itc2004cap1 - Lógica Elementar

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L¶ogica Elementar
Neste cap¶³tulo, apresentamos uma introdu»c~ao µa l¶ogica, que nos ser¶a su¯ciente como
ferramenta de trabalho nos cap¶³tulos posteriores.
1.1 Proposi»c~oes e seus conectivos
O estudo da l¶ogica ¶e o estudo dos princ¶³pios e m¶etodos usados para distinguir argumentos
v¶alidos dos n~ao v¶alidos. O prop¶osito deste cap¶³tulo preliminar em l¶ogica ¶e ajudar o leitor
a entender os princ¶³pios e m¶etodos usados em cada passo de uma demonstra»c~ao.
O ponto de partida em l¶ogica ¶e o termo \proposi»c~ao", que ¶e usado num sentido
t¶ecnico. Por uma proposi»c~ao queremos dizer uma declara»c~ao que ¶e verdadeira ou falsa,
mas n~ao ambos. N~ao ¶e necess¶ario que saibamos se a proposi»c~ao ¶e verdadeira ou falsa;
a ¶unica quali¯ca»c~ao exigida ¶e que ela deve ser de¯nitivamente uma coisa ou outra.
Habitualmente, podemos determinar imediatamente se uma proposi»c~ao ¶e verdadeira ou
falsa, mas em alguns casos um pouco de esfor»co ¶e preciso, e em outros casos pode
ser imposs¶³vel chegar a uma conclus~ao. Os seguintes exemplos dever~ao ilustrar o que
queremos dizer.
Exemplo 1.1 Cada uma das seguintes frases ¶e uma proposi»c~ao.
(a) Londrina ¶e uma cidade no estado do Paran¶a.
(b) 2 + 1 ¶e 5.
(c) O d¶³gito na 105a casa decimal, na expans~ao decimal de
p
3, ¶e 7.
(d) A lua ¶e feita de queijo mineiro.
(e) N~ao h¶a vida inteligente em Marte.
(f) Est¶a chovendo.
Claramente, (a) ¶e verdadeira, enquanto (b) e (d) s~ao falsas. Podemos ter d¶uvidas
quanto ao status (verdadeiro ou falso) de (c) e (e). A veracidade ou falsidade da senten»ca
(f) depende das condi»c~oes meteorol¶ogicas no instante em que essa declara»c~ao ¶e feita.
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2 L¶ogica Elementar
Exemplo 1.2 Nenhuma das frases seguintes ¶e uma proposi»c~ao, porque n~ao faz sentido
questionar se alguma delas ¶e verdadeira ou falsa.
(a) Venha µa nossa festa!
(b) Tudo bem com voce^?
(c) Tiau, benzinho.
As proposi»c~oes do Exemplo 1.1 s~ao todas proposi»c~oes simples. Uma combina»c~ao
de duas ou mais proposi»c~oes ¶e uma proposi»c~ao composta. Por exemplo, \2 + 1 ¶e 5
e o d¶³gito na 105a casa decimal na expans~ao decimal de
p
3 ¶e 7" ¶e uma proposi»c~ao
composta.
Estamos familiarizados com o uso de letras para representar n¶umeros na ¶algebra.
No estudo da l¶ogica usamos letras, tais como p, q, r, : : : para representar proposi»c~oes.
Uma letra, tal como p, pode representar uma proposi»c~ao simples ou composta. A menos
que digamos em contr¶ario, usaremos letras mai¶usculas P , Q, R, : : : para representar
proposi»c~oes compostas. Existem muitos modos de se ligar proposi»c~oes tais como p,
q, r, : : : para formar proposi»c~oes compostas, mas apenas cinco modos s~ao usados
freqÄuentemente. Estes cinco conectivos comuns s~ao (a) \n~ao", simbolizado por »;
(b) \e", simbolizado por ^; (c) \ou", simbolizado por _; (d) \se : : : ent~ao : : : ",
simbolizado por !; e (e) \ : : : se e somente se : : : ", simbolizado por $.
Nesta se»c~ao discutiremos os conectivos » e ^, adiando os demais conectivos, _,
!, e $, at¶e a pr¶oxima se»c~ao.
Seja p uma proposi»c~ao. A proposi»c~ao » p, lida \n~ao p" ou \a nega»c~ao de p", ¶e
verdadeira quando a proposi»c~ao p ¶e falsa, e ¶e falsa quando p ¶e verdadeira. Por exemplo,
seja p a proposi»c~ao \Este ¶e um curso f¶acil". Ent~ao sua nega»c~ao » p representa \Este
n~ao ¶e um curso f¶acil".
A verdade de » p depende da verdade de p. ¶E conveniente anotar essa depende^ncia
em uma tabela verdade:
Tabela 1.1:
p » p
V F
F V
na qual as letras V e F signi¯cam \verdadeiro" e \falso", respectivamente. Na primeira
coluna da tabela 1.1, listamos os dois poss¶³veis valores l¶ogicos da proposi»c~ao p, sendo eles
V e F . Cada linha em uma tabela verdade representa um caso que deve ser considerado,
e claramente, nesta situa»c~ao bastante simples, h¶a apenas dois casos. Usando as linhas
da Tabela 1.1 vemos que se p ¶e verdadeira ent~ao » p ¶e falsa, e se p ¶e falsa, ent~ao » p ¶e
verdadeira. ConseqÄuentemente, a Tabela 1.1 nos diz o valor verdade1 de » p em cada
caso.
1ou valor l¶ogico (N. do T.)
L¶ogica Elementar 3
De¯ni»c~ao 1.1 O conectivo ^ pode ser colocado entre duas proposi»c~oes p e q para
formar uma proposi»c~ao composta p ^ q cujos valores verdade s~ao dados na seguinte
tabela verdade.
Tabela 1.2:
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
O s¶³mbolo p ^ q ¶e lido \p e q" ou \conjun»c~ao de p e q". Por exemplo, seja p
a proposi»c~ao \O c¶eu ¶e azul" e seja q a proposi»c~ao \As rosas s~ao vermelhas". Ent~ao a
conjun»c~ao p ^ q representa \O c¶eu ¶e azul e as rosas s~ao vermelhas". Numa proposi»c~ao
composta, tal como p ^ q, as proposi»c~oes individuais p e q s~ao chamadas componentes.
Uma componente pode ser uma proposi»c~ao simples ou uma proposi»c~ao composta. Numa
proposi»c~ao composta com duas componentes, tal como p ^ q, existem no m¶aximo 4 (=
2£ 2) possibilidades, chamadas possibilidades l¶ogicas, a serem consideradas; sendo elas:
(1) p ¶e verdadeira e q ¶e verdadeira;
(2) p ¶e verdadeira e q ¶e falsa;
(3) p ¶e falsa e q ¶e verdadeira;
(4) p ¶e falsa e q ¶e falsa.
Cada uma destas quatro possibilidades ¶e coberta nas quatro linhas da Tabela 1.2.
A ¶ultima coluna d¶a os valores verdade de p ^ q. Uma inspe»c~ao mostra que p ^ q ¶e
verdadeira em apenas um caso. Isto ¶e, p^ q ¶e verdadeira quando ambas as componentes
s~ao verdadeiras, e nos outros tre^s casos p ^ q ¶e falsa. O leitor sensato perceber¶a que a
Tabela 1.2 re°ete o modo pelo qual a conjun»c~ao \e" ¶e usada no portugue^s cotidiano.
Usando as Tabelas 1.1 e 1.2, podemos encontrar valores verdade de proposi»c~oes
complicadas envolvendo os conectivos » e ^.
Exemplo 1.3 Construa a tabela verdade para a proposi»c~ao composta
» [(» p) ^ (» q)]
Solu»c~ao.
Se o m¶etodo usado na constru»c~ao da Tabela 1.3 n~ao ¶e ¶obvio, uma palavra de
explica»c~ao pode ajudar. Os cabe»calhos s~ao selecionados de modo que a proposi»c~ao
composta (¶ultima coluna) ¶e gradualmente constru¶³da a partir de suas v¶arias componentes.
4 L¶ogica Elementar
Tabela 1.3:
p q » p » q (» p) ^ (» q) » [(» p) ^ (» q)
V V F F F V
V F F V F V
F V V F F V
F F V V V F
Passo 1 1 2 3
As duas primeiras colunas simplesmente registram todos os casos para os valores
verdade de p e q. Usamos ent~ao a Tabela 1.1 para obter as entradas nas terceira e quarta
colunas, os valores verdade correspondentes para » p e » q. No pr¶oximo passo usamos
as entradas das terceira e quarta colunas e a Tabela 1.2 para obter as entradas na quinta
coluna. Finalmente, as entradas da quinta coluna e a Tabela 1.1 d~ao as entradas na sexta
coluna|os valores verdade de » [(» p) ^ (» q)]. O estudante aplicado deveria agora
copiar esta ¶ultima proposi»c~ao composta, fechar o livro, e tentar reproduzir a Tabela 1.3.
A proposi»c~ao no exemplo acima, » [(» p) ^ (» q)], usa pare^nteses e colchetes
para indicar a ordem segundo a qual os conectivos se aplicam. FreqÄuentemente, uma
express~ao pode ser simpli¯cada se pudermos eliminar alguns dos pare^nteses ou colchetes.
A conven»c~ao habitual ¶e concordar que » tem prioridade sobre ^, isto ¶e, o conectivo »
deve ser aplicado primeiro. Assim, por exemplo, a express~ao (» p)^ (» q) ¶e simpli¯cada
na forma » p ^ » q.
1.1.1 Exerc¶³cios
Nos problemas de 1 a 10, uma senten»ca em portugue^s ¶e dada. Determine se a senten»ca
¶e uma proposi»c~ao (S) ou n~ao (N).
1. Em 7 de junho de 1442 nevou em algum lugar no Rio Grande do Sul.
2. Arist¶oteles tinha p¶es chatos.
3. O socialismo est¶a errado.
4. O homem mais rico do mundo ¶e o Sr. Malagutti, de S~ao Carlos.
5. Joana e Pedro s~ao pessoas boas.
6. Quanto vale este carro?
7. Saia da grama.
8. Use sempre cinto de seguran»ca.
9. O n¶umero 2987654321 + 37 ¶e primo.
10. Beethoven escreveu algumas das m¶usicas de Chopin.
11. Dentre as proposi»c~oes dadas nos problemas de 1 a 10, indique aquelas que voce^
acha que devem ser verdadeiras(V) ou falsas (F), e aquelas cujo status pode ser dif¶³cil
determinar.
L¶ogica Elementar 5
Nos problemas 12 a 19 encontre as tabelas verdade das proposi»c~oes dadas. Use o
formato da Tabela 1.1 ou da Tabela 1.2 para os dois ou quatro casos respectivamente.
12. » (» p) 13. » [» (» p)]
14. p ^ p 15. » (p^ » p)
16. p^ » q 17. » p ^ q
18. (p ^ p)^ » p 19. » (p ^ q)
20. Numa proposi»c~ao composta, envolvendo tre^s componentes distintas p, q e r, quantos
casos s~ao necess¶arios para cobrir todas as possibilidades l¶ogicas? Quantos casos s~ao
necess¶arios se houver quatro componentes distintas? Quantos casos s~ao necess¶arios se
houver n componentes distintas?
21. O seguinte ¶e uma tentativa de arranjar todos os casos em uma tabela verdade, para
uma proposi»c~ao envolvendo tre^s componentes p, q, e r. Complete o trabalho inacabado.
p q r ¢
V V
V V F
V V
V F
V V
V F
F F
F F
Nos problemas 22 a 25, encontre as tabelas verdade para as proposi»c~oes dadas.
Use o padr~ao desenvolvido no problema 21 para os v¶arios casos.
22. (p ^ q) ^ r 23. p ^ (q ^ r)
24. (p^ » q) ^ r 25. » q ^ (r ^ p)
1.2 Tre^s conectivos mais
Na l¶³ngua portuguesa h¶a uma ambigÄuidade envolvida no uso do \ou". A proposi»c~ao
\Obterei grau de mestre ou grau de doutor" indica que quem o a¯rma pode obter
ambos, o grau de mestre e o de doutor. Mas em outra proposi»c~ao, \Me casarei com
L¶³via ou L¶ucia", a palavra \ou" signi¯ca que apenas uma das duas mo»cas ser¶a escolhida.
Na matem¶atica e na l¶ogica, n~ao podemos permitir ambigÄuidades. Portanto, devemos
nos decidir sobre o signi¯cado da palavra \ou".
6 L¶ogica Elementar
De¯ni»c~ao 1.2 O conectivo _ pode ser colocado entre duas proposi»c~oes quaisquer p e
q para formar a proposi»c~ao composta p _ q. Os valores verdade de p _ q s~ao de¯nidos
na Tabela 1.4. Portanto _ ¶e de¯nido como sendo o \ou" inclusivo, tal como usado na
primeira proposi»c~ao acima.
Tabela 1.4:
p q p _ q
V V V
V F V
F V V
F F F
O s¶³mbolo p_q ¶e lido \p ou q" ou a \disjun»c~ao de p e q". Repare que a conjun»c~ao
de p e q ¶e verdadeira apenas quando as duas componentes s~ao ambas verdadeiras (Tabela
1.2), enquanto que a disjun»c~ao ¶e falsa quando e apenas quando as duas componentes
s~ao falsas (Tabela 1.4).
Comparemos as tabelas verdade de p _ q e » (» p^ » q), nas Tabelas 1.3 e
1.4. Notamos que em cada caso a ¶ultima coluna ¶e V V V F , de modo que estas duas
proposi»c~oes tem os mesmos valores verdade em cada uma das quatro possibilidades
l¶ogicas. Mostrar que certas proposi»c~oes tem os mesmos valores verdade em cada caso ¶e
uma parte importante da l¶ogica. Na verdade, a l¶ogica trata duas tais proposi»c~oes como
sendo uma s¶o.
De¯ni»c~ao 1.3 Quando duas proposi»c~oes P e Q, simples ou compostas, tem os mes-
mos valores verdade em cada uma de todas as possibilidades l¶ogicas, dizemos que P ¶e
logicamente equivalente ou simplesmente equivalente a Q, e escrevemos P ´ Q.
Resumidamente, duas proposi»c~oes s~ao logicamente equivalentes desde que tenham
a mesma tabela verdade. Portanto, temos
p _ q ´» (» p^ » q)
Embora duas proposi»c~oes equivalentes sejam consideradas como a mesma, do ponto de
vista da l¶ogica, preferimos a proposi»c~ao mais simples \p ou q" em vez da proposi»c~ao
equivalente mais complicada \N~ao ¶e verdade que nem p e nem q".
De¯ni»c~ao 1.4 O conectivo ! ¶e chamado condicional e pode ser colocado entre duas
proposi»c~oes p e q para formar a proposi»c~ao composta p ! q (lida: \se p ent~ao q").
Por de¯ni»c~ao, a proposi»c~ao p! q ¶e equivalente µa proposi»c~ao » (p^ » q), e os valores
verdade de p! q s~ao dados na Tabela 1.5.
L¶ogica Elementar 7
Tabela 1.5:
Caso p q » q p^ » q p! q [´» (p^ » q)]
1 V V F F V
2 V F V V F
3 F V F F V
4 F F V F V
A motiva»c~ao da De¯ni»c~ao 1.4 ¶e a seguinte. Sejam p a proposi»c~ao \O sol est¶a
brilhando" e q a proposi»c~ao \Eu estou jogando te^nis". Ent~ao a proposi»c~ao composta
p ! q ¶e \Se o sol est¶a brilhando ent~ao eu estou jogando te^nis". Agora, quando ¶e que
uma tal proposi»c~ao 'considerada falsa? Claramente p! q ¶e falsa se o sol est¶a brilhando
mas eu n~ao estou jogando te^nis, e apenas neste caso. Em outras palavras p! q ¶e falsa
se p^ » q ¶e verdadeira, a apenas neste caso. Mas isto ¶e precisamente a De¯ni»c~ao 1.4.
Estudaremos agora a tabela verdade de p! q, isto ¶e, de » (p^ » q).
Conforme a De¯ni»c~ao 1.4, o signi¯cado da proposi»c~ao condicional p! q afasta-se
radicalmente do nosso uso ordin¶ario de \Se p ent~ao q". Na nossa linguagem ordin¶aria,2
uma senten»c~ao da forma \Se p ent~ao q" ¶e considerada como querendo dizer que q ¶e
verdadeira sempre que p ¶e verdadeira. Portanto os casos em que p ¶e falsa n~ao precisam
ser considerados.
Por exemplo, a proposi»c~ao \Se Collor atirou em Figueiredo, ent~ao Itamar foi o
primeiro presidente" ¶e considerada sem sentido, pois ambas as componentes s~ao falsas.
ConseqÄuentemente, no uso ordin¶ario n~ao se questiona se uma proposi»c~ao componente ¶e
verdadeira. Ao criar a linguagem formal, o l¶ogico deseja designar um valor verdade a
p ! q para cada uma das quatro possibilidades l¶ogicas, muito embora dois dos casos
pare»cam ser sem sentido em nossa linguagem ordin¶aria. Por v¶arias raz~oes, que aparecer~ao
no tempo devido, os l¶ogicos decidiram-se pela de¯ni»c~ao adotada aqui. Portanto, em nossa
linguagem formal, p! q ¶e verdadeira em todos os casos exceto no caso 2 (veja Tabela
1.5). Como conseqÄue^ncia desse acerto, seremos capazes de demonstrar alguns teoremas
¶uteis bastante simples, cujas demonstra»c~oes, sem tal acerto, seriam desajeitadas ou muito
dif¶³ceis.
Introduzimos agora o ¶ultimo dos cinco conectivos mais comuns, um que aparece
freqÄuentemente nos enunciados (proposi»c~oes) de teoremas matem¶aticos.
De¯ni»c~ao 1.5 O conectivo $ ¶e chamado o bicondicional e pode ser colocado entre
duas proposi»c~oes p e q para formar a proposi»c~ao composta p$ q (lida: \p se e somente
se q"). A proposi»c~ao p$ q ¶e equivalente µa proposi»c~ao (p! q) ^ (q ! p), e os valores
verdade de p$ q s~ao dados na Tabela 1.6.
2Em oposi»c~ao µa \linguagem ordin¶aria", l¶ogica ¶e chamada uma linguagem formal.
8 L¶ogica Elementar
Exemplo 1.4 Encontre a tabela verdade para p$ q.
Solu»c~ao. Seguindo o m¶etodo descrito anteriormente, obtemos a Tabela 1.6.
Tabela 1.6:
Caso p q p! q q ! p p$ q [´ (p! q) ^ (q ! p)]
1 V V V V V
2 V F F V F
3 F V V F F
4 F F V V V
Passo 1 1 2
Da tabela verdade acima, observamos que p $ q ¶e verdadeira se ambas as com-
ponentes s~ao verdadeiras ou ambas as componentes s~ao falsas. Em qualquer outro caso
(casos 2 e 3) a proposi»c~ao p$ q ¶e falsa.
1.2.1 Exerc¶³cios
Nos problemas de 1 a 12, construa as tabelas verdade para as proposi»c~oes dadas.
1. p_ » p 2. » (p_ » p)
3. » (» p_ » q) 4. » p _ q
5. (» q)! (» p) 6. q $ p
7. p ^ (q _ r) 8. (p ^ q) _ (p ^ r)
9. p _ (q ^ r) 10. (p _ q) ^ (p _ r)
11.(p _ q) _ r 12. p _ (q _ r)
13. ¶E a proposi»c~ao (» q)! (» p) (Problema 5) logicamente equivalente µa proposi»c~ao
p! q?
14. ¶E a proposi»c~ao » p _ q (Problema 4) logicamente equivalente µa proposi»c~ao p! q?
15. Dentre as proposi»c~oes nos Problemas 1 a 12, encontre os pares de proposi»c~oes
logicamente equivalentes.
16. Em cada um dos seguintes itens, traduza a proposi»c~ao composta dada em uma
forma simb¶olica usando os s¶³mbolos sugeridos.
(a) N~ao ocorre que eu seja amig¶avel a voce^. (A)
(b) Se ela ¶e uma gata, ent~ao ela tem quatro pernas. (G;P )
(c) O pre»co do arroz aumenta se e somente se o suprimento de arroz n~ao atende µa
demanda. (P; S)
(d) Ou os grandes laborat¶orios reduzem os pre»cos ou o governo intervir¶a. (L;G)
(e) Se a exporta»c~ao de carne aumentar ou se a produ»c~ao pecu¶aria decair, ent~ao o custo
de vida subir¶a. (E;P;C)
L¶ogica Elementar 9
1.3 Tautologia, implica»c~ao e equivale^ncia
Examinemos a tabela verdade para a proposi»c~aop_ » p:
Tabela 1.7:
p » p p_ » p
V F V
F V V
Reparemos que a proposi»c~ao p_ » p ¶e verdadeira em todos os casos, isto ¶e, em
todas as possibilidades l¶ogicas. Tal tipo importante de proposi»c~ao merece um nome
especial.
De¯ni»c~ao 1.6 Uma proposi»c~ao ¶e dita ser uma tautologia quando ¶e verdadeira em cada
uma de todas as possibilidades l¶ogicas.
Sejam P e Q duas proposi»c~oes, compostas ou simples. Se a proposi»c~ao condicional
P ! Q ¶e uma tautologia, a proposi»c~ao ¶e chamada uma implica»c~ao e ¶e denotada por P )
Q (le^-se: P implica Q). Assim as seguintes proposi»c~oes condicionais s~ao tautologias:
(1) p! p.
(2) p ^ q ! q ^ p.
(3) p! p ^ p.
(4) p ^ q ! q.3
Na l¶ogica ou na matem¶atica, \teoremas" signi¯cam proposi»c~oes verdadeiras, e uma
\demonstra»c~ao" (de um teorema) ¶e uma justi¯ca»c~ao do teorema.
Teorema 1.1 Sejam p e q duas proposi»c~oes quaisquer. Ent~ao
(a) Lei da Adi»c~ao (Ad.): p) p _ q.
(b) Leis de Simpli¯ca»c~ao (Simp.): p ^ q ) p, p ^ q ) q.
(c) Silogismo Disjuntivo (S.D.): (p _ q)^ » p) q.
Demonstra»c~ao. Deixamos as demonstra»c~oes de (a) e (b) ao leitor, como exerc¶³cios. A
seguinte ¶e uma tabela verdade simpli¯cada para (p _ q)^ » p! q:
Tomemos um instante para explicar a constru»c~ao da tabela verdade simpli¯cada:
Os valores verdade na Tabela 1.8 s~ao atribu¶³dos, coluna por coluna, na ordem indicada
3Consideraremos _ e ^ como conectivos priorit¶arios em rela»c~ao a ! e $, e escreveremos p! p_ q
em lugar de p! (p _ q), etc. Veja tamb¶em o ¶ultimo par¶agrafo da se»c~ao 1.1
10 L¶ogica Elementar
Tabela 1.8:
(p _ q) ^ » p ! q
V V V F F V V
V V F F F V F
F V V V V V V
F F F F V V F
Passo 1 2 1 3 2 4 1
pelos n¶umeros que aparecem na ¶ultima linha da tabela. Em uma tabela verdade sim-
pli¯cada, escrevemos os valores verdade diretamente, primeiro sob cada componente e
ent~ao sob os conectivos. Isto poupa espa»co e tempo.
Agora, retornando µa demonstra»c~ao do teorema, como o passo ¯nal (passo 4) na
Tabela 1.8 consiste s¶o de V 's, a proposi»c~ao condicional (p _ q)^ » p ! q ¶e de fato
uma implica»c~ao.
Se a proposi»c~ao bicondicional P $ Q for uma tautologia, ela ¶e chamada uma
equivale^ncia e ¶e denotada por P , Q (leia-se: P ¶e equivalente a Q).
Da de¯ni»c~ao 1.5 e da Tabela 1.6, P , Q se P e Q tem os mesmos valores verdade
em cada uma de todas as possibilidades l¶ogicas, e reciprocamente, P e Q tem os mesmos
valores verdade em cada uma de todas as possibilidades l¶ogicas se P , Q. Portanto,
pela de¯ni»c~ao 1.3, P , Q e P ´ Q tem o mesmo signi¯cado, e portanto podemos
trocar , por ´ e vice-versa.
Teorema 1.2 Sejam p e q duas proposi»c~oes quaisquer. Ent~ao
(a) Lei da Dupla Nega»c~ao (D.N.): » (» p) ´ p.
(b) Leis Comutativas (Com.): p ^ q ´ q ^ p, p _ q ´ q _ p,
(c) Leis de Idempote^ncia (Idemp.): p ^ p ´ p, p _ p ´ p,
(d) Lei Contrapositiva (Contrap.): (p! q) ´ (» q !» p).
Demonstra»c~ao. Deixaremos as demonstra»c~oes das partes (a), (b) e (c) para o leitor,
como exerc¶³cios, e delinearemos a demonstra»c~ao de (d).
Temos a seguinte tabela verdade simpli¯cada para a proposi»c~ao bicondicional
(p! q)$ (» q !» p):
L¶ogica Elementar 11
Tabela 1.9:
(p ! q) $ (» q ! » p)
V V V V F V V
V F F V V F F
F V V V F V V
F V F V V V V
Passo 1 2 1 4 2 3 2
Logo, a Tabela 1.9 mostra que p$ q ¶e equivalente a » q !» p.
O seguinte teorema, creditado a Augustus De Morgan (1806{1871), ¶e uma das
ferramentas mais convenientes da l¶ogica.
Teorema 1.3 (Leis de De Morgan (De M.)) Sejam p e q duas proposi»c~oes quais-
quer. Ent~ao
» (p ^ q) ´ » p_ » q; e
» (p _ q) ´ » p^ » q:
Demonstra»c~ao. Demonstraremos a primeira parte deste teorema e deixaremos a outra
parte ao leitor, como exerc¶³cio. Constru¶³mos uma tabela verdade simpli¯cada para a
bicondicional » (p ^ q)$ (» p_ » q):
Tabela 1.10:
» (p ^ q) $ (» p _ » q)
F V V V V F F F
V V F F V F V V
V F F V V V V F
V F F F V V V V
Passo 3 1 2 1 4 2 3 2
A tabela verdade acima mostra que » (p ^ q) ¶e equivalente a » p_ » q.
Teorema 1.4 Sejam p, q e r proposi»c~oes quaisquer. Ent~ao
(a) Leis Associativas (Assoc.): (p ^ q) ^ r ´ p ^ (q ^ r)
(p _ q) _ r ´ p _ (q _ r)
(b) Leis Distributivas (Dist.): p ^ (q _ r) ´ (p ^ q) _ (p ^ r)
p _ (q ^ r) ´ (p _ q) ^ (p _ r)
(c) Lei Transitiva (Trans.): (p! q) ^ (q ! r)) (p! r).
12 L¶ogica Elementar
Demonstra»c~ao. Deixaremos as demonstra»c~oes das Leis Associativas e da segunda Lei
Distributiva para o leitor, como exerc¶³cios.
Demonstremos que p ^ (q _ r) ´ (p ^ q) _ (p ^ r). Como isto envolve tre^s
componentes, existem 23 = 8 possibilidades l¶ogicas a considerar. A seguinte tabela
verdade mostra que p ^ (q _ r) e (p ^ q) _ (p ^ r) tem os mesmos valores verdade em
cada uma das oito possibilidades l¶ogicas. Portanto, p ^ (q _ r) e (p ^ q) _ (p ^ r) s~ao
equivalentes.
Tabela 1.11:
p q r q _ r p ^ q p ^ r p ^ (q _ r) (p ^ q) _ (p ^ r)
V V V V V V V V
V V F V V F V V
V F V V F V V V
V F F F F F F F
F V V V F F F F
F V F V F F F F
F F V V F F F F
F F F F F F F F
Por simplicidade e por economia de espa»co, constru¶³mos uma tabela verdade sim-
pli¯cada, como apresentado na Tabela 1.8, para (p! q) ^ (p! r)! (p! r).
Tabela 1.12:
(p ! q) ^ (q ! r) ! (p ! r)
V V V V V V V V V V V
V V V F V F F V V F F
V F F F F V V V V V V
V F F F F V F V V F F
F V V V V V V V F V V
F V V F V F F V F V F
F V F V F V V V F V V
F V F V F V F V F V F
Passo 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1
Como o ¶ultimo passo (passo 4) consiste inteiramente de valores V , a Lei Transitiva
est¶a demonstrada.
Por causa das Leis Associativas, os pare^nteses em (p ^ q) ^ r ´ p ^ (q ^ r) e
L¶ogica Elementar 13
(p_ q)_ r ´ p _ (q _ r) tornam-se desnecess¶arios, e as express~oes p^ q ^ r e p _ q _ r
tem agora signi¯cados de¯nidos, bem como p1 ^ p2 ^ ¢ ¢ ¢ ^ pn e p1 _ p2 _ ¢ ¢ ¢ _ pn.
Teorema 1.5 Sejam p, q, r e s proposi»c~oes quaisquer. Ent~ao
(a) Dilemas Construtivos (D.C.):
(p! q) ^ (r ! s) ) (p _ r! q _ s);
(p! q) ^ (r ! s) ) (p ^ r! q ^ s):
(b) Dilemas Destrutivos (D.D.):
(p! q) ^ (r! s) ) (» q_ » s!» p_ » r);
(p! q) ^ (r! s) ) (» q^ » s!» p^ » r):
Demonstra»c~ao. A demonstra»c~ao do Teorema 1.5 ¶e deixada ao leitor como exerc¶³cio.
Teorema 1.6 Sejam p e q duas proposi»c~oes. Ent~ao
(a) Modus Ponens (M.P.): (p! q) ^ p) q.
(b) Modus Tolens (M.T.): (p! q)^ » q )» p.
(c) Reductio ad Absurdum (R.A.): (p! q), (p^ » q ! q ^ » q).
Demonstra»c~ao. Exerc¶³cio.
1.3.1 Exerc¶³cios
1. Demonstre as partes (a) e (b) do Teorema 1.1.
2. Demonstre as partes (a), (b) e (c) do Teorema 1.2.
3. Demonstre que » (p _ q) ´» p^ » q.
4. Demonstre a parte (a) do Teorema 1.4.
5. Demonstre que p _ (q ^ r) ´ (p _ q) ^ (p _ r).
6. Demonstre que (p! q)) (p ^ r ! q ^ r).
7. Demonstre que (p$ q) ´ (p ^ q) _ (» p^ » q).
8. Usando as Leis de De Morgan, escreva em linguagem ordin¶aria a nega»c~ao da
proposi»c~ao \Esta fun»c~ao tem uma derivada ou eu sou burro."
9. Demonstre as seguintes Leis de De Morgan para tre^s componentes.
(a) » (p ^ q ^ r) ´» p_ » q_ » r
(b) » (p _ q _ r) ´» p^ » q^ » r.
10. Pode voce^ generalizar, sem demonstra»c~ao, as Leis de De Morgan para n compo-
nentes? Veja o Problema 9 para n = 3.
11. Demonstre as seguintes Leis de Absor»c~ao.
(a) p ^ (p _ r) ´ p
(b) p _ (p ^ q) ´ p
12. Demonstre o Teorema 1.5.
13. Demonstre o Teorema 1.6.
14 L¶ogica Elementar
1.4 Contradi»c~ao
Em contraste com as tautologias, h¶a proposi»c~oes cujos valores verdade s~ao todos F ,
para cada uma das possibilidades l¶ogicas. Tais proposi»c~oes s~ao chamadas contradi»c~oes.
Por exemplo, p^ » p ¶e uma contradi»c~ao.
¶E obvio que se t ¶e uma tautologia, ent~ao » t ¶e uma contradi»c~ao; reciprocamente,
se c ¶e uma contradi»c~ao, ent~ao » c ¶e uma tautologia.
Teorema 1.7 Sejam t, c e p, uma tautologia, uma contradi»c~ao e uma proposi»c~ao arbi-
tr¶aria, respectivamente.Ent~ao
(a) p ^ t , p,
p _ t , t.
(b) p _ c , p,
p ^ c , c.
(c) c) p, e p) t.
Demonstra»c~ao.
(a) A seguinte tabela verdade para p ^ t$ p mostra que p ^ t ¶e equivalente a p.
Tabela 1.13:
p ^ t $ p
V V V V V
F F V V F
Passo 1 2 1 3 1
A outra equivale^ncia, p _ t, t, pode ser demonstrada analogamente.
(b) Da seguinte tabela verdade, conclu¶³mos que a proposi»c~ao condicional p_c$ p
¶e uma tautologia, e portanto p _ c, p.
Tabela 1.14:
p _ c $ p
V V F V V
F F F V F
Passo 1 2 1 3 1
A demonstra»c~ao de p ^ c, p ¶e similar.
L¶ogica Elementar 15
(c) As tabelas verdade de c ! p e p ! t mostram que as duas proposi»c~oes s~ao
tautologias, logo c) p e p) t.
Tabela 1.15:
c ! p
F V V
F V F
p ! t
V V V
F V V
No restante deste livro, o s¶³mbolo c, com ou sem¶³ndice, denotar¶a uma contradi»c~ao;
e o s¶³mbolo t, com ou sem ¶³ndice, denotar¶a uma tautologia.
1.4.1 Exerc¶³cios
1. Demonstre que p _ t, t e p ^ c, c.
2. Demonstre que » t, c e » c, t.
3. Demonstre a seguinte Reductio ad Absurdum.
(p^ » q ! c), (p! q)
4. Demonstre que p ^ (p! q) ^ (p!» q), c.
5. Demonstre que (p! q)) (p _ r ! q _ r), para qualquer proposi»c~ao r.
1.5 Racioc¶³nio dedutivo
As 17 leis sumarizadas nos Teoremas de 1.1 a 1.6 s~ao ferramentas muito ¶uteis para
justi¯car equivale^ncias l¶ogicas e implica»c~oes, como ilustrado nos Exemplos de 1.5 a 1.7.
Chamaremos estas 17 leis de regras de infere^ncia. Chamamos a aten»c~ao para o fato
de que estas regras foram selecionadas como refere^ncias convenientes e n~ao precisam
ser independentes entre si. Por exemplo, a Lei Contrapositiva pode ser estabelecida
\dedutivamente" pelo uso de outras leis e de de¯ni»c~oes relevantes, como mostra o
pr¶oximo exemplo.
Exemplo 1.5 Demonstre a Lei Contrapositiva, (p ! q) ´ (» q !» p), usando
de¯ni»c~oes relevantes e outras regras de infere^ncia.
Solu»c~ao.
(p! q) ´ » (p^ » q) Def. 1.4
´ » (» q ^ p) Com.
´ » [» q^ » (» p)] D.N.
´ (» q !» p) Def. 1.4
16 L¶ogica Elementar
Portanto, (p! q) ´ (» q !» p), pela Lei Transitiva.
O m¶etodo de demonstra»c~ao usado no Exemplo 1.5 ¶e chamado racioc¶³nio dedutivo4
ou m¶etodo dedutivo, e difere do m¶etodo de demonstra»c~ao por tabelas verdade.
Em geral, no racioc¶³nio dedutivo, quaisquer axiomas, de¯ni»c~oes, teoremas e regras
de infere^ncia, previamente enunciados, podem ser usados.
Exemplo 1.6 Prove o Silogismo Disjuntivo por racioc¶³nio dedutivo.
Solu»c~ao.
(p _ q)^ » p ´ » p ^ (p _ q) Com.
´ (» p ^ p) _ (» p ^ q) Dist.
´ c _ (» p ^ q) » p ^ p ´ c
´ (» p ^ q) _ c Com.
´ » p ^ q Teorema 1.7(b)
)q Simp.
Finalmente, pela Lei Transitiva, (p _ q)^ » p) q.
Exemplo 1.7 Demonstre a seguinte Lei de Exporta»c~ao:
(p ^ q ! r) ´ [p! (q ! r)]
por racioc¶³nio dedutivo.
Solu»c~ao.
p! (q ! r) ´ [p!» (q^ » r) De¯ni»c~ao 1.4
´ » [p ^ (q^ » r)] Def. 1.4, D.N.
´ » [(p ^ q)^ » r] Assoc.
´ (p ^ q ! r) De¯ni»c~ao 1.4
Portanto, (p ^ q)! r ´ [p! (q ! r)].
Exemplo 1.8 Demonstre que (p ! r) _ (q ! s) ´ (p ^ q ! r _ s) por racioc¶³cio
dedutivo.
Solu»c~ao.
(p! r) _ (q ! s) ´ » (p^ » r)_ » (q^ » s) De¯ni»c~ao 1.4
´ (» p _ r) _ (» q _ s) De M., D.N.
´ (» p_ » q) _ (r _ s) Com., Assoc.
´ » [(p ^ q)^ » (r _ s)] De M., D.N.
´ (p ^ q ! r _ s) De¯ni»c~ao 1.4
4ou argumenta»c~ao dedutiva (N. do T.)
L¶ogica Elementar 17
O porque^ de querermos usar racioc¶³cio dedutivo, em oposi»c~ao a tabelas verdade,
pode ser visto da seguinte compara»c~ao: Para veri¯car a equivale^ncia no Exemplo 1.8,
pelo m¶etodo das tabelas verdade, ter¶³amos que construir uma grande tabela verdade com
16 (= 24) casos (veja Problema 20 dos Exerc¶³cios 1.1.1 ou Problema 12 dos Exerc¶³cios
1.3.1); por outro lado, na solu»c~ao do Exemplo 1.8, acima, estabelecemos tal equivale^ncia
em apenas cinco passos.
1.5.1 Exerc¶³cios
Demonstre as seguintes tautologias pelo m¶etodo dedutivo.
1. Modus Ponens: p ^ (p! q)) q
2. Modus Tollens: » q ^ (p! q))» p
3. Reductio ad Absurdum: (p! q), (p^ » q ! c)
4. Silogismo Disjuntivo: (p _ q)^ » p) q
5. Teorema 1.7(c): c) p
6. (p! q), (p! p ^ q)
7. (p! q), (p _ q ! q)
8. (p! q),» p _ q
9. (p! r) ^ (q ! r), (p _ q ! r)
10. (p! q) ^ (p! r), (p! q ^ r)
11. (p! q) ^ (p!» q),» p
12. (p! q) _ (p! r), (p! q _ r)
13. (p! r) _ (q ! r), (p ^ q ! r)
1.6 Regras de quanti¯ca»c~ao
Em qualquer discuss~ao geral, temos em mente um universo particular ou dom¶³nio do
discurso, isto ¶e, uma cole»c~ao de objetos cujas propriedades est~ao sob considera»c~ao. Por
exemplo, na a¯rma»c~ao \Todos os humanos s~ao mortais", o universo ¶e a cole»c~ao de todos
os humanos. Com este entendimento do universo, a a¯rma»c~ao \Todos os humanos s~ao
mortais" poder ser expressada alternativamente como:
Para todo x no universo, x ¶e mortal.
A frase \Para todo x no universo" ¶e chamada um quanti¯cador universal, e ¶e simbolizada
por (8x). A senten»ca \x ¶e mortal" diz algo sobre x; simbolizaremos isto por p(x). Usando
estes novos s¶³mbolos, podemos agora escrever a a¯rma»c~ao geral \Todos os homens s~ao
mortais" como
(8x)(p(x))
Agora considere a a¯rma»c~ao \Alguns homens s~ao mortais". Aqui o universo (ou
dom¶³nio de discurso) ¶e ainda o mesmo da a¯rma»c~ao pr¶evia. Com este universo em mente,
podemos refazer a a¯rma»c~ao \Alguns homens s~ao mortais" sucessivamente como:
18 L¶ogica Elementar
Existe pelo menos um indiv¶³duo que ¶e mortal.
Existe pelo menos um x tal que x ¶e mortal.
e como
Existe pelo menos um x tal que p(x).
A frase \Existe ao menos um x tal que" ¶e chamada um quanti¯cador existencial e ¶e
simbolizada por (9x). Usando este novo s¶³mbolo podemos agora reescrever a a¯rma»c~ao
\Alguns homens s~ao mortais" como
(9x)(p(x))
De um modo geral, suponhamos que temos um dom¶³nio de discurso U e uma
a¯rma»c~ao geral, p(x), chamada um predicado proposicional, cuja \vari¶avel" x varia em
U . Ent~ao (8x)(p(x)) a¯rma que para todo x, em U , a proposi»c~ao p(x), a respeito de
x, ¶e verdadeira, e (9x)(p(x)) signi¯ca que existe pelo menos um x, em U , tal que p(x)
¶e verdadeira.
Em matem¶atica elementar, quanti¯cadores s~ao freqÄuentemente suprimidos pelo
bem da simplicidade. Por exemplo, \(x+1)(x¡1) = x2¡1", em livros do ensino b¶asico,
deve ser entendido como dizendo \para todo n¶umero real x, (x+ 1)(x¡ 1) = x2 ¡ 1".
Na matem¶atica, \qualquer que seja" e \para todo" signi¯cam a mesma coisa e s~ao
ambos simbolizados por 8; e \para algum" signi¯ca o mesmo que \existe" e ¶e simboliza-
do por 9. Em express~oes menos formais, freqÄuentemente colocamos o quanti¯cador
ap¶os a a¯rma»c~ao. Por exemplo, a a¯rma»c~ao \f(x) = 0 para todo x" ¶e a mesma que
\(8x)(f(x) = 0)".
Na l¶ogica e na matem¶atica, a nega»c~ao da proposi»c~ao \p(x) ¶e verdadeira para todo
x (em U)", » [(8x)(p(x))], ¶e considerada o mesmo que a asser»c~ao \existe pelo menos
um x (em U) para o qual p(x) ¶e falsa", (9x)(» p(x)). Analogamente, » [(9x)(p(x))]
¶e considerada o mesmo que \n~ao h¶a nenhum5 x (em U) tal que p(x) ¶e verdadeira"; ou,
em outras palavras, \p(x) ¶e falsa para todo x (em U)", ou (8x)(» p(x)). Sumarizamos
tudo isto no seguinte axioma:
Axioma 1.1 (Regra da Nega»c~ao do Quanti¯cador (N.Q.)) Seja p(x) um predica-
do proposicional, isto ¶e, uma proposi»c~ao sobre um objeto n~ao especi¯cado de um dado
universo. Ent~ao
» [(8x)(p(x))] ´ (9x)(» p(x))
e
» [(9x)(p(x))] ´ (8x)(» p(x))
5Na l¶³ngua portuguesa, \n~ao h¶a nenhum" tem o signi¯cado de \existe nenhum" (N. do T.).
L¶ogica Elementar 19
Estamos usando \´" para denotar que as duas proposi»c~oes quanti¯cadas, nos dois
lados de ´, s~ao consideradas a mesma em l¶ogica; este uso ¶e consistente com o uso de
´ para equivale^ncias l¶ogicas, como ser¶a visto no pr¶oximo par¶agrafo.
Para entender melhor as proposi»c~oes quanti¯cadas (8x)(p(x)) e (9x)(p(x)), in-
specionemos o caso em que o universo de discurso consiste de um n¶umero ¯nito de
indiv¶³duos denotadospor a1; a2; a3; : : : ; an. Ent~ao, como (8x)(p(x)) a¯rma que p(x)
¶e verdadeira para todos, a1; a2; a3; : : : ; an, a proposi»c~ao (8x)(p(x)) ¶e verdadeira se e
somente se a conjun»c~ao de
p(a1); p(a2); p(a3); : : : ; p(an)
¶e verdadeira. ConseqÄuentemente,
(8x)(p(x)) corresponde a p(a1) ^ p(a2) ^ ¢ ¢ ¢ ^ p(an)
Analogamente,
(9x)(p(x)) signi¯ca p(a1) _ p(a2) _ ¢ ¢ ¢ _ p(an)
Portanto, a Regra da Nega»c~ao do Quanti¯cador pode ser vista com uma generaliza»c~ao
das Leis de De Morgan (Teorema 1.3).
Exemplo 1.9 Quais das seguintes proposi»c~oes ¶e equivalente µa nega»c~ao da proposi»c~ao
\Todas as cobras s~ao venenosas"?
(a) Todas as cobras s~ao n~ao venenosas.
(b) Algumas cobras s~ao venenosas.
(c) Algumas cobras n~ao s~ao venenosas.
Solu»c~ao. O dom¶³nio de discurso U ¶e a cole»c~ao de todas as cobras. Seja p(x) o predicado
proposicional que a¯rma que x ¶e venenosa (onde a vari¶avel x varia sobre U). A a¯rma»c~ao
\Todas as cobras s~ao venenosas" ¶e ent~ao traduzida em (8x)(p(x)). Conforme a regra
de nega»c~ao do quanti¯cador, Axioma 1.1, » [(8x)(p(x))] ¶e equivalente a (9x)(» p(x)),
que representa \Algumas cobras n~ao s~ao venenosas".
1.6.1 Exerc¶³cios
1. Traduza a proposi»c~ao da ¶algebra elementar \A equa»c~ao x2¡3x+2 = 0 tem solu»c~oes"
em linguagem l¶ogica, usando um quanti¯cador. Qual ¶e o dom¶³nio de discurso aqui?
2. Encontre a proposi»c~ao equivalente µa nega»c~ao de cada uma das seguintes proposi»c~oes,
usando N.Q.
(a) Todas as cobras s~ao r¶epteis.
(b) Alguns cavalos s~ao mansos.
(c) Alguns matem¶aticos n~ao s~ao soci¶aveis.
(d) Todas as estudantes s~ao ou inteligentes ou atraentes.
(e) N~ao h¶a bebe^ que n~ao seja fofo.
20 L¶ogica Elementar
3. Encontre o dom¶³nio de discurso de cada uma das proposi»c~oes do Problema 2.
4. Deduza
» [(9x)(p(x))] ´ (8x)(» p(x))
a partir de
» [(8x)(q(x))] ´ (9x)(» q(x)):
5. Deduza
» [(8x)(p(x))] ´ (9x)(» p(x))
a partir de
» [(9x)(q(x))] ´ (8x)(» q(x)):
6. Demonstre que » [(8x)(» q(x))] ´ (9x)(q(x)) e » [(9x)(» q(x))] ´ (8x)(q(x)):
[Sugest~ao: Use N.Q.]
1.7 Demonstra»c~ao de validade
Uma das mais importantes tarefas de um l¶ogico est¶a em testar argumentos. Um ar-
gumento ¶e a asser»c~ao de que uma proposi»c~ao, chamada a conclus~ao, ¶e conseqÄue^ncia
de outras proposi»c~oes, chamadas hip¶oteses ou premissas. Um argumento ¶e considerado
v¶alido se a conjun»c~ao das hip¶oteses implica a conclus~ao. Como exemplo, o seguinte ¶e um
argumento no qual as primeiras quatro proposi»c~oes s~ao hip¶oteses, e a ¶ultima proposi»c~ao
¶e a conclus~ao.
Se ele estuda medicina, ent~ao prepara-se para ganhar uma boa renda.
Se ele estuda artes, ent~ao prepara-se para viver bem.
Se ele prepara-se para ganhar uma boa renda ou para viver bem, ent~ao suas des-
pesas de estudos n~ao s~ao desperdi»cadas.
Suas despesas de estudos s~ao desperdi»cadas.
Portanto, ele n~ao estuda nem medicina e nem artes.
Este argumento pode ser simbolizado como:
H1. M ! R
H2. A! B
H3. (R _B)!» D
H4. D
C. :
.
: »M ^ » A
Para estabelecer a validade deste argumento por meio de uma tabela verdade,
precisar¶³amos de uma tabela com 32 (= 25) linhas. Mas podemos demonstrar que este
argumento ¶e v¶alido deduzindo a conclus~ao a partir das hip¶oteses em poucos passos
usando as regras de infere^ncia.
Das hip¶oteses H3 e H4, (R _ B) !» D e D, inferimos » (R _ B), ou equiva-
lentemente, » R^ » B, por Modus Tollens e Lei de De Morgan. De » R^ » B,
inferimos, de maneira v¶alida, » R (e tamb¶em » B), pelas Leis de Simpli¯ca»c~ao. De
H1, M ! R; com » R inferimos »M .
L¶ogica Elementar 21
Analogamente, A ! B (de H2), e » B, nos faz inferir » A. Finalmente a
conjun»c~ao de » M e » A nos d¶a a conclus~ao » M ^ » A. Nesta demonstra»c~ao,
as regras de infere^ncia Modus Tollens (M.T.), Leis de De Morgan (D.M.), e Leis de
Simpli¯ca»c~ao (Simp.) s~ao usadas.
Um modo mais formal e conciso de expressar esta demonstra»c~ao de validade, ¶e
listar as hip¶oteses e as proposi»c~oes deduzidas a partir delas em uma coluna, com a
justi¯ca»c~ao de cada passo numa coluna ao lado. Em cada passo, a \justi¯ca»c~ao" indica
as a¯rma»c~oes precedentes das quais, e as regras de infere^ncia pelas quais, a a¯rma»c~ao
dada naquele passo foi obtida. Para f¶acil infere^ncia, ¶e conveniente enumerar as hip¶oteses
e as a¯rma»c~oes deduzidas a partir delas e colocar a conclus~ao µa direita da ¶ultima premissa,
separada desta por uma barra = que indica que todas as proposi»c~oes acima s~ao hip¶oteses.
A demonstra»c~ao de validade formal para o argumento acima pode ent~ao ser escrita como
1. M ! R (Hip.)
2. A! B (Hip.)
3. (R _B)!» D (Hip.)
4. D=:
.
: »M ^ » A (Hip./ Concl.)
5. » (R _B) 3, 4, M.T.
6. » R^ » B 5, De M.
7. » R 6, Simp.
8. » B 6, Simp.
9. »M 1, 7, M.T.
10. » A 2, 8, M.T.
11. »M ^ » A 9, 10, Conj.
Uma demonstra»c~ao formal de validade para um dado argumento ¶e uma seqÄue^ncia
de proposi»c~oes, cada uma das quais ¶e ou uma premissa do argumento ou segue de
proposi»c~oes precedentes por um argumento v¶alido conhecido, terminando com a con-
clus~ao do argumento.
Exemplo 1.10 Construir uma demonstra»c~ao formal de validade para o seguinte argu-
mento, usando os s¶³mbolos sugeridos:
Wilson ser¶a eleito presidente do Centro Acade^mico ou ambos, H¶elio e L¶ucio ser~ao
eleitos vice-presidentes do Centro Acade^mico. Se Wilson for eleito presidente ou H¶elio
for eleito vice, ent~ao David encaminhar¶a um protesto. Portanto, ou Wilson ser¶a eleito
presidente do Centro Acade^mico ou David encaminhar¶a um protesto. (W;H;L;D).
Demonstra»c~ao.
1. W _ (H ^ L)
2. W _H ! D=:.: W _D
3. (W _H) ^ (W _ L) 1, Dist.
4. W _H (Hip./ Concl.)
5. D 2, 4, M.P.
6. D _W 5, Ad.
7. W _D 6, Com.
22 L¶ogica Elementar
Existe um outro m¶etodo de demonstra»c~ao chamado demonstra»c~ao indireta, ou
m¶etodo de demonstra»c~ao por redu»c~ao ao absurdo. Uma demonstra»c~ao indireta de vali-
dade, para um dado argumento, ¶e feita incluindo-se, como premissa adicional, a nega»c~ao
de sua conclus~ao, e ent~ao derivando uma contradi»c~ao; assim que uma contradi»c~ao ¶e
obtida, a demonstra»c~ao est¶a completa.
Exemplo 1.11 De^ uma demonstra»c~ao indireta de validade para o seguinte argumento:
p _ q ! r
s! p ^ u
q _ s =:.: r
Demonstra»c~ao.
1. p _ q ! r
2. s! p ^ u
3. q _ s =:.: r
4. » r P.I. (Demonstra»c~ao Indireta)
5. » (p _ q) 1, 4, M.T.
6. » p^ » q 5, De M.
7. » p 6, Simp.
8. » q 6, Simp.
9. s 3, 8, S.D.
10. p ^ u 2, 9, M.P.
11. p 10, Simp.
12. p^ » p 7, 11, Conj.
A proposi»c~ao p^ » p, no passo 12, ¶e uma contradi»c~ao; portanto a demonstra»c~ao
indireta de validade est¶a completa.
Em contraste a uma \demonstra»c~ao indireta", a demonstra»c~ao formal de validade
introduzida anteriormente pode ser chamada \demonstra»c~ao direta". Numa demons-
tra»c~ao matem¶atica, pode ser usada uma demonstra»c~ao direta ou uma demonstra»c~ao
indireta. A escolha do m¶etodo de demonstra»c~ao, para um argumento matem¶atico dado,
depende da prefere^ncia e da convenie^ncia.
1.7.1 Exerc¶³cios
Para cada um dos seguintes argumentos, de^ uma demonstra»c~ao direta e uma demons-
tra»c~ao indireta de validade, e compare seus tamanhos.
L¶ogica Elementar 23
1. A _ (B ^ C) 4. A _B
B ! D » B _ C = :.: A _ C
C ! E
D ^ E ! A _ C
» A= :.: C
2. B _ (C ! E) 5. B _ C ! B ^ A
B ! D » B = :.: » C
» D! (E ! A)
» D= :.: C ! A
3. (A _B)! (A! D ^ E) 6. A ^B ! C
A ^D = :.: E _ F (A! C)! D
» B _E = :.: B ! D ^E
Nas demonstra»c~oes dos seguintes argumentos, use os s¶³mbolos sugeridos.
7. Se a popula»c~ao cresce rapidamente e a produ»c~ao permanece constante, ent~ao os
pre»cos sobem. Se os pre»cos sobem, ent~ao o governo controla os pre»cos. Se sou rico,
ent~ao n~ao me preocupo com o aumento dos pre»cos. N~ao ¶e verdade que n~ao sou rico. O
governo n~ao controla os pre»cos ou preocupo-me com o aumento dos pre»cos. Portanto,
n~ao ¶e verdade que a popula»c~aocresce rapidamente e a produ»c~ao permanece constante
(P : A popula»c~ao cresce rapidamente. C: A produ»c~ao permanece constante. S: Os
pre»cos sobem. G: O governo controla os pre»cos. R: Eu sou rico. A: Eu me preocupo
com o aumento dos pre»cos.)
8. Se Wilson ou Alberto ganham ent~ao L¶ucio e Susana choram. Susana n~ao est¶a
chorando. Portanto, Alberto n~ao ganhou. (W : Wilson ganha. A: Alberto ganha. L:
L¶ucio chora. S: Susana chora.)
9. Se eu me inscrevo neste curso e estudo bastante ent~ao tiro boas notas. Se tiro boas
notas, ¯co feliz. N~ao estou feliz. Portanto, n~ao me inscrevi neste curso ou n~ao estudei
bastante. (I: Me inscrevo neste curso. E: Estudo bastante. B: Tiro boas notas. F :
Estou feliz.)
1.8 Indu»c~ao Matem¶atica
Um outro m¶etodo de demonstra»c~ao, muito ¶util para demonstrar a validade de uma
proposi»c~ao P (n), envolvendo o n¶umero natural n, ¶e o seguinte princ¶³pio de indu»c~ao
matem¶atica.
Indu»c~ao Matem¶atica. Se P (n) ¶e uma proposi»c~ao envolvendo o n¶umero natural n,
tal que
(1) P (1) ¶e verdadeira, e
(2) P (k)) P (k + 1) para qualquer n¶umero natural arbitr¶ario k,
ent~ao P (n) ¶e verdadeira para todo n¶umero natural n.
24 L¶ogica Elementar
O princ¶³pio acima ¶e uma conseqÄue^ncia de um dos Axiomas de Peano para os
n¶umeros naturais.
De modo a aplicarmos o princ¶³pio de indu»c~ao matem¶atica para demonstrarmos
um teorema, o teorema tem que ser subdividido em casos, uma caso para cada n¶umero
natural. Assim, devemos veri¯car ambas as condi»c~oes (1) e (2). A veri¯ca»c~ao de (1),
habitualmente f¶acil, nos garante que o teorema ¶e verdadeiro pelo menos no caso n =
1. Para veri¯car a condi»c~ao (2), devemos provar um teorema auxiliar cuja premissa
(hip¶otese) ¶e \P (k) ¶e verdadeira", e cuja conclus~ao (tese) ¶e \P (k + 1) ¶e verdadeira". A
premissa \P (k) ¶e verdadeira" ¶e chamada a hip¶otese de indu»c~ao.
Exemplo 1.12 Demonstre, por indu»c~ao matem¶atica, que
1 + 2 + 3 + ¢ ¢ ¢+ n = n(n+ 1)
2
Demonstra»c~ao. Aqui P (n) representa a proposi»c~ao
\1 + 2 + 3 + ¢ ¢ ¢+ n = n(n+ 1)
2
"
Em particular, P (1) representa \1 = (1 ¢ 2)=2", que obviamente ¶e uma a¯rma»c~ao
verdadeira. Portanto, a condi»c~ao (1) para a indu»c~ao matem¶atica est¶a satisfeita.
Para demonstrar que a condi»c~ao (2) ¶e satisfeita, assumimos que \P (k)", que ¶e
\1 + 2 + 3 + ¢ ¢ ¢ + k = k(k + 1)=2", seja verdadeira. Ent~ao, somamos k + 1 a ambos
os membros da igualdade. Temos portanto
1 + 2 + 3 + ¢ ¢ ¢+ k + (k + 1) = k(k + 1)
2
+ (k + 1)
=
k(k + 1)
2
+
2(k + 1)
2
=
(k + 2)(k + 1)
2
=
(k + 1)(k + 2)
2
o que mostra que P (k + 1) ¶e verdadeira. Mostramos assim que as condi»c~oes (1) e (2)
da indu»c~ao matem¶atica s~ao satisfeitas. Portanto, pelo princ¶³pio de indu»c~ao matem¶atica,
1 + 2 + 3 + ¢ ¢ ¢+ n = n(n+ 1)=2 ¶e verdadeira para cada n¶umero natural n.
A id¶eia de indu»c~ao matem¶atica pode ser usada para fazer de¯ni»c~oes matem¶aticas
envolvendo n¶umeros naturais. Por exemplo, a de¯ni»c~ao de pote^ncias de um n¶umero real
qualquer x podem ser de¯nidas por:
x1 = x
xn+1 = xn ¢ x; para cada n¶umero natural n
L¶ogica Elementar 25
As duas equa»c~oes acima indicam que x1 = x, x2 = x ¢ x, x3 = x2 ¢ x, : : : e assim
por diante. Como outra aplica»c~ao, daremos a seguinte de¯ni»c~ao indutiva do s¶³mbolo
C(n; r).
De¯ni»c~ao 1.7 Sejam n um n¶umero natural e r um inteiro. O s¶³mbolo C(n; r) ¶e de¯nido
por
C(0; 0) = 1, C(0; r) = 0 para cada r6= 0, e
C(n+ 1; r) = C(n; r) + C(n; r ¡ 1)
Teorema 1.8 Se n e r s~ao inteiros, tais que 0 6 r 6 n, ent~ao
C(n; r) =
n!
r!(n¡ r)!
sendo n! o produto n ¢ (n¡1) ¢ ¢ ¢ 3 ¢2 ¢1, dos primeiros n n¶umeros naturais consecutivos,
se n > 0 e 0! = 1 por conven»c~ao.
Demonstra»c~ao. Exerc¶³cio.
Teorema 1.9 (O Teorema Binomial) Se x e y s~ao dois n¶umeros reais e n ¶e um
n¶umero natural, ent~ao
(x+ y)n = C(n; 0)xn + C(n; 1)xn¡1y + ¢ ¢ ¢+ C(n; r)xn¡ryr + ¢ ¢ ¢+ C(n; n)yn
Demonstra»c~ao. Demonstraremos a validade deste teorema por indu»c~ao matem¶atica.
Primeiramente, o teorema ¶e claramente verdadeiro para n = 1. Para completar a
demonstra»c~ao, assumiremos a validade do teorema para n = k; isto ¶e, assumiremos
que
(x+ y)k = C(k; 0)xk + C(k; 1)xk¡1y + ¢ ¢ ¢+ C(k; r)xk¡ryr + ¢ ¢ ¢+ C(k; k)yk
Ent~ao, multiplicando ambos os membros da igualdade acima por (x+ y), temos
(x+ y)k+1 = (x+ y)[xk + C(k; 1)xk¡1y + ¢ ¢ ¢+ C(k; r)xk¡ryr + ¢ ¢ ¢+ yk]
= xk+1 + [C(k; 0) + C(k; 1)]xky + ¢ ¢ ¢
+ [C(k; r ¡ 1) + C(k; r)]x(k+1)¡ryr + ¢ ¢ ¢+ yk+1
= C(k + 1; 0)xk+1 + C(k + 1; 1)xky + ¢ ¢ ¢
+ C(k + 1; r)xk+1¡ryr + ¢ ¢ ¢+ C(k + 1; k + 1)yk+1
que mostra que o teorema ¶e v¶alido para n = k + 1 se for v¶alido para n = k.
Assim, por indu»c~ao matem¶atica, o teorema binomial ¶e verdadeiro para todos os
n¶umeros naturais n.
26 L¶ogica Elementar
1.8.1 Exerc¶³cios
1. Demonstre o teorema 1.8 por indu»c~ao matem¶atica.
2. Mostre que C(n; 0) = 1 = C(n; n) para todo n¶umero natural n.
3. Demonstre por indu»c~ao matem¶atica que, para todo n¶umero natural n,
1 ¢ 2 + 2 ¢ 3 + ¢ ¢ ¢+ r ¢ (r + 1) + ¢ ¢ ¢+ n ¢ (n+ 1) = 1
3
n(n+ 1)(n+ 2):
4. Demonstre por indu»c~ao matem¶atica que, para todo n¶umero natural n,
12 + 22 + 32 + ¢ ¢ ¢+ n2 = 1
6
n(n+ 1)(2n+ 1):
5. Demonstre que para todo n¶umero natural n,
13 + 23 + 33 + ¢ ¢ ¢+ n3 = 1
4
n2(n+ 1)2:
6. Demonstre que para todo n¶umero natural n, 1 + 3 + 5 + ¢ ¢ ¢+ (2n¡ 1) = n2.
7. Demonstre que para todo n¶umero natural n,
1
1 ¢ 2 +
1
2 ¢ 3 +
1
3 ¢ 4 + ¢ ¢ ¢+
1
n ¢ (n+ 1) =
n
n+ 1
:
8. Demonstre as seguintes Leis de De Morgan Generalizadas,
(a) » (p1 ^ p2 ^ ¢ ¢ ¢ ^ pn),» p1 _ » p2 _ ¢ ¢ ¢ _ » pn
(b) » (p1 _ p2 _ ¢ ¢ ¢ _ pn),» p1 ^ » p2 ^ ¢ ¢ ¢ ^ » pn
9. Demonstre as seguintes Leis Distributivas Generalizadas.
(a) p ^ (q1 _ q2 _ ¢ ¢ ¢ _ qn), (p ^ q1) _ (p ^ q2) _ ¢ ¢ ¢ _ (p ^ qn)
(b) p _ (q1 ^ q2 ^ ¢ ¢ ¢ ^ qn), (p _ q1) ^ (p _ q2) ^ ¢ ¢ ¢ ^ (p _ qn)