avaliação 2

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1) Prove por indução que 
 
2) Prove por indução que 
 
3) Prove que 𝑛! > 𝑛2 para 𝑛 ≥ 4. 
 
4) Prove que 2𝑛  𝑛! para n  4. 
 
5) 
a) O quadrado de um número inteiro par é divisível por 4. 
b) Para 𝑥 e 𝑦 números positivos, 𝑥 < 𝑦, se e somente se, 𝑥2 < 𝑦2. 
 
6) Se o produto de dois inteiros não é divisível por um inteiro n, então nenhum dos inteiros é 
divisível por n. 
 
7) Se 𝑛2 + 5 é ímpar, então 𝑛 + 3 é ímpar 
 
8) Se 𝑥 + 𝑦 ≥ 2, então 𝑥 ≥ 1 ou 𝑦 ≥ 1. 
 
9) A soma de um número par com um ímpar é um número ímpar. 
 
10) Se 5𝑛2 + 3 é ímpar, então 3𝑛– 2 é par. 
 
11) O número real √3 é irracional. (Dicas: veja demonstração similar feita em sala 
de aula para √2 ). 
 
12) Prove por indução que 1 < 2𝑛 para todo 𝑛 inteiro positivo. 
 
13) Prove que 2𝑛 < 3𝑛 para todo n inteiro positivo. 
 
14) Dizemos que a divide x, denotado, 𝑎|𝑥, se existe b tal que 𝑎𝑏 = 𝑥. Mostre que se 𝑎|𝑥 e 
𝑎|(𝑥 + 𝑦) então 𝑎|𝑦. 
 
15) Seja 𝑎 ≥ 0, prove que se a 2 ≤ 1 então 𝑎 ≤ 1. 
 
16) Prove que existem números racionais x e y tais que 𝑥𝑦 é irracional. 
 
17) Use uma demonstração direta para mostrar que todo número inteiro ímpar é a diferença de 
dois quadrados. 
 
18) Use uma demonstração direta para mostrar que o produto de dois números racionais é 
racional. 
 
19) Use uma demonstração por contraposição para mostrar que se x + y ≥ 2, em que x e y são 
números reais, então x ≥ 1 ou y ≥ 1. 
 
20) Demonstre que se m e n são números inteiros e mn é par, então m é par ou n é par. 
 
21) Demonstre que se n é um número inteiro positivo, então n é par se e somente se 7n + 4 for 
par. 
 
22) Demonstre que se n é um número inteiro positivo, então n é ímpar se e somente se 5n + 6 
for ímpar. 
 
23) Demonstre que m2 = n2 se e somente se m = n ou m = −n. 
 
24) Demonstre ou contrarie que se m e n são números inteiros, tal que mn = 1, então ou m = 1 
e n = 1, ou m = −1 e n = −1. 
 
25) Mostre que essas três proposições são equivalentes, em que a e b são números reais: (i) a é 
menor que b, (ii) a média de a e b é maior que a, e (iii) a média de a e b é menor que b. 
26) Mostre que essas proposições sobre o número inteiro x são equivalentes: (i) 3x + 2 é par, 
(ii) x + 5 é ímpar, (iii) x2 é par. 
 
27) Encontre um contra-exemplo para a proposição: todo número inteiro positivo pode ser 
escrito como a soma dos quadrados de três números inteiros. 
 
28) Comprove que estas quatro proposições sobre o número inteiro n são equivalentes: (i) n2 é 
ímpar, (ii) 1 − n é par, (iii) n3 é ímpar, (iv) n2 + 1 é par. 
 
29) Comprove que se n é um número inteiro, estas quatro proposições são equivalentes: (i) n é 
par, (ii) n + 1 é ímpar, (iii) 3n + 1 é ímpar, (iv) 3n é par. 
 
30) Usando o fato de que √2 é irracional, mostre que √3 − √2 é irracional. 
 
31) ∀n ∈ N, se n ≤ 5 então n2 ≤ 5n + 10. 
 
32) O produto de quaisquer três inteiros consecutivos é par. 
 
33) 5 + 10 + 15 + ⋯ + 5𝑛 =
5𝑛(𝑛+1)
2
. 
 
34) 4 + 10 + 16 + ⋯ + (6𝑛 − 2) = 𝑛(3𝑛 + 1). 
 
35) 13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑛3 =
𝑛2(𝑛+1)2
4
. 
 
36) Prove que para qualquer inteiro n, o número 3(n2 + 2n + 3) - 2n2 é um quadrado perfeito. 
 
37) Prove que a soma de três inteiros consecutivos é divisível por 3. 
 
38) Prove que o quadrado de um inteiro ímpar pode ser escrito como 8k + 1 para algum 
inteiro k. 
 
39) Prove que, se a e b são números racionais, então (a + b) é um número racional. 
 
40) Prove que, se n ∈ Z, então 5n2 + 3n + 7 é ímpar. 
 
41) 
 
 
42)