica dos 
materiais; e influenciam as características óticas”. Na subseção 1.3 e na seção 2, dedica-
se especial atenção, respectivamente, à descrição da estrutura eletrônica do átomo e ao 
que vem em decorrência disso, ou seja, os tipos de ligação atômica, que, por sua vez, 
são determinantes nas características e propriedades dos materiais. 
 
1.2.3 Tabela periódica 
Não se pretende aqui discutir a tabela periódica, mas apenas apresentá-la a título 
de complementação do contexto considerado, enfatizando que os elementos possuem 
periodicidade3 e que estão agrupados seqüencialmente (da esquerda para a direita) de 
acordo com onúmero atômico e massa atômica. 
 
 
Figura 6.2 – Tabela periódica dos elementos. 
 
 
3 A periodicidade dos elementos baseia-se na ordem crescente dos seus números atômicos, calcada no fato de que 
muitas propriedades físicas e químicas dos elementos são funções periódicas de seus números atômicos. Assim, na 
tabela periódica, existem 7 linhas horizontais (7 períodos) e 18 colunas. Os períodos (linhas) obedecem ao critério da 
quantidade de camadas quânticas principais que o átomo de determinado elemento possui. Por exemplo, H e He têm 
apenas uma camada quântica principal e, por essa razão, pertencem ao 1o período. As colunas, por sua vez, agrupam 
os elementos químicos cujas propriedades químicas são bastante semelhantes entre si. A análise mais imediata da 
tabela periódica permite a distinção entre metais e não-metais (tendo o B, Si, Ge, As, Sb, Te e Po como semimetais). 
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Salienta-se que os elementos4 mais à esquerda da tabela, os metais, são ionizados 
para gerar cátions (íons positivos), cedendo seus elétrons mais externos. Os elementos 
mais à direita, os não-metais, recebem ou compartilham elétrons. Essa característica 
geral é determinante no tipo de ligação que ocorrerá entre os átomos na formação das 
moléculas ou compostos, como se verá na seção 2. 
1.3 Estrutura eletrônica do átomo 
Os elétrons que circundam o núcleo de um átomo não o fazem dentro de um 
mesmo nível energético. Eles respeitam níveis ou grupos quânticos, assim como, dentro 
desses níveis, estão sujeitos a subníveis ou subgrupos específicos. A seguir, tem-se uma 
sucinta revisão de como se dá a disposição eletrônica dos átomos. 
1.3.1 Números quânticos 
O nível energético ocupado por cada elétron obedece, inicialmente, a uma 
estrutura de níveis ou camadas quânticas principais, designada por números quânticos 
principais (n), cujos valores são: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Esta seqüência diz respeito ao sentido 
crescente dos níveis quânticos – também representada pelas letras K (n = 1), L (n = 2), 
M (n = 3), N (n = 4), O (n = 5), P (n = 6) e Q (n = 7) –, o que significa também níveis 
crescentes de energia. Assim, elétrons que pertençam ao nível quântico K pertencem ao 
primeiro nível quântico (n = 1), de menor energia em relação aos demais níveis. 
Para se saber o número máximo de elétrons em um dado nível quântico, pode-se 
utilizar o termo 2n2, onde “n” é o número quântico principal do nível. Dessa forma, no 
primeiro nível quântico (K, com n = 1), que representa o nível de menor energia, somente 
se pode ter um máximo de 2 elétrons. Para os outros níveis, os números máximos 
possíveis de elétrons são: 8 para o nível L, 18 para o nível M, 32 para o nível N, 32 para o 
nível O, 18 para o nível P e 2 para o nível Q (os níveis O, P e Q constituem exceções 
quanto ao uso do termo “2n2” para se determinar o número máximo de elétrons por 
camada quântica principal). 
O fato de os elétrons estarem em um mesmo nível quântico, a rigor não significa 
dizer que eles estão em um mesmo nível energético; trata-se de uma simplificação. Na 
verdade, há que se detalharem as posições energéticas dos elétrons dentro de um nível, 
o que é possível por meio de uma estrutura hierarquizada em termos de subníveis. São 
quatro subníveis possíveis (para cada nível quântico), quais sejam: s, p, d, f5. O subnível 
de menor energia de um dado nível é “s”, e o número máximo de elétrons desse subnível 
é igual a 2; “p” tem maior nível energético que “s” e pode ter no máximo 6 elétrons; “d” 
tem maior nível energético que “p” e “s” e pode ter um máximo de 10 elétrons; finalmente, 
“f” é o subnível de maior energia em um dado nível, podendo ter no máximo 14 elétrons. 
Para esse tipo de notação, a designação do nível é feita por meio do número quântico do 
nível antes das letras e a quantidade de elétrons por subnível vem em forma sobrescrita 
(do lado direito superior) a cada letra do subnível. Na descrição, obedece-se à seqüência 
crescente, por níveis de energia, do menor para o maior nível quântico, assim como 
dentro de um mesmo nível, do mais baixo para o mais alto subnível. Em relação a essa 
notação eletrônica, há alguns casos especiais que não seguem rigidamente essa regra, 
denominados por Askeland (1990) de “desvios da estrutura eletrônica esperada”. Um 
exemplo é o ferro (com 26 elétrons), cujos últimos 8 elétrons deveriam ser “3d8” e, na 
realidade, são “3d6 4s2”. Mais informações podem ser encontradas em publicações de 
Askeland (1990, 1998) e Van Vlack (1970, 1984). Na Figura 6.3, tem-se exemplificada a 
 
4 Conceitualmente, elemento (químico) é o conjunto de todos os átomos com o mesmo número de prótons; portanto, 
com o mesmo número atômico. Para efeito deste capítulo, elemento e átomo assumirão, na maioria das vezes, o 
mesmo significado. 
5 As letras que designam os subníveis, “s”, “p”, “d” e “f”, referem-se, respectivamente, aos seguintes termos: sharp, 
principal, diffuse e fundamental. 
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estrutura eletrônica do átomo de sódio, com os níveis quânticos e seus elétrons (por 
camada) ilustrados esquematicamente, acompanhada de sua notação eletrônica (com os 
elétrons “detalhados” por subnível). 
Um último comentário sobre o assunto em discussão diz respeito ao fato de que, 
mesmo detalhando a posição energética dos elétrons dentro de um nível quântico por 
meio dos subníveis (como apresentado anteriormente), ainda assim se trata de uma 
simplificação. O aprofundamento dessa questão passa obrigatoriamente pelo princípio de 
exclusão de Pauli, que especifica haver não mais do que dois elétrons presentes em um 
mesmo orbital6, ou seja, apenas dois elétrons, no máximo, podem possuir o mesmo 
número quântico orbital e, mesmo assim, eles não são idênticos, pois possuem diferentes 
comportamentos magnéticos (têm spins opostos). O spin está relacionado com o 
movimento rotacional do elétron em torno do seu eixo. Como a rotação de uma partícula 
carregada eletricamente (como o elétron, que possui carga negativa) gera no seu entorno 
um campo magnético, então efeitos de atração ou de repulsão podem advir desse 
fenômeno. Caso os movimentos rotacionais de dois elétrons sejam em sentidos opostos, 
diz-se que estes elétrons têm spins contrários, havendo atração entre eles. Por outro 
lado, quando as rotações ocorrem no mesmo sentido, os dois elétrons são ditos de spins 
paralelos e há repulsão entre eles. Associa-se aos spins um número quântico de spin, por 
convenção igual a +1/2 ou -1/2, para representar os diferentes spins. 
 
1.3.2 Valência do átomo 
A valência de um átomo está relacionada com a habilidade do átomo para entrar 
em combinação química com outros elementos, sendo freqüentemente determinada pelo 
número de elétrons na camada mais externa, em especial nos subníveis “s p” 
(ASKELAND, 1994). 
A camada mais externa é, portanto, chamada de camada de valência, a qual tem 
uma importância muito grande no tipo de ligação química que o átomo desenvolverá. Em 
geral, os átomos tendem a buscar um arranjo altamente estável de 8 elétrons na última 
camada ou camada de valência (exceto para hidrogênio – e hélio – que se estabiliza com 
2 elétrons), mesmo que eles eventualmente deixem de ser eletricamente neutros. 
 
 
Notação eletrônica do Na: 1s2 2s2 2p6 3s1 
Figura 6.3 – Estrutura eletrônica do Na, mostrando as camadas ou níveis quânticos K, L e M com 
seus elétrons (em vermelho) e, abaixo da ilustração,a notação eletrônica desse elemento. 
 
Em busca desse arranjo estável na última camada, átomos de valência baixa, em 
geral igual ou inferior a 3, tendem a perder seus elétrons da camada de valência. Já 
átomos de 5 a 7 elétrons na última camada tendem a receber elétrons. Átomos de 
 
6 Para cada subnível há um determinado número de orbitais, que é calculado pelo termo (2ℓ + 1), em que ℓ representa o 
número correspondente do subnível (também chamado de número quântico secundário), sendo igual a 0, 1, 2 ou 3 
conforme o subnível s, p, d ou f, respectivamente. Portanto, existem 1, 3, 5 e 7 orbitais, respectivamente para os 
subníveis s, p, d, e f. 
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valência 4, em geral, compartilham elétrons. Dependendo desses mecanismos 
(perda/recebimento de elétrons ou compartilhamento de elétrons), vão se caracterizar 
diferentes tipos de ligação entre os átomos na formação das moléculas ou compostos, 
que ditarão, por sua vez, a maior parte das propriedades do material ou composto 
formado. 
 
2 Ligações atômicas 
A seguir, são apresentados e discutidos os principais aspectos relacionados às 
ligações atômicas, que dão origem aos arranjos atômicos na formação dos materiais. 
 
2.1 Ligações primárias (fortes) – ligações iônicas, covalentes e metálicas 
2.1.1 Ligações iônicas 
A ligação iônica dá-se pela atração entre íons de carga elétrica contrária (íons 
positivos-cátions e íons negativos-ânions), motivada por forças coulombianas7. Constitui-
se numa ligação forte. 
Conforme comentado no item 1.3.2, em busca de alcançar o arranjo estável de 8 
elétrons na camada de valência, átomos podem perder elétrons (tornado-se íons 
positivos) ou podem receber elétrons (tornando-se íons negativos). Nessas situações, 
motivados por forças de atração coulombianas8, esses íons de carga oposta se atraem, 
dando origem à ligação iônica. Um exemplo clássico de ligação iônica é a que prevalece 
no sal de cozinha, o cloreto de sódio (NaCl), cujo esquema se vê na Figura 6.4. 
É importante salientar, como ressalta Shackelford (2000), que a ligação iônica é 
não-direcional e, como afirma Van Vlack (1970), o requisito principal que um material 
iônico sempre satisfaz é o da neutralidade elétrica, ou seja, o número de cargas positivas 
é sempre igual ao de cargas negativas. A rigor, uma carga negativa é atraída por todas as 
cargas positivas, assim como uma carga positiva é atraída por todas as negativas. No 
exemplo da Figura 6.4, os íons de sódio ficam envolvidos por íons de cloro; estes, por sua 
vez, ficam envolvidos por íons de sódio, com atração igual em todas as direções. 
Os materiais iônicos, quando submetidos a esforços mecânicos que ultrapassam 
sua capacidade resistente, normalmente se comportam de maneira frágil, isto é, 
apresentam-se pouco dúcteis, com baixas deformações até a ruptura. Sobre essa 
questão, Askeland (1998) argumenta que parte importante da explicação para tal efeito 
reside no fato de que, quando uma força é aplicada sobre um material com ligação iônica, 
o balanço elétrico que mantém os átomos fortemente ligados é perturbado. Dessa forma, 
havendo alteração da força de atração elétrica que une os átomos, a ligação pode ter 
reduzida a sua força e a ruptura ocorrer de modo frágil (caso da ruptura de um cristal de 
NaCl). Também é interessante destacar-se que os materiais iônicos possuem, em geral, 
condutividade elétrica baixa. Isto decorre da premissa básica de que, nesse tipo de 
material, a transferência de carga elétrica é dada pelo movimento de íons inteiros, os 
quais não se movem tão facilmente como os elétrons. 
 
7 São forças de atração de natureza eletrostática, originadas pela atração que ocorre entre espécies carregadas com 
cargas elétricas opostas. A força de atração coulombiana que une íons na ligação iônica é função direta de uma 
constante que depende da valência do íon carregado e da carga elétrica de um elétron isolado, além de uma constante 
de proporcionalidade igual a 9 x 109 V.m/C, sendo também inversamente proporcional ao quadrado da distância de 
separação entre os centros dos íons ligados. Mais informações podem ser obtidas em publicação de Shackelford 
(2000). 
8 Forças coulombianas são assim denominadas em homenagem ao físico francês Charles Augustin de Coulomb (1736-
1806). Ele foi o primeiro cientista a experimentalmente demonstrar a natureza das equações que descrevem as forças 
de atração eletrostática entre íons de cargas opostas. Além de grandes contribuições para a eletricidade e para o 
magnetismo, Coulomb foi também um importante pioneiro no campo das mecânicas aplicadas (especialmente nas 
áreas de fricção e torção). 
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Figura 6.4 – Ligação iônica – exemplo do NaCl: a) ionização dos elementos e b) atração e ligação 
iônica (SHACKELFORD, 1996). 
 
2.1.2 Ligações covalentes 
Outro tipo de ligação atômica considerada forte é a ligação covalente, cuja 
descrição é um pouco menos simples do que a da ligação iônica. No caso, também em 
busca de atingir o arranjo estável de 8 elétrons na última camada, os elementos não 
perdem e nem ganham elétrons, mas sim os compartilham. 
O que ocorre é uma aproximação muito intensa, por exemplo, entre dois elementos 
químicos que vão se ligar. Isso propicia que alguns elétrons da camada de valência de 
um dos átomos circundem o núcleo do outro átomo, e vice-versa. Ou seja, propicia que os 
elétrons compartilhados “pertençam” à eletrosfera dos dois átomos ligados, ao mesmo 
tempo. 
Enquanto a ligação iônica é não-direcional, a ligação covalente é fortemente 
direcional. Embora as ligações covalentes sejam muito fortes, materiais ligados dessa 
maneira são, em geral, pouco dúcteis e têm baixa condutividade elétrica. Isso ocorre 
porque não se consegue facilmente alterar a posição relativa entre os átomos (o que 
propicia ductilidade ao material), nem promover o transporte de carga elétrica via 
movimento de elétrons (o que propicia condutividade elétrica) sem ruptura da ligação 
covalente, o que se consegue, respectivamente, com altas temperaturas e altas 
voltagens. Em linhas gerais, materiais cuja ligação covalente seja majoritária são 
preferencialmente frágeis e pouco condutores elétricos. Como exemplos, têm-se muitos 
dos materiais cerâmicos, semicondutores e polímeros, que podem ser totalmente ou 
parcialmente constituídos de ligações covalentes. De modo simplista, tem-se uma 
explicação de por que o vidro se estilhaça quando cai ou por que o tijolo é um péssimo 
condutor elétrico (ASKELAND, 1990). 
Exemplos de ligação covalente podem ser vistos na Figura 6.5. Na Figura 6.5a, 
tem-se o exemplo de uma molécula de oxigênio, em que 4 elétrons ao todo estão sendo 
compartilhados, 2 de um átomo de oxigênio e 2 do outro. Na Figura 6.5b, tem-se o 
exemplo do metano, em que 4 átomos estão ligados por ligações covalentes, sendo que 
cada elétron dos 4 átomos de H é compartilhado com os 4 elétrons da camada de 
valência do C (um para cada átomo de H). 
 
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Figura 6.5 – Exemplos de ligação covalente: a) molécula do oxigênio (O2) e b) molécula do 
metano (CH4). 
 
2.1.3 Ligações metálicas 
Um último tipo de ligação forte na formação dos materiais é a ligaçãometálica. 
Nesse caso, elementos metálicos que tenham baixa valência liberam seus elétrons de 
valência, de maneira que há a formação de uma “nuvem” de elétrons ao redor dos 
átomos. Ressalta-se que, quando há a perda dos elétrons de valência, os átomos 
metálicos remanescentes na realidade tornam-se íons positivos, pois, com a saída dos 
elétrons da última camada, há um desbalanceamento elétrico, tendo o núcleo uma maior 
quantidade de cargas positivas do que a eletrosfera de cargas negativas. 
Os elétrons de valência passam, então, a não estar mais associados com algum 
átomo em particular; ao contrário, movem-se livremente dentro da “nuvem” eletrônica, 
estando associados com vários núcleos de átomos. Dessa forma, os núcleos dos átomos 
carregados positivamente (pela saída dos elétrons de valência) permanecem juntos 
formando uma rede de átomos, pela atração mútua que existe entre esses núcleos 
(positivos) e a “nuvem” eletrônica (negativa). A Figura 6.6 ilustra esquematicamente esse 
tipo de ligação. 
Ligações metálicas são não-direcionais, pois os átomos “presos” na “nuvem” 
eletrônica não são fixados em uma única posição. Os materiais ligados por ligação 
metálica, em geral, têm boa ductilidade, uma vez que sob tensão, quando os átomos são 
forçados a mudar a relação que têm entre si, simplesmente a direção da ligação é 
alterada, ao invés de haver quebrar ou ruptura da ligação, como nos outros casos. Tais 
materiais também são bons condutores elétricos, porque, sob efeito de um campo 
elétrico, há o movimento dos elétrons da “nuvem”, provocando um fluxo de corrente 
elétrica se o circuito for fechado. Em outras circunstâncias, como nos materiais iônicos e 
covalentes, as tensões elétricas do campo terão que ser bem mais altas para, em 
primeiro lugar, liberar os elétrons da estrutura atômica e, só depois, promover a condução 
de carga elétrica (ASKELAND, 1994). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) (a) 
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Figura 6.6 – Modelo explicativo da ligação metálica, em que se têm os elétrons de valência 
deixando os seus átomos originais para formarem uma “nuvem” eletrônica, que mantém presos 
(ligados) os íons positivos (oriundos da saída dos elétrons) (ASKELAND, 1998). 
 
2.2 Ligações secundárias – forças de van der Waals9 
As ligações secundárias são genericamente agrupadas por forças de van der 
Waals, muito embora existam, dentro dessa denominação geral, tipos e mecanismos 
diferentes pelos quais os átomos são atraídos. As ligações de van der Waals juntam 
moléculas ou grupos de átomos por meio de atrações eletrostáticas relativamente fracas 
(ASKELAND, 1998). 
O princípio das ligações secundárias é, aproximadamente, similar ao da ligação 
iônica, ou seja, dá-se pela atração de cargas opostas. A diferença básica entre elas 
reside no fato de que nas ligações secundárias não há transferência de elétrons. Neste 
caso, a atração depende das distribuições assimétricas de cargas positiva e negativa 
dentro de cada átomo ou de uma unidade molecular sendo ligada. A essa assimetria dá-
se o nome de dipolo (SHACKELFORD, 1996). 
Van Vlack (1984) reúne três diferentes tipos para as forças de van der Waals – 
moléculas polares, dipolos induzidos e ponte de hidrogênio, cujas explicações básicas de 
seus mecanismos são apresentadas a seguir. 
Moléculas polares são moléculas que apresentam um desbalanceamento elétrico, 
ou seja, o centro de carga positiva não é coincidente com o centro de carga negativa. 
Tem-se, portanto, uma assimetria na molécula no tocante à configuração das cargas 
elétricas, o chamado dipolo elétrico. Um exemplo de molécula polar ou dipolo elétrico é a 
molécula do ácido fluorídrico (HF), mostrada na Figura 6.7. Internamente, nesse caso, o 
hidrogênio está ligado ao átomo de flúor por uma ligação primária, a ligação covalente. No 
entanto, por ser essa molécula assimétrica, a ligação intermolecular para formar a 
substância se dá pela atração eletrostática entre as extremidades positiva e negativa de 
cada molécula polar (dipolo). 
 
 
 
 
9 Johannes Diderik van der Waals (1837-1923), físico holandês que formulou equações descrevendo os estados líquido 
e gasoso. Estudou e concluiu que o tamanho das moléculas e as forças que atuam entre gases e líquidos afetam seu 
comportamento. Embora as moléculas de gás sejam extremamente pequenas, cada uma delas tem um tamanho 
diferente – circunstância que afeta o comportamento das moléculas de diferentes gases. As forças que atuam entre as 
moléculas de um gás são denominadas forças de van der Waals. Em virtude desse trabalho, foi agraciado com o 
Prêmio Nobel de Física de 1910. 
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 (a) (b) (c) 
Figura 6.7 – Exemplo de molécula polar, o HF (a), em que se tem ligação covalente intramolecular 
e forças de van der Waals intermoleculares – dadas pela atração entre os dipolos (b) e (c) 
(adaptada de VAN VLACK, 1970). 
 
Dipolos induzidos ocorrem com moléculas inicialmente simétricas, que, por 
alguma razão, sofrem uma polarização momentânea. Formam-se, então, dipolos, que se 
atraem seguindo o mesmo mecanismo descrito para as moléculas polares. Van Vlack 
(1984) comenta que essa alteração momentânea da simetria elétrica é decorrente do 
movimento ao acaso dos elétrons e da vibração atômica; são os chamados efeitos de 
dispersão. Trata-se, então, de uma “polarização flutuante”, na qual, em cada pequena 
fração de segundo (entre 10-16 e 10-12 s), os centros de cargas positiva e negativa tornam-
se temporariamente não coincidentes, formando um pequeno dipolo. A atração entre 
dipolos é fraca, todavia não desprezível. 
Ponte de hidrogênio é um caso particular de atração por moléculas polares, em 
que a carga positiva do núcleo do átomo de hidrogênio de uma molécula é atraída pelos 
elétrons de valência de átomos de moléculas adjacentes. O exemplo mais difundido 
desse tipo de ligação é o da água, como se vê na Figura 6.8, em que o pequeno núcleo 
do hidrogênio, que é um próton, é atraído por elétrons não compartilhados de uma 
molécula adjacente próxima de H2O, formando, assim, as “pontes de hidrogênio” entre 
moléculas de H2O. Talvez a ponte de hidrogênio tenha o status de um tipo específico de 
forças de van der Waals em função de ser ela a mais forte das ligações secundárias. De 
acordo com Van Vlack (1984), a máxima energia dessa ligação é de aproximadamente 
30 kJ/mol, enquanto para os outros tipos de forças de van der Waals atinge-se um 
máximo de 5 kJ/mol (usualmente menor que 1 kJ/mol). Certamente por essa razão, 
percebem-se, no comportamento da água, as evidências da influência da ponte de 
hidrogênio, refletidas, sobretudo, em propriedades tais como tensão superficial e 
viscosidade, e também nos fenômenos de sorção de modo geral (o Capítulo 7 traz mais 
detalhes sobre este assunto). 
 
 
Figura 6.8 – Esquema ilustrativo da atração das moléculas de H2O, na formação da água, por 
pontes de hidrogênio. Percebe-se a atração entre os núcleos “expostos” de hidrogênio de uma 
molécula pelos elétrons não compartilhados do oxigênio das moléculas adjacentes. 
 
 
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2.3 Espaço interatômico e energia de ligação 
2.3.1 Espaço interatômico 
O espaço interatômico, que é a distância de equilíbrio entreos átomos, é 
determinado por um balanço entre forças de atração e de repulsão. Em um metal sólido, o 
espaço interatômico é igual ao diâmetro do átomo ou a duas vezes o raio do átomo. Já 
para os materiais ligados ionicamente, não vale essa proposição, pois o espaço 
interatômico é, na verdade, a soma de dois diferentes raios iônicos. Surgem, então, os 
conceitos de raio iônico e raio atômico, bastante usados na ciência dos materiais, 
existindo uma catalogação desses parâmetros para os vários elementos. 
Na constituição dos materiais, o espaço interatômico será fruto dessa distância de 
equilíbrio, regida por relações força-distância ou energia-distância, o que significa dizer 
que átomos com distâncias inferiores à distância de equilíbrio sofrem os efeitos repulsivos 
dos seus núcleos, ao passo que átomos separados por distâncias superiores à distância 
de equilíbrio vão perdendo a força que os mantém unidos. 
2.3.2 Energia de ligação 
A energia de ligação é, por definição, a energia mínima requerida para criar ou 
para quebrar a ligação. 
A força que une dois ou mais átomos, ou que une as moléculas ou fases de um 
material, depende basicamente do tipo de ligação e dos elementos envolvidos, estando 
relacionada com o espaço interatômico. Em um material, nem sempre existe apenas um 
único tipo de ligação, como se comentará no item 2.4, mas sim um tipo que prevalece, o 
que torna a análise do material (quanto à energia de ligação de seus átomos e fases 
constituintes) bastante mais complexa do que quando se avalia a energia apenas de um 
tipo de ligação. De qualquer maneira, o Quadro 6.1 ilustra as faixas de energia envolvidas 
por tipo de ligação, que são mais elevadas para as ligações primárias. 
Quadro 6.1 – Faixas de energia em função do tipo de ligação atômica (ASKELAND, 1990). 
Ligação Energia de ligação (kJ/mol) 
Iônica 625 – 1550 
Covalente 520 – 1250 
Metálica 100 – 800 
Forças de van der Waals < 40 
 
Exemplos de propriedades dos materiais que são afetadas por essas relações 
força-distância ou energia-distância são o módulo de elasticidade e o coeficiente de 
variação térmica, dentre várias outras. O módulo de elasticidade, que representa a 
capacidade de deformação, em regime elástico, que dado material apresenta quando 
uma força ou tensão é aplicada, tem, ao nível atômico, uma explicação que se respalda 
na relação entre a força ou energia da ligação atômica com a distância ou espaço 
interatômico. Assim, módulos altos significam que uma grande dificuldade existe para se 
alterar a posição original relativa entre os átomos de um material. Isso está associado a 
uma alta energia de ligação, sendo o inverso verdadeiro. 
Da mesma forma, o coeficiente de variação térmica, que descreve quanto um 
material se expandirá ou se contrairá sob o efeito da temperatura, é fortemente 
relacionado com essa curva energia-distância (atômica). Desse modo, quando um 
material é aquecido, uma energia adicional é fornecida a ele, provocando separação 
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atômica. Sendo alta a energia de ligação entre os átomos desse material, a energia 
adicional oriunda do aquecimento é pouco significativa para provocar separação atômica, 
o que significa que esse material possui um baixo coeficiente de variação térmica, sendo 
também nesse exemplo verdadeira a situação inversa. 
 
2.4 Ligações atômicas características dos principais materiais 
Conforme comentado anteriormente, muitas vezes não existe um único tipo de 
ligação que une os átomos na formação dos materiais. Utilizando, então, a classificação 
genérica fundamental para os tipos de materiais, conforme Shackelford (2000), têm-se, no 
Quadro 6.2, os tipos predominantes de ligação atômica para esses tipos fundamentais de 
materiais. A Figura 6.9 ilustra parte do conteúdo presente no Quadro 6.2, destacando de 
forma esquemática os tipos de ligação predominantes em função dos diferentes materiais. 
Quadro 6.2 – Tipos predominantes de ligação em função do tipo de material e outras informações. 
Materiais Tipo de ligação predominante Informações gerais 
 
Metais 
 
Metálica 
Metais apresentam elevadas ductilidade e 
condutividades elétrica e térmica – os 
elétrons livres transferem com facilidade 
carga elétrica e energia térmica. 
 
Cerâmicos e 
vidros 
 
Iônica, mas às vezes aparece 
em conjunto com ligações 
covalentes fortes. 
Cerâmicas em geral são duras e frágeis, 
com baixa ductilidade e baixas 
condutividades elétrica e térmica – não 
existem elétrons livres, e ligações iônicas e 
covalentes têm alta energia de ligação. 
 
 
Polímeros 
 
Covalente, mas às vezes 
existem ligações secundárias 
entre cadeias. 
Polímeros podem ser pouco dúcteis e, em 
geral, são pobres condutores elétricos. Se 
existirem ligações secundárias, podem ter 
sua ductilidade bastante aumentada, com 
quedas de resistência e do ponto de fusão. 
 
Semicondutores 
Covalente, mas alguns 
compostos semicondutores têm 
elevado caráter iônico. 
Semicondutores em geral têm baixas 
ductilidade e condutividade elétrica em 
função das ligações covalentes e iônicas. 
 
 
 
Figura 6.9 – Tetraedro representando a contribuição relativa de diferentes tipos de ligação para as 
quatro categorias fundamentais de materiais de engenharia (SHACKELFORD, 1996). 
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Tais materiais fundamentais são os metais, os materiais cerâmicos e os vidros, os 
polímeros e os semicondutores. Sabe-se que, além desses, existem outros tipos que não 
se encaixam exatamente em uma dessas categorias; todavia, não se constitui objeto 
deste capítulo explorar tais materiais. O objetivo é apenas exemplificar os tipos de ligação 
para os casos principais, apresentando algumas informações inerentes aos efeitos que as 
ligações provocam em algumas propriedades dos materiais. 
3 Arranjos atômicos – estrutura dos materiais 
Seguindo a classificação proposta por Van Vlack (1970), os arranjos atômicos, que 
propiciam a formação dos materiais, podem ser de três tipos básicos, gerando, então, três 
classes estruturais principais: as estruturas moleculares, cristalinas e amorfas. Nesta 
seção, são apresentados e discutidos aspectos referentes a cada um desses tipos de 
estrutura dos materiais. 
3.1 Estrutura molecular 
A estrutura molecular pode ser genericamente caracterizada por um agrupamento 
de átomos. Na realidade, existem grupos limitados de átomos fortemente ligados entre si, 
formando moléculas, e essas moléculas se ligam entre si por meio de ligações 
secundárias. A característica principal dos materiais de estrutura molecular é, portanto, 
apresentar forças de atração intramoleculares muito fortes, ao passo que as ligações 
intermoleculares são do tipo forças de van der Waals. Em geral, as ligações fortes que 
caracterizam as estruturas moleculares são as ligações covalentes, mas ligações iônicas 
podem existir. 
Exemplos de materiais com estrutura molecular envolvem moléculas como H2O, 
O2, N2 e HNO3, entre outras, que são moléculas não orgânicas relativamente pequenas, 
ligadas entre si por forças de van der Waals. Há, todavia, um grupo significativo de 
materiais com estrutura molecular caracterizado por moléculas grandes (macro-
moléculas), de natureza orgânica, ou seja, caracterizado pela presença de carbono e 
hidrogênio. Essas moléculas grandes orgânicas, obtidas por uma reação de síntese 
chamada de polimerização (que converte vários monômeros em um polímero), possuem 
a repetição de uma unidadebásica ao longo de toda a cadeia polimérica, chamada 
“mero”, e têm o mesmo princípio anteriormente comentado para os materiais moleculares, 
qual seja, o de ter ligações fortes intramoleculares e ligações fracas intermoleculares. 
Não é objeto deste capítulo discorrer sobre os polímeros (que estão tratados no 
Capítulo 12 – Microestrutura dos materiais poliméricos), porém como eles representam 
parte significativa dos materiais de estrutura molecular, são a seguir apresentados alguns 
aspectos da estrutura dos polímeros. Com base em informações organizadas por Bolina, 
Costa e Santos (2006), são tecidas breves considerações sobre a conformação de 
cadeias poliméricas de estrutura molecular, destacando-se as cadeias lineares, as 
ramificadas e as cruzadas, assim como as cadeias em rede. Dessa forma, ter-se-á uma 
noção de como se apresenta a estrutura de um material molecular. 
3.1.1 Conformação de cadeias poliméricas10 
Cadeias lineares são aquelas em que os meros se unem uns aos outros pelas 
extremidades ativas em cadeias simples. Essas longas cadeias são flexíveis e podem ser 
comparadas a uma massa de macarrão. A estrutura linear possui ligações covalentes ao 
longo de sua cadeia principal, mas pode haver forças de van der Waals intensas entre as 
cadeias (CALLISTER Jr., 1991). 
 
10 Para maior detalhamento do assunto, ver Capítulo 12 – Microestrutura dos materiais poliméricos. 
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Nas cadeias ramificadas, as ramificações ocorrem quando um átomo ligado à 
cadeia linear principal é removido e substituído por outra cadeia linear. Isso pode ocorrer 
várias vezes na cadeia principal do polímero. As ramificações previnem o empacotamento 
e a cristalização das cadeias, reduzindo, assim, a densidade, a dureza e a resistência do 
polímero. O processo de ramificação controlada para a produção de plásticos é 
importante porque se a quantidade de ramificações for grande, os movimentos entre as 
moléculas adjacentes serão restringidos pelo “embaralhamento” das moléculas entre si 
(CALLISTER Jr., 1991). Com as ramificações, o material perde em geral capacidade de 
deformação (ductilidade) e torna-se de comportamento mais frágil. 
As cadeias cruzadas em polímeros ocorrem quando cadeias lineares adjacentes 
são unidas umas às outras, em várias posições, por meio de ligações covalentes. O 
processo de cruzamento das cadeias é alcançado durante a síntese do polímero ou por 
reação química irreversível, que é usualmente obtido através da elevação da temperatura. 
Geralmente esse cruzamento das cadeias é acompanhado pela adição de átomos ou 
moléculas que se ligam covalentemente. O efeito das ligações cruzadas é evidente; os 
movimentos entre as cadeias adjacentes são restringidos e, dessa forma, as propriedades 
mecânicas são alteradas. Ao se observar o comportamento de uma borracha natural, em 
temperaturas normais sua resistência é baixa, assim como seu limite de elasticidade 
também é baixo. Embora possam se distender elasticamente, as suas moléculas 
individuais escorregam umas em relação às outras ao invés de se deformarem 
elasticamente. Contudo, certo grau de “ancoramento” evita os movimentos 
intermoleculares e torna possível a deformação elástica sob tensão. Tais pontos de 
ancoragem podem ser obtidos por vários métodos; o mais comum deles é a vulcanização 
com enxofre. A elasticidade de uma borracha é, portanto, determinada pelo número de 
ligações cruzadas ou pela quantidade de enxofre adicionada ao material. Baixas adições 
de enxofre deixam a borracha macia e flexível. Aumentando o teor de enxofre, as cadeias 
desenrolam e a borracha torna-se endurecida, mais rígida e quebradiça. Tipicamente, é 
adicionado de 0,5% a 5% de enxofre em relação à massa da borracha para melhorar as 
ligações cruzadas nos elastômeros (ASKELAND, 1994; CALLISTER Jr., 1991). 
As cadeias em rede são obtidas quando existem na molécula unidades de mero 
polifuncionais (ou, pelo menos, trifuncionais), que apresentam, no mínimo, três ligações 
covalentes ativas ou radicais livres. Estes radicais possibilitam a conexão da molécula 
original com três ou mais moléculas adjacentes, gerando, assim, um polímero na forma 
de rede, tridimensional. Um polímero que possui um grande número de ligações cruzadas 
pode ser classificado como em rede; tal material possui propriedades mecânicas e 
térmicas distintas (CALLISTER Jr., 1991). A formação de rede aumenta significativamente 
a massa molecular do polímero e a viscosidade da mistura. 
3.1.2 Materiais típicos com estrutura molecular 
Materiais que tipicamente apresentam uma estrutura molecular são os gases, tais 
como o oxigênio (O2), o nitrogênio (N2) e o gás carbônico (CO2), além de substâncias 
líquidas como a água (H2O) e o ácido nítrico (HNO3), dentre uma enorme gama de outros 
gases e líquidos. Também têm estrutura molecular os materiais betuminosos, como 
destacado por Agopyan (s. d.). 
Outra categoria de materiais bem representada pela estrutura molecular é a de 
polímeros, como discutido no presente item. Boa parte desses materiais tem estrutura 
molecular, especialmente os polímeros de cadeia linear, como as resinas termoplásticas, 
pois elas se enquadram bem no conceito de estrutura molecular, em que as ligações 
intramoleculares (dentro da cadeia) são fortes, enquanto forças de van der Waals se 
desenvolvem para ligar as cadeias (ligações fracas intermoleculares). Exemplos de 
polímeros termoplásticos são as resinas vinílicas, as resinas celulósicas e as poliamidas, 
além de borrachas tratadas como a borracha clorada, por exemplo, dentre outros. 
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Alguns polímeros apresentam certa regularidade na disposição espacial de suas 
moléculas e, portanto, ganham a denominação de materiais cristalinos ou cristais 
moleculares. O fato de se aplicar o termo cristalino ou amorfo (quando não apresentam 
regularidade) para os materiais poliméricos não invalida sua inserção mais genérica como 
materiais moleculares. Nesse sentido, cabe o comentário de Van Vlack (1970) de que a 
cristalização nos polímeros raramente é perfeita, aliás, na maioria das vezes, ela é 
imperfeita, sendo completamente ausente em alguns casos. Esse mesmo autor ressalta 
três distinções para os arranjos cristalinos dos polímeros em relação aos sistemas 
cristalinos clássicos de íons e átomos, como será tratado no item 3.2, a saber: 1) nos 
polímeros, as moléculas não são esféricas; 2) a molécula funciona como uma unidade; e 
3) as atrações intermoleculares são, em geral, forças de van der Waals fracas. 
Por essas razões, a despeito de apresentarem arranjos cristalinos ou amorfos, os 
polímeros são materiais de estrutura genérica molecular, mesmo aqueles que não 
seguem à risca o princípio da atração intermolecular fraca, como as resinas termofixas 
(ou termoestáveis), cuja estrutura é caracterizada por cadeias em rede, tridimensionais e 
rígidas, nas quais ligações cruzadas ocorrem unindo rigidamente as cadeias por ligações 
covalentes. Exemplos de polímeros termoestáveis são as resinas epóxi, poliéster e 
furânica, entre outras. Também os elastômeros, que são polímeros cuja estrutura se 
caracteriza por cadeias lineares com ligações cruzadas, são exemplos de materiais 
moleculares (menos rígidos e resistentes do que os polímeros termofixos). No caso dos 
elastômeros, as ligações cruzadas auxiliam na restrição à deformação plástica, mas 
permitem ocorrer a deformação elástica do material. 
 
3.2 Estrutura cristalina 
A estrutura cristalinaé caracterizada quando existe uma organização na disposição 
espacial dos átomos que constituem determinado arranjo atômico. Percebe-se, então, 
uma regularidade estrutural, com a repetição, nas três dimensões, de uma umidade 
básica. A esses tipos organizados de estrutura dá-se o nome genérico de cristais. 
A seguir, são propostos os conceitos de cristalinidade e de célula unitária, 
apresentados os sistemas cristalinos e seus aspectos peculiares, sendo, por fim, 
contempladas informações sobre as transformações alotrópicas e sobre os materiais 
típicos de estrutura cristalina. 
3.2.1 Cristalinidade e célula unitária 
O conceito de cristalinidade se aplica à estrutura interna de um material cujo 
arranjo atômico gera um modelo tridimensional ordenado e repetitivo. Há, dessa forma, 
uma regularidade na estrutura interna do material, com a repetição, nas três dimensões, 
de uma unidade básica, chamada de célula unitária. 
Salienta-se que esse modelo ordenado e repetitivo da estrutura cristalina se 
estende por todo o material, o que o caracteriza como um modelo ordenado de longo 
alcance. Tal ordenação se deriva da coordenação atômica11 no interior do material, cuja 
característica principal é a de uma configuração atômica que se repete indefinidamente 
até os limites ou contornos finais do material, formando um reticulado, ou seja, um 
conjunto de átomos regularmente distribuídos no espaço. No reticulado cristalino, 
considerando cada ponto do reticulado como um átomo individual, cada ponto tem 
características similares entre si, isto é, os átomos são idênticos. 
 
11 Coordenação atômica diz respeito à ordenação que os átomos têm e às suas relações com os átomos vizinhos mais 
próximos. Da coordenação atômica extrai-se um parâmetro, o número de coordenação (NC), que representa o número 
de vizinhos mais próximos de um átomo em seu arranjo atômico. Na Figura 6.5b, do metano, o NC do carbono é 4 
porque ele tem 4 átomos vizinhos de hidrogênio, enquanto o NC do hidrogênio é 1 porque cada hidrogênio só tem um 
átomo mais próximo de carbono. 
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A célula unitária é, portanto, uma subdivisão do reticulado cristalino, na qual são 
mantidas as características gerais de todo o reticulado. Em outras palavras, trata-se de 
um pequeno volume (a unidade básica) que contém todas as características encontradas 
no cristal como um todo. Conhecendo, pois, a célula unitária, pode-se descrever a 
estrutura do cristal que caracteriza o material, uma vez que essa estrutura se refere ao 
tamanho, à forma e ao arranjo atômico dentro do reticulado. O reticulado possui alguns 
parâmetros, os chamados parâmetros do reticulado ou parâmetros cristalinos, os quais 
descrevem o tamanho e a forma da célula unitária, o que inclui as dimensões (lados ou 
arestas) da célula unitária e os ângulos entre os lados (esses parâmetros estão 
mostrados no Quadro 6.3). No modelo de longo alcance, os parâmetros cristalinos se 
repetem “indefinidamente” (até os contornos finais do material). A Figura 6.10 ilustra 
didaticamente um reticulado cristalino, com os pontos (átomos) distribuídos regularmente 
no espaço e a célula unitária. 
 
Figura 6.10 – Ilustração esquemática de um reticulado cristalino com o destaque para a célula 
unitária (região em azul) (ASKELAND, 1998). 
3.2.2 Sistemas cristalinos 
O arranjo atômico ordenado e regular propicia que configurações atômicas gerem 
reticulados cuja unidade básica forme uma figura geométrica. Tal nível de organização 
permitiu uma classificação da estrutura cristalina em sete sistemas cristalinos principais, 
conforme a geometria do cristal. Com alguns aspectos peculiares, esses sete sistemas se 
desdobram em um total de 14 reticulados cristalinos, como se vê em 3.2.2.1 a seguir. Em 
3.2.2.2, são tratados de alguns detalhes dos sistemas cristalinos, como as descrições de 
suas direções e de seus planos. 
3.2.2.1 Sistemas e reticulados cristalinos 
A geometria diversificada dos cristais permite a identificação de sete diferentes 
sistemas cristalinos, a saber: cúbico, monoclínico, triclínico, hexagonal, ortorrômbico, 
romboédrico e tetragonal. Uma descrição desses sistemas é apresentada no Quadro 6.3. 
Alguns desses sete sistemas possuem variações da sua configuração básica, o 
que essencialmente se dá pela presença de alguns átomos adicionais no reticulado, além 
daqueles presentes nas posições normais, nos vértices da figura geométrica definida pela 
célula unitária. Esses átomos adicionais podem se posicionar ou no centro da figura 
geométrica (célula unitária), ganhando a denominação de corpo centrado, ou em faces 
dessa figura, ganhando a denominação de face centrada. Dessa forma, mais sete 
possibilidades de configuração atômica se somam às sete opções básicas comentadas 
anteriormente, gerando, então, 14 tipos possíveis de reticulados cristalinos, aos quais se 
dá o nome de reticulados de Bravais12. A descrição consolidada das 14 alternativas 
 
12 Esta denominação é em homenagem ao pesquisador francês Auguste Bravais (1811-1863), que, dentre várias 
realizações, contribuiu decisivamente para o estudo dos arranjos atômicos dos cristais, na consolidação das possíveis 
configurações de reticulados cristalinos. 
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básicas de arranjos atômicos (os reticulados de Bravais) para os materiais de estrutura 
cristalina pode ser vista na Figura 6.11. 
 
Quadro 6.3 – Os sistemas cristalinos e os parâmetros do reticulado (adaptado de 
SHACKELFORD, 1996). 
Sistema Comprimentos axiais e ângulos Geometria da célula unitária 
Cúbico a = b = c, α = β = γ = 90º 
 
Tetragonal a = b ≠ c, α = β = γ = 90º 
 
Ortorrômbico a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90º 
 
Romboédrico a = b = c, α = β = γ ≠ 90º 
 
Hexagonal a = b ≠ c, α = β = 90º, γ = 120º 
 
Monoclínico a ≠ b ≠ c, α = γ = 90º ≠ β 
 
Triclínico a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ ≠ 90º 
 
 
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Figura 6.11 – Reticulados cristalinos de Bravais – 7 sistemas cristalinos e 14 reticulados 
característicos dos materiais cristalinos. Os pontos em vermelho representam os átomos. 
 
É interessante observar-se que alguns sistemas são facilmente descritos, como o 
sistema cúbico, por exemplo. Nesse caso, como os ângulos entre as arestas do cubo da 
célula unitária são todos iguais a 90º e as arestas nas três dimensões são iguais, 
conhecendo-se tão somente o parâmetro “a” do reticulado (aresta “a” da célula unitária, 
conforme o Quadro 6.3), tem-se a descrição da estrutura interna do material. Já para 
sistemas como o triclínico, o ortorrômbico ou o hexagonal, por exemplo, as descrições 
são mais complexas, pois demandam o conhecimento de mais parâmetros. 
3.2.2.2 Direções e planos cristalinos 
A descrição mais completa da estrutura cristalina passa pela identificação das 
direções e dos planos no cristal, o que se faz por meio de um sistema de eixos 
cartesianos aplicados na célula unitária. Utiliza-se para tais finalidades notações 
particulares que empregam os índices de Miller, chamados desta forma em homenagem 
ao cientista britânico William Hallowes Miller (1801 – 1880), que, juntamente com Bravais, 
constituiu-se em um dos principais estudiosos da cristalografia de materiais do século 
dezenove.O desenvolvimento de uma eficiente notação para descrever os planos 
cristalográficos foi uma de suas contribuições mais relevantes (SHACKELFORD, 1996). 
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No caso das direções do cristal, vetores partindo da origem do sistema de eixos 
cartesianos (ou coordenados, em três dimensões), onde se posiciona a célula unitária 
com um de seus vértices na origem do sistema de eixos, permitem identificar qualquer 
posição da célula unitária ou reticulado por meio das coordenadas x, y e z (ou, 
respectivamente, h, k, l pela notação de Miller), sendo o número um (1) convencionado 
como a maior dimensão da célula e o número zero (0) a menor, conforme se pode 
visualizar na Figura 6.12. Essas coordenadas do ponto cuja posição se quer identificar no 
reticulado normalmente são representadas entre colchetes [h, k, l]. 
 
 
Figura 6.12 – Descrição das direções no cristal, utilizando-se como exemplo um reticulado 
ortorrômbico simples (VAN VLACK, 1970). 
 
Com relação aos planos, são empregados para a sua descrição os índices de 
Miller (h, k, l) entre parênteses. Esses índices são definidos como os recíprocos das três 
interseções axiais de um plano, reduzidos aos menores números inteiros (VAN VLACK, 
1984). Isso significa que, por exemplo, um plano (010) é paralelo aos eixos 
cristalográficos x e z, cortando o eixo y no parâmetro do reticulado (convencionado igual a 
1). Como a origem é escolhida arbitrariamente, ou seja, poderia ser tanto o 0 como o 0’ 
(ver Figura 6.13a para o sistema cúbico), então os três planos sombreados nessa figura 
(Figura 6.13a) podem corresponder ao plano (010), muito embora, a rigor, considerando a 
origem em 0, o plano do meio dentre os três sombreados (identificado na cor vermelha) é 
o plano (010). Tomando outro exemplo, o do plano (110), esta notação quer dizer que se 
trata de planos que cortam os eixos x e y nas distâncias correspondentes ao parâmetro 
do reticulado (igual a 1, contado a partir da origem) e que são paralelos ao eixo z, como 
destaca a Figura 6.13b para o sistema cúbico (o plano indicado em vermelho corresponde 
ao plano (110) tomando a origem em 0, na interseção dos três eixos coordenados). Na 
verdade, os índices (h, k, l) são recíprocos e, portanto, para se saber onde o plano em 
análise estará cortando, respectivamente, os eixos cristalográficos em x, y e z, observa-se 
o inverso dos índices de Miller. Assim, no exemplo do plano (010) para o sistema cúbico 
(Figura 6.13a), o inverso de 0 é ∞ (infinito), o inverso de 1 é 1, e o inverso de 0 é ∞. 
Portanto, o plano (010) é paralelo aos eixos x e z, uma vez que “cortaria” esses eixos no 
infinito, e corta o eixo y na distância correspondente ao parâmetro do reticulado (igual a 
1). Pode-se, então, aplicar esse raciocínio para todos os demais planos, inclusive para 
planos que se situarem aquém da origem dos eixos, colocando-se, nesse caso, uma 
barra sobre o(s) índice(s) de Miller para representar posições negativas no sistema de 
eixos cartesianos. 
 
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Figura 6.13 – Ilustrações esquemáticas dos planos (010) e (110) (regiões sombreadas em 
vermelho), respectivamente partes (a) e (b) da figura, para o sistema cristalino cúbico simples 
(adaptada de VAN VLACK, 1970). 
Cabe ressaltar, por último, que o estudo dos materiais cristalinos ao nível 
cristalográfico pode ser muito relevante, o que justifica todo o conteúdo tratado neste 
subitem. Em termos de direções no cristal, é sabido que diferentes direções podem 
determinar diferentes propriedades do material, ou seja, as propriedades de dado material 
podem ser dependentes da direção no cristal ao longo da qual elas foram medidas. Da 
mesma forma, certos planos cristalinos podem ser bastante significativos; por exemplo, 
metais se deformam ao longo de planos de átomos que estão mais fortemente 
empacotados (ASKELAND, 1990). 
 
3.2.3 Alotropia (ou polimorfismo) dos materiais cristalinos 
Alotropia ou polimorfismo diz respeito a diferentes formas cristalinas que um sólido 
cristalino pode assumir, mantendo a mesma composição química. As transformações 
alotrópicas, que fazem com que o mesmo material possa ter diferentes arranjos 
cristalinos, em função de variáveis como a temperatura, por exemplo, têm muita 
importância no contexto tecnológico e para os interesses da engenharia, na medida em 
que as propriedades do material podem ser significativamente alteradas dependendo da 
sua forma alotrópica vigente, a despeito de sua composição química manter-se a mesma. 
Um exemplo de polimorfismo é o da grafita e do diamante, que são considerados 
dois polimorfos de carbono, cujas propriedades, entretanto, são bastante diferentes. Outro 
exemplo que vale o registro é o caso ímpar do composto SiC, que chega a ter até vinte 
modificações cristalinas, não sendo esta, porém, uma situação comum entre os materiais 
cristalinos (VAN VLACK, 1984). 
Um último exemplo a ser destacado é o caso do ferro, que talvez seja o exemplo 
mais difundido de alotropia aplicado aos materiais. O ferro é, portanto, alotrópico, com 
variações de sua estrutura entre o sistema cúbico de corpo centrado (ccc) e cúbico de 
faces centradas (cfc). 
Na estrutura ccc, a célula unitária tem um átomo de ferro em cada vértice do cubo 
e outro átomo no centro do cubo (Figura 6.14a), de forma que cada átomo de ferro é 
cercado por outros oito átomos de ferro adjacentes, independentemente de o átomo 
considerado estar localizado no vértice ou no centro da célula unitária. Dessa maneira, há 
uma regularidade geométrica dos átomos de ferro, de modo que dentro de cada célula 
unitária há sempre dois átomos no total, um localizando-se no centro do cubo e mais oito 
oitavos nos oito vértices (Figura 6.14a). Já na estrutura cfc, além de um átomo em cada 
vértice da célula unitária, há um no centro de cada face e nenhum no centro do cubo. 
Neste caso, cada célula unitária contém dentro dela quatro átomos de ferro no total; os 
oito oitavos dos vértices contribuem com um átomo e as seis metades nos centros das 
faces representam um total de três átomos (Figura 6.14b). 
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Figura 6.14 – Células unitárias cúbica de corpo centrado – ccc (a) e cúbica de faces centradas – 
cfc (b), representando duas diferentes formas alotrópicas do ferro. As esferas e suas frações 
designam, respectivamente, os átomos de ferro e suas partes contidas na célula unitária. 
A forma alotrópica do ferro ccc é estável em temperaturas ambientes, 
permanecendo assim até temperaturas em torno de 912oC (há uma outra faixa em que 
volta a ser estável a estrutura ccc, entre 1394oC e 1538oC, porém sem interesses 
comerciais e práticos). Em temperatura ambiente, o fator de empacotamento atômico 
dessa estrutura ccc é igual a 0,68, o número de coordenação é oito e o raio atômico 
1,241 Å. O ferro ccc é mais duro que o ferro cfc e apresenta, diferentemente deste último, 
a característica de ferromagnetismo. A estrutura cfc é estável em temperaturas entre 
912oC e 1394oC, tendo um fator de empacotamento à temperatura de 912oC igual a 0,74, 
um número de coordenação 12 e raio atômico igual a 1,292 Å13 (ASKELAND, 1990). O 
ferro cfc é mole e dúctil, prestando-se bem para os processos metalúrgicos de 
conformação mecânica, como: laminação a quente e forjamento. Vê-se, portanto, que 
diferentes formas alotrópicas domesmo material implicam diferentes propriedades, 
aplicações e usos. 
3.2.4 Materiais típicos de estrutura cristalina 
Existe uma grande diversidade de materiais e compostos presentes na natureza, 
assim como os processados pelo homem, que apresenta estrutura cristalina. O ferro e os 
aços de construção são exemplos clássicos de materiais cristalinos, que se alternam 
entre as formas alotrópicas estruturais cúbicas de corpo centrado (ccc) – em temperatura 
ambiente – e de face centrada (cfc). Nos aços de construção à temperatura ambiente, 
além da ferrita, que apresenta estrutura ccc, podem-se ter outras fases cristalinas, tais 
como: a cementita (estrutura ortorrômbica com 12 átomos de ferro e 4 átomos de 
carbono), a perlita (que é uma fase mista contendo cementita e ferrita) e a martensita 
(estrutura tetragonal de corpo centrado, obtida pelo tratamento térmico de têmpera)13. Os 
metais, que são considerados sólidos elementares, possuem estrutura cristalina. 
Os compostos principais do cimento Portland, assim como seus derivados 
hidratados, em geral são fases cristalinas. A saber, os silicatos de cálcio anidros (C3S e β-
C2S) apresentam uma estrutura complexa constituídas de tetraedros de sílica ( −44SiO ) e 
íons de cálcio (Ca2+), com uma coordenação irregular dos íons de oxigênio em torno do 
cálcio. Essa coordenação irregular, mais acentuada para o C3S, produz grandes vazios 
estruturais, o que explica a alta reatividade da estrutura quando em contato com a água 
(maior para o C3S em comparação ao β-C2S). As fases aluminato e ferroaluminato (C3A e 
C4AF) são também cristalinas, com o C3A puro apresentando uma estrutura cúbica e as 
formas impuras do C3A e do C4AF possuindo estrutura ortorrômbica. Os compostos 
hidratados da pasta de cimento também são cristalinos, tais como o hidróxido de cálcio, a 
 
13 Esse assunto concernente à estrutura dos aços e suas fases constituintes é tratado com mais detalhes no Capítulo 10 
– Microestrutura dos materiais metálicos. 
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etringita, o monossulfato e o C-S-H; todavia, alguns tipos de C-S-H têm cristalinidade 
baixa. 
Muitos materiais naturais, sem o processamento humano para a sua formação, 
possuem também estruturas cristalinas. Um exemplo desses materiais é a areia natural, 
constituída essencialmente de sílica em sua forma cristalina, que é o quartzo. O quartzo 
possui estrutura trigonal (romboédrica), e a areia é o material mais largamente utilizado 
como agregado miúdo nos concretos e argamassas de cimento Portland. Assim como a 
areia, várias rochas naturais são igualmente empregadas como agregado, em especial 
como agregado graúdo para concretos. Muitas delas são constituídas de fases minerais 
diversas contendo estrutura cristalina, como a rocha granítica, por exemplo, que se trata 
de um conglomerado poliminerálico. Por fim, na lista de materiais naturais ressaltadas 
neste parágrafo, não se pode deixar de mencionar o gelo, que se constitui em um sólido 
cristalino de reticulado hexagonal. 
Além dos exemplos anteriormente citados, há uma grande diversidade de outros 
materiais e compostos que possuem estrutura cristalina. Cabe destacar-se aqui, por fim, o 
papel da técnica de difração de raios X como ferramenta de caracterização dos materiais 
cristalinos14. O feixe de raios X incidente na estrutura cristalina propicia uma difração 
posterior desses raios através de determinados planos de átomos ou de íons que 
constituem o cristal. Pela medida dos ângulos de difração que correspondem a certas 
distâncias interplanares, têm-se os picos característicos que identificam uma série de 
materiais de estrutura cristalina. Isso credencia a técnica de difração de raios X como 
ferramenta imprescindível no estudo dos materiais cristalinos. 
 
3.3 Estrutura não cristalina – amorfa 
Materiais de estrutura amorfa ou vítrea, ao nível de seus arranjos atômicos, são 
aqueles em que os átomos não resguardam qualquer tipo de regularidade ou organização 
em termos de sua disposição espacial, ou, caso exista algum ordenamento, ele ocorre a 
curto alcance (em pequenas distâncias). A seguir, apresenta-se o conceito de amorfismo 
aplicado aos materiais, bem como são destacados aspectos gerais dos materiais 
amorfos, especialmente dos sólidos de estrutura não-cristalina. 
3.3.1 O conceito de amorfismo 
De modo geral, o conceito de amorfismo diz respeito a uma estrutura interna “sem 
forma” e, portanto, se aplicado aos materiais em geral, em suas diversas configurações 
atômicas, são amorfos os gases, os líquidos e os sólidos não-cristalinos como o vidro, por 
exemplo. Convém observar-se que esse conceito não exclui o conceito de estrutura 
molecular, discutido em 3.1, já que substâncias como o vapor de água e a própria água 
em forma líquida são materiais moleculares por definição, ao mesmo tempo em que são 
considerados materiais de configuração amorfa (com ordenamento em pequenas 
distâncias). Nesse sentido, a Figura 6.15 ilustra quatro diferentes arranjos atômicos para 
materiais diversos, em que se vêem as seguintes situações: a) um gás inerte sem 
qualquer tipo de ordenamento, que se constitui em uma configuração amorfa por 
excelência; b) vapor de água, que apresenta ordenamento a pequena distância; c) a 
estrutura do vidro, que também apresenta ordem em pequenas distâncias; e d) a 
estrutura de um metal, que é essencialmente cristalina, com ordenamento ao longo de 
todo o material. Nesses quatro casos, os três primeiros representam materiais amorfos 
(sendo o vidro um sólido amorfo) e o último refere-se a um material essencialmente 
cristalino. 
 
14 Mais detalhes sobre este assunto podem ser encontrados no Capítulo 14, que trata das técnicas experimentais para 
estudo dos materiais. 
 
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Figura 6.15 – Diferentes arranjos atômicos de materiais. a) gás inerte, sem nenhum ordenamento 
regular de átomos (estrutura amorfa); b) e c) vapor de água e estrutura do vidro, com ordem em 
pequenas distâncias (estruturas amorfas); e d) metal, com um ordenamento regular de átomos 
que se estende por todo o material (estrutura cristalina) (ASKELAND, 1998). 
 
3.3.2 Sólidos não-cristalinos e materiais típicos de estrutura amorfa 
Os sólidos não-cristalinos representam o foco principal de abordagem neste 
capítulo para os materiais de estrutura amorfa, já que os gases e líquidos estariam, em 
sua maioria, inseridos, perante a classificação adotada neste capítulo, no item de 
materiais moleculares, embora, como dito anteriormente, os dois conceitos não sejam 
excludentes. Assim, ao se falar doravante em materiais amorfos, estarão sendo 
reportados os sólidos de estrutura vítrea ou não-cristalina. 
Os sólidos amorfos apresentam estrutura de natureza vítrea, tendo aspecto 
estrutural não-cristalino, com ordem apenas em pequenas distâncias. A Figura 6.16 
ressalta as diferenças de ordenamento atômico entre um sólido cristalino e um sólido não-
cristalino, propiciando a distinção entre o ordenamento em pequenas distâncias e em 
grandes distâncias. Nessa figura, percebe-se, na estrutura do vidro (a), um ordenamento 
apenas em pequenas distâncias, com cada pequeno átomo de boro (pontos em 
vermelho) se acomodando entre três átomos maiores de oxigênio, e este sendo 
coordenado com dois átomos de boro. Todavia, não se vê regularidade ou ordenamento 
numa situação “menos ampliada”, ou seja, vista sob um espectro mais amplo. Já no caso 
do cristal(b), embora se visualize a figura apenas em duas dimensões, fica nítida a 
percepção de regularidade e de similaridade na disposição atômica da figura como um 
todo, além da ordem vista em pequenas distâncias (igual à situação do vidro). 
 
 
Figura 6.16 – Exemplos de ordenamento atômico para a estrutura do B2O3. (a) caso do vidro, que 
é um sólido não cristalino, com ordenamento apenas em pequenas distâncias; (b) caso do cristal, 
que é um sólido cristalino, com ordem em grandes distâncias, além de pequenas distâncias (VAN 
VLACK, 1970). 
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De modo genérico, diz-se que o vidro é um líquido super-resfriado. De algum modo 
faz sentido essa afirmação, porque a sua estrutura interna, em termos de ordenamento 
atômico, tem muita similaridade com a estrutura dos líquidos. Como visto anteriormente, 
os líquidos, quando guardam alguma ordem estrutural, assim o fazem em pequenas 
distâncias, da mesma forma como ocorre com os sólidos não-cristalinos como o vidro. De 
fato, assim como a maior parte dos sólidos não-cristalinos em seus processos de 
fabricação ou produção, o vidro é submetido a altas temperaturas, o que o faz atingir seu 
estado de fusão. Dessa forma, em estado líquido, tal material naturalmente só pode 
desenvolver ordenamento atômico, no máximo, em pequenas distâncias. Ocorre que a 
transição desse estado líquido de fusão para o estado sólido normalmente se dá 
mediante bruscos resfriamentos, o que impede o material de buscar, mediante uma 
eventual redução gradativa de temperatura, um rearranjo organizado, regular e ordenado 
a longo alcance (que caracteriza os materiais cristalinos). Literalmente, é como se o 
arranjo pouco ordenado do líquido ficasse “estagnado” quando da mudança do material 
do estado líquido para o estado sólido, dada a repentina redução de temperatura. Esta é 
a principal característica associada aos materiais amorfos. Deve-se ressalvar para o 
término desta discussão, consoante o que foi colocado no início deste parágrafo de que o 
vidro é um líquido super-resfriado, que, embora válida tal argumentação em termos de 
reflexão científica, ela não se aplica no rigor conceitual, porque o vidro tem uma 
resistência ao cisalhamento considerável e, sendo assim, não pode ser considerado um 
líquido verdadeiro. 
Como exemplo de material de estrutura amorfa, o vidro é o mais difundido sólido 
não-cristalino existente na literatura científica. Além dele, podem ser citados vários 
materiais que são obtidos por brusco resfriamento, como algumas adições minerais 
usadas na tecnologia dos cimentos e dos concretos Portland, a saber: a sílica ativa, a 
escória de alto-forno, a cinza volante e a cinza de casca de arroz, dentre outros. Um 
exemplo de material do cotidiano da vida doméstica que tem estrutura amorfa é o 
baquelite. 
 
4 Fases dos materiais 
O termo fase aplicado aos materiais diz respeito, conceitualmente, a uma ou mais 
partes do material que resguarda homogeneidade do ponto de vista estrutural, ou seja, 
que mantém um arranjo atômico próprio. Dessa forma, se um material possui como um 
todo um mesmo arranjo atômico, ele é dito homogêneo e unifásico. Se, por outro lado, 
coexistem no material partes com identidades estruturais próprias, o material será 
bifásico, trifásico ou, de modo genérico, polifásico (ou multifásico), em função do número 
de partes estruturalmente homogêneas (fases) existentes nesse material. 
 
4.1 Considerações sobre fases cristalinas e amorfas 
As fases podem ser cristalinas ou amorfas, considerando os conceitos de 
cristalinidade e amorfismo discutidos em 3.2.1 e 3.3.1, aplicados a essas partes 
estruturalmente homogêneas dos materiais. No entanto, a identificação de fases distintas 
e, portanto, a clara definição de partes com identidades próprias na constituição do 
material, caracterizando assim o material como possuidor de mais de uma fase, adequa-
se basicamente aos materiais cristalinos. No material não cristalino, que possui 
ordenamento, no máximo, em pequenas distâncias, é difícil estabelecer claramente os 
limites entre uma fase e outra fase. 
Dentro de uma fase cristalina, por sua vez, pode haver a dissolução de alguns 
elementos ou “impurezas” dentro da estrutura característica do material, formada por um 
ou mais elementos preponderantes. Têm-se, então, as fases impuras, que representam 
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melhor os materiais disponíveis e utilizados na engenharia e no cotidiano do ser humano, 
como se descrevem a seguir. 
4.2 Fases impuras – soluções sólidas ou estruturas de cristais mistos 
As fases impuras pressupõem, então, a formação de soluções sólidas ou 
estruturas de cristais mistos, na qual átomos de um soluto (em menor quantidade) 
conseguem se “dissolver” em uma estrutura principal, com átomos de solvente. A seguir, 
são apresentados os tipos de soluções sólidas aplicados aos metais, além de outros tipos 
e de considerações gerais. 
4.2.1 Soluções sólidas em metais15 
O aço é um exemplo de material que desenvolve uma solução sólida (em uma de 
suas formas alotrópicas), na qual átomos de carbono se dissolvem na estrutura do ferro. 
O latão é outro exemplo de material “impuro”, em que o zinco é acrescentado à estrutura 
do cobre. Nestes casos, o produto resultante tem propriedades superiores aos 
constituintes “puros”. O aço tem maiores resistência, limite de escoamento e dureza que o 
ferro puro, enquanto o latão é mais duro, mais resistente e mais dúctil do que o cobre. 
As soluções sólidas em metais podem ser do tipo substitucional ou intersticial, 
conforme considerações apresentadas a seguir. 
4.2.1.1 Solução sólida substitucional 
Solução sólida substitucional ocorre quando o átomo do soluto tem dimensões e 
estruturas eletrônicas semelhantes ao átomo do solvente. Dessa forma, podem ocorrer 
substituições de alguns átomos da matriz do solvente por átomos “semelhantes” do 
soluto, formando-se uma solução sólida substitucional. A quantidade de átomos que pode 
substituir átomos do solvente não é ilimitada; ela é restringida pelo limite de solubilidade 
que a matriz do solvente estabelece, de modo que a sua estrutura original não venha a 
ser alterada. Exemplos conhecidos de solução sólida substitucional em metais são o 
bronze, cuja estrutura forma uma solução sólida substitucional de estanho na matriz do 
cobre, e o latão, que consiste em uma estrutura de cristal misto, com átomos de zinco 
substituindo parte dos átomos de cobre na matriz do cobre (Figura 6.17). Nos casos do 
bronze e do latão, os átomos do soluto estão dispersos ao acaso ou de forma aleatória 
entre os átomos do solvente. Todavia, a substituição pode se dar também de forma 
ordenada, com a maioria dos átomos do soluto disposta de forma coordenada entre os 
átomos do solvente. Se isto ocorrer, a solução sólida é dita ordenada. 
 
Figura 6.17 – Solução sólida substitucional característica do latão, em que se têm os 
átomos de zinco (soluto) substituindo, de forma aleatória, os átomos de cobre do solvente (modelo 
de descrição planar, sendo os átomos de zinco os círculos escuros e os átomos de cobre os 
círculos claros) (VAN VLACK, 1970). 
 
15 Mais detalhes sobre o assunto podem ser encontrados no Capítulo 10, que trata da microestrutura dos materiais 
metálicos. 
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