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Exercícios de Reforço Essa é uma série de exercícios destinados à fixação dos temas estudados em Geometria Analítica. A resolução detalhada está nos Cadernos de Exercícios 1 a 5. Bons estudos! Caderno de Exercícios 1: 1. Considere os pontos A, B, C e D localizados nos vértices do quadrado abaixo. Dentre as afirmativas a seguir, determine quais são verdadeiras e quais são falsas. a) CDAB // b) ACAB // c) BDAC // d) CDAC e) BDAC f) BDCD 2. Determine o módulo do vetor indicado na figura abaixo. 3. Determine a inclinação do vetor v . 4. Determine o módulo e a inclinação do vetor v . 5. Determine a inclinação do vetor u . 6. Qual é a inclinação do vetor v ? 7. O que é um vetor nulo? 8. O quadrado abaixo apresenta a posição dos pontos A a P. Determine o vetor associado a cada uma das seguintes operações. a) AEAB b) FJEG c) NFNP d) DHIL e) MEMN f) CDAC d) KLIJ h) GCIK i) MN3 j) GH2 9. Considere os vetores u e v representados a seguir. e Determine a soma vu . 10. Calcule a diferença vu onde u e v são dados a seguir. e 11. Determine o vetor r como combinação linear dos vetores u e v onde vur 32 e u e v são os vetores dados a seguir. e 12. Sabendo que o módulo do vetor ) ,7( w é igual a 12,2066, determine o valor de . 13. Determine as componentes do vetor v sabendo que seu módulo é igual a 17 e sua inclinação é igual a 60°. 14. Sejam )1 ,1(u e )2 ,3(v . Calcule o módulo de vu 45 . Caderno de Exercícios 2: 1. Dado o vetor AB onde A=(3, 7) e B=(5, 11), determine || AB . 2. Determine o módulo de um vetor v cuja origem está no ponto (2, 3) e cuja extremidade está no ponto (-1, 1). 3. Dado o vetor AB onde A=(3, 7) e B=(5, 11), determine a sua direção. 4. Sejam os vetores kjiu 472 e kjiv 365 . Determine vu . . 5. O que são vetores equipolentes? 6. Considere os vetores )3 ,2(u e )7 ,5(v . Determine a) vu b) vu 25 c) vu d) vu e) vu 32 7. Sendo )3 ,2(A e )5 ,8(B , determine as componentes de AB . 8. Calcule o módulo do vetor kjiv 572 . 9. Sejam )3 ,1 ,1(M e )1 ,2 ,3(N , determine o módulo de MN . 10. Qual é o vetor resultante da multiplicação do escalar 3 pelo vetor )6 ,3 ,4( v ? 11. Calcule w 5 onde w é igual a )2 ,4 ,0 ,7 ,1( . 12. Sejam )4 ,10 ,6(P e )2 ,5 ,2(Q , calcule v 2 onde PQv . 13. Considere os vetores )4 ,1 ,5 ,3(u e )6 ,2 ,0 ,4(v . Calcule vu 34 . 14. Determine o produto escalar vu . onde )7 ,3 ,5 ,1 ,2(u e )1 ,3 ,8 ,2 ,5(v . 15. Calcule o produto escalar entre os vetores )0 ,5(u e )6 ,0(v utilizando a expressão cos.||.||. vuvu . 16. Dados os vetores )2 ,1 ,4(a e )1 ,4 ,3( b , calcule o produto vetorial ba . 17. Dados os vetores )2 ,1 ,4(a e )1 ,4 ,3( b , calcule o produto vetorial ab . Caderno de Exercícios 3: 1. Sabendo que a equação reduzida da reta r é y=ax+b, encontre a equação da reta que passa pelos pontos A=(3, 1) e B=(4, 3). 2. Determine a inclinação da reta r de equação y=2x-5. 3. Verifique se o ponto P=(1, -3) pertence à reta r definida por y=2x-5 apresentada no exercício anterior. 4. Considere a reta r dos Exercícios 1 e 2 cuja equação é y=2x-5. Verifique se o ponto Q=(2, 6) pertence à reta r. 5. Qual é o ponto de intersecção da reta r de equação y=2x-5 com o eixo y. 6. Considere a reta 123 xy . Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear dessa reta. 7. Utilizando a expressão ).( 00 xxmyy , determine a equação da reta s que passa pelos pontos A=(2, 5) e B=(4, 3). 8. Considere a reta t representada na figura abaixo. Com base nas informações apresentadas, escreva a equação reduzida da reta t. 9. Considere a reta t apresentada no exercício anterior. Encontre a equação reduzida de t utilizando a expressão ).( 00 xxmyy . 10. Seja a reta r definida pela equação reduzida 115 xy . Escreva a equação de r no formato geral. 11. Determine uma equação vetorial da reta r que passa pelos pontos M=(2, 4) e N=(5, 3). 12. Encontre uma equação vetorial para a reta r passando pelos pontos A=(1, 2, 1) e B=(2, 3, 3). 13. Considere o Exercício 11. Obtenha as equações paramétricas da reta r. 14. Determine o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações tz ty tx r 32 41 23 :1 e tz ty tx r 4 52 31 :2 15. Mostre que as retas r e s dadas por tz ty tx r 31 4 21 : e tz y tx s 21 5 32 : são ortogonais. 16. Considere as retas g e h definidas pelas equações vetoriais g=(1, 9, 6)+t.(3, -2, 4) e h=(0, 3, -5)+t.(- 6, 4, -8). Mostre que g e h são paralelas. 17. Sejam as retas tz ty tx w 23 33 52 : e hz hy hx s 41 23 21 : Verifique se w e s são concorrentes. Em caso afirmativo, determine o ponto P de intersecção dessas retas. Caderno de Exercícios 4: 1. Determine uma equação geral cartesiana do plano . Considere o vetor n normal a e o ponto A pertencente a onde )2 ,5 ,3(n e )4 ,2 ,1(A . 2. Considere o Exercício 1. Encontre uma equação geral para substituindo a, b e c pelas componentes do vetor normal n e calculando o valor de d a partir da relação 000 czbyaxd . 3. Considere os pontos )2 ,6 ,2(A , )4 ,1 ,3(B e )3 ,2 ,5(C . Determine uma equação geral do plano que contém os pontos A, B e C. 4. Resolva o Exercício 3 substituindo a, b e c pelas componentes do vetor normal n e calculando o valor de d a partir da relação 000 czbyaxd . 5. Encontre uma equação vetorial do plano que passa pelos pontos )2 ,6 ,2(A , )4 ,1 ,3(B e )3 ,2 ,5(C dado no Exercício 3. 6. Utilize o produto misto para encontrar uma equação geral do plano que passa pelos pontos )2 ,6 ,2(A , )4 ,1 ,3(B e )3 ,2 ,5(C apresentados no Exercício 3. 7. Considere o plano definido por 020254 zyx . Determine os pontos A, B e C de intersecção do plano com os eixos coordenados x, y e z, respectivamente. 8. Seja o plano definido por 020254 zyx conforme o Exercício 7. Determine as intersecções do plano com os planos xy, yz e xz. 9. Encontre um sistema de equações paramétricasdo plano que passa pelos pontos )2 ,6 ,2(A , )4 ,1 ,3(B e )3 ,2 ,5(C dados no Exercício 3. 10. Seja r a reta dada pelas equações tz ty tx 21 5 32 . Verifique se r é paralela ao plano dado por )233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx . 11. Considerando o Exercício 10, verifique se r está contida no plano . 12. Verifique se o ponto )3 ,2 ,4(A pertence ao plano )233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx definido no Exercício 10. 13. Encontre o ângulo formado entre os planos 05: zyx e 01232: zyx . Caderno de Exercícios 5: 1. Considerando os pontos A e B representados abaixo, determine a distância d(A, B). 2. Sejam A=(2, 5, -4) e B=(3, 3, 2). Calcule d(A, B) e d(B, A). 3. Determine a distância entre o ponto P=(5, 7) e a reta r:y=2x+2. 4. Sabendo que A=(1, 0, 3) e r:M=(3t+1, 2t, 5t-2), encontre a distância entre o ponto A e a reta r. 5. Encontre a distância entre o ponto D=(4, 1, 6) e o plano :2x+3y+z-2=0. 6. Qual é a equação reduzida de uma circunferência com centro em C=(2, 2) e raio r=4? 7. Determine a equação geral de uma circunferência com centro em C=(1, 3) e raio r=3? 8. Qual é a cônica cuja equação corresponde a x2+y2+2x+6y=8? 9. A figura abaixo apresenta uma elipse com centro na origem, semi-eixo vertical igual a 3 e semi-eixo horizontal igual a 4. Com base nessas informações, determine a equação canônica dessa elipse. 10. Determine qual é a cônica de equação 25x2+9y2+100x+18y-116=0. 11. Determine a equação canônica da hipérbole apresentada na figura abaixo. 12. Determine a equação da parábola apresentada abaixo. 13. Qual é a cônica cuja equação corresponde a x2+y-10=0? 14. Determine qual é a cônica de equação igual a y2+2x+3y+5=0. 15. Represente graficamente a parábola dada por x2-6x-y+5=0.
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