M.A.P.A. Geometria Analítica e Álgebra Linear

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M.A.P.A. – Geometria Analítica e Álgebra Linear
	Nome: VINICIUS SENNA OLIVEIRA
	RA: 25040711-5
 
Olá, Estudante! 
 
Este é um trabalho INDIVIDUAL 
 
Sobre o seu preenchimento, é necessário o cumprimento das seguintes diretrizes: 
 
· Não serão aceitas respostas que constam apenas o resultado numérico, sem que seja demonstrado o raciocínio que o levou a encontrar aquela resposta; 
· Toda e qualquer fonte e/ou referência utilizada para responder os questionários deve ser citada ao final da questão; 
· Após inteiramente respondido, o Template deve ser enviado para correção através do Studeo em um dos formatos sugeridos abaixo: 
> .jpg, .pdf, .doc, .zip ou .rar. 
· O Template pode ter quantas páginas você precisar para respondê-lo, desde que siga a sua estrutura; 
· O Template deve ser enviado única e exclusivamente pelo Studeo, no campo destinado a esta atividade da disciplina. Toda e qualquer outra forma de entrega não será considerada. 
A qualidade do trabalho será considerada na hora da avaliação, então preencha tudo com cuidado, explique o que está fazendo, responda as perguntas e mostre sempre o passo a passo das resoluções e deduções. Quanto mais completo seu trabalho, melhor! 
 
Problemas frequentes a evitar: 
· Coloque um nome simples em seu arquivo para não haver confusão no momento do envio; 
· Se você usa OPEN OFFICE ou MAC, transforme o arquivo em .pdf para evitar incompatibilidades; 
· Verifique se você está enviando o arquivo correto! É a Atividade M.A.P.A. da disciplina? Ele está preenchido adequadamente? 
 
Como enviar o arquivo: 
· Acesse, no Studeo, o ambiente da disciplina e clique no botão “M.A.P.A.”. No final da página há uma caixa tracejada de envio de arquivo. Basta clicar nela e, então, selecionar o arquivo de resposta (template) da sua atividade; 
· Antes de clicar em FINALIZAR, certifique-se de que tudo está certo, pois uma vez finalizado não será possível modificar o arquivo. Sugerimos que clique no link gerado da atividade e faça o download para conferir se está de acordo com o arquivo entregue. 
 
Sobre plágio e outras regras: 
· Trabalhos copiados da internet ou de outros alunos serão zerados! 
 
A equipe de mediação está à disposição para o atendimento das dúvidas por meio do “Fale com o Mediador” no Studeo. Aproveite essa ferramenta! 
 
 
 	 
A sua atividade é composta for desafios, cada um deles explorando conteúdos específicos da Disciplina. 
 
Atividade:
"Os vetores são entidades matemáticas muito genéricas e extremamente relevantes nas mais diversas áreas, sobretudo na engenharia".
Fonte: FRAGELLI, R. R.; AMORIM, R. G. G.; RISPOLI, V. C. Geometria analítica e álgebra linear. Maringá: UniCesumar, 2018. p. 102.
Empresas de logística e distribuição estão utilizando drones autônomos para realizar inventário em grandes armazéns. Cada drone é programado para se deslocar em 3D entre estantes, realizar leituras de códigos e registrar posições de paletes e produtos.
As rotas, posições, direções de leitura e delimitações dos setores são representadas por vetores tridimensionais. A análise vetorial ajuda na verificação de rota, cálculo de ângulos entre caminhos, detecção de colisões e cálculo do volume de operação.
Utilizando seus conhecimentos sobre vetores, responda às questões a seguir:
1) Dois drones estão operando no armazém. O drone A segue uma rota representada pelo vetor va = (6, 2, 3), e o drone B segue a rota vb = (4, 3, 0). Utilizando-se de produto escalar:
a) Os vetores são ortogonais?
b) Com base no valor do ângulo (em graus) entre os vetores, os drones estão voando em rotas próximas ou bem diferentes?
2) Um terceiro drone deve se movimentar em uma direção simultaneamente perpendicular aos drones A e B (dados no exercício 1).
a) Qual é o vetor que indica a direção e sentido do movimento do terceiro drone?
b) Prove que o vetor encontrado para o drone C é perpendicular às trajetórias dos drones A e B.
3) A partir dos vetores va, vb e vc, qual o volume do galpão em que esses três drones fazem a correta distribuição?
4) Se os drones A e B iniciam o movimento no ponto P₀(1, 1, 2), dê as equações de reta vetorial, simétrica e paramétrica dos dois drones.
	Resposta:
1) Produto escalar e ângulo entre vetores
Dados
va⃗=(6,2,3),vb⃗=(4,3,0).\vec{v_a} = (6, 2, 3), \quad \vec{v_b} = (4, 3, 0).va​​=(6,2,3),vb​​=(4,3,0). 
a) São ortogonais?
Produto escalar:
va⃗⋅vb⃗=6×4+2×3+3×0=24+6+0=30.\vec{v_a} \cdot \vec{v_b} = 6 \times 4 + 2 \times 3 + 3 \times 0 = 24 + 6 + 0 = 30.va​​⋅vb​​=6×4+2×3+3×0=24+6+0=30. 
✅ Conclusão: Não são ortogonais, pois o produto escalar ≠ 0.
b) Cálculo do ângulo
cos⁡θ=va⃗⋅vb⃗∣va⃗∣⋅∣vb⃗∣.\cos \theta = \frac{\vec{v_a} \cdot \vec{v_b}}{|\vec{v_a}| \cdot |\vec{v_b}|}.cosθ=∣va​​∣⋅∣vb​​∣va​​⋅vb​​​. 
· ∣va⃗∣=62+22+32=36+4+9=49=7.|\vec{v_a}| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7.∣va​​∣=62+22+32​=36+4+9​=49​=7.
· ∣vb⃗∣=42+32+02=16+9=25=5.|\vec{v_b}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.∣vb​​∣=42+32+02​=16+9​=25​=5.
Logo:
cos⁡θ=307×5=3035=67≈0,8571.\cos \theta = \frac{30}{7 \times 5} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7} \approx 0,8571.cosθ=7×530​=3530​=76​≈0,8571. θ=cos⁡−1(0,8571)≈30,96∘.\theta = \cos^{-1}(0,8571) \approx 30,96^\circ.θ=cos−1(0,8571)≈30,96∘. 
✅ Conclusão: Os drones estão voando em rotas próximas (ângulo pequeno).
🔷 2) Vetor perpendicular aos dois (produto vetorial)
a) Produto vetorial
vc⃗=va⃗×vb⃗.\vec{v_c} = \vec{v_a} \times \vec{v_b}.vc​​=va​​×vb​​. 
Usando determinante:
∣ijk623430∣\begin{vmatrix} i & j & k \\ 6 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 0 \end{vmatrix}​i64​j23​k30​​ =i(2⋅0−3⋅3)−j(6⋅0−3⋅4)+k(6⋅3−2⋅4).= i (2 \cdot 0 - 3 \cdot 3) - j (6 \cdot 0 - 3 \cdot 4) + k (6 \cdot 3 - 2 \cdot 4).=i(2⋅0−3⋅3)−j(6⋅0−3⋅4)+k(6⋅3−2⋅4). =i(0−9)−j(0−12)+k(18−8).= i (0 - 9) - j (0 - 12) + k (18 - 8).=i(0−9)−j(0−12)+k(18−8). =(−9,+12,+10).= (-9, +12, +10).=(−9,+12,+10). 
✅ Vetor perpendicular: vc⃗=(−9,12,10).\vec{v_c} = (-9, 12, 10).vc​​=(−9,12,10).
b) Prova de perpendicularidade
Para confirmar, o produto escalar de vc⃗\vec{v_c}vc​​ com va⃗\vec{v_a}va​​ e vb⃗\vec{v_b}vb​​ deve ser zero:
· vc⃗⋅va⃗=(−9)(6)+(12)(2)+(10)(3)=−54+24+30=0.\vec{v_c} \cdot \vec{v_a} = (-9)(6) + (12)(2) + (10)(3) = -54 + 24 + 30 = 0.vc​​⋅va​​=(−9)(6)+(12)(2)+(10)(3)=−54+24+30=0.
· vc⃗⋅vb⃗=(−9)(4)+(12)(3)+(10)(0)=−36+36+0=0.\vec{v_c} \cdot \vec{v_b} = (-9)(4) + (12)(3) + (10)(0) = -36 + 36 + 0 = 0.vc​​⋅vb​​=(−9)(4)+(12)(3)+(10)(0)=−36+36+0=0.
✅ Comprovado: vc⃗\vec{v_c}vc​​ é perpendicular aos dois vetores.
🔷 3) Volume formado pelos três vetores
Volume = valor absoluto do produto misto:
V=∣va⃗⋅(vb⃗×vc⃗)∣.V = |\vec{v_a} \cdot (\vec{v_b} \times \vec{v_c})|.V=∣va​​⋅(vb​​×vc​​)∣. 
Mas como vc⃗=va⃗×vb⃗\vec{v_c} = \vec{v_a} \times \vec{v_b}vc​​=va​​×vb​​, o volume é o módulo do produto escalar de vc⃗\vec{v_c}vc​​ consigo mesmo:
V=∣vc⃗⋅vc⃗∣=∣(−9)2+122+102∣=∣81+144+100∣=∣325∣.V = |\vec{v_c} \cdot \vec{v_c}| = |(-9)^2 + 12^2 + 10^2| = |81 + 144 + 100| = |325|.V=∣vc​​⋅vc​​∣=∣(−9)2+122+102∣=∣81+144+100∣=∣325∣. 
✅ Volume: 325 unidades cúbicas.
🔷 4) Equações das retas
Para o drone A
Equação vetorial
ra:r⃗=(1,1,2)+t(6,2,3).r_a: \vec{r} = (1,1,2) + t(6,2,3).ra​:r=(1,1,2)+t(6,2,3). 
Equações paramétricas
x=1+6t,y=1+2t,z=2+3t.x = 1 + 6t, \\ y = 1 + 2t, \\ z = 2 + 3t.x=1+6t,y=1+2t,z=2+3t. 
Equação simétrica
x−16=y−12=z−23.\frac{x-1}{6} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3}.6x−1​=2y−1​=3z−2​. 
Para o drone B
Equação vetorial
rb:r⃗=(1,1,2)+t(4,3,0).r_b: \vec{r} = (1,1,2) + t(4,3,0).rb​:r=(1,1,2)+t(4,3,0). 
Equações paramétricas
x=1+4t,y=1+3t,z=2.x = 1 + 4t, \\ y = 1 + 3t, \\ z = 2.x=1+4t,y=1+3t,z=2. 
Equação simétrica
x−14=y−13,z=2.\frac{x-1}{4} = \frac{y-1}{3}, \quad z = 2.4x−1​=3y−1​,z=2. 
✅ Resumo Final
	Item
	Resposta
	1a
	Não são ortogonais.
	1b
	Ângulo ≈ 31°, rotas próximas.
	2a
	vc⃗=(−9,12,10)\vec{v_c} = (-9,12,10)vc​​=(−9,12,10).
	2b
	Produto escalar com A e B = 0.
	3
	Volume = 325 unidades³.
	4
	Equações vetoriais, paramétricas e simétricas conforme acima.
Fonte: FRAGELLI, R. R.; AMORIM, R. G. G.; RISPOLI, V. C. Geometria analítica e álgebra linear.Maringá: UniCesumar, 2018. p. 102.