Resolução do Livro Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle (cápitulo 6, O PLANO) PARTE III

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Nos problemas 23 e 24, determinar uma equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados: 
23º) A (4, 3, 2) e x = t 
 r: y = 2 – t 
 z = 3 + 2t 
B (0, 2, 3) e 𝑣Ԧ = (1, -1, 2) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (0, 2, 3) – (4, 3, 2) = (-4, -1, 1) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ x 𝑣Ԧ = 
 𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
−4 −1 1
1 −1 2
 = 
−1 1
−1 2
 𝑖Ԧ - 
−4 1
1 2
 𝑗Ԧ + 
−4 −1
1 −1
 𝑘ሬԦ = (-2 + 1) 𝑖Ԧ – (-8 – 1) 𝑗Ԧ + 
(4 + 1) 𝑘ሬԦ = (-1, 9, 5) 
Como A (4, 3, 2)  : 
-x + 9y + 5z + d = 0 
-4 + 9 (3) + 5 (2) + d = 0 
-4 + 27 + 10 + d = 0 
d = -33 
Equação Geral → -x + 9y + 5z – 33 = 0 / x – 9y – 5z + 33 = 0 
24º) A (1, -1, 2) e o eixo dos z. 
RESOLUÇÃO DO LIVRO VETORES E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
eixo do z (0, 0, 1) 
A x Oz = 
 𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
1 −1 2
0 0 1
 = 
−1 2
0 1
 𝑖Ԧ - 
1 2
0 1
 𝑗Ԧ + 
1 −1
0 0
 𝑘ሬԦ = (-1 - 0) 𝑖Ԧ – (1 – 0) 𝑗Ԧ + (0 + 0) 
𝑘ሬԦ = (-1, -1, 0) 
Como A (1, -1, 2)  : 
-x - y + d = 0 
-1 - (-1) + d = 0 
d = 0 
Equação Geral: - x – y = 0 / x + y = 0 
Nos problemas de 25 a 30, obter uma equação geral do plano. 
25º) Paralelo ao eixo dos z e que contenha os pontos A (0, 3, 4) e B (2, 0, -2) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ x Oz = 
 𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
0 0 1
2 −3 −6
 = 
0 1
−3 −6
 𝑖Ԧ - 
0 1
2 −6
 𝑗Ԧ + 
0 0
2 −3
 𝑘ሬԦ = (0 + 3) 𝑖Ԧ – (0 – 2) 𝑗Ԧ + 
(0 - 0) 𝑘ሬԦ = (3, 2, 0) 
Como A (0, 3, 4)  : 
3x + 2y + d = 0 
3 (0) + 2 (3) + d = 0 
d = -6 
Equação Geral: 3x + 2y - 6= 0 
26º) Paralelo ao eixo dos x e que contenha os pontos A (-2, 0, 2) e B (0, -2, 1) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ x Ox = 
 𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
1 0 0
2 −2 −1
 = 
0 0
−2 −1
 𝑖Ԧ - 
1 0
2 −1
 𝑗Ԧ + 
1 0
2 −2
 𝑘ሬԦ = (-0 - 0) 𝑖Ԧ – (-1 – 0) 𝑗Ԧ + 
(-2 - 0) 𝑘ሬԦ = (0, 1, -2) 
Como A (-2, 0, 2)  : 
y – 2z + d = 0 
0 - 2 (2) + d = 0 
d = 4 
Equação Geral: y – 2z + 4= 0 
27º) Paralelo ao eixo dos y e que contenha os pontos A (2, 3, 0) e B (0, 4, 1) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (0, 4, 1) – (2, 3, 0) = (-2, 1, 1) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ x Oy = 
 𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
0 1 0
−2 1 1
 = 
1 0
1 1
 𝑖Ԧ - 
0 0
−2 1
 𝑗Ԧ + 
0 1
−2 1
 𝑘ሬԦ = (1 - 0) 𝑖Ԧ – (0 + 0) 𝑗Ԧ + (0 + 
2) 𝑘ሬԦ = (1, 0, 2) 
Como A (2, 3, 0)  : 
x + 2z + d = 0 
2 + 2 (0) + d = 0 
d = -2 
Equação Geral: x + 2z - 2= 0 
28º) Paralelo ao plano xOy e que contenha o ponto A (5, -2, 3) 
Equação geral // xOy (0, 0, 1) A (5, -2, 3) 
z = 3 
29º) Perpendicular ao eixo dos y e que contenha o ponto A (3, 4, -1) 
Equação geral ⊥ xOy (0, 1, 0) A (3, 4, -1) 
y = 4 
30º) Que contenha o ponto A (1, -2, 1) e o eixo dos x. 
Ox (1, 0, 0) 
𝐴 x Ox = 
 𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
1 −2 1
1 0 0
 = 
−2 1
0 0
 𝑖Ԧ - 
1 1
1 0
 𝑗Ԧ + 
1 −2
1 0
 𝑘ሬԦ = (-0 - 0) 𝑖Ԧ – (0 - 1) 𝑗Ԧ + (0 + 2) 
𝑘ሬԦ = (0, 1, 2) 
Como A (1, -2, 1)  : 
y + 2z + d = 0 
-2 + 2 (0) + d = 0 
d = 0 
Equação Geral: y + 2z = 0 
31º) Representar graficamente os planos de equações: 
a) 3x + 4y + 2z – 12 = 0 
b) 6x + 4y – 3z – 12 = 0 
c) x + y – 3 = 0 
d) 2x + 3y – 6 = 0 
e) 3y + 4z + 12 = 0 
f) 2z – 5 = 0 
g) y + 4 = 0 
h) 2x – y = 0 
32º) Determinar o ângulo entre os seguintes planos: 
a) 1: x – 2y + z - 6= 0 e 2: 2x – y - z + 3= 0 
𝑛1ሬሬሬሬԦ = (1, -2, 1) e 𝑛2ሬሬሬሬԦ = (2, -1, -1) 
Cos = 
| 𝑛1ሬሬሬሬሬԦ . 𝑛2ሬሬሬሬሬԦ | 
|𝑛1ሬሬሬሬሬԦ |. |𝑛2ሬሬሬሬሬԦ |
 = 
| (1,−2,1) . (2,−1,−1) | 
ඥ12+(−2)2+ 12. ඥ22+(−1)2+(−1)2
 = 
| 2+2−1| 
ξ6. ξ6
 = 
3
ξ36
 = 
3
6
 = 
1
2
 = 60º 
b) 1: x – y + 4 = 0 e 2: 2x – y - z = 0 
𝑛1ሬሬሬሬԦ = (1, -1, 0) e 𝑛2ሬሬሬሬԦ = (2, -1, -1) 
Cos = 
| 𝑛1ሬሬሬሬሬԦ . 𝑛2ሬሬሬሬሬԦ | 
|𝑛1ሬሬሬሬሬԦ |. |𝑛2ሬሬሬሬሬԦ |
 = 
| (1,−1,0) . (2,−1,−1) | 
ඥ12+(−1)2+ 02. ඥ22+(−1)2+(−1)2
 = 
| 2+1| 
ξ2. ξ6
 = 
3
ξ12
 = 
3
2ξ3
 . 
2ξ3
2ξ3
 = 
ξ3
2
 = 
30º 
c) 1: x + 2y - 6 = 0 e 2: y = 0 
 
𝑛1ሬሬሬሬԦ = (1, 2, 0) e 𝑛2ሬሬሬሬԦ = (0, 1, 0) 
Cos = 
| 𝑛1ሬሬሬሬሬԦ . 𝑛2ሬሬሬሬሬԦ | 
|𝑛1ሬሬሬሬሬԦ |. |𝑛2ሬሬሬሬሬԦ |
 = 
| (1,2,0) . (0,1,0) | 
ඥ12+(2)2+ 02. ඥ02+(1)2+(0)2
 = 
| 0+2+0| 
ξ5. ξ1
 = 
2
ξ5
 
 
d) x = 1 + h – t x = 2 + t 
1: y = h + 2t e 2: y = -2h 
 z = h z = h + t 
1º - encontrar a equação geral do plano 1 
Equação vetorial – (x, y, z) = (1, 0, 0) + h (1, 1, 1) + t (-1, 2, 0) 
𝑢ሬԦ = (1, 1, 1) e 𝑣Ԧ = (-1, 2, 0) e A (1, 0, 0) 
𝑢ሬԦ x 𝑣Ԧ = 
 𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
1 1 1
−1 2 0
 = 
1 1
2 0
 𝑖Ԧ - 
1 1
−1 0
 𝑗Ԧ + 
1 1
−1 2
 𝑘ሬԦ = (0 - 2) 𝑖Ԧ – (0 + 1) 𝑗Ԧ + (2 + 1) 𝑘ሬԦ 
= (-2, -1, 3) 
Como A (1, 0, 0)  : 
-2x - y + 3z + d = 0 
-2 (1) - 0 + 3 (0) + d = 0 
d = 2 
Equação Geral 1: -2x - y + 3z + 2= 0 // 2x + y – 3z – 2 = 0 
2º - encontrar a equação geral do plano 2 
Equação vetorial – (x, y, z) = (2, 0, 0) + h (0, -2, 1) + t (1, 0, 1) 
𝑢ሬԦ = (0, -2, 1) e 𝑣Ԧ = (1, 0, 1) e A (2, 0, 0) 
𝑢ሬԦ x 𝑣Ԧ = 
 𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
0 −2 1
1 0 1
 = 
−2 1
0 1
 𝑖Ԧ - 
0 1
1 1
 𝑗Ԧ + 
0 −2
1 0
 𝑘ሬԦ = (-2 - 0) 𝑖Ԧ – (0 - 1) 𝑗Ԧ + (0 + 2) 𝑘ሬԦ 
= (-2, 1, 2) 
Como A (2, 0, 0)  : 
-2x + y + 2z + d = 0 
-2 (2) + 0 + 2 (0) + d = 0 
d = 4 
Equação Geral 2: -2x + y + 2z + 4= 0 // 2x - y – 2z - 4 = 0 
3º - encontrar o ângulo: 
Cos = 
| 𝑛1ሬሬሬሬሬԦ . 𝑛2ሬሬሬሬሬԦ | 
|𝑛1ሬሬሬሬሬԦ |. |𝑛2ሬሬሬሬሬԦ |
 = 
| (2,1,−3) . (2,− 1,−2) | 
ඥ22+(1)2+ (−3)2. ඥ22+(−1)2+(−2)2
 = 
| 4−1+6| 
ξ14. ξ9
 = 
9
3ξ14
 = 
3
ξ14
 
33º) Determinar o valor de m para que seja de 30º o ângulo entre os planos: 
1: x – my + 2z - 1 = 0 e 2: 4x + 5y + 3z + 2 = 0 
𝑛1ሬሬሬሬԦ = (1, m, 2) e 𝑛2ሬሬሬሬԦ = (4, 5, 3) 
ξ3
2
 = 
| 𝑛1ሬሬሬሬሬԦ . 𝑛2ሬሬሬሬሬԦ | 
|𝑛1ሬሬሬሬሬԦ |. |𝑛2ሬሬሬሬሬԦ |
 = 
| (1,𝑚,2) . (4,5,3) | 
ඥ12+(𝑚)2+ 22. ඥ42+(5)2+(3)2
 = 
| 4+5𝑚+6| 
ξ5+ 𝑚2. ξ50
 = 
5𝑚+10
ξ250+50𝑚2
 
(
ξ3
2
 )2 = (
5𝑚+10
ξ250+50𝑚2
)2 → 
3
4
 = 
25𝑚2+100𝑚+100
250+50𝑚2
 = 750 + 150m2 = 100m2 + 400m + 400 → 
150m2 – 100m2 – 400m + 750 – 400 = 0 → 50m2 – 400m + 350 = 0 → m2 – 8m + 7 = 0 
 = (-8)2 – 4 . 1 . 7 
 = 64 – 28 = 36 
m = 
8
+
−
6
2
 = m1 = 7 e m2 = 1