Lista 1 - Matemática I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLAˆNDIA
1a Lista de Matema´tica I
Sistema de Informac¸a˜o
Prof.: Danilo Adrian Marques
1) Determine se o nu´mero real e´ racional ou irracional
a) 0, 7
b) 3pi
2
c) 4, 3451451
d) 3
√
64
e) 3
√
60
f) −3678
g) 3
√
2− 1
h) 22
7
i) 0, 81778177
j) 2e
2) Resolva as desigualdades
a) x− 5 ≥ 7
b) 4x+ 1 ≥ 2x
c) 4− 2x < 3x− 1
d) −4 < 2x− 3 < 4
e)
3
4
> x+ 1 >
1
4
f)
x
2
+
x
3
> 5
g) 3x+ 1 ≥ 2x+ 2
h) x− 4 ≤ 2x+ 1
i) 0 ≤ x+ 3 < 5
j) −1 < −x
3
< 1
k)
x
2
− x
3
> 5
3) Estude os sinais das expresso˜es
a) 3x− 1
b) 3− x
c) 2− 3x
d) 5x+ 1
e)
x− 1
x− 2
f) (2x+ 1) · (x− 2)
g)
2− 3x
x+ 2
h)
2− x
3− x
i) (2x− 1) · (3− 2x)
j) x · (x− 3)
k) x · (x− 1) · (2x+ 3)
l) (x− 1) · (1 + x) · (2− 3x)
4) Resolva as inequac¸o˜es
a)
2x− 1
x+ 1
< 0
b)
1− x
3− x ≥ 0
c)
x− 2
3x+ 1
> 0
d) (2x− 1) · (x+ 3) < 0
e)
3x− 2
2− x ≤ 0
f) x · (2x− 1) < 0
g) (x− 2) · (x+ 2) < 0
h)
2x− 1
x− 3 > 5
i)
x
2x− 3 ≤ 3
j)
x− 1
2− x < 1
5) Utilizando o fato que ax2+bx+c = a(x−r1)(x−r2), onde r1 e r2 sa˜o as ra´ızes de ax2+bx+c = 0,
resolva as inequac¸o˜es.
a) x2 − 3x+ 2 < 0
b) x2 − 5x+ 6 ≥ 0
c) x2 − 3x > 0
d) x2 − 9 < 0
e) x2 − x− 2 ≥ 0
f) 3x2 + x− 2 > 0
g) x2 − 4x+ 4 > 0
h) 3x2 − x ≤ 0
i) 4x2 − 4x+ 1 < 0
j) 4x2 − 4x+ 1 ≤ 0
6) A afirmac¸a˜o: Para todo x ∈ R, x 6= 2, x
2 + x+ 1
x− 2 > 3 ⇔ x
2 + x + 1 > 3(x − 2) e´ falsa ou
verdadeira? Justifique.
1
7) Determine se cada afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, dado a < b.
a) −2a < −2b
b) a+ 2 < b+ 2
c) 6a < 6b
d) −3b < −3a
e) a− 4 < b− 4
f) 4− a < 4− b
g)
1
a
<
1
b
h)
a
4
<
b
4
8) Resolva as equac¸o˜es.
a) |x| = 2
b) |x− 2| = −1
c) |x+ 1| = 3
d) |2x− 1| = 1
e) |x| = 2
f) |x− 2| = −1
g) |2x+ 3| = 0
h) |x| = 2x+ 1
9) Elimine o Mo´dulo
a) |x+ 1|+ |x|
b) |x− 2| − |x+ 1|
c) |2x− 1|+ |x− 2|
d) |x|+ |x− 1|+ |x− 2|
10) Resolva as inequac¸o˜es modulares e esboce a soluc¸a˜o na reta real.
a) |x| < 5
b) |2x| < 6
c)
∣∣∣x
2
∣∣∣ > 3
d) |5x| > 10
e) |x+ 2| < 5
f) |3x+ 1| ≥ 4
g)
∣∣∣∣x− 32
∣∣∣∣ ≥ 5
h) |2x+ 1| < 5
i) |10− x| > 4
j) |25− x| ≥ 20
k) |9− x| < 1
l)
∣∣∣∣1− 2x3
∣∣∣∣ < 1
11) Para testar se uma moeda e´ equilibrada, um pesquisador lanc¸a-a 100 vezes e anota o nu´mero de
x de caras. A teoria estat´ıstica afirma que uma moeda deve ser considerada na˜o equilibrada se∣∣∣∣x− 505
∣∣∣∣ ≥ 1, 645.
Para quais valores de x isto ocorrera´?
12) A produc¸a˜o dia´ria estimada x de uma refinaria e´ dada por |x − 200000| ≤ 125000, onde x e´ a
medida de barris de petro´leo. Determine os n´ıveis ma´ximo e mı´nimo de produc¸a˜o.
13) Dada a func¸a˜o f(x) = (m+ 2)x+ 3, determine o valor de m sabendo que f(1) = 6.
14) Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 2x+1, com domı´nio Df = [0, 4]. Determine o conjunto imagem.
15) Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2 + 2x, sendo Df = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3}. Determine o
conjunto imagem.
16) Esboce o gra´fico e determine a imagem da seguinte func¸a˜o com domı´nio Df = R
f(x) =
{ −x− 1, se x < 0
1, se x ≥ 0
17) Determine o domı´nio das func¸o˜es abaixo
a) y = 3x+ 1
b) y =
3
x+ 2
c) y =
x+ 5
2x− 7
d) y =
−1√
x− 5
e) y =
√
x√
x− 2
f) y =
√
x+ 3
2− x
g) y =
1
x
+
3
x− 3
h) y =
√
2x− 6 + 3
x
i) y =
√
x+
√
x− 2
2
18) Determine as inversas de f(x).
a) f(x) = 2x− 3
b) f(x) = x5
c) f(x) =
√
9− x2, 0 ≤ x ≤ 3
d) f(x) =
√
x2 − 4, x ≥ 2
e) y =
√
x√
x− 2
f) f(x) = x3 + 1
g) f(x) =
x− 2
x+ 4
,
h) f(x) =
x+ 3
1− x
i) f(x) =
x+ 3
1− 3x
19) Dadas as func¸o˜es f(x) =
√
x e g(x) = x2 − 1, ache as func¸o˜es compostas
a) (fog)(x)
b) (gof)(x)
c) (fog)(1)
d) (gof)(1)
e) (gof)(0)
f) (fog)(-4)
20) Dadas f(x) = 1
x
e g(x) = x2 − 1, ache as func¸o˜es compostas
a) (fog)(x)
b) (gof)(x)
c) (fog)(2)
d) (gof)(2)
e) (gof)( 1√
2
)
f) (fog)( 1√
2
)
21) Escreva a equac¸a˜o de cada uma das retas representadas abaixo.
a) b) c)
22) Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es.
a) y = x2 − 3x+ 2
b) y = x2 − 5x+ 4
c) y = x2 − 2x+ 1
d) y =
{
x2, se x ≥ 0
x, se x < 0
23) Estude o sinal das func¸o˜es do exerc´ıcio anterior, ache os pontos de ma´ximo ou de mı´nimo e ainda
o conjunto imagem.
24) Deˆ o domı´nio das seguintes func¸o˜es.
a) f(x) =
√
x2 − 6x
b) f(x) =
1√
x2 − 4
c) f(x) =
√
x− 3
x2 − 6x
d) f(x) =
√
1− x2
4 + x
25) O lucro mensal de uma empresa e´ dado por L(x) = −x2 + 30x − 5, em que x e´ a quantidade
mensal vendida.
a) Qual o lucro mensal ma´ximo poss´ıvel?
b) Entre quais valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mı´nimo igual a 195?
26) O consumo de combust´ıvel de um automo´vel e´ func¸a˜o da sua velocidade me´dia. Para certo
automo´vel, essa func¸a˜o e´ dada por y = 0, 03x2− 2x+20, sendo y o consumo de combust´ıvel, em
mililitros por quiloˆmetro, e x a velocidade me´dia, em quiloˆmetros por hora. Nessas condic¸o˜es,
para esse automo´vel, qual e´ a velocidade me´dia que corresponde a um consumo de 120ml/km?
3
27) Em uma fa´brica, o custo de produc¸a˜o de x produtos e´ dado por c = −x2 + 22x+ 1. Sabendo-se
que cada produto e´ vendido por R$10, 00, qual e´ o nu´mero de produtos que devem ser vendidos
para se ter um lucro de R$44, 00?
28) Resolva as seguintes equac¸o˜es exponenciais.
a) 3x = 243
b) 2x = 1024
c) (1
8
)x = 1
512
d) 10x = 100000
e) (
√
2)x = 16
√
2
f)
√
2x+1 = 4
√
2
g) 2x + 2x+1 − 3 · 2x−1 = 6
h) 100x − 11 · 10x + 10 = 0
i) 3x+2 + 9− 10 · 3x = 0
j) 22x − 9 · 2x + 8 = 0
k) 2y−1 + 2y = 12
l) 7x + 7x−1 = 8x
m) 6x + 6−x = 2
n) 9x + 3 = 4 · 3x
o) 7x + 7x−1 = 8
29) Resolva o sistema formado por duas equac¸o˜es exponenciais.
a) y =
{
3x+y = 1
2x+2y = 2
b) y =
{
2x+y − 2 = 30
2x−y − 2 = 0
30) Calcule os logaritmos.
a) log7 1
b) log10 0, 001
c) log 1
2
16
d) log2 0, 25
e) log2
√
2
√
128
f) log 1
5
625
31) Resolva as equac¸o˜es logar´ıtmicas.
a) logx 16 = 2
b) log5 x = −3
c) logx 10 = −1
d) log16 2
√
2 = y
e) log7 (x+ 1) = 2
f) log2 (logx 16) = 3
32) Sabendo que log 2 = 0, 3010, log 7 = 0, 85 e log 3 = 0, 4771, determine:
a) log 0, 07
b) log 16
c) log 1, 5
d) log 128
e) log 0, 2
f) log 5
33) Obtenha o valor de x e y no sistema y =
{
log2 (x+ y) = 5
log3 (2x− y) = log3 4
34) Sabendo que log 2 = 0, 3010, log 5 = 0, 699, log 58 = 1, 7634 e log 3 = 0, 4771, resolva as
seguintes equac¸o˜es exponenciais:
a) 3x = 5 b) 2x+1 = 58
35) Sabendo que log7 x = 2 · log7 3− 3 · log7 2, determine o valor de x.
36) Determine o valor de 4log2 9.
37) Se x = log4 7 e y = log16 49, enta˜o determine x− y.
38) Determine o domı´nio das func¸o˜es logar´ıtmicas.
a) y = log (x− 3)
b) y = log (x2 − 4x+ 3)
c) y = log (4x− x2)
d) y = log (x2 − 4)
39) Numa determinada cultura ha´ 200 bacte´rias em condic¸o˜es ideais. A cada duas horas a quantidade
dobra. Determine o nu´mero de bacte´rias, 12 horas apo´s o in´ıcio do estudo.
40) Um grupo de estudantes observa uma cultura de bacte´rias. A cada cinco horas a quantidade de
bacte´rias triplica. O nu´mero de bacte´rias 15 horas apo´s a primeira era 8100. Qual a quantidade
inicial de bacte´rias nesse experimento?
4
41) Suponha que em um estacionamento comece o expediente com apenas um carro estacionado e
que a cada meia hora dobre o nu´mero de carros estacionados. Quantos carros o estacionamento
tera´ ao final de 24 horas?
Para os exerc´ıcios 42, 43 e 44 utilize: log 2 = 0, 3010 , log 1, 03 = 0, 0128, log 3 = 0, 4771,
log 1, 05 = 0, 0212 , ln 0, 5 = −0, 6931 e ln 0, 97 = −0, 0305.
42) O nu´mero de habitantes de uma cidade e´ hoje igual a 7000 e cresce a`taxa de 3% ao ano. Daqui
a quanto tempo a populac¸a˜o dobrara´?
43) O PIB de um pa´ıs cresce a uma taxa igual a 5% ao ano. Daqui a quantos anos aproximadamente
o PIB triplicara´?
44) Um imo´vel vale hoje R$150.000,00, e a cada ano sofre uma desvalorizac¸a˜o de 3%. Daqui a quanto
tempo seu valor se reduzira´ a` metade?
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