Baixe o app para aproveitar ainda mais
Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
Lista2CVGA20132(1).pdf Universidade Veiga deAlmeida Professora: Adriana Nogueira Curso: Ba´sico das Engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica 2a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: Represente no sistema de coordenadas cartesianas os ve- tores abaixo: (a) −→v = (4, 0, 2) (b) −→v = (−1, 2, 3) (c) −→v = (2, 4, 5) (d) −→v = (3,−2, 4) Exerc´ıcio 2: Dados os vetores −→u = 2−→i +3−→j −5−→k , −→v = −→i −−→j −3−→k , −→w = 6−→i − 7−→j + 3−→k , determine: (a) −→r = 2−→u + 3−→v ; (b) −→r = −→u + 5−→w ; (c) −→r = −→u −−→v +−→w ; (d) −→r = −→u − 2−→i + 7−→j +−→w . Exerc´ıcio 3: Dados os pontos A=(1,2,6), B=(3,-2,5) e C=(1,1,-1), de- termine: (a) Os vetores −−→AB, −−→CB e −→AC; (b) |−−→AB|, |−−→BC|; (c) d(A,C); (d) O ponto me´dio entre A e B; (e) O ponto me´dio entre A e C. Exerc´ıcio 4: Determine os versores de: (a) −→u = (1, 5, 2); (b) −→u = (−2, 6, 0); (c) −→u = (1, 1, 6). Exerc´ıcio 5: Determine o ponto inicial do segmento orientado AB que representa o vetor −→v = (−1, 2, 1) sabendo que sua extremidade e´ B = (2, 9, 4). 1 Exerc´ıcio 6: Encontre os mo´dulos dos vetores dados abaixo: (a) −→u = (2, 1,−3); (b) −→u = (5, 0, 1); (c) −→u = (1, 1, 3). Exerc´ıcio 7: Dado o vetor −→u = (1, 3, 2), determine o vetor −→v paralelo a −→u que tenha: (a) mesmo sentido de −→u e comprimento cinco vezes o comprimento de −→u ; (b) sentido oposto ao de −→u e mo´dulo 5. Exerc´ıcio 8: Determine a distaˆncia do ponto A=(1,2,7) (a) ao plano xz; (b) ao plano xy; (c) ao plano yz; (d) ao eixo x; (e) ao eixo y; (f) ao eixo z. Exerc´ıcio 9: Determine quais dos vetores abaixo sa˜o paralelos: −→u = (1, 3,−2), −→v = (2, 6,−4), −→w = (−1,−3, 4), −→t = (11, 33,−22). Exerc´ıcio 10: Dado o vetor −→u = (α, 12 , 13), determine α para que −→u seja um versor. Exerc´ıcio 11: Sendo A = (−1, 3, 1) e B = (2, 4,−1) ve´rtices consec- utivos do paralelogramo ABCD, determine os pontos C e D sabendo que M = (1, 0,−1) e´ o ponto me´dio das diagonais. Exerc´ıcio 12: Obtenha um ponto P no eixo das abscissas de tal maneira que d(P,Q) = 5, sendo Q = (−1, 1, 3). Exerc´ıcio 13: Dados A = (−1, 1, 5), B = (2, 3, 1), C = (5,−2, 4), determine o ponto D que verifica: −−→ AB − 3−−→CD = −→0 2 Exerc´ıcio 14: Calcule os valores de a para que o vetor −→u = (1, a,−3) tenha o mesmo comprimento de −→v = (5,−1, 1). Exerc´ıcio 15: Dados −→u = (2a + 3, 5, 2 + c), −→v = (1, 1 − b, 3), −→w = (4, 4,−3), calcule os valores de a, b e c para os quais: −→u + 2−→v − 3−→w = −→0 3 Lista2CVGA20132.pdf Universidade Veiga deAlmeida Professora: Adriana Nogueira Curso: Ba´sico das Engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica 2a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: Represente no sistema de coordenadas cartesianas os ve- tores abaixo: (a) −→v = (4, 0, 2) (b) −→v = (−1, 2, 3) (c) −→v = (2, 4, 5) (d) −→v = (3,−2, 4) Exerc´ıcio 2: Dados os vetores −→u = 2−→i +3−→j −5−→k , −→v = −→i −−→j −3−→k , −→w = 6−→i − 7−→j + 3−→k , determine: (a) −→r = 2−→u + 3−→v ; (b) −→r = −→u + 5−→w ; (c) −→r = −→u −−→v +−→w ; (d) −→r = −→u − 2−→i + 7−→j +−→w . Exerc´ıcio 3: Dados os pontos A=(1,2,6), B=(3,-2,5) e C=(1,1,-1), de- termine: (a) Os vetores −−→AB, −−→CB e −→AC; (b) |−−→AB|, |−−→BC|; (c) d(A,C); (d) O ponto me´dio entre A e B; (e) O ponto me´dio entre A e C. Exerc´ıcio 4: Determine os versores de: (a) −→u = (1, 5, 2); (b) −→u = (−2, 6, 0); (c) −→u = (1, 1, 6). Exerc´ıcio 5: Determine o ponto inicial do segmento orientado AB que representa o vetor −→v = (−1, 2, 1) sabendo que sua extremidade e´ B = (2, 9, 4). 1 Exerc´ıcio 6: Encontre os mo´dulos dos vetores dados abaixo: (a) −→u = (2, 1,−3); (b) −→u = (5, 0, 1); (c) −→u = (1, 1, 3). Exerc´ıcio 7: Dado o vetor −→u = (1, 3, 2), determine o vetor −→v paralelo a −→u que tenha: (a) mesmo sentido de −→u e comprimento cinco vezes o comprimento de −→u ; (b) sentido oposto ao de −→u e mo´dulo 5. Exerc´ıcio 8: Determine a distaˆncia do ponto A=(1,2,7) (a) ao plano xz; (b) ao plano xy; (c) ao plano yz; (d) ao eixo x; (e) ao eixo y; (f) ao eixo z. Exerc´ıcio 9: Determine quais dos vetores abaixo sa˜o paralelos: −→u = (1, 3,−2), −→v = (2, 6,−4), −→w = (−1,−3, 4), −→t = (11, 33,−22). Exerc´ıcio 10: Dado o vetor −→u = (α, 12 , 13), determine α para que −→u seja um versor. Exerc´ıcio 11: Sendo A = (−1, 3, 1) e B = (2, 4,−1) ve´rtices consec- utivos do paralelogramo ABCD, determine os pontos C e D sabendo que M = (1, 0,−1) e´ o ponto me´dio das diagonais. Exerc´ıcio 12: Obtenha um ponto P no eixo das abscissas de tal maneira que d(P,Q) = 5, sendo Q = (−1, 1, 3). Exerc´ıcio 13: Dados A = (−1, 1, 5), B = (2, 3, 1), C = (5,−2, 4), determine o ponto D que verifica: −−→ AB − 3−−→CD = −→0 2 Exerc´ıcio 14: Calcule os valores de a para que o vetor −→u = (1, a,−3) tenha o mesmo comprimento de −→v = (5,−1, 1). Exerc´ıcio 15: Dados −→u = (2a + 3, 5, 2 + c), −→v = (1, 1 − b, 3), −→w = (4, 4,−3), calcule os valores de a, b e c para os quais: −→u + 2−→v − 3−→w = −→0 3 lista3Ncvga20132(1).pdf Universidade Veiga deAlmeida Curso: Ba´sico das engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Professora: Adriana Nogueira 3a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: Dados −→u = (2, 1, 0), −→v = (−1,−2, 3), −→w = (3, 2, 1) cal- cule os seguintes produtos escalares: a) 2−→u · −→v b) (−→u +−→v ) · −→w c) −→w · (−→u + 3−→v ) d) (−→u +−→v ) · (−→v −−→w ) Exerc´ıcio 2: Considere os vetores −→u e −→v tais que |−→u | = 3, |−→v | = 2 e o aˆngulo entre eles e´ de θ = 150◦. Calcule: a) −→u · −→v b) |−→u +−→v | c) |−→u −−→v | d) (−→u −−→v ) · (−→u +−→v ) Exerc´ıcio 3: Sabendo que |−→u | = 3, |−→v | = 7 e −→u · −→v = −2, calcule: a) (2−→u +−→v ) · −→v b) (−→u − 3−→v ) · (4−→u +−→v ) c) (3−→u + 2−→v ) · (−→u −−→v ) 1 Exerc´ıcio 4: Calcule o aˆngulo entre os vetores dados abaixo: a) −→u = (1,−1, 2) e −→v = (4, 1, 7) b) −→u = (−3, 2, 7) e −→v = (0, 0, 2) c) −→i e −→u = (1, 0, 3) Exerc´ıcio 5: Verifique se os vetores abaixo sa˜o ortogonais: a)−→u = (1, 0,−3) e −→v = (0, 1, 1) b) −→u = (0, 1, 1) e −→v = (−1, 2,−2) c) −→u = (2, 5, 5) e −→v = (5, 0,−2) Exerc´ıcio 6: Calcule o valor de a para que os vetores −→u = (3a+1, 5,−3) e −→v = (2, a− 3, 7) sejam ortogonais. Exerc´ıcio 7: Considere o triaˆngulo ABC com ve´rtices em A = (1, 2, 1), B = (−1, 3, 2) e C = (2, 1, 1). Determine o aˆngulo interno ao ve´rtice A. Exerc´ıcio 8: Dados os pontos A = (0, a + 1, 4), B = (a − 1, 2a, 2) e C = (1, a−5,−1), determine a de modo que o triaˆngulo ABC seja retaˆngulo em A. Exerc´ıcio 9: Determine o vetor −→u ortogonal ao vetor −→v = (−1, 0, 1), tal que |−→u | = 5 e o aˆngulo entre −→u e −→w = (1, 0, 1) e´ θ = 45o. Exerc´ıcio 10: Dado o vetor −→u = (1, 2, 1) , determine: a) Um vetor ortogonal a −→u b) Um vetor unita´rio ortogonal a −→u c) Um vetor de mo´dulo 2 ortogonal a −→u 2 Exerc´ıcio 11: Sabe-se que −→v e´ um vetor no espac¸o que forma com os vetores −→i e −→k aˆngulos de α = 30o e β = 60o respectivamente. Determine −→v sabendo que |−→v | = 6 . Exerc´ıcio 12: Sabe-se que −→v e´ um vetor no espac¸o que forma com os vetores −→i e −→j aˆngulos de α = 60o e β = 120o respectivamente. Determine −→v sabendo que |−→v | = 2 . Exerc´ıcio 13: Determine os aˆngulos diretores dos vetores: a) −→v = (1, 0,−1) b) −→v = (2, 2, 0) c) −→v = (1, 2,−1) Exerc´ıcio 14: Dados os vetores −→u e −→v abaixo, encontre a projec¸a˜o ortogonal de −→v sobre −→u . a) −→u = (1, 2,−1) e −→v = (−1, 0, 3) b) −→u = (0, 3, 1) e −→v = (1, 1,−2) c) −→u = (1, 1, 4) e −→v = (−2, 3, 0) Exerc´ıcio 15: Calcule o comprimento da projec¸a˜o ortogonal do vetor −→v = (3,−2, 5) sobre o vetor −→i . 3 lista3Ncvga20132.pdf Universidade Veiga deAlmeida Curso: Ba´sico das engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Professora: Adriana Nogueira 3a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: Dados −→u = (2, 1, 0), −→v = (−1,−2, 3), −→w = (3, 2, 1) cal- cule os seguintes produtos escalares: a) 2−→u · −→v b) (−→u +−→v ) · −→w c) −→w · (−→u + 3−→v ) d) (−→u +−→v ) · (−→v −−→w ) Exerc´ıcio 2: Considere os vetores −→u e −→v tais que |−→u | = 3, |−→v | = 2 e o aˆngulo entre eles e´ de θ = 150◦. Calcule: a) −→u · −→v b) |−→u +−→v | c) |−→u −−→v | d) (−→u −−→v ) · (−→u +−→v ) Exerc´ıcio 3: Sabendo que |−→u | = 3, |−→v | = 7 e −→u · −→v = −2, calcule: a) (2−→u +−→v ) · −→v b) (−→u − 3−→v ) · (4−→u +−→v ) c) (3−→u + 2−→v ) · (−→u −−→v ) 1 Exerc´ıcio 4: Calcule o aˆngulo entre os vetores dados abaixo: a) −→u = (1,−1, 2) e −→v = (4, 1, 7) b) −→u = (−3, 2, 7) e −→v = (0, 0, 2) c) −→i e −→u = (1, 0, 3) Exerc´ıcio 5: Verifique se os vetores abaixo sa˜o ortogonais: a)−→u = (1, 0,−3) e −→v = (0, 1, 1) b) −→u = (0, 1, 1) e −→v = (−1, 2,−2) c) −→u = (2, 5, 5) e −→v = (5, 0,−2) Exerc´ıcio 6: Calcule o valor de a para que os vetores −→u = (3a+1, 5,−3) e −→v = (2, a− 3, 7) sejam ortogonais. Exerc´ıcio 7: Considere o triaˆngulo ABC com ve´rtices em A = (1, 2, 1), B = (−1, 3, 2) e C = (2, 1, 1). Determine o aˆngulo interno ao ve´rtice A. Exerc´ıcio 8: Dados os pontos A = (0, a + 1, 4), B = (a − 1, 2a, 2) e C = (1, a−5,−1), determine a de modo que o triaˆngulo ABC seja retaˆngulo em A. Exerc´ıcio 9: Determine o vetor −→u ortogonal ao vetor −→v = (−1, 0, 1), tal que |−→u | = 5 e o aˆngulo entre −→u e −→w = (1, 0, 1) e´ θ = 45o. Exerc´ıcio 10: Dado o vetor −→u = (1, 2, 1) , determine: a) Um vetor ortogonal a −→u b) Um vetor unita´rio ortogonal a −→u c) Um vetor de mo´dulo 2 ortogonal a −→u 2 Exerc´ıcio 11: Sabe-se que −→v e´ um vetor no espac¸o que forma com os vetores −→i e −→k aˆngulos de α = 30o e β = 60o respectivamente. Determine −→v sabendo que |−→v | = 6 . Exerc´ıcio 12: Sabe-se que −→v e´ um vetor no espac¸o que forma com os vetores −→i e −→j aˆngulos de α = 60o e β = 120o respectivamente. Determine −→v sabendo que |−→v | = 2 . Exerc´ıcio 13: Determine os aˆngulos diretores dos vetores: a) −→v = (1, 0,−1) b) −→v = (2, 2, 0) c) −→v = (1, 2,−1) Exerc´ıcio 14: Dados os vetores −→u e −→v abaixo, encontre a projec¸a˜o ortogonal de −→v sobre −→u . a) −→u = (1, 2,−1) e −→v = (−1, 0, 3) b) −→u = (0, 3, 1) e −→v = (1, 1,−2) c) −→u = (1, 1, 4) e −→v = (−2, 3, 0) Exerc´ıcio 15: Calcule o comprimento da projec¸a˜o ortogonal do vetor −→v = (3,−2, 5) sobre o vetor −→i . 3 lista4cvga20132(1).pdf Universidade Veiga deAlmeida Curso: Ba´sico das Engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Professora: Adriana Nogueira 4a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: Dados os vetores −→u = (0, 0, 2), −→v = (−3, 1, 3), −→w = (1, 1, 0), calcule: (a) −→u ×−→u ; (b) −→u ×−→v ; (c) −→v ×−→w ; (d) (−→u ×−→v ) + (−→v ×−→u ); (e) −→v .(−→u ×−→v ); (f) (2−→v )× (3−→v ); (g) (−→u −−→v )× (−→u +−→v ). Exerc´ıcio 2: Calcule: (a) (5−→i )× (3−→i + 4−→j ) (b) (2−→j +−→k )× (8−→k ) (c) (4−→i − 5−→j )× (3−→j ) (d) (5−→k − 3−→j )× (8−→j ) Exerc´ıcio 3: Dados os pontos A = (1, 2, 0), B = (−1,−2, 3) e C = (2,−1, 1), determine o ponto D para que se tenha −−→AD = −−→BC ×−→AC. 1 Exerc´ıcio 4: Sabendo que |−→u | = 1, |−→v | = 7 e o aˆngulo entre os vetores −→u e −→v e´ θ = pi6 calcule: (a) |−→u ×−→v |; (b) |13−→u × 34−→v | Exerc´ıcio 5: Calcule a a´rea do paralelogramo formado pelos vetores −→u = (1, 1,−1) e −→v = (2, 1, 4). Exerc´ıcio 6: Calcule a a´rea do triaˆngulo formado pelos vetores −→u = (0, 1, 3) e −→v = (−1, 1, 0). Exerc´ıcio 7: Ache um vetor ortogonal a: (a) −→u = (1, 1,−1) e −→v = (0, 1, 3); (b) −→u = (1, 1,−1) e −→v = (0, 1, 3) e unita´rio; (c) −→u = (1, 1,−1) e −→v = (0, 1, 3) com mo´dulo 3. Exerc´ıcio 8: Calcule a a´rea do paralelogramo ABCD sabendo-se que os ve´rtices A, B e C sa˜o dados por A = (1, 3, 1), B = (2, 0, 3) e C = (0, 1,−1). Exerc´ıcio 9: Calcule a a´rea do triaˆngulo ABC sabendo-se que os ve´rtices A, B e C sa˜o dados por A = (1, 1, 2), B = (2, 1, 5) e C = (2, 3, 2). Exerc´ıcio 10: Dados os vetores −→u = (2, 1, 2), −→v = (3, 2, 6), calcule: (a) |−→u | e |−→v |; (b) A a´rea do paralelogramo formado pelos vetores −→u e −→v ; (c) A altura do paralelogramo formado pelos vetores −→u e −→v relativa a base formada por −→u ; (d) A a´rea do triaˆngulo formado pelos vetores −→u e −→v ; (e) A altura do triaˆngulo formado pelos vetores −→u e −→v relativa a base formada por −→v . 2 Exerc´ıcio 11: Calcule: (a) < −→i ,−→j ,−→k >; (b) < 2−→i ,−→j , 5−→k >; (c) < 3−→i , 6−→j + 3−→k , 2−→k > Exerc´ıcio 12: Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u = (3,−1, 4), −→v = (2, 0, 1) e −→w = (−2, 1, 5). Exerc´ıcio 13: Dados os vetores −→u = (−1, 1, 0), −→v = (1, 2, 1) e −→w = (0, 1, 5), calcule: (a) Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u , −→v e −→w ; (b) Calcule a altura do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u , −→v e −→w relativa a` base constitu´ıda pelos vetores −→u e −→v . RESPOSTAS Exerc´ıcio 1: (a) −→u ×−→u = −→0 ; (b) −→u ×−→v = (−2,−6, 0); (c) −→v ×−→w = (−3, 3,−4); (d) (−→u ×−→v ) + (−→v ×−→u ) = −→0 ; (e) −→v .(−→u ×−→v ) = 0; (f) (2−→v )× (3−→v ) = −→0 ; (g) (−→u −−→v )× (−→u +−→v ) = (−4,−12, 0). 3 Exerc´ıcio 2: (a) 20−→k (b) 16−→i (c) 12−→k (d) −40−→i Exerc´ıcio 3: D = (−4,−3,−10) Exerc´ıcio 4: (a) |−→u ×−→v | = 72 ; (b) |13−→u × 34−→v | = 78 Exerc´ıcio 5: A = √ 62. Exerc´ıcio 6: A = √ 19 2 . Exerc´ıcio 7: (a)−→w = (4,−3, 1); (b)−→w = (2 √ 26 13 , −3√26 26 , √ 26 26 ); (c) −→w = (6 √ 26 13 , −9√26 26 , 3 √ 26 26 ). Exerc´ıcio 8: A = 5 √ 5 Exerc´ıcio 9: A = 72 Exerc´ıcio 10: (a) |−→u | = 3 e |−→v | = 7; (b) A = √ 41; (c) h = √ 41 3 ; (d) A = √ 41 2 ; (e) h = √ 41 7 . Exerc´ıcio 11: (a) < −→i ,−→j ,−→k >= 1; (b) < 2−→i ,−→j , 5−→k >= 10; (c) < 3−→i , 6−→j + 3−→k , 2−→k >= 36 Exerc´ıcio 12: V = 17. Exerc´ıcio 13: (a) V = 14 (b) h = 14 √ 11 11 4 lista4cvga20132.pdf Universidade Veiga deAlmeida Curso: Ba´sico das Engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Professora: Adriana Nogueira 4a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: Dados os vetores −→u = (0, 0, 2), −→v = (−3, 1, 3), −→w = (1, 1, 0), calcule: (a) −→u ×−→u ; (b) −→u ×−→v ; (c) −→v ×−→w ; (d) (−→u ×−→v ) + (−→v ×−→u ); (e) −→v .(−→u ×−→v ); (f) (2−→v )× (3−→v ); (g) (−→u −−→v )× (−→u +−→v ). Exerc´ıcio 2: Calcule: (a) (5−→i )× (3−→i + 4−→j ) (b) (2−→j +−→k )× (8−→k ) (c) (4−→i − 5−→j )× (3−→j ) (d) (5−→k − 3−→j )× (8−→j ) Exerc´ıcio 3: Dados os pontos A = (1, 2, 0), B = (−1,−2, 3) e C = (2,−1, 1), determine o ponto D para que se tenha −−→AD = −−→BC ×−→AC. 1 Exerc´ıcio 4: Sabendo que |−→u | = 1, |−→v | = 7 e o aˆngulo entre os vetores −→u e −→v e´ θ = pi6 calcule: (a) |−→u ×−→v |; (b) |13−→u × 34−→v | Exerc´ıcio 5: Calcule a a´rea do paralelogramo formado pelos vetores −→u = (1, 1,−1) e −→v = (2, 1, 4). Exerc´ıcio 6: Calcule a a´rea do triaˆngulo formado pelos vetores −→u = (0, 1, 3) e −→v = (−1, 1, 0). Exerc´ıcio 7: Ache um vetor ortogonal a: (a) −→u = (1, 1,−1) e −→v = (0, 1, 3); (b) −→u = (1, 1,−1) e −→v = (0, 1, 3) e unita´rio; (c) −→u = (1, 1,−1) e −→v = (0, 1, 3) com mo´dulo 3. Exerc´ıcio 8: Calcule a a´rea do paralelogramo ABCD sabendo-se que os ve´rtices A, B e C sa˜o dados por A = (1, 3, 1), B = (2, 0, 3) e C = (0, 1,−1). Exerc´ıcio 9: Calcule a a´rea do triaˆngulo ABC sabendo-se que os ve´rtices A, B e C sa˜o dados por A = (1, 1, 2), B = (2, 1, 5) e C = (2, 3, 2). Exerc´ıcio 10: Dados os vetores −→u = (2, 1, 2), −→v = (3, 2, 6), calcule: (a) |−→u | e |−→v |; (b) A a´rea do paralelogramo formado pelos vetores −→u e −→v ; (c) A altura do paralelogramo formado pelos vetores −→u e −→v relativa a base formada por −→u ; (d) A a´rea do triaˆngulo formado pelos vetores −→u e −→v ; (e) A altura do triaˆngulo formado pelos vetores −→u e −→v relativa a base formada por −→v . 2 Exerc´ıcio 11: Calcule: (a) < −→i ,−→j ,−→k >; (b) < 2−→i ,−→j , 5−→k >; (c) < 3−→i , 6−→j + 3−→k , 2−→k > Exerc´ıcio 12: Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u = (3,−1, 4), −→v = (2, 0, 1) e −→w = (−2, 1, 5). Exerc´ıcio 13: Dados os vetores −→u = (−1, 1, 0), −→v = (1, 2, 1) e −→w = (0, 1, 5), calcule: (a) Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u , −→v e −→w ; (b) Calcule a altura do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u , −→v e −→w relativa a` base constitu´ıda pelos vetores −→u e −→v . RESPOSTAS Exerc´ıcio 1: (a) −→u ×−→u = −→0 ; (b) −→u ×−→v = (−2,−6, 0); (c) −→v ×−→w = (−3, 3,−4); (d) (−→u ×−→v ) + (−→v ×−→u ) = −→0 ; (e) −→v .(−→u ×−→v ) = 0; (f) (2−→v )× (3−→v ) = −→0 ; (g) (−→u −−→v )× (−→u +−→v ) = (−4,−12, 0). 3 Exerc´ıcio 2: (a) 20−→k (b) 16−→i (c) 12−→k (d) −40−→i Exerc´ıcio 3: D = (−4,−3,−10) Exerc´ıcio 4: (a) |−→u ×−→v | = 72 ; (b) |13−→u × 34−→v | = 78 Exerc´ıcio 5: A = √ 62. Exerc´ıcio 6: A = √ 19 2 . Exerc´ıcio 7: (a)−→w = (4,−3, 1); (b)−→w = (2 √ 26 13 , −3√26 26 , √ 26 26 ); (c) −→w = (6 √ 26 13 , −9√26 26 , 3 √ 26 26 ). Exerc´ıcio 8: A = 5 √ 5 Exerc´ıcio 9: A = 72 Exerc´ıcio 10: (a) |−→u | = 3 e |−→v | = 7; (b) A = √ 41; (c) h = √ 41 3 ; (d) A = √ 41 2 ; (e) h = √ 41 7 . Exerc´ıcio 11: (a) < −→i ,−→j ,−→k >= 1; (b) < 2−→i ,−→j , 5−→k >= 10; (c) < 3−→i , 6−→j + 3−→k , 2−→k >= 36 Exerc´ıcio 12: V = 17. Exerc´ıcio 13: (a) V = 14 (b) h = 14 √ 11 11 4 Lista5cvga2013 (1).pdf Universidade Veiga deAlmeida Curso: Ba´sico das Engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Professora: Adriana Nogueira 5a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: Determine as equac¸o˜es parame´tricas das retas que passam pelo ponto A e na direc¸a˜o do vetor −→v em cada um dos seguintes casos: (a) A = (1, 3, 2), −→v = (−1, 0, 3); (b) A = (−2, 3,−5), −→v = (2, 1,−2); (c) A = (0, 0, 1), −→v = (−1, 2, 1); (d) A = (3, 0, 0), −→v = (2,−7, 1); (e) A = (−7, 8, 0), −→i ; (f) A = (1, 3), −→v = (2, 3); (g) A = (5, 2), −→v = (−1, 0). Exerc´ıcio 2: Determine a equac¸a˜o vetorial da reta que passa por A e B onde: (a) A = (1, 0, 5) e B = (5,−3, 2); (b) A = (−2, 1, 3) e B = (3, 9,−3); (c) A = (3, 2,−4) e B = (1, 0, 0); (d) A = (2,−5, 8) e B = (5, 1, 1); (e) A = (1, 0) e B = (−3, 2); 1 (f) A = (4, 5) e B = (1, 2). Exerc´ıcio 3: Determine a equac¸a˜o vetorial da reta que passa pelo ponto A = (2, 7, 3) na direc¸a˜o do vetor −→v = (3, 0, 1). Verifique se os pontos P1 = (5, 7, 4) e P2 = (8, 0, 5) pertencem a esta reta. Exerc´ıcio 4: Obtenha as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel x da reta: (a) que passa por A = (4, 0,−3) na direc¸a˜o do vetor −→v = (2, 4, 5); (b) que passa pelos pontos A = (2,−5, 1) e B = (3, 1, 2); (c) dada por r : x = 2− t y = 3t z = 4t− 5 Exerc´ıcio 5: Determine as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel z da reta que passa por A = (0, 3, 0) e B = (2, 0, 1). Exerc´ıcio 6: Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por: (a) A = (3,−2, 4) e e´ paralela ao eixo dos x; (b) A = (2, 2, 4) e e´ perpendicular ao plano xOz; (c) A = (3, 0, 7) e tem a direc¸a˜o do vetor −→v = (3, 0, 4). Exerc´ıcio 7: Dada a reta r : (x, y, z) = (3, 8, 2) + t(3,−3, 4), determine as equac¸o˜es parame´tricas de r. Exerc´ıcio 8: Na reta r : x = 2 + t y = 3− 3t z = 5 + 4t , determine o ponto de r tal que: (a) a abscissa seja 6; (b) a abscissa seja igual a ordenada. 2 Exerc´ıcio 9: Na reta r : { y = x+ 2 z = 3x− 1 , determine o ponto de r tal que a ordenada seja igual a 3. Exerc´ıcio 10: A reta r passa pelo ponto A = (4,−3,−2) e e´ paralela a` reta s : x = 1 + 3t y = 2− 4t z = 3− t . Se P = (m,n, 5) ∈ r, determine m e n. Exerc´ıcio 11: Determine equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por A = (2,−4, 3) e e´ paralela ao eixo Oz. Exerc´ıcio 12: Verifique se as retas r1 e r2 dadas abaixo sa˜o ortogonais: r1 : x = 2 + t y = 3− 3t z = −1 + t ; r2 : x = 5− 4t y = 3 + t z = 3 + 7t . Exerc´ıcio 13: Determine o aˆngulo entre as retas dadas abaixo: r1 : x = 1 + √ 2t y = t z = 5− 3t ; r2 : x = 3 y = 2 z = h . Exerc´ıcio 14: Verifique se as retas abaixo sa˜o concorrentes e em caso afirmativo, determine o ponto de intersec¸a˜o. r1 : x = 2− t y = 3− 5t z = 6− 6t ; r2 : x = −3 + 6h y = 1 + 7h z = −1 + 13h . 3 Lista5cvga2013.pdf Universidade Veiga deAlmeida Curso: Ba´sico das Engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Professora: Adriana Nogueira 5a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: Determine as equac¸o˜es parame´tricas das retas que passam pelo ponto A e na direc¸a˜o do vetor −→v em cada um dos seguintes casos: (a) A = (1, 3, 2), −→v = (−1, 0, 3); (b) A = (−2, 3,−5), −→v = (2, 1,−2); (c) A = (0, 0, 1), −→v = (−1, 2, 1); (d) A = (3, 0, 0), −→v = (2,−7, 1); (e) A = (−7, 8, 0), −→i ; (f) A = (1, 3), −→v = (2, 3); (g) A = (5, 2), −→v = (−1, 0). Exerc´ıcio 2: Determine a equac¸a˜o vetorial da reta que passa por A e B onde: (a) A = (1, 0, 5) e B = (5,−3, 2); (b) A = (−2, 1, 3) e B = (3, 9,−3); (c) A = (3, 2,−4) e B = (1, 0, 0); (d) A = (2,−5, 8) e B = (5, 1, 1); (e) A = (1, 0) e B = (−3, 2); 1 (f) A = (4, 5) e B = (1, 2). Exerc´ıcio 3: Determine a equac¸a˜o vetorial da reta que passa pelo ponto A = (2, 7, 3) na direc¸a˜o do vetor −→v = (3, 0, 1). Verifique se os pontos P1 = (5, 7, 4) e P2 = (8, 0, 5) pertencem a esta reta. Exerc´ıcio 4: Obtenha as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel x da reta: (a) que passa por A = (4, 0,−3) na direc¸a˜o do vetor −→v = (2, 4, 5); (b) que passa pelos pontos A = (2,−5, 1) e B = (3, 1, 2); (c) dada por r : x = 2− t y = 3t z = 4t− 5 Exerc´ıcio 5: Determine as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel z da reta que passa por A = (0, 3, 0) e B = (2, 0, 1). Exerc´ıcio 6: Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por: (a) A = (3,−2, 4) e e´ paralela ao eixo dos x; (b) A = (2, 2, 4) e e´ perpendicular ao plano xOz; (c) A = (3, 0, 7) e tem a direc¸a˜o do vetor −→v = (3, 0, 4). Exerc´ıcio 7: Dada a reta r : (x, y, z) = (3, 8, 2) + t(3,−3, 4), determine as equac¸o˜es parame´tricas de r. Exerc´ıcio 8: Na reta r : x = 2 + t y = 3− 3t z = 5 + 4t , determine o ponto de r tal que: (a) a abscissa seja 6; (b) a abscissa seja igual a ordenada. 2 Exerc´ıcio 9: Na reta r : { y = x+ 2 z = 3x− 1 , determine o ponto de r tal que a ordenada seja igual a 3. Exerc´ıcio 10: A reta r passa pelo ponto A = (4,−3,−2) e e´ paralela a` reta s : x = 1 + 3t y = 2− 4t z = 3− t . Se P = (m,n, 5) ∈ r, determine m e n. Exerc´ıcio 11: Determine equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por A = (2,−4, 3) e e´ paralela ao eixo Oz. Exerc´ıcio 12: Verifique se as retas r1 e r2 dadas abaixo sa˜o ortogonais: r1 : x = 2 + t y = 3− 3t z = −1 + t ; r2 : x = 5− 4t y = 3 + t z = 3 + 7t . Exerc´ıcio 13: Determine o aˆngulo entre as retas dadas abaixo: r1 : x = 1 + √ 2t y = t z = 5− 3t ; r2 : x = 3 y = 2 z = h . Exerc´ıcio 14: Verifique se as retas abaixo sa˜o concorrentes e em caso afirmativo, determine o ponto de intersec¸a˜o. r1 : x = 2− t y = 3− 5t z = 6− 6t ; r2 : x = −3 + 6h y = 1 + 7h z = −1 + 13h . 3 lista6.cvga2013.pdf Universidade Veiga deAlmeida Curso: Ba´sico das Engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Professora: Adriana Nogueira 6a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: Determine a equac¸a˜o geral de cada um dos planos dados abaixo: (a) O plano pi1 que e´ ortogonal ao vetor −→v = (3, 0, 7) e passa pelo ponto P = (3, 5,−2); (b) O plano pi2 que passa pelo ponto P = (2, 1, 6) e e´ paralelo aos vetores−→u = (1,−1, 2) e −→v = (3, 1, 2); (c) O plano pi3 que passa pelo ponto P = (3, 2, 5) e e´ paralelo aos vetores 2−→i e 5−→k ; (d) O plano pi4 que passa pelo ponto P = (0, 0, 4) e e´ paralelo ao plano XOY. Exerc´ıcio 2: Determine as equac¸o˜es parame´tricas dos planos que passam por A e paralelos aos vetores u e v em cada um dos itens abaixo: (a) A = (0, 2, 0), −→u = (5, 0, 3) e −→v = (0, 2,−3); (b) A = (3, 0, 0), −→u = (0, 5,−2) e −→v = (3, 2,−7); (c) A = (5, 1,−1), −→u = (3, 0, 0) e −→v = (−2,−3, 4); (d) A = (9, 6, 4), −→u = (1,−1, 4) e −→v = (6, 1, 2). Exerc´ıcio 3: Determine o aˆngulo entre os planos pi1 : x + y − z + 3 = 0 e pi2 : 2x− y + 3z − 4 = 0. Exerc´ıcio 4: Verifique se os planos pi1 : 3x + y − 5z + 3 = 0 e pi2 : 2x− y + z − 4 = 0 sa˜o ortogonais. 1 Exerc´ıcio 5: Verifique se a reta r : x = 2 + 3ty = 3− 2t z = 5 + 4t e´ paralela ao plano pi : 2x+ y − z − 3 = 0. Exerc´ıcio 6: Determine a intersec¸a˜o da reta r : { y = 2x− 3 z = −x+ 2 com o plano pi : 2x+ 4y − z − 4 = 0. Exerc´ıcio 7: Encontre as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel x da reta intersec¸a˜o dos planos pi1 : x+ y − z + 2 = 0 e pi2 : x+ y + 2z − 1 = 0. RESPOSTAS: Exerc´ıcio 1: a) 3x+ 7z + 5 = 0 b) −x+ y + z − 5 = 0 c) y = 2 d) z = 4 Exerc´ıcio 2: a) pi1 : x = 5ty = 2 + 2h z = 3t− 3h ; t ∈ R, h ∈ R b) pi2 : x = 3 + 3hy = 5t+ 2h z = −2t− 7h ; t ∈ R, h ∈ R c) pi3 : x = 5 + 3t− 2hy = 1− 3h z = −1 + 4h ; t ∈ R, h ∈ R d) pi4 : x = 9 + t+ 6hy = 6− t+ h z = 4 + 4t+ 2h ; t ∈ R, h ∈ R Exerc´ıcio 3: θ = arccos( √ 42 21 ) Exerc´ıcio 4: Sa˜o ortogonais. Exerc´ıcio 5: Sa˜o paralelos. Exerc´ıcio 6: P = ( 1811 , 3 11 , 4 11 ). Exerc´ıcio 7: { y = −x− 1 z = 1 2 PrimeiraListaCVGA20132(1).pdf Universidade Veiga deAlmeida Professora: Adriana Nogueira Curso: Ba´sico das engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica 1a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: Represente os vetores dados abaixo no sistema de coorde- nadas cartesianas: (a) −→r = (4,−2) (b) −→s = (−1, 3) (c) −→t = 3−→i + 5−→j (d) −→u = −4−→i − 3−→j Exerc´ıcio 2: Dados os vetores −→u = 3−→i + 2−→j , −→v = −5−→i + −→j e −→w = −→i − 2−→j , determine: (a) −→p = 2−→u + 3−→v (b) −→q = −→u + 5−→v (c) −→r = −→u −−→v +−→w (d) −→s = −→u − 2−→i + 7−→j +−→w . Exerc´ıcio 3: Dados os vetores −→u = (2, 1), −→v = (3,−2) e −→w = (−1,−1), determine o vetor −→r em cada item abaixo: (a) 5−→r − 2−→v +−→w = 3−→u + 2−→r (b) 2−→r + 3(−→u − 3−→w ) = 32−→r − 5−→v 1 Exerc´ıcio 4: Dados os vetores −→u = (2, 1), −→v = (1,−1) e −→w = (5, 7), determine os valores de a e b tais que: −→w = a−→u + b−→v Exerc´ıcio 5: Dados os pontos A = (1, 2), B = (3,−2) e C = (1,−1), determine a expressa˜o anal´ıtica dos vetores indicados abaixo: (a) −→u = −−→AB − 3−−→CB (b) −→v = −−→CB + 2−→AC (c) −→w = 2−−→BC −−→AC +−→OA Considere O como a origem do sistema cartesiano. Exerc´ıcio 6: Determine a extremidade do segmento orientado AB que representa o vetor −→u = (3,−5), sabendo que sua origem e´ A = (−1, 2). Exerc´ıcio 7: Verifique se o quadrila´tero ABCD com ve´rtices nos pon- tos A = (1, 1), B = (4, 2), C = (5, 4) e D = (2, 3), e´ um paralelogramo. Considere o ve´rtice C oposto ao ve´rtice A. Exerc´ıcio 8: Dados os pontos A = (1, 2), B = (−2, 5) e C = (1, 1), fac¸a o que e´ pedido abaixo: (a) Calcule os comprimentos dos vetores −−→AB e −−→BC; (b) Calcule a distaˆncia entre os pontos A e C; (c) Determine o ponto me´dio entre A e B. Exerc´ıcio 9: Determine o versor de cada um dos vetores dados abaixo: (a) −→u = (1, 5) (b) −→u = (−2, 6) 2 Exerc´ıcio 10: Dados os vetores −→u = (−1, 1), −→v = (3,−2) e −→w = (2,−1), calcule: (a) |−→u |, |−→v |, |−→w | (b) |2−→u −−→v | (c) |−→u + 3−→v | Exerc´ıcio 11: Dado o vetor −→u = (2, 5), determine o vetor −→v paralelo a −→u que tenha: (a) mesmo sentido de −→u e o o triplo do comprimento de −→u ; (b) sentido oposto ao de −→u e mo´dulo 5; (c) sentido oposto ao de −→u e mo´dulo 8. Exerc´ıcio 12: Calcule os valores de a para que o vetor −→u = (a, 15) seja um versor. Exerc´ıcio 13: Calcule o valor de a para que os vetores −→u = (2a− 1, 3) e −→v = (5, 7) sejam paralelos. Exerc´ıcio 14: Calcule os valores de a de tal forma que o vetor−→u = (a, 3) tenha medida 7. Exerc´ıcio 15: Encontre o vetor −→v paralelo a −→i , com mesmo sentido de −→i e tal que |−→v | = 6. 3 PrimeiraListaCVGA20132.pdf Universidade Veiga deAlmeida Professora: Adriana Nogueira Curso: Ba´sico das engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica 1a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: Represente os vetores dados abaixo no sistema de coorde- nadas cartesianas: (a) −→r = (4,−2) (b) −→s = (−1, 3) (c) −→t = 3−→i + 5−→j (d) −→u = −4−→i − 3−→j Exerc´ıcio 2: Dados os vetores −→u = 3−→i + 2−→j , −→v = −5−→i + −→j e −→w = −→i − 2−→j , determine: (a) −→p = 2−→u + 3−→v (b) −→q = −→u + 5−→v (c) −→r = −→u −−→v +−→w (d) −→s = −→u − 2−→i + 7−→j +−→w . Exerc´ıcio 3: Dados os vetores −→u = (2, 1), −→v = (3,−2) e −→w = (−1,−1), determine o vetor −→r em cada item abaixo: (a) 5−→r − 2−→v +−→w = 3−→u + 2−→r (b) 2−→r + 3(−→u − 3−→w ) = 32−→r − 5−→v 1 Exerc´ıcio 4: Dados os vetores −→u = (2, 1), −→v = (1,−1) e −→w = (5, 7), determine os valores de a e b tais que: −→w = a−→u + b−→v Exerc´ıcio 5: Dados os pontos A = (1, 2), B = (3,−2) e C = (1,−1), determine a expressa˜o anal´ıtica dos vetores indicados abaixo: (a) −→u = −−→AB − 3−−→CB (b) −→v = −−→CB + 2−→AC (c) −→w = 2−−→BC −−→AC +−→OA Considere O como a origem do sistema cartesiano. Exerc´ıcio 6: Determine a extremidade do segmento orientado AB que representa o vetor −→u = (3,−5), sabendo que sua origem e´ A = (−1, 2). Exerc´ıcio 7: Verifique se o quadrila´tero ABCD com ve´rtices nos pon- tos A = (1, 1), B = (4, 2), C = (5, 4) e D = (2, 3), e´ um paralelogramo. Considere o ve´rtice C oposto ao ve´rtice A. Exerc´ıcio 8: Dados os pontos A = (1, 2), B = (−2, 5) e C = (1, 1), fac¸a o que e´ pedido abaixo: (a) Calcule os comprimentos dos vetores −−→AB e −−→BC; (b) Calcule a distaˆncia entre os pontos A e C; (c) Determine o ponto me´dio entre A e B. Exerc´ıcio 9: Determine o versor de cada um dos vetores dados abaixo: (a) −→u = (1, 5) (b) −→u = (−2, 6) 2 Exerc´ıcio 10: Dados os vetores −→u = (−1, 1), −→v = (3,−2) e −→w = (2,−1), calcule: (a) |−→u |, |−→v |, |−→w | (b) |2−→u −−→v | (c) |−→u + 3−→v | Exerc´ıcio 11: Dado o vetor −→u = (2, 5), determine o vetor −→v paralelo a −→u que tenha: (a) mesmo sentido de −→u e o o triplo do comprimento de −→u ; (b) sentido oposto ao de −→u e mo´dulo 5; (c) sentido oposto ao de −→u e mo´dulo 8. Exerc´ıcio 12: Calcule os valores de a para que o vetor −→u = (a, 15) seja um versor. Exerc´ıcio 13: Calcule o valor de a para que os vetores −→u = (2a− 1, 3) e −→v = (5, 7) sejam paralelos. Exerc´ıcio 14: Calcule os valores de a de tal forma que o vetor−→u = (a, 3) tenha medida 7. Exerc´ıcio 15: Encontre o vetor −→v paralelo a −→i , com mesmo sentido de −→i e tal que |−→v | = 6. 3 respostaslista2cvga20132.pdf Universidade Veiga deAlmeida Professora: Adriana Nogueira Curso: Ba´sico das Engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Respostas da 2a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 2: (a) −→r = (7, 3,−19) (b) −→r = (32,−32, 10) (c) −→r = (7,−3, 1) (d) −→r = (6, 3,−2). Exerc´ıcio 3: (a) −−→AB = (2,−4,−1), −−→CB = (2,−3, 6) e −→AC = (0,−1,−7); (b) |−−→AB| = √21, |−−→BC| = 7; (c) d(A,C) = 5 √ 2; (d) O ponto me´dio entre A e B e´ M = (2, 0, 112 ); (e) O ponto me´dio entre A e C e´ M = (1, 32 , 5 2). Exerc´ıcio 4: (a)−→v = ( √ 30 30 , √ 30 6 , √ 30 15 ); (b) −→v = (− √ 10 10 , 3 √ 10 10 , 0); (c) −→v = ( √ 38 38 , √ 38 38 , 3 √ 38 19 ); Exerc´ıcio 5: A = (3, 7, 3). Exerc´ıcio 6: (a) |−→u | = √14; (b) |−→−→u | = √26; (c) |−→u | = √11. 1 Exerc´ıcio 7: (a) −→v = (5, 15, 10); (b) −→v = (−5 √ 14 14 , −15√14 14 , −5√14 7 ). Exerc´ıcio 8: (a) 2 (b) 7 (c) 1 (d) √ 53 (e) 5 √ 2 (f) √ 5. Exerc´ıcio 9: −→u , −→v e −→t sa˜o paralelos. Exerc´ıcio 10: S = {− √ 23 6 , √ 23 6 }. Exerc´ıcio 11: C = (3,−3,−3) e D = (0,−4,−1). Exerc´ıcio 12: P = ( √ 15− 1, 0, 0). Exerc´ıcio 13: D = (6, −43 , 8 3). Exerc´ıcio 14: a = √ 17 ou a = −√17. Exerc´ıcio 15: a = 72 , b = −5 2 , c = −17 2 respostaslista3cvga20132.pdf Universidade Veiga deAlmeida Curso: Ba´sico das Engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Professora Adriana Nogueira Respostas da 3a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: a) -8; b) 4; c) -4; d) 6. Exerc´ıcio 2: a) −3√3; b) √ 13− 6√3; c) √ 13 + 6 √ 3; d) 5. Exerc´ıcio 3: a) 45; b) -89; c) -69. Exerc´ıcio 4: a) θ = arccos( 17 √ 11 66 ); b) θ = arccos( 7 √ 62 62 ); c) θ = arccos( √ 10 10 ) Exerc´ıcio 5: a) Na˜o sa˜o ortogonais; b) Sa˜o ortogonais; c) Sa˜o ortogonais. Exerc´ıcio 6: a = 34 11 . Exerc´ıcio 7: θ = 150o Exerc´ıcio 8: a = 3 Exerc´ıcio 9: −→u = (5 2 , 5 √ 2 2 , 5 2 ) ou −→u = (5 2 , −5√2 2 , 5 2 ) Exerc´ıcio 10: (a) −→v = (1, 0,−1) (b) −→w = ( √ 2 2 , 0,− √ 2 2 ) (c) −→t = (√2, 0,−√2) Exerc´ıcio 11: −→v = (3√3, 0, 3) 1 Exerc´ıcio 12: −→v = (1,−1,√2) ou −→v = (1,−1,−√2) Exerc´ıcio 13: a) α = 45o, β = 90o, γ = 135o; b) α = 45o, β = 45o, γ = 90o; c) α = arccos( √ 6 6 ), β = arccos( √ 6 3 ), γ = arccos( −√6 6 ). Exerc´ıcio 14: a) proj −→v−→u = ( −2 3 , −4 3 , 2 3 ); b) proj −→v−→u = (0, 3 10 , 1 10 ); c) proj −→v−→u = ( 1 18 , 1 18 , 2 9 ). Exerc´ıcio 15: 3 2 RespostasPrimeiraListaCVGA20132.pdf Universidade Veiga deAlmeida Professora: Adriana Nogueira Curso: Ba´sico das engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Respostas da 1a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 2: (a) −→p = −9−→i + 7−→j (b) −→q = −22−→i + 7−→j (c) −→r = 9−→i −−→j (d) −→s = 2−→i + 7−→j Exerc´ıcio 3: (a) −→r = (13 3 , 0) (b) −→r = (−60,−4) Exerc´ıcio 4: a = 4 e b = −3 Exerc´ıcio 5: (a) −→u = (−4,−1) (b) −→v = (2,−7) (c) −→w = (−3, 7) Exerc´ıcio 6: B = (2,−3) Exerc´ıcio 7: O quadrila´tero e´ um paralelogramo. 1 Exerc´ıcio 8: (a) |−−→AB| = 3√2 e |−−→BC| = 5 (b) d(A,C) = 1 (c) M = (−12 , 72) Exerc´ıcio 9: (a) −→v = ( √ 26 26 , 5 √ 26 26 ) (b) −→v = (− √ 10 10 , 3 √ 10 10 ) Exerc´ıcio 10: (a) |−→u | = √2, |−→v | = √13, |−→w | = √5 (b) |2−→u −−→v | = √41 (c) |−→u + 3−→v | = √89 Exerc´ıcio 11: (a) −→v = (6, 15) (b) −→v = (−10 √ 29 29 , −25√29 29 ) (c) −→v = (−16 √ 29 29 , −40√29 29 ) Exerc´ıcio 12: a = 2 √ 6 5 e a = −2√6 5 Exerc´ıcio 13: a = 117 Exerc´ıcio 14: a = 2 √ 10 e a = −2√10 Exerc´ıcio 15: −→v = 6−→i 2 Respostasquintalistacvga2013 (1).pdf Universidade Veiga deAlmeida Curso: Ba´sico das Engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Professora: Adriana Nogueira Respostas da 5a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: (a) r : x = 1− t y = 3 z = 2 + 3t ; (b) r : x = −2 + 2t y = 3 + t z = −5− 2t ; (c) r : x = −t y = 2t z = 1 + t ; (d) r : x = 3 + 2t y = −7t z = t ; (e) r : x = −7 + t y = 8 z = 0 ; (f) r : { x = 1 + 2t y = 3 + 3t ; (g) r : { x = 5− t y = 2 . Exerc´ıcio 2: (a) r : (x, y, z) = (1, 0, 5) + t(4,−3,−3), t ∈ R; (b) r : (x, y, z) = (−2, 1, 3) + t(5, 8,−6), t ∈ R; (c) r : (x, y, z) = (3, 2,−4) + t(−2,−2, 4), t ∈ R; (d) r : (x, y, z) = (2,−5, 8) + t(3, 6,−7), t ∈ R; (e) r : (x, y) = (1, 0) + t(−4, 2), t ∈ R; (f) r : (x, y) = (4, 5) + t(−3,−3), t ∈ R; Exerc´ıcio 3: r : (x, y, z) = (2, 7, 3) + t(3, 0, 1), t ∈ R; P1 = (5, 7, 4) pertence a reta e P2 = (8, 0, 5) na˜o pertence a esta reta. 1 Exerc´ıcio 4: (a) r : { y = 2x− 8 z = 5x−262 ; (b) r : { y = 6x− 17 z = x− 2 ; (c) r : { y = −3x+ 6 z = −4x+ 3 ; Exerc´ıcio 5: r : { x = 2z y = −3z + 3 ; Exerc´ıcio 6: (a) r : x = 3 + t y = −2 z = 4 ; (b) r : x = 2 y = 2 + t z = 4 ; (c) r : x = 3 + 3t y = 0 z = 7 + 4t . Exerc´ıcio 7: r : x = 3 + 3t y = 8− 3t z = 2 + 4t . Exerc´ıcio 8: (a) P = (6,−9, 21); (b) P = (94 , 94 , 8). Exerc´ıcio 9: P = (1, 3, 2). Exerc´ıcio 10: m = −17 e n = 25. Exerc´ıcio 11: r : x = 2 y = −4 z = 3 + t . Exerc´ıcio 12: As retas r1 e r2 sa˜o ortogonais. Exerc´ıcio 13: θ = 30o. Exerc´ıcio 14: Sa˜o concorrentes com ponto de intersec¸a˜o P = (3, 8, 12). 2 Respostasquintalistacvga2013 (2).pdf Universidade Veiga deAlmeida Curso: Ba´sico das Engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Professora: Adriana Nogueira Respostas da 5a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: (a) r : x = 1− t y = 3 z = 2 + 3t ; (b) r : x = −2 + 2t y = 3 + t z = −5− 2t ; (c) r : x = −t y = 2t z = 1 + t ; (d) r : x = 3 + 2t y = −7t z = t ; (e) r : x = −7 + t y = 8 z = 0 ; (f) r : { x = 1 + 2t y = 3 + 3t ; (g) r : { x = 5− t y = 2 . Exerc´ıcio 2: (a) r : (x, y, z) = (1, 0, 5) + t(4,−3,−3), t ∈ R; (b) r : (x, y, z) = (−2, 1, 3) + t(5, 8,−6), t ∈ R; (c) r : (x, y, z) = (3, 2,−4) + t(−2,−2, 4), t ∈ R; (d) r : (x, y, z) = (2,−5, 8) + t(3, 6,−7), t ∈ R; (e) r : (x, y) = (1, 0) + t(−4, 2), t ∈ R; (f) r : (x, y) = (4, 5) + t(−3,−3), t ∈ R; Exerc´ıcio 3: r : (x, y, z) = (2, 7, 3) + t(3, 0, 1), t ∈ R; P1 = (5, 7, 4) pertence a reta e P2 = (8, 0, 5) na˜o pertence a esta reta. 1 Exerc´ıcio 4: (a) r : { y = 2x− 8 z = 5x−262 ; (b) r : { y = 6x− 17 z = x− 2 ; (c) r : { y = −3x+ 6 z = −4x+ 3 ; Exerc´ıcio 5: r : { x = 2z y = −3z + 3 ; Exerc´ıcio 6: (a) r : x = 3 + t y = −2 z = 4 ; (b) r : x = 2 y = 2 + t z = 4 ; (c) r : x = 3 + 3t y = 0 z = 7 + 4t . Exerc´ıcio 7: r : x = 3 + 3t y = 8− 3t z = 2 + 4t . Exerc´ıcio 8: (a) P = (6,−9, 21); (b) P = (94 , 94 , 8). Exerc´ıcio 9: P = (1, 3, 2). Exerc´ıcio 10: m = −17 e n = 25. Exerc´ıcio 11: r : x = 2 y = −4 z = 3 + t . Exerc´ıcio 12: As retas r1 e r2 sa˜o ortogonais. Exerc´ıcio 13: θ = 30o. Exerc´ıcio 14: Sa˜o concorrentes com ponto de intersec¸a˜o P = (3, 8, 12). 2 Respostasquintalistacvga2013 (3).pdf Universidade Veiga deAlmeida Curso: Ba´sico das Engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Professora: Adriana Nogueira Respostas da 5a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: (a) r : x = 1− t y = 3 z = 2 + 3t ; (b) r : x = −2 + 2t y = 3 + t z = −5− 2t ; (c) r : x = −t y = 2t z = 1 + t ; (d) r : x = 3 + 2t y = −7t z = t ; (e) r : x = −7 + t y = 8 z = 0 ; (f) r : { x = 1 + 2t y = 3 + 3t ; (g) r : { x = 5− t y = 2 . Exerc´ıcio 2: (a) r : (x, y, z) = (1, 0, 5) + t(4,−3,−3), t ∈ R; (b) r : (x, y, z) = (−2, 1, 3) + t(5, 8,−6), t ∈ R; (c) r : (x, y, z) = (3, 2,−4) + t(−2,−2, 4), t ∈ R; (d) r : (x, y, z) = (2,−5, 8) + t(3, 6,−7), t ∈ R; (e) r : (x, y) = (1, 0) + t(−4, 2), t ∈ R; (f) r : (x, y) = (4, 5) + t(−3,−3), t ∈ R; Exerc´ıcio 3: r : (x, y, z) = (2, 7, 3) + t(3, 0, 1), t ∈ R; P1 = (5, 7, 4) pertence a reta e P2 = (8, 0, 5) na˜o pertence a esta reta. 1 Exerc´ıcio 4: (a) r : { y = 2x− 8 z = 5x−262 ; (b) r : { y = 6x− 17 z = x− 2 ; (c) r : { y = −3x+ 6 z = −4x+ 3 ; Exerc´ıcio 5: r : { x = 2z y = −3z + 3 ; Exerc´ıcio 6: (a) r : x = 3 + t y = −2 z = 4 ; (b) r : x = 2 y = 2 + t z = 4 ; (c) r : x = 3 + 3t y = 0 z = 7 + 4t . Exerc´ıcio 7: r : x = 3 + 3t y = 8− 3t z = 2 + 4t . Exerc´ıcio 8: (a) P = (6,−9, 21); (b) P = (94 , 94 , 8). Exerc´ıcio 9: P = (1, 3, 2). Exerc´ıcio 10: m = −17 e n = 25. Exerc´ıcio 11: r : x = 2 y = −4 z = 3 + t . Exerc´ıcio 12: As retas r1 e r2 sa˜o ortogonais. Exerc´ıcio 13: θ = 30o. Exerc´ıcio 14: Sa˜o concorrentes com ponto de intersec¸a˜o P = (3, 8, 12). 2 Respostasquintalistacvga2013.pdf Universidade Veiga deAlmeida Curso: Ba´sico das Engenharias Disciplina: Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica Professora: Adriana Nogueira Respostas da 5a Lista de exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: (a) r : x = 1− t y = 3 z = 2 + 3t ; (b) r : x = −2 + 2t y = 3 + t z = −5− 2t ; (c) r : x = −t y = 2t z = 1 + t ; (d) r : x = 3 + 2t y = −7t z = t ; (e) r : x = −7 + t y = 8 z = 0 ; (f) r : { x = 1 + 2t y = 3 + 3t ; (g) r : { x = 5− t y = 2 . Exerc´ıcio 2: (a) r : (x, y, z) = (1, 0, 5) + t(4,−3,−3), t ∈ R; (b) r : (x, y, z) = (−2, 1, 3) + t(5, 8,−6), t ∈ R; (c) r : (x, y, z) = (3, 2,−4) + t(−2,−2, 4), t ∈ R; (d) r : (x, y, z) = (2,−5, 8) + t(3, 6,−7), t ∈ R; (e) r : (x, y) = (1, 0) + t(−4, 2), t ∈ R; (f) r : (x, y) = (4, 5) + t(−3,−3), t ∈ R; Exerc´ıcio 3: r : (x, y, z) = (2, 7, 3) + t(3, 0, 1), t ∈ R; P1 = (5, 7, 4) pertence a reta e P2 = (8, 0, 5) na˜o pertence a esta reta. 1 Exerc´ıcio 4: (a) r : { y = 2x− 8 z = 5x−262 ; (b) r : { y = 6x− 17 z = x− 2 ; (c) r : { y = −3x+ 6 z = −4x+ 3 ; Exerc´ıcio 5: r : { x = 2z y = −3z + 3 ; Exerc´ıcio 6: (a) r : x = 3 + t y = −2 z = 4 ; (b) r : x = 2 y = 2 + t z = 4 ; (c) r : x = 3 + 3t y = 0 z = 7 + 4t . Exerc´ıcio 7: r : x = 3 + 3t y = 8− 3t z = 2 + 4t . Exerc´ıcio 8: (a) P = (6,−9, 21); (b) P = (94 , 94 , 8). Exerc´ıcio 9: P = (1, 3, 2). Exerc´ıcio 10: m = −17 e n = 25. Exerc´ıcio 11: r : x = 2 y = −4 z = 3 + t . Exerc´ıcio 12: As retas r1 e r2 sa˜o ortogonais. Exerc´ıcio 13: θ = 30o. Exerc´ıcio 14: Sa˜o concorrentes com ponto de intersec¸a˜o P = (3, 8, 12). 2
Compartilhar