Integrais trigonométricas

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Integrais Trigonométricas 
1˚ Caso: Onde 
n
 é número inteiro impar: 
 




  duuuduuuduu
uu
n
nn )sin())(sin()sin()(sin)(sin
)(cos1)(sin
2
1
21
22

 




  duuuduuuduu
uu
n
nn )cos())(cos()cos()(cos)(cos
)(sin1)(cos
2
1
21
22

 
2˚ Caso: Onde 
n
 é número inteiro par: 
 





2
)2cos(1
)(sin
22
2
))(sin()(sin
u
u
n
n duuduu

 





2
)2cos(1
)(cos
22
2
))(cos()(cos
u
u
n
n duuduu

 
3˚ Caso: Pelo menos um dos expoentes do produto é impar: 
 Se 
m
 é impar: 




  duuuuduuuuduuu n
uu
m
nmnm )sin()(cos))(sin()(cos)sin()(sin)(cos)(sin
)(cos1)(sin
2
1
21
22

 
 Se 
n
 é impar: 




  duuuuduuuuduuu
uu
n
mnmnm )cos())(cos()(sin)cos()(cos)(sin)(cos)(sin
)(sin1)(cos
2
1
21
22

 
4˚ Caso: Os dois expoentes do produto é par: 
 
2
)2cos(1
)(cos
22
2
)2cos(1
)(sin
22
22
))(cos())(sin()(cos)(sin
u
u
n
u
u
m
nm duuuduuu






  
 
 Fórmulas do produto de seno e cosseno de arcos diferentes: 
qp 
 
 
)sin()sin()cos()sin(2) qpqpqpI 
 
)cos()cos()cos()cos(2) qpqpqpIII 
 
 
)sin()sin()cos()sin(2) qpqppqII 
 
)cos()cos()sin()sin(2) qpqpqpIV 
 
 
5˚ Caso: Onde 
n
 é número inteiro par ou impar: 
 




1)(sec)(
22
22
)()()(
uutg
nn duutgutgduutg

 




1)(seccos)(cot
22
22
)(cot)(cot)(cot
uug
nn duugugduug

 
6˚ Caso: Onde 
n
 é número inteiro par: 
 
duuuduuuduu
utgu
n
nn




  )(sec))(sec()(sec)(sec)(sec 2
1)()(sec
2
2
222
22

 
 
duuuduuuduu
ugu
n
nn




  )(seccos))(seccos()(seccos)(seccos)(seccos 2
1)(cot)(seccos
2
2
222
22

 
7˚ Caso: Onde 
n
 é número inteiro impar: 
 













duuuduu
duuuduu
nn
nn
)sec(cos)(seccos)(seccos
)sec()(sec)(sec
1
1
 Usar integração por partes 
8˚ Caso: Onde 
m
 é número inteiro impar e 
n
 é par: 
 
 



 
1)()(sec
22
2
222
22
)(sec))(sec()()(sec)(sec)()(sec)(
utgu
n
mnmnm duuuutgduuuutgduuutg

 
 
 
 



 
1)(cot)(seccos
22
2
222
22
)(seccos))(seccos()(cot)(seccos)(seccos)(cot)(seccos)(cot
ugu
n
mnmnm duuuugduuuugduuug

 
9˚ Caso: Onde 
m
 é número inteiro impar e 
n
 é impar: 
 
 




 
1)(sec)(
12
1
211
22
)()sec()(sec))(()sec()()(sec)()(sec)(
uutg
n
m
nmnm duutguuutgduuutguutgduuutg

 
 
 
 




 
1)(seccos)(cot
12
1
211
22
)(cot)sec(cos)(seccos))(cot()sec(cos)(cot)(seccos)(cot)(seccos)(cot
uug
n
m
nmnm duuguuugduuuguugduuug

 
10˚ Caso: Onde 
m
 é número inteiro par e 
n
 é impar: 
 





















1)(seccos)(cot
22
1)(sec)(
22
22
22
)(seccos))(cot()(seccos)(cot
)(sec))(()(sec)(
uug
n
m
nm
uutg
n
m
nm
duuugduuug
duuutgduuutg


 Após a substituição recaímos na integração por partes