Volume 2 - LIVRO DO PROF

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IME-ITA – Volume 2
Matemática
Prezado(a) professor(a),
Neste material, você encontrará o livro do volume 
que será trabalhado (da disciplina e série que leciona), o 
guia do professor contendo sugestões de abordagem e 
prioridades para cada módulo, entre outras informações 
relevantes, e o gabarito comentado dos exercícios.
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LIVRO DO 
PROFESSOR
IME-ITA
GABARITO VOLUME
2
3
Matemática I
Assunto 4
Exercícios Nível 1
 01 Letra C. 39 Letra E.
 02 Letra E. 40 Letra C.
 03 Letra D. 41 p
h
≥ +1 2
 04 Letra E. 42 Letra C.
 05 Letra A. 43 S = {–9/2, 3}
 06 Letra A. 44 todo x real 
 07 x2 – 6x + 4 = 0 45 2 4/3
 18 m = – 4
 19 –1/2 1
 24 x x a x a1 2 30
3 21
14
3 21
14
= =
−
= ; ;
 25 x1 = – 2; x2 = –1; x3 = 7
 26 Letra C.
 27 Letra C.
 28 Letra A.
 29 
a. 3;
b. f
,
,
,
,
m
m
m
m
m
( ) =
>
− 
1
2
 → 2 raízes distintas
 34 a = 2, b = – 6, c = – 8
 35 Letra B.
 36 
a. 0
2
5
,





b. ( ; ] [ ; )−∞ − − ∪ − + +∞1 3 1 3
c. [ ; )
3
2
2
d. (– 5; – 2) ∪ (2; 3) ∪ (3; 5)
e. (– ∞; 3)
f. (– ∞; – 4) ∪ (– 2; 1) ∪ (3; +∞)
g. (0; +∞)
h. −∞




 ∪ +∞




, ,
7
4
5
2
 37 
a. Consequência direta desigualdade triangular: |a| + |b| ≥ |a + b|
 |x – y| + |y – z| ≥ |x – y + y – z| = |x – z|
b. 
 |x| = |x – y + y| ≤ |x – y Z + |y| ⇒ |x – y| ≥ |x| – |y| (1)
 |y| = |y – x + x| ≤ |y – x| + |x| ⇒ |x – y| ≥ |y| – |x| (2)
 De (1) e (2): |x – y| ≥ ||x| – |y||
c. Se |a – b| 0
 02 A igualdade raiz real λ tal que:
( )a b i ai ii i
i
n
λ λ+ = ⇔ ∀
=
∑ 2
1
O = ;
 03 − ≤ 0
 13 (p1 + p2 + p3)(R2)


 b. 2
2
2
2
n n x sen
n
xcos ;
+





 13 n + 1, para n ≥ 2. Para n = 0 e n = 1, as respostas são 0 e 1, 
respectivamente.
 14 Soma de P.G.
 15 cos36
5 1
4
° =
+
 16 
π − = − 
 
cot ; 1,2,..., 1
k
i k n
n
 17 
b a
c a r r
i
−
−
= ± ±
 
cis( 90°) =
é imaginário puro.
 18 BG = CE e BG
—
 ⊥ CE
–
 19 200 3m
 20 “Saindo da pedra, ande em direção à caverna até a metade do caminho 
e vire 90° à direita; então, ande a mesma quantidade de passos andada 
anteriormente.”
Matemática III
Assunto 3
Exercícios Nível 1
 01 1
6
.
 02 Letra C.
 03 8
9
.
 04 0.
 05 Letra B.
 06 4
5
1
5
 e .
 07 Letra A.
 08 P(wA) = 18
28
, P(wB) = 6
28
, P(wC) = 3
28
, P(wD) = 1
28
.
 09 Letra C.
 10 Letra C.
 11 Letra B.
 12 Letra C.
 13 3
31
.
 14 89
144
.
 15 7
12
.
 16 Letra B.
 17 2
5
.
 18 1
35
.
 19 Letra E.
 20 n
k





 ÷ ( )n2
 21 1
55
.
 22 63
200
.
 23 18
35
 (>
1
2
).
 24 Letra C.
 25 14
15
.
 26 120 . (0,1)7 . (0,9)3.
 27 Letra C.
GABARITO
IME-ITA
Volume 2
7
Exercícios Nível 2
 01 Letra B.
 02 7
18
.
 03 
(A) 10
81
. (B) 18
77
.
 04 
k −





1
2
120
 05 n n n n p p
np
( )( )...( )( )− − − + −1 2 2 1
 06 0,07968127.
 07 15%.
 08 0,6561. 
 09 289
480
 10 
(A) 
2
2
2
n
m
n
m
n
m
m




 −





 ⋅






 (B) 
n
n
m
n
m
m⋅
−
−





 ⋅






−1
2
2
2
2
 11 –
 12 Letra C.
 13 
25
216
 14 π
−1
8
 15 Letra C.
 16 
1
2
.
 17 Letra D.
 18 
C
C
n - 2, p - 2
n - 1, p - 1
 19 
1
7
Exercícios Nível 3
 01 2
3
 02 1
8
 03 2
3
 04 1
4
 05 4
7
 06 33.
 07 95
256
 08 1
84
Assunto 4
Exercícios Nível 1
 01 50.
 02 Letra D.
 03 Letra B.
 04 Letra B.
 05 0.
 06 Letra A.
 07 1
220
 08 2n.1
 09 3n
 10 ( ) ( ) ( )n n1 2 1 2
2
3 1
2
+ + + −( )
=
+ −
n n
 11 12.
 12 –
 13 6 e 7.
 14 Letra B.
 15 –1.
 16 Letra B.
 17 Letra D.
 18 210
 19 Letra D.
 20 Letra B.
 21 Letra A.
 22 Letra B.
 23 
a. 969;
b. 1360.
Exercícios Nível 2
 01 Cn p
p
+
 02 1756950.
 03 ( ) ( )x a x an n+ − −
2
 04 
a. (1 + x)n;
b. n · x · (1 + x)n–1;
c. n · 2 n–1
 05 2 1
1
1n
n
+ −
+
 06 n n n( )( )+ +1 2 1
6
 07 Letra D.
 08 Letra D. 
 09 n = 2009, m = 3.
 10 Letra C.
 11 24.
 12 333.
 13 –
 14 –
 15 ( ) ( i)n n1 1
2
+ + −i
 16 ( i) ( i) ( ) ( ) ( i) ( )n n n n n1 1 1 1 1 1
4
1 1 2
4
+ + − + + + + −( )
=
+ + − +
n ni
GABARITO
IME-ITA
8
 17 Letra A.
 18 2n
 19 C65
16
16
1
3
 20 ( ) ( )n n n n+ + −1 9 5 2
12
2
 21 0.
 22 3420.
 23 780.
 24 3n.
Exercícios Nível 3
 01 Maior.
 02 ( )− −1 1
p
n
pC
 03 
a. –
b. –
c. Cn m
n
+
 04 0
 05 –
 06 –
Matemática IV
Assunto 2
Exercícios Nível 1
 01 M1(0, 28) e M2(0, – 2).
 02 8 3 u.a.
 03 (5,2) ou (2,2).
 04 13.
 05 
a. M(1, 3). b. N(4, – 3).
 06 D(– 3, 1).
 07 13 e 15.
 08 9
2
1,





 09 2 u.a.
 10 Letra A.
 11 Letra A.
 12 Letra D.
 13 Letra A.
 14 Letra D.
 15 P1(1, 0) e P2(6, 0).
 16 Letra C.
 17 Letra A.
 18 x + y + 1 = 0.
 19 Letra A.
 20 Letra A.
 21 Letra E.
 22 5.
 23 Letra D.
 24 Letra B.
 25 Letra A.
 26 Letra D.
 27 Letra C.
 28 Letra b.
 29 Letra D.
Exercícios Nível 2
 01 (b, a).
 02 Letra C.
 03 17 u.a.
 04 (1, – 3); (– 2, 5); (5, – 9) e (8, – 17).
 05 Letra E.
 06 C1(– 1, 4) ou C2(25/7, – 36/7).
 07 C1(– 2, 12), D1(–5, 16) ou C2(– 2, 2/3), D2(– 5, 14/3).
 08 C1(1, – 1) ou C2(– 2, – 10).
 09 Letra C.
 10 Q(11, – 11).
 11 1/4.
 12 (–2, –1).
 13 Letra A.
 14 Letra A.
 15 Letra D.
 16 Letra B.
 17 (6, – 6).
 18 
a. c
a z
b
a
=
−
=
−
2
3 2
4
,
b. arctan 3/2.
 19 Letra B.
 20 3x – y + 9 = 0 e 3x + y + 9 = 0.
 21 Letra D.
 22 3x – 4y + 20 = 0 e 4x + 3y –15 = 0.
 23 Letra D.
 24 Letra C. (I e III são verdadeiras).
 25 d
c c
a b
=
−
+
1 2
2 2
.
 26 d d d a1 2 3 3+ + = não depende de p
 27 32x – 4y + 5 = 0.
 28 x – 5 = 0.
 29 14 2 3/ .
 30 P = (2, – 1).
Exercícios Nível 3
 01 Letra B.
 02 Letra B.
 03 3x + 4y – 1 = 0 e 7x + 24y – 61 = 0.
 04 x y c
2
3
2
3
2
3+ =
 05 ( / ( ),( ) / ( )3 2 13 1 2 13 5 4 13 1 2 13+ − + −( )
 06 29x – 2y + 33 = 0.
 07 2x + 9y – 65 = 0; 6x – 7y – 25 = 0 e 18x + 13y – 41 = 0.
 08 (4, 3); (9, – 2); (– 12, 1).
 09 reta x – 3y + 5 = 0
 10 3
2
=
⋅
∈
int
int'
( )Q absurdo
 11 P deve ser o centro do quadrado.
 12 S
a b b c
=
+ +( )( ) 3
12
.
 13 Logo, tg(BGC) = 
125
52 2 2b c a+ −
 14 Logo, MBE – MAF = –1 e BE ⊥ AF
 15 
b
c Z
=
7
GABARITO
IME-ITA
Volume 2
9
Matemática V
Assunto 6
Exercícios Nível 1
 01 12
7
u
 
 08 24.
 02 x = 2. 09 15 cm e 20 cm.
 03 40 cm. 10 4.8.
 04 1:5. 11 MN
aq bp
q p
=
+
+
.
 05 20 cm. 12 AE = 2 cm ou AE = 30 cm. 
 06 1:2. 13 4 cm.
 07 8. 14 
Exercícios Nível 2
 01 
A BM
Seja M ponto tal que 
MA
MB
 = k, e M ∈ AB
—
 
Logo, MB = x e MA = kx.
Assim, AB = kx + x = (k + 1)x, então x
AB
k
=
+ 1
. Logo a distância de M 
a B está bem determinada, assim M é único.
A B N
Analogamente, se 
NA
NB
k= , com N no prolongamento de AB
—
, então NA = ky, 
NB = y, e AB = ky – y = (k – 1)y. Se k ≠ 1, tem-se y
AB
k
=
− 1
, detrminando 
o ponto N, que, portanto, é único.
 02 70 cm.
 03 k².
 04 5 : 2.
 05 4 cm e 2 cm.
 06 6
5
a
 07 2:1.
 08 AD =
− +3 201
2
 09 Letra C.
 10 3.
 11 2.4.
 12 Letra C.
 13 Letra C.
Assunto 7
Exercícios Nível 1
 01 2 10a .
 02 9.6.
 03 d
a
=
5
8
 04 
a. AC = 15 cm, AH = 12 cm, BH = 16 cm, CH = 9 cm.
b. HN = 7.2 cm, AN = 9.6 cm, NC = 5.4 cm.
c. 80
7
60
7
cm cme .
 05 Letra A.
 06 Assim, ∆ ≥ 0. Logo a equação. do enunciado possui raízes reais.
 07 2 dm.
 08 Logo α + β + γ = 45° + 45° = 90°
 09 1
8
 10 33 .
 11 A situação é impossível, pois x = 1 gera contradição por desigualdade 
triangular.
 12 m
b c a
a =
+ −2 2
2
2 2 2
.
 13 h
a
p p a p b p ca = − − −
2
( )( )( ) .
 14 l
b c
bcp p aα = +
−
2
( ) .
 15 a b c
abc
2 2 2
2
+ + .
 16 2r2 + 2R2, constante
 17 a cm b cm c cm
=
= =
4 95
3
4 74
3
4 14
3
, , .
 18 Letra A.
 19 Letra B.
 20 Letra C.
 21 Letra C.
 22 Logo, tem-se que AB2 + CD2 = AD2 + BC2.
 23 Letra B.
Exercícios Nível 2
 01 8 2 . 
 02 2 3 .
 03 a
2
2 1−( ) .
 04 2 5 .
 05 
1
2AB
 06 PA2 + PC2 = PB2 + PD2
 07 Logo, se P varia em um círculo de centro 0, a expressão é constante. 
 08 
Seja AO mediana relativa à hipotenusa. No ∆AMN, AO é mediana. Logo
∆ + ∆ = +M N
MN
AO2 2
2
2
2
2
Logo,
AM2 + AN2 + MN3 = 
3
2
2
3
2
1
3
2
1
2
2
3
2 2
2 2
3MN AO BC BC BC+ = 




 + ⋅ 




 =
GABARITO
IME-ITA
10
A
B
M O N
C
(AM não necess. é altura)
 09 Fixando X, a quantidade PA2 – PB2 é constante. logo P varia numa reta 
perpendicular a AB por X tal que XA2 – XB2 é dado.
 10 145 .
 11 45°.
 12 2 22 2 2a b c+ − .
 13 AD2 = AB · AC – BD · DC
 14 AC
AD
=
2
 15 7
3
.
 16 R
4
.
 17 Letra D.
 18 Letra D.
 19 Letra C.
Exercícios Nível 3
 01 Letra B.
 02 r = 4.
Assunto 8
Exercícios Nível 1
 01 3
2 
 02 24.
 03 1:3.
 04 3:4.
 05 – 
 06 No ∆ABC, cevianas AM, BX e CY, será:
AY
YB
BM
MC
CX
XA
AY
YB
AX
XC
⋅ ⋅ = ⇒ =1
Logo vale a volta de tales. Assim, XY//BC.
 07 AB AC
BC
b c
a
+
=
+
 08 1 : 1.
 09 –
 10 –
Exercícios Nível 2
 01 – 
 02 
Logo, 
AF
FB
BD
DC
CE
EA
AC
BC
AB
AC
BC
BA
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 1. Como vale a relação de 
Menelaus no ∆ABC com os pontos F, D e E, então eles são colineares.
 03 Logo X e Y dividem EF
—
 harmonicamente.
 04 Como vale a relação de Menelaus no ∆ABC com os pontos X, Y, Z, 
então eles são colineares.
 05 Logo
AF
FB
BD
DC
CE
EA
a b
p a
p c
p b
p a
p c
⋅ ⋅ =
−
−
⋅
−
−
⋅
−
−
= 1
Logo as cevianas são concorrentes.
Assunto 9
Exercícios Nível 1
 01 r. 04 7 .
 02 8 11
11 
 05 a.
 03 1.2. 06 6.
Exercícios Nível 2
 01 2176, .
 02 2 33
 03 5 5
 04 Considerando um círculo com centro em a, raio AB = AC, tem-se que, 
por um lado, Pot m = d2 – R2 = MA2– AB2.
Por outro lado, Pot M = MB · MC.
Logo MA2 – AB2 = MB · MC
MA2 = AB2 – MB · MC
 05 Eixo radical dos círculos.
 06 2 3
 07 3,5
 08 Letra C.
Exercícios Nível 3
 01 Círculo de Apolônio sobre o segmento formado pelos centros, e de 
razão igual à razão dos raios.
 02 –
 03 As retas AB CD EF
� �� � �� � ��
, e são eixos radicais de (1,2), (1,3) e (2,3). Sendo 
P a interseção de AB e CD, tem-se Pot1P e Pot1P = Pot3P ⇒
Pot2P = Pot3P = Pe EF
Assim, AB, CD e EF se intersectam.
1 A
DE
BC F
2
3
 04 AQ = PN = NQ = 2 MN
 05 –
GABARITO
IME-ITA
Volume 2
11
Assunto 10
Exercícios Nível 1
 01 10R². 12 r R
i
ni =
 02 36. 13 π.
 03 1:2. 14 2 30
 04 3
2 
 15 Letra C.
 05 9. 16 Letra C.
 06 1
3
SABC
 
 17 Letra C.
 07 h e
h3
3
6
3 
 18 36 cm².
 08 – 19 
5
6
32 2πR R−
 09 116. 20 2 211 x x
( 3 1)
24 4
π
+ −
 10 2.4, 3 e 4. 21 Letra A.
 11 3.
Exercícios Nível 2
 01 3 cm, 4 cm, 5 cm. 
 02 32.
 03 R2
6
π
 04 a b2 2
2
+ .
 05 3:25.
 06 8. 
 07 700 3
11
2cm
 08 1
7
.
 09 – 
 10 72 cm².
 11 9 cm².
 12 27 cm².
 13 1728
13
2cm
 14 24 cm².
 15 –
 16 S S1 2
2
+( ) .
 17 –
 18 Letra E.
 19 Letra D.