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Maxwell

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Resumo do Eletromagnetismo
Carlos Heitor d’Ávila Fonseca
Maio de 2000
O texto abaixo resume equações básicas do eletromagnetismo nos formalismos inte-
gral e diferencial. Um estudo dirigido mostra como deduzir resultados importantes como
as equações de continuidade e a equação de onda. Para tanto necessitamos também de
alguns resultados do cálculo vetorial.
1. Resultados do cálculo vetorial
1.1. De…nições
Aqui vão algumas de…nições e notações do cálculo vetorial.
Operador diferencial del em coordenadas cartesianas:�!r � i^ @@x + j^ @@y + k^ @@z (vetor).
Operador laplaciano em coordenadas cartesianas:
r2 � �!r :�!r = @2
@x2
+ @
2
@y2
+ @
2
@z2
(escalar).
Consideremos também as funções: f(x; y; z), campo escalar, e
�!
F (x; y; z), campo
vetorial.
Podemos escrever então:
Gradiente:
�!rf (vetor).
Divergente:
�!r :�!F (escalar).
Rotacional:
�!r ��!F (vetor).
Laplaciano: r2f (escalar) , e r2�!F (vetor).
1.2. Identidades
Escrevemos abaixo algumas identidades do cálculo vetorial:
(1)
�!r :(�!r ��!F ) = 0 .
(2)
�!r � (�!r ��!F ) = �!r(�!r :�!F )�r2�!F .
(3)
�!r:(�!F ��!G) = �!G:(�!r ��!F )��!F :(�!r ��!G) .
1.3. Teoremas
Os teoremas de Gauss e de Stokes relacionam o formalismo integral com o formalismo
diferencial do cálculo vetorial:
(4) Gauss:
R
V
�!r :�!F dV = HS �!F :d�!A .
(5) Stokes:
R
S
�!r ��!F:d�!A = HC �!F :d�!l .
2. Equações de Maxwell
2.1. Forma integral
Abaixo estão as equações de Maxwell na forma usual:
(i)
H �!
E :d
�!
A = 1�0 q , lei de Gauss.
(ii)
H �!
B:d
�!
A = 0 , lei de Gauss do magnetismo.
(iii)
H �!
E :d
�!
l = � ddt
R �!
B:d
�!
A , lei Faraday.
(iv)
H �!
B:d
�!
l = �0 i+ �0�0
d
dt
R �!
E :d
�!
A , lei de Ampère-Maxwell.
2.2. Forma diferencial
Aqui estão as mesmas equações no formalismo diferencial:
(I)
�!r :�!E = 1�0 � .
(II)
�!r :�!B = 0 .
(III)
�!r ��!E = � @@t
�!
B .
(IV)
�!r ��!B = �0
�!
j + �0�0
@
@t
�!
E .
Onde � é a densidade de carga e
�!
j é a densidade de corrente:
q =
R
� dV , i = ddtq =
R �!
j :d
�!
A ;
�!
j = �~v ,
id = �0
d
dt
R �!
E :d
�!
A =
R �!
jd :d
�!
A ,
�!
jd = �0
@
@t
�!
E .
3. Energia eletromagnética e vetor de Poynting
Abaixo escrevemos a densidade de energia eletromagnética , u, e o ‡uxo de energia,
dado pelo vetor de Poynting,
�!
S :
(V) u = dUdV =
1
2�0E
2 + 12�0
B2 .
(VI)
�!
S = 1�0
�!
E ��!B ,
����!S ��� = 1A dUdt .
4. Força de Lorentz
A força sentida por uma carga elétrica q , movimentando-se com velocidade �!v , na
presença do campo eletromagnético é dada pela força de Lorentz:
(vii)
�!
F = q
��!
E +�!v ��!B
�
.
Essa equação pode ser escrita em termos de densidades como:
(VII) d
�!
F
dV = �
��!
E +�!v ��!B
�
= �
�!
E +
�!
j ��!B .
2
Estudo dirigido
5. Equivalência dos formalismos
� Utilizando os teoremas de Gauss (4) e de Stokes (5), demonstre a equivalência
entre a formulação integral e a formulação diferencial das equações de Maxwell.
� Interprete …sicamente as equações de Maxwell, tanto no formalismo integral quanto
no formalismo diferencial.
6. Conservação da carga
� Tome o divergente da equação IV e use a equação 1 e equação I para demon-
strar a equação da continuidade, que expressa localmente a conservação da carga
elétrica:
@
@t
�+
�!r :�!j = 0 .
� Com a ajuda do teorema de Gauss, reescreva a equação da continuidade no for-
malismo integral.
� Discuta o signi…cado da equação da continuidade no formalismo diferencial e no
formalismo integral.
� Qual a diferença entre dizer que uma grandeza física se conserva (de maneira
global) e dizer que ela se conserva localmente?
7. Continuidade da corrente
� De maneira análoga ao item anterior deduza a equação abaixo, que expressa a
continuidade da corrente: �!r :(�!j +�!jd ) = 0 .
� Escreva a equação acima no formalismo integral.
8. Conservação da energia
A conservação da energia pode ser expressa, localmente, pela equação abaixo:
@
@t
u+
�!r :�!S = ��!E :�!j .
3
O segundo membro da igualdade é a potência por unidade de volume, que é trans-
formada em outra forma de energia que não seja eletromagnética. Se esse termo for
nulo a energia eletromagnética se conserva. Notar a semelhança do primeiro membro,
nesse caso, com a equação da conservação da carga elétrica.
� Para demonstrar a equação acima, tome o divergente da equação VI e utilize a
equação 3. Em seguida tome a derivada temporal da equação V e junte com o
último resultado.
� Reescreva a lei da conservação da energia no formalismo integral.
� Interprete …sicamente cada termo da lei da conservação da energia. Mostre que
o segundo membro da equação descreve a converção de energia eletromagnética
para outra forma (energia dissipada por efeito Joule, por exemplo).
9. Onda eletromagnética
As equações diferenciais que descrevem a onda eletromagnética no vácuo ( � = 0 e�!
j = 0 ), são:
r2�!E = 1
c2
@2
@t2
�!
E e r2�!B = 1
c2
@2
@t2
�!
B , onde c =
s
1
�0�0
.
� Demonstre a primeira equação de onda, tomando o rotacional da equação III
e em seguida utilize as equações 2, IV e I. De maneira análoga demonstre a
segunda equação.
� Mostre também que as equações abaixo (ondas viajantes) são soluções para as
equações de onda:
�!
E (�!r ; t) = �!Em cos(�!k :�!r � !t+'E) e
�!
B (�!r ; t) = �!Bm cos(�!k :�!r � !t+'B) .
Aqui, devemos ter: ! = 2�T = 2�� ,
����!k ��� = 2�� e c = !����!k ��� = �� .
� A onda eletromagnética é uma onda transversal. No caso dela propagar-se no
vácuo, mostre usando as equações de Maxwell, que:
�!
E ? �!B , �!E ? �!k , �!B ? �!k e �!k k �!S .
Mostre também que, para ondas viajantes, as duas soluções
�!
E (�!r ; t) e �!B (�!r ; t)
estão em fase: 'E = 'B e que as amplitudes obedecem à relação Em = c Bm
. Sugestão: utilize as soluções ondulatórias acima nas equações III ou IV.
4
5