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Resumo do Eletromagnetismo Carlos Heitor dÁvila Fonseca Maio de 2000 O texto abaixo resume equações básicas do eletromagnetismo nos formalismos inte- gral e diferencial. Um estudo dirigido mostra como deduzir resultados importantes como as equações de continuidade e a equação de onda. Para tanto necessitamos também de alguns resultados do cálculo vetorial. 1. Resultados do cálculo vetorial 1.1. De nições Aqui vão algumas de nições e notações do cálculo vetorial. Operador diferencial del em coordenadas cartesianas:�!r � i^ @@x + j^ @@y + k^ @@z (vetor). Operador laplaciano em coordenadas cartesianas: r2 � �!r :�!r = @2 @x2 + @ 2 @y2 + @ 2 @z2 (escalar). Consideremos também as funções: f(x; y; z), campo escalar, e �! F (x; y; z), campo vetorial. Podemos escrever então: Gradiente: �!rf (vetor). Divergente: �!r :�!F (escalar). Rotacional: �!r ��!F (vetor). Laplaciano: r2f (escalar) , e r2�!F (vetor). 1.2. Identidades Escrevemos abaixo algumas identidades do cálculo vetorial: (1) �!r :(�!r ��!F ) = 0 . (2) �!r � (�!r ��!F ) = �!r(�!r :�!F )�r2�!F . (3) �!r:(�!F ��!G) = �!G:(�!r ��!F )��!F :(�!r ��!G) . 1.3. Teoremas Os teoremas de Gauss e de Stokes relacionam o formalismo integral com o formalismo diferencial do cálculo vetorial: (4) Gauss: R V �!r :�!F dV = HS �!F :d�!A . (5) Stokes: R S �!r ��!F:d�!A = HC �!F :d�!l . 2. Equações de Maxwell 2.1. Forma integral Abaixo estão as equações de Maxwell na forma usual: (i) H �! E :d �! A = 1�0 q , lei de Gauss. (ii) H �! B:d �! A = 0 , lei de Gauss do magnetismo. (iii) H �! E :d �! l = � ddt R �! B:d �! A , lei Faraday. (iv) H �! B:d �! l = �0 i+ �0�0 d dt R �! E :d �! A , lei de Ampère-Maxwell. 2.2. Forma diferencial Aqui estão as mesmas equações no formalismo diferencial: (I) �!r :�!E = 1�0 � . (II) �!r :�!B = 0 . (III) �!r ��!E = � @@t �! B . (IV) �!r ��!B = �0 �! j + �0�0 @ @t �! E . Onde � é a densidade de carga e �! j é a densidade de corrente: q = R � dV , i = ddtq = R �! j :d �! A ; �! j = �~v , id = �0 d dt R �! E :d �! A = R �! jd :d �! A , �! jd = �0 @ @t �! E . 3. Energia eletromagnética e vetor de Poynting Abaixo escrevemos a densidade de energia eletromagnética , u, e o uxo de energia, dado pelo vetor de Poynting, �! S : (V) u = dUdV = 1 2�0E 2 + 12�0 B2 . (VI) �! S = 1�0 �! E ��!B , ����!S ��� = 1A dUdt . 4. Força de Lorentz A força sentida por uma carga elétrica q , movimentando-se com velocidade �!v , na presença do campo eletromagnético é dada pela força de Lorentz: (vii) �! F = q ��! E +�!v ��!B � . Essa equação pode ser escrita em termos de densidades como: (VII) d �! F dV = � ��! E +�!v ��!B � = � �! E + �! j ��!B . 2 Estudo dirigido 5. Equivalência dos formalismos � Utilizando os teoremas de Gauss (4) e de Stokes (5), demonstre a equivalência entre a formulação integral e a formulação diferencial das equações de Maxwell. � Interprete sicamente as equações de Maxwell, tanto no formalismo integral quanto no formalismo diferencial. 6. Conservação da carga � Tome o divergente da equação IV e use a equação 1 e equação I para demon- strar a equação da continuidade, que expressa localmente a conservação da carga elétrica: @ @t �+ �!r :�!j = 0 . � Com a ajuda do teorema de Gauss, reescreva a equação da continuidade no for- malismo integral. � Discuta o signi cado da equação da continuidade no formalismo diferencial e no formalismo integral. � Qual a diferença entre dizer que uma grandeza física se conserva (de maneira global) e dizer que ela se conserva localmente? 7. Continuidade da corrente � De maneira análoga ao item anterior deduza a equação abaixo, que expressa a continuidade da corrente: �!r :(�!j +�!jd ) = 0 . � Escreva a equação acima no formalismo integral. 8. Conservação da energia A conservação da energia pode ser expressa, localmente, pela equação abaixo: @ @t u+ �!r :�!S = ��!E :�!j . 3 O segundo membro da igualdade é a potência por unidade de volume, que é trans- formada em outra forma de energia que não seja eletromagnética. Se esse termo for nulo a energia eletromagnética se conserva. Notar a semelhança do primeiro membro, nesse caso, com a equação da conservação da carga elétrica. � Para demonstrar a equação acima, tome o divergente da equação VI e utilize a equação 3. Em seguida tome a derivada temporal da equação V e junte com o último resultado. � Reescreva a lei da conservação da energia no formalismo integral. � Interprete sicamente cada termo da lei da conservação da energia. Mostre que o segundo membro da equação descreve a converção de energia eletromagnética para outra forma (energia dissipada por efeito Joule, por exemplo). 9. Onda eletromagnética As equações diferenciais que descrevem a onda eletromagnética no vácuo ( � = 0 e�! j = 0 ), são: r2�!E = 1 c2 @2 @t2 �! E e r2�!B = 1 c2 @2 @t2 �! B , onde c = s 1 �0�0 . � Demonstre a primeira equação de onda, tomando o rotacional da equação III e em seguida utilize as equações 2, IV e I. De maneira análoga demonstre a segunda equação. � Mostre também que as equações abaixo (ondas viajantes) são soluções para as equações de onda: �! E (�!r ; t) = �!Em cos(�!k :�!r � !t+'E) e �! B (�!r ; t) = �!Bm cos(�!k :�!r � !t+'B) . Aqui, devemos ter: ! = 2�T = 2�� , ����!k ��� = 2�� e c = !����!k ��� = �� . � A onda eletromagnética é uma onda transversal. No caso dela propagar-se no vácuo, mostre usando as equações de Maxwell, que: �! E ? �!B , �!E ? �!k , �!B ? �!k e �!k k �!S . Mostre também que, para ondas viajantes, as duas soluções �! E (�!r ; t) e �!B (�!r ; t) estão em fase: 'E = 'B e que as amplitudes obedecem à relação Em = c Bm . Sugestão: utilize as soluções ondulatórias acima nas equações III ou IV. 4 5
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