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ANALOGIA MECÂNICO-ELÉTRICA
SISTEMAS LINEARES
Carlos Heitor d’Ávila Fonseca - 2010
Os quadros abaixo procuram resumir a analogia existente entre sistemas
mecânicos e circuitos elétricos, constituídos de elementos lineares.
RELAÇÕES BÁSICAS:
MECÂNICA ! CIRCUITOS
VARIÁVEIS
x (t) ! q (t)
v � dxdt ! i � dqdt
F (t) ! V (t) ou " (t)
ELEMENTOS LINEARES
m ! L
k ! C�1
b ! R
OUTRAS RELAÇÕES:
ESTÍMULOS EM ELEMENTOS LINEARES
F = m dvdt ! V = L didt
F = k x ! V = C�1q
F = b v ! V = R i
Observação: os estímulos (forças ou tensões elétricas) associados aos elemen-
tos podem, de acordo com o contexto, apresentar sinais algébricos. Esses sinais
vão depender do que se considera: a ação sobre o elemento ou a sua reação. Por
exemplo, F = �k x representa a ação de uma força restauradora elástica
sobre uma partícula, sendo a força contrária ao deslocamento. Já a reação da
partícula sobre a mola terá o sinal positivo.
Outro exemplo é " = �L didt , que representa a reação de um indutor,
contrária à variação da corrente. Nesse caso a f.e.m. induzida " decorre da lei
de Lenz, em que o elemento reage sobre o restante do circuito tentando evitar
a variação do ‡uxo magnético.
Para cada sistema, o sinal algébrico apropriado pode ser determinado a partir
da conservação da energia, como mostrado a seguir.
1
ENERGIAS
dW = F dx dW = V dq
K = 12m v
2 ! UB = 12L i2
U = 12k x
2 ! UE = 12C�1q2
Potência:
P = dWdt = F v ! P = dWdt = V i
Dissipação de energia:
Pdissipada = b v
2 ! Pdissipada = R i2
TEMPOS DE RELAXAÇÃO
“freio”:
d
dt
�
1
2mv
2
�
= �bv2
) m x+ b _x = 0
�m � mb
v (t) = v0 exp
�
� t�m
� !
d
dt
�
1
2Li
2
�
= �Ri2
) L q +R _q = 0
�L � LR
i (t) = i0 exp
�
� t�L
�
“amortecedor”:
d
dt
�
1
2kx
2
�
= �bv2
) b _x+ k x = 0
�k � bk
x (t) = x0 exp
�
� t�k
� !
d
dt
�
1
2C
�1q2
�
= �Ri2
) R _q + C�1q = 0
�C � RC
q (t) = q0 exp
�
� t�C
�
OSCILADOR LIVRE
d
dt
�
1
2mv
2 + 12kx
2
�
= �bv2
) m x+ b _x+ k x = 0 !
d
dt
�
1
2Li
2 + 12C
�1q2
�
= �Ri2
) L q +R _q + C�1q = 0
sem amortecimento:
!0 �
q
k
m ! !0 �
q
1
LC
subamortecido:
para b < 2
p
mk:
!1 �
q
k
m �
�
b
2m
�2
x (t) = x0 e
� b2m t cos (!1t+ �0)
 !
para R < 2
p
L=C:
!1 �
q
1
LC �
�
R
2L
�2
q (t) = q0 e
� R2L t cos (!1t+ �0)
2
Oscilações forçadas no regime estacionário
No regime estacionário o sistema responde a um estímulo externo oscilatório
de frequência angular !, oscilando nessa mesma frequência. Porém, em geral, a
resposta surge defasada. Assim, o estímulo externo atuando sobre o sistema e
sua resposta podem ser escritos na forma:
F (t) � Fmax sin (!t) ! " (t) � "max sin (!t)
x (t) = �xmax cos (!t� �) ! q (t) = �qmax cos (!t� �)
) v (t) = ! xmax sin (!t� �) ! ) i (t) = ! qmax sin (!t� �)
As amplitudes das grandezas estão representadas pelo índice max.
O coe…ciente de atrito viscoso b (ou a resistência R) di…culta o movimento
v (ou a passagem da corrente i) dissipando energia.
F = b v ! V = R i
No caso do oscilador forçado surge o conceito da reatância, X, que está ligado
à di…culdade em responder ao estímulo oscilatório. No entanto uma reatância
não dissipa energia.
O conceito mais geral englobando atrito e reatância é a impedância Z. Ela
representa a di…culdade do sistema como um todo em responder ao estímulo
externo oscilatório.
Fmax � Z vmax ! "max � Z imax
Z
8<:
b (atrito viscoso)
X
�
Xm � !m
Xk � k!
 ! Z
8<: R (resistência)X � XL � !L
XC � 1!C
Note que em cada caso as reatâncias podem ser de dois tipos: um deles causa
uma resposta atrasada na fase de �=2 e o outro adiantada de �=2.
Um tratamento usando grandezas complexas, ou sua representação grá…ca
num diagrama de fasores, mostra que a impedância e a constante de fase de um
sistema em série são dadas por
Z =
q
b2 + (Xm �Xk)2 ! Z =
q
R2 + (XL �XC)2
� = arctan Xm�Xkb ! � = arctan XL�XCR
Nesse caso podemos veri…car que a amplitude da resposta oscilatória é dada
por
3
vmax � ! xmax = Fmaxp
b2+(Xm�Xk)2
 ! imax � ! qmax = "maxp
R2+(XL�XC)2
A condição de ressonância ocorre quando, ao se variar a frequência ! do
estímulo externo, a resposta oscilatória é máxima:
) Z = m�{nimo ) o termo reativo se anula, ou seja
) Xm = Xk ! ) XL = XC
) !m = k! ! ) !L = 1!C
) ! =
q
k
m ! ) ! =
q
1
LC
Os cursos tradicionais de física básica não costumam abordar a impedância
ou reatância mecânicas, apesar de utilizarem esses conceitos nos circuitos de
corrente alternada. No entanto, tais idéias podem ser úteis no entendimento de
sistemas mecânicos. Uma demonstração disso pode ser feita segurando-se um
sistema massa-mola e forçando-o a oscilar com a mão. Submetendo esse sistema
a uma oscilação de frequência bem menor que a da ressonância notamos que a
massa executa facilmente as oscilações impostas pela mão: a reatância de massa
é baixa. Já a mola praticamente não se contrái ou distende, indicando uma alta
reatância de mola. Por outro lado, submetendo o sistema a uma frequência bem
maior que a de ressonância a massa praticamente não se movimenta, enquanto a
amplitude do movimento da mola é alta: reatância de massa grande e reatância
de mola pequena. O grá…co ilustra esse comportamento das reatâncias. Na
ressonância as reatâncias se igualam, cancelando o termo reativo da impedância.
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EXEMPLOS:
Exemplo 1
Um sistema é constituído de duas molas em série, de constantes elásticas k1
e k2.
a) Qual o circuito análogo a esse sistema?
b) Qual a constante elástica equivalente e qual a capacitância equivalente do
circuito análogo?
Solução:
a) Um sistema constituído de duas molas em série será análogo a um circuito
com dois capacitores. Para descobrir se esses capacitores devem estar
em série ou paralelo é necessário analisar o comportamento de mais uma
grandeza. Essa grandeza pode ser a tensão atuando nas molas e seu anál-
ogo, a voltagem nos capacitores. Nesse caso, devido à 3a¯ lei de Newton,
as forças de tensão atuando nas molas devem ser as mesmas. O circuito
análogo deve portando ter os dois capacitores sujeitos à mesma voltagem,
indicando ser uma associação em paralelo. Outra grandeza que poderia ter
sido analizada é o alongamento das molas, análogo à carga nos capacitores.
O alongamento total das molas em série é igual à soma dos alongamentos
individuais. É fácil veri…car que na associação em paralelo dos capaci-
tores a carga total é igual à soma das cargas individuais armazenadas,
comprovando ser esse o circuito análogo.
b) Juntando as idéias do item anterior é possível deduzir a expressão para
a constante elástica ou capacitância equivalente desses sistemas, como
mostrado no quadro abaixo.
5
�
F1 = F2 = F
x1 + x2 = x
 !
�
V1 = V2 = V
q1 + q2 = q
) F1k1 + F2k2 = Fk ! ) C1V1 + C2V2 = CV) 1k = 1k1 + 1k2 ! ) C = C1 + C2
Esse resultado mostra que um sistema constituído de duas molas em série
possui constante elástica menor que a da mola de menor constante elástica. A
mola resultante se torna mais macia que suas constituintes.
Exemplo 2
Duas massas m1 e m2 encontram-se separadas por uma mola de constante
elástica k.
a) Qual o circuito análogo a esse sistema?
b) Qual a expressão da massa equivalente (também chamadamassa reduzida)
e, no circuito, qual a grandeza análoga?
c) Qual a frequência angular desse oscilador?
Solução:
a) O circuito análogo deve possuir dois indutores e um capacitor. Podemos
analisar o comportamento das forças e seu análogo, as voltagens no cir-
cuito. Devido à 3a¯ lei de Newton todas as forças são iguais, assim, no
circuito análogo todos os elementos devem estar sujeitos à mesma volt-
agem. Isso signi…ca um circuito em paralelo. Além disso, notamos que
a soma dos deslocamentosdas massas deve ser igual ao alongamento da
mola: x1 + x2 = x. Derivando essa expressão em relação ao tempo obte-
mos uma relação para as velocidades, _x1+ _x2 = _x, que no caso do circuito
equivale à lei dos nós, i1 + i2 = i. Comprovamos, então, que a associ-
ação em paralelo de dois indutores e um capacitor é o circuito análogo do
oscilador constituído de duas massas separadas por uma mola.
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b) A partir dos resultados do item anterior podemos escrever:�
F1 = F2 = F
_x1 + _x2 = _x
 !
�
V1 = V2 = V
i1 + i2 = i
) x1 + x2 = x ! ) di1dt + di2dt = didt
) F1m1 + F2m2 = Fm ! ) V1L1 + V2L2 = VL
) 1m =
1
m1
+ 1m2 ! ) 1L = 1L1 + 1L2
ou m = m1 m2m1+m2 ! ou L = L1 L2L1+L2
A expressão m = m1 m2m1+m2 é denominada massa reduzida do oscilador, sendo
um conceito muito útil no caso de sistemas constituídos de dois corpos.
c) A frequência angular do oscilador é dada por:
! =
q
k (m1+m2)
m1 m2
 ! ! =
q
(L1+L2)
C L1 L2
Exemplo 3
Uma massa m encontra-se presa entre duas molas de constantes elásticas k1
e k2.
a) Qual o circuito análogo a esse sistema?
b) Qual a expressão da constante elástica equivalente e, no circuito, qual a
grandeza análoga?
c) Qual a frequência angular desse oscilador?
Solução:
a) O circuito análogo deve possuir dois capacitores e um indutor. Para desco-
brir o tipo da associação notemos que a força sentida pela massa deve ser a
soma das forças exercidas pelas duas molas, F1+F2 = F . No circuito isso
equivale a V1 + V2 = V , ou seja, a voltagem no indutor é dada pela soma
das voltagens nos capacitores. Esse é o resultado da lei das malhas no
caso da associação em série. A comparação entre deslocamentos e cargas
ou velocidades e correntes comprova ser essa a associação correta. Nessa
comparação temos: x1 = x2 = x ou _x1 = _x2 = _x no sistema mecânico e
q1 = q2 = q ou i1 = i2 = i no circuito elétrico.
b) Utilizando resultados do item anterior podemos escrever:
�
x1 = x2 = x
F1 + F2 = F
 !
�
q1 = q2 = q
V1 + V2 = V
) k1 x1 + k2 x2 = k x ! ) q1C1 +
q2
C2
= qC
) k = k1 + k2 ! ) 1C = 1C1 + 1C2
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c) A frequência angular desse oscilador é dada por:
! =
q
k1+k2
m ! ! =
q
C1+C2
L C1 C2
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