Volume 3 - LIVRO DO PROF

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IME-ITA – Volume 3
Matemática
Prezado(a) professor(a),
Neste material, você encontrará o livro do volume 
que será trabalhado (da disciplina e série que leciona), o 
guia do professor contendo sugestões de abordagem e 
prioridades para cada módulo, entre outras informações 
relevantes, e o gabarito comentado dos exercícios.
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LIVRO DO 
PROFESSOR
IME-ITA
GABARITO VOLUME
3
15
Matemática I
Assunto 5
Exercícios nível 1
 01 
a. {–3, 5}. d. ]–∞, –2 [ ∪ ] 2, +∞[.
b. {0, 2}. e. {2}.
c. ]–1/2, 0[ f. − − − +







3 5
2
3 5
2
1, , .
 02 
a. {2, 3}. d. {–1, 1}.
b. {3}. e. {0}.
c. {2}. f. 1
3
2
, .





 03 m = 2; m = 6; m ≤ 3/2.
 04 Letra B.
 05 Letra E.
 06 Letra A.
 07 Letra C.
 08 Letra C.
 09 Letra A.
 10 Letra D.
 11 {0}.
 12 {–1, 9}.
 13 {49 – 1}.
 14 ]1/2, 1[ ∪ ]1, +∞[.
 15 
a. {–3}. f. 2
2
14, , .







 
b. {–1}. g. {0,1; 100}.
c. 1 5
2
+







. h. 5 5 4±{ }log .
d. {2}. i. 1
2
1
4
, .





e. {100}.
 16 {5 + 4 2}.
 17 ]0, 1[.
 18 ∅.
 19 ]0,3 log2/3 2[.
 20 
a. {log log }.3 3
25 5 4± +
b. {log25 6, log6 5}.
 21 log .3
2
1 5
2
+
 22 a = b².
 23 logxn
 x1.
 24 3.
 25 
a. (– 2, –1) ∪ (1, 2 ). 
b. (0,1/ 6 ] ∪ [1, +∞).
 26 x = 2.
 27 S = 




1
10
10, . 
 28 {k ∈  | k ≥ 1}.
 29 x > 0.
 30 Letra B.
 31 Letra B.
 32 Letra B.
 33 Letra E.
 34 Letra D.
 35 Letra B.
 36 (–3, – 6 ) ∪ ( 6 , 3).
 37 Letra D.
 38 Letra C.
 39 Letra E.
 40 Letra A.
 41 Letra C.
 42 Letra C.
 43 Letra C.
 44 Letra C.
 45 Letra B.
 46 Letra E.
 47 Letra B.
 48 Letra A.
 49 Letra C.
 50 Letra A.
 51 1.
 52 {(4, 2)}.
 53 
a. 2.
b. –4.
 54 91.
Exercícios nível 2
 01 
a. ( , ), , .1 1
p
q
p
q
q
p q
p
p q





























− −
b. {(1, 1)}.
c. {(1, 1), (1/2, 2)}.
 02 Letra C.
 03 Letra A.
 04 Demonstração.
 05 (– 1).
 06 
a. {(1/2, 1/4) ; (1/4, 1/2)}. c. {(4, 3)}.
b. {(2, 1)}. d. {(4, 16)}. 
 07 
a. S = {5/12}.
b. S = {1; 2}.
c. S = −
±







1
1 46
5
; .
 08 Letra C.
 09 –1/2 ≤ x ≤ 1/2.
 10 Letra B.
 11 Letra C.
 12 Letra E.
 13 Letra C.
 14 Letra C.
 15 Letra B.
 16 Letra B.
 17 0 1.
Caso 1:
x
B
A
xy
y
logx
a
logy
a
>log , 1x
a a
+ 
 
 2
x y
O ponto A representa 
log loga
x
a
y+
2
 e é menor do que loga
x y+




2
, que é o 
ponto B. Isso se deve à concavidade da função logaritmo, que é voltada 
para baixo.
Caso 2:
log , 1– 1.
 31 (–1)n–1.
 32 (1 – xn)n–1.
 33 Letra C.
 34 Letra A.
 35 Letra D.
 36 Letra C.
 37 Letra E.
 38 Letra D.
 39 Letra C.
 40 –12.
 41 1
8
1 3 1
6 6 10
4 4 4
⋅
−
− −
−
Exercícios nível 2
 01 Demonstração.
 02 
a. 
0 1 1
0 0 1
0 0 0










b. I + A.
c. I + A2 + A3 + ... + An – 1.
 03 –
 04 I – M.
 05 
1
1
2
0 1
0 0 1
n
n n
n
( )+













 06 x y z= − = − = −
8
5
6
5
29
5
, , .
 07 Demonstração.
 08 
a. Demonstração.
b. Demonstração.
c. ƒ ο ƒ ο ... ο ƒ = 
x n n
x n n
cos ( ) ( )
( ) cos ( )
θ θ
θ θ
−
+
sen
sen
 09 Letra E.
 10 Letra E.
 11 V
 12 Letra E.
 13 Demonstração.
 14 a(b – a)(c – b)(d – c).
 15 –10 e 0.
 16 8.
 17 2(cos b – cos a)(cos c – cos a)(cos c – cos b).
 18 Demonstração.
GABARITO
IME-ITA
18
 19 1
 20 a xk
n k
k
n
−
=
∑
0
 21 (a2 – b2)n.
 22 
a. ∆n = 5∆n–1 – 6∆n–2.
b. 3n+1 – 2n+1.
 23 Fn(n-ésimo termo da sequência de Fibonacci).
 24 ( )
( )
−
+





−
−1
1
2
1
2 1
n n
nn
n
 25 ±










m
m
m
1 1
1 1
1 1
Exercícios nível 3
 01 Não.
 02 Demonstração.
 03 B · (A + B)–1 · A = A · (A + B–1) · B
 04 Demonstração.
 05 x a x a x a x
x a x a x a xn
n
( )( ) ( )1 2
1 2
1 1 1 1
− − − +
−
+
−
+ +
−





 
 06 xa
x
a
a a
n n n
n
( )
( )
+ +
+
−
−






1
2
11 1
1
 07 ( )−
−
−






−
− −
1 1
1 1
n
n n
xy
x y
x y
 08 Demonstração.
 09 Demonstração.
 10 (a2 + b2 + c2 + d2)2.
 11 2
2 2
1
1
2( )n i k
i k n
i ksen sen−
≤ ≤ ≤
+ −∏ λ λ λ λ
 12 Não há (olhe para o traço).
 13 Demonstração.
 14 Demonstração.
Matemática IV
Assunto 3
Exercícios nível 1
 01 (x + 12)2 + (y – 5)2 = 169 ou (x + 12)2 + (y + 5)2 = 169.
 02 Letra B.
 03 Letra D.
 04 (x + 3)2 + (y – 17/2)2 = 185/4.
 05 2x – 5y +19 = 0.
 06 Letra B.
 07 x – 2y + 10 = 0.
 08 (x – 7)2 + (y + 6)2 = 89.
 09 Letra D.
 10 (–1,5) e (–2,–2)
 11 Letra D.
 12 Letra A.
 13 (x – 4)2 + (y + 1)2 = 5 e (x – 2)2 + (y – 3)2 = 5.
 14 P(–7/2, 5/4), 2 5 .
 15 Letra B.
 16 Letra A.
 17 4x + 3y = 17.
 18 y = –2x + 5; y = –2x – 5.
 19 y = –1 ou 4x + 3y = 17.
 20 Letra A.
 21 –1 ou 25.
 22 y = 9.
 23 Letra A.
 24 d(c1, c2) = r1 + r2 = 3 5
2
 ↔ c1 e c2 são tangentes exteriores.
x2 + y2 – 8x – 16y + 35 = 0.
 25 Letra B.
 26 3 2 .
 27 
a. 7.
b. 17.
c. 2.
 28 x2 + y2 + 16x – 16y + 24 = 0.
 29 2 2; 7x – y – 16 = 0.
 30 Letra B.
Exercícios nível 2
 01 Letra B.
 02 Círculo com centro em (6, 1) e raio 2 10 .
 03 8 u.c.
 04 Demonstração.
 05 Demonstração.
 06 Letra D.
 07 45°.
 08 9x2 + 36y2 = 100.
 09 (x – 1)2 + (y – 3)2 = 10.
 10 Letra B.
 11 90°.
 12 ( ) ( ) ; ( ) ( ) .x y x y− + − = − + + =1 1
36
5
13 1 13 35
36
5
2 2 2 2
 13 Letra A.
 14 2y + x + 5 = 0.
 15 Letra D.
 16 x y x y+




 + +




 = −




 + −




 =
10
7
25
7
1
30
7
5
7
1
2 2 2 2
ou .
 17 Letra A.
 18 2x + y – 5 = 0, x – 2y = 0.
 19 7.
 20 (x – 3)2 + (y + 1)2 = 38.
 21 90°.
 22 Os círculos não são secantes.
 23 x2 + y2 – 8x + 6 = 0 ou 9x2 + 9y2 + 88x – 106 = 0.
 24 Demonstração.
 25 Demonstração.
Exercícios nível 3
 01 2x – 3y + 8 = 0,3x + 2y – 14 = 0.
 02 Demonstração.
 03 Demonstração.
 04 Demonstração.
 05 Demonstração.
 06 Demonstração.
 07 r x y x y= + + − + =
6 5
5
12
5
26
5
1 02 2; .
GABARITO
IME-ITA
Volume 3
19
 08 (A – a)2 + (B – b)2 = R2 + r2.
 09 –
 10 Círculo circunscrito ao triângulo ABC.
Assunto 4
Exercícios nível 1
 01 Letra D.
 02 Letra C.
 03 Letra B.
 04 Letra B.
 05 2 3
3
.
 06 
x y2 2
81 9
1
2 2
3
+ = e .
 07 Letra B.
 08 Letra B.
 09 −





1
3
1
3
, .
 10 9.
 11 1 e 2.
 12 F – F – V – V – V.
 13 Letra A.
 14 y x2 2
9 16
=1−
 15 Estão corretas as letras B e D.
 16 Elipse de centro na origem, eixo maior 2 4 17a = sobre Oy e eixo 
menor 2 2 17b = sobre Ox.
 17 x =
− ±2 10 16
3 18 Letra A.
 19 Letra B.
 20 Letra B.
Exercícios nível 2
 01 Letra B.
 02 Letra A.
 03 4
2 2
2 2
a b
a b+
.
 04 60 cm.
 05 Letra A.
 06 Letra B.
 07 y = mk, em que m ≥ 3/2 ou m ≤ –3/2; x = 0.
 08 Letra E.
 09 Letra D.
 10 Letra B.
 11 Os quatro pontos ±
20 82
41
,±
9 41
41





.
 12 2.
 13 x2 – y2 = 4.
 14 y x2 =±
8 35
63
.
 15 1x2 : 24xy + 9y2 = 9R2 (elipse).
Exercícios nível 3
 01 Segmento de reta (limitado pela elipse) passando pelo centro da elipse. 
(denominado diâmetro da elipse com respeito à direção q).
y = 
−
⋅
b
a
x
²
²tg θ
, em que a é o semieixo maior e b, o semieixo menor.
 02 54 2919 3 54 2919 1
2
2 2+( ) − +( ) =y x
 03 
x
a
y m n
am bn
2
2
2 2
2
+
+
+
=1
( )
( )
 04 Elipse de focos (a, b) e (–a, –b) e círculo principal x2 + y2 = a2. 
 05 (x2 + y2)2 = ax3.
 06 MF a
c
a
x MF a
c
a
x= − − = +e 3 ' .
Matemática V
Assunto 11
Exercícios nível 1
 01 24.
 02 
a. reta PE.
b. reta PF.
c. reta PG.
 03 –
 04 
a. 45°. c. 90°.
b. 90°. d. 60°.
 05 Letra E.
 06 42 cm.
 07 
a. 2 3
3
x . c. 60°.
b. x 39
6
.
 08 2 cm.
 09 5 3.
 10 3 2 .
 11 JA = JB = JC = 
8 3
3
, 60°.
 12 12 cm.
Exercícios nível 2
 01 – 
 02 –
 03 
a 3
2
.
 04 120°.
 05 
a. SB = SD = a 2.
 SC = a 3.
b. d(A, (SBC)) = d(A, (SCD)) = a 2
2
.
 d(A, (SBD)) = a 3
3
.
c. a 6
3
.
GABARITO
IME-ITA
20
 06 65 3
8
.
 07 arccos
7
7





 .
 08 –
 09 8 m ou 2 m.
 10 5 2 m.
 11 75°.
 12 –
 13 –
Exercícios nível 3
 01 – 
 02 –
 03 1
1 1 1
2 2 2a b c
+ +
.
 04 –
Assunto 12
Exercícios nível 1
 01 8.
 02 10.
 03 Não existe tal poliedro.
 04 F = 14, A = 24, V = 12.
 05 17.
 06 3.
 07 6.480°.
 08 40.
 09 F3 = 8, F6 = 2.
 10 A = 30, V = 16
 11 
a. Não existe. Trata-se de um triedro degenerado, em que suas semirretas 
são coplanares.
b. Existe.
c. Não existe. 
d. Não existe.
 12 40°