Capítulo_1.0_Circuitos_Magnéticos (2)

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CURSO DE CONVERSÃO E MÁQUINAS ELÉTRICAS 1 
Prof. Avanir Lessa 
 
 
 
Capítulo 1.0 
Circuitos 
Magnéticos 
 
PROFESSOR: AVANIR CARLOS LESSA 
 
 
CURSO DE CONVERSÃO E MÁQUINAS ELÉTRICAS 2 
Prof. Avanir Lessa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Avanir Carlos Lessa 
 
 Engenheiro Elétrico e Professor 
 
 Graduação em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Juiz de Fora – MG 
Dezembro / 1977. 
 
 Construtora Loureiro / 1978 – 1979 / Instalações Elétricas Industriais. 
 
 Nuclebrás / 1979 – 1980 / Mestrado na UFRJ – COPPE – Tecnologia Nuclear. 
 
 Toshiba do Brasil / 1980 – 1998 / Motores Elétricos, Transformadores e Geradores Elétricos de 
Grande Porte – Painéis Elétricos de Proteção e Controle de Motores e Geradores Elétricos. 
 
 ABB Ltda / 1998 – 2009 / Motores e Geradores Elétricos, Subestações Retificadoras – Grupos 
Retificadores – Sistemas de Excitação e Painéis Elétricos de Proteção para Geradores Elétricos. 
 
 Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do ABC / 2014 
Área de Pesquisa: Tecnologia FACTS / Injeção de Reativos / Correção de Fator de Potência / 
Eletrônica de Potência. 
 
 Doutorando na Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – USP / 2016 a 2018. 
 
 Professor da Universidade Drummond - UniDrummond / 2014 a 2019. 
 
 Professor da Fatec Zona Leste / Osasco / Tatuapé / Itaquera / Franco da Rocha / 2019 a 2021. 
 
 Professor da Fatec Luigi Papaiz / Osasco / Tatuí / 2022 a 2025. 
 
 Professor do Instituto Federal de São Paulo / 2025. 
 
 Professor das disciplinas de: 
 
 Instalações Elétricas Industriais. 
 Eletrônica Analógica I e II e Digital I e II. 
 Eletrônica Industrial e de Potência. 
 Eletricidade e Circuitos Elétricos. 
 Conversão, Máquinas Elétricas e Acionamentos Elétricos. 
 Servomecanismo e Controle, 
 Tecnologias Energéticas. 
 Eletricidade e Eletrotécnica Industrial. 
 Programação Aplicada a Automação. 
 Fundamentos de Automação Industrial. 
 Custos Industriais. 
 Projeto Integrador III. 
 Luminotécnica. 
 Automação Predial. 
 Laboratório de Eletricidade. 
 
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I Informações Sobre a Disciplina de Conversão e Máquinas Elétricas 
 
I.1 Características das Aulas 
 
As aulas da disciplina de Conversão e Máquinas Elétricas serão divididas em capítulos. Cada aula pode 
corresponder a um determinado capítulo. 
 
I.2 Ementa da Disciplina 
 
O componente curricular de Conversão e Máquinas Elétricas traz a visão teórica e aplicada a dos 
fundamentos de transformadores, motores e geradores. Trabalha os modelos teóricos destas máquinas 
amparadas pelos elementos de aprendizagem de eletromagnetismo em bem como as práticas em 
laboratórios, dos ensaios e curvas características esperadas. 
 
I.3 Objetivos 
 
Aplicar os conceitos do magnetismo, eletromagnetismo e suas características. Analisar circuitos 
magnéticos. Relacionar e aplicar conceitos de eletromagnetismo em máquinas elétricas. Analisar e 
entender o princípio de funcionamento dos transformadores, motores CC, motores CA monofásicos e 
trifásicos. 
 
I.4 Bibliografia Básica 
 
FITZGERALD, A. E. KINGSLEY JR, C. Máquinas Elétricas com Introdução à Eletrônica de 
Potência. São Paulo.: Bookman, 2006. 
 
NASAR, S. A. Máquinas Elétricas. São Paulo: McGraw Hill, 1984. 
 
FALCONE, A. G. Eletromecânica – Transformadores e Transdutores, Conversão Eletromecânica 
de Energia. Vol. 1. São Paulo; Blücher, 1979. 
 
Periódico: INTERNATIONAL JOURNAL OF ELECTRICAL MACHINING. Shinjukuku: The Japan 
Society of Electrical Machining Engineers. ISSN: 1341-7908. 
 
I.5 Bibliografia Complementar 
 
KOSOW, IRVING L. Máquinas Elétricas e Transformadores. Rio de Janeiro: Globo, 1993. 
 
FALCONE, A. G. Eletromecânica – Máquinas Elétricas Rotativas. Vol. 2. São Paulo; Blücher, 1979. 
 
EDMINISTER, JOSEH. Teoria e Problemas de Eletromagnetismo. 2ª ed. São Paulo.: Bukman, 2006. 
 
HAYAT, WILLIANS H. BUCK, JHON. A. Eletromagnetismo. 8ª ed. Porto Alegre, AMGH Ed. 2013. 
 
CARDOSO, JOSÉ ROBERTO. Engenharia Eletromagnética. São Paulo, Campus, 2011. 
 
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I.6 Exercícios 
 
No final de cada capítulo têm exercícios que o Professor poderá definir no dia da aula, qual ou quais 
deverão ser entregues. 
 
Estes exercícios entregues valerão 30% para complemento da nota de P1 e P2. A quantidade de 
exercícios que serão computados para compor a avaliação será definida pelo Professor. 
 
I.7 Provas e Avaliações 
 
Haverá 02 Provas para avaliação de compreensão da disciplina, P1 e P2. As provas serão informadas e 
combinadas com os Alunos em data oportuna, embora esteja definida no Plano de Curso. 
 
O Aluno só fará a Prova P3 (substitutiva) se não conseguir média 6 nas avaliações de P1 e P2. 
 
I.8 Presenças, Faltas e Informações Finais 
 
Acompanhem as presenças e faltas pelo SUAPE. 
 
Faltar aula significa perder o valor de 0,10 a serem retirados das notas de P1 e P2. Cada dia de aula 
corresponde a 4 aulas. Ou seja, um dia de falta a aula corresponde a menos 0,40 das notas de P1 e P2. 
 
Caso haja justificativa plausível pela falta a aula será abonado a falta. 
 
Os Alunos devem observar que, caso a aula seja on line, ou a distância, ao entrar na plataforma fica 
gravado quanto tempo ele participou da aula. 
 
Neste caso, as presenças nos dias de aulas serão dadas pelo tempo em que ficou na devida aula e, 
consequentemente as faltas. 
 
Desejo a todos os Alunos um bom curso e tenham certeza que farei o melhor possível para que tenhamos 
uma boa convivência, harmonia, compreensão, dedicação, etc. para com vocês. Entre sempre em contato, 
caso necessitem. 
 
Email: avanir.lessa@ifsp.edu.br 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 1.0 Circuitos Magnéticos 
 
1.1 Conceitos Básicos 
 
O eletromagnetismo estuda os campos magnéticos criado pela corrente elétrica. 
 
Séculos antes de Cristo, Tales de Mileto havia descrito algo a respeito do magnetismo. O termo 
magnetismo provém da Magnésia, nome dado a uma região da Grécia antiga, onde foram encontrados os 
primeiros ímãs. 
 
Segundo a história foram os chineses os primeiros a utilizar o imã como bússola para navegação. Através 
do tempo, vários indivíduos realizaram estudos relacionados com o imã. Entre eles, o médico inglês Willian 
Gilbert (1540-1603) que realizou um estudo científico sobre o magnetismo. Coulomb, juntamente com o estudo 
das ações entre cargas elétricas, fez também um estudo quantitativo das ações entre imãs. 
 
A relação entre fenômenos elétricos e magnéticos somente ficou esclarecida a partir da descoberta do 
movimento da agulha uma bússola colocada próxima a um fio conduzindo corrente elétrica, por Orested 
(1777-1851). Sucederam-se a Orested outros cientistas com AMPÉRE, FARADAY e MAXWELL. Este último 
formulou matematicamente as idéias de Faraday nas famosas “Equações de Maxwell, através das quais foi 
prevista a existência de ondas eletromagnéticas (ondas de rádio). Além disso, Maxwell, através de suas 
equações, demonstrou que a luz se propaga em forma de ondas eletromagnéticas, anexando, desta forma, a 
Óptica ao domínio do Eletromagnetismo. 
 
Usando-se as equações de Maxwell, pode-se explicar detalhadamente os fenômenos e as leis da Óptica. 
Paralelamente a esse desenvolvimento científico, no campo da tecnologia surgiram o telefone, o rádio, a 
telegrafia, a usina elétrica e muitos outros. 
 
Há séculos, o homem observou determinadas pedras que têm a propriedade de atraírem pedaços de ferro 
ou interagirem entre si. Essas pedras foram chamadas imãs e os fenômenos, que de modo espontâneo se 
manifestavam na natureza, foram denominados fenômenos magnéticos.Todos os ímãs possuem dois polos inseparáveis, o norte e o sul. Polos de nomes iguais se repelem 
mutuamente, enquanto que os polos de nomes diferentes se atraem. 
 
Denominam-se campo magnético toda região do espaço na qual uma agulha imantada fica sob a ação de 
uma força magnética. 
 
1.2 As Equações de Maxwell 
 
Baseando-se nos estudos de Michael Faraday, Maxwell unificou, em 1864, todos os fenômenos elétricos 
e magnéticos observáveis em um trabalho que estabeleceu conexões entre as várias teorias da época, derivando 
uma das mais elegantes teorias já formuladas. 
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Maxwell demonstrou, com essa nova teoria, que todos os fenômenos elétricos e magnéticos poderiam 
ser descritos em apenas quatro equações, conhecidas atualmente como Equações de Maxwell. 
Essas são as equações básicas para o eletromagnetismo, assim como a lei da gravitação universal e as três leis 
de Newton são fundamentais para a Mecânica Clássica. 
 
 Não serão apresentadas nessa disciplina as deduções matemáticas das equações de Maxwell, uma vez 
que essas necessitam do conhecimento do Cálculo Diferencial e Integral, que somente é estudado na íntegra em 
cursos superiores. 
 
As equações de Maxwell para o eletromagnetismo constam da unificação entre as Leis de Gauss, para a 
eletricidade e para o magnetismo, a Lei de Ampère generalizada e a Lei de Faraday para a Indução 
eletromagnética. 
 
 Segue então as equações de Maxwell: 
 
1.2.1 Lei de Gauss Para a Eletricidade 
 
Essa é a primeira das quatro equações de Maxwell, proposta originalmente pelo matemático alemão Carl 
Friedrich Gauss (1777-1855), é o equivalente a lei de Coulomb em situações estáticas. Ela relaciona os campos 
elétricos e suas fontes, as cargas elétricas, e pode ser aplicada mesmo para campos elétricos variáveis com o 
tempo. 
 
1.2.2 Lei de Gauss Para o Magnetismo 
 
Esta lei é equivalente a primeira, mas aplicável aos campos magnéticos e evidenciando ainda a não 
existência de mono polos magnéticos (não existe polo sul ou polo norte isolado). De acordo com essa lei, as 
linhas de campo magnético são contínuas, ao contrário das linhas de força de um campo elétrico que se originam 
em cargas elétricas positivas e terminam em cargas elétricas negativas. 
 
1.2.3 Lei de Ampère 
 
A lei de Ampère descreve a relação entre um campo magnético e a corrente elétrica que o origina. Ela 
estabelece que um campo magnético é sempre produzido por uma corrente elétrica ou por um campo elétrico 
variável. Essa segunda maneira de se obter um campo magnético foi prevista pelo próprio Maxwell, com base 
na simetria de natureza: se um campo magnético variável induz uma corrente elétrica, e consequentemente um 
campo elétrico, então um campo elétrico variável deve induzir um campo magnético. 
 
1.2.4 Lei de Faraday 
 
A quarta das equações de Maxwell descreve as características do campo elétrico originando um fluxo 
magnético variável. Os campos magnéticos originados são variáveis no tempo, gerando assim campos elétricos 
do tipo rotacionais. 
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Até o final do século XIX, acreditava-se que com estas equações não havia mais nada para ser descoberto 
na física. Porém, em 1900, Max Planck deu início à chamada Física Quântica, com seus postulados sobre a 
radiação de corpo negro. 
 
 Em 1905, Albert Einstein revoluciona de uma vez por todas os conhecimentos da ciência, lançando a 
Teoria da Relatividade e o Efeito Fotoelétrico, abrindo caminho para o maior desenvolvimento científico da 
história. 
 
 As equações de Maxwell são consideradas o marco final do que se chama de Mecânica Clássica. 
 
 Maxwell foi o primeiro físico a encontrar através de cálculos matemáticos a velocidade das ondas 
eletromagnéticas, tudo graças às suas famosas equações. 
 
1.3 Campo Magnético Criado Por Corrente Elétrica 
 
Colocando-se uma bússola próxima de um fio conduzindo corrente elétrica, a agulha da mesma sofre 
desvio (experimente). 
 
Esta descoberta foi feita pelo físico dinamarquês Hans Christian Orested no ano de 1820, na 
Universidade de Copenhagen e pode ser explicada admitindo-se que a corrente elétrica cria em torno de si um 
campo magnético que atua sobre os polos da agulha imantada. 
 
Através desta experiência, verifica-se que o campo magnético pode ser criado também por corrente 
elétrica. 
 
Genericamente, define-se campo magnético toda região do espaço em torno de um condutor percorrido 
por corrente ou em torno de um ímã, neste caso devido a particulares movimentos que os elétrons executam no 
interior de seus átomos. 
 
Segure o condutor abraçando-o com os dedos e mantendo o polegar apontado no sentido da corrente. Os 
dedos que envolvem o condutor mostram o sentido das linhas de indução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em particular, para a determinação do campo magnético devido á corrente elétrica, foram estabelecidas 
várias leis muito importantes na Física. Uma delas é a lei de Biot-Savart, antigamente chamada Lei Elementar 
de Laplace. 
 
 
 
 
 
 
 
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A lei de Biot-Savart estabelece que o vetor indução magnética elementar ∆𝑩 em um ponto P, originado 
por uma corrente elétrica i, tem as seguintes características: 
 
(a) Sentido do vetor: perpendicular ao plano que se forma; 
 
(b) Intensidade: diretamente proporcional a corrente e a variação do comprimento vezes o seno do 
ângulo entre a espira e o plano formado e inversamente proporcional ao quadrado da distância 
onde está o objeto que será atingido pelo campo magnético; 
 
(c) Direção: é determinado por uma regra prática que denominamos “regra da mão direita” 
 “Coloque a mão direita com os quatros dedos lado a lado no mesmo plano que a palma da mão e o 
polegar levantando este plano. Aponte o polegar na direção que a corrente está passando ao longo de ∆l, e os 
demais dedos no sentido de ∆l para o ponto P, onde o campo está sendo determinado. Note que a palma da mão 
estará no plano. O sentido do campo será aquele de trás para a frente da mão, isto é, o sentido no qual a mão 
daria um empurrão”. 
 
1.4 Circuitos Magnéticos 
 
As máquinas elétricas são constituídas por circuitos elétricos e magnéticos acoplados entre si. Por um 
circuito magnético pode-se entender como um caminho para o fluxo magnético, assim como um circuito elétrico 
estabelece o caminho para a corrente elétrica. 
 
Nas máquinas elétricas, os condutores percorridos por correntes elétricas interagem com os campos 
magnéticos, originados ou por correntes elétricas em condutores ou imãs permanentes, resultando na conversão 
eletromecânica de energia. 
 
Por exemplo: considere um condutor de comprimento ℓ colocado entre os polos de um imã. Seja o 
condutor percorrido por uma corrente I e, fazendo um ângulo reto com as linhas de fluxo magnético, conforme 
mostrado na Figura abaixo. Observa-se experimentalmente que o condutor sofre a ação de uma força F, cujo 
sentido está mostrado na Figura acima e sua magnitude é: 
 
 F = BIℓ (1.1) 
 
 
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Onde: 
 
F: representa a força aplicada no condutor. 
B: representa a magnitude do fluxo magnético. 
i : representa a corrente elétrica que circula no condutor. 
ℓ : representa o comprimento do condutor. 
 
Nesta expressão, B é a magnitude da densidade de fluxo magnético B, cuja direção é a das linhas de 
fluxo. A unidade no SI de B é o tesla (T)Pela regra da mão direita é determinada o sentido da força eletromotriz induzida, do campo magnético e 
do movimento do condutor, conhecida como regra de Fleming. Neste caso o condutor se move. 
 
O fluxo magnético, ∅, através de uma certa superfície aberta ou fechada é o fluxo de B através dessa 
superfície, isto é: 
∅ = 𝐵 · 𝑑𝑆 ∴ 
 
∅ = 𝐵 · 𝑛𝑑𝑆 
 
Onde n é o vetor normal unitário para fora da área elementar dS da superfície, Figura abaixo. No caso 
de B ser constante em magnitude e, em qualquer lugar, se perpendicular à superfície de área A, reduz-se para: 
 
 ∅ = BA (1.4) 
Da qual: 
 B = 
∅
𝑨
 (1.5) 
 
A unidade no SI de fluxo magnético é o weber (Wb). Verifica-se que a densidade de fluxo magnético (o 
tesla-T) também pode ser expressa em Wb/m², isto é, 1 T = 1 W/m². 
 
 
(1.3) 
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No caso do circuito magnético da figura a seguir, a fonte do campo magnético do núcleo é o produto Ni 
em ampères-espiras (A·e). Na terminologia dos circuitos magnéticos, Ni é a força magnetomotriz (FMM) F que 
atua no circuito magnético. 
 
Embora a figura mostre apenas uma única bobina, os transformadores e a maioria das máquinas rotativas 
têm no mínimo dois enrolamentos, e Ni deve ser substituído pela soma algébrica dos ampères-espiras de todos 
os enrolamentos. 
 
O fluxo magnético ∅ que atravessa uma superfície S é a integral de superfície da componente normal de 
B. Assim: 
∅ = 𝐵 · 𝑑𝑆 ∴ 
 
Onde: 
∅: representa o fluxo magnético (unidade Tesla – T, ou weber - Wb). 
B: representa a densidade de fluxo magnético (unidade Wb/m²). 
S: representa a área (m²). 
 
A equação acima afirma que o fluxo magnético líquido que entra ou sai de uma superfície fechada (igual 
a integral de superfície de B sobre a superfície fechada) é zero. Isso equivale a dizer que qualquer fluxo que 
entrar em uma superfície que delimita um volume deverá deixar esse volume passando por uma região dessa 
superfície porque as linhas de fluxo magnético formam laços fechados. 
 
Assim, a equação reduz-se à equação simples: 
 
 ∅ = 𝐵 𝐴 
 
Onde: 
∅ : representa o fluxo magnético. 
𝐵 : representa a densidade de fluxo magnético no núcleo. 
𝐴 : representa a área de seção reta do núcleo. 
 
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1.5 Lei de Ampère 
 
A relação entre uma corrente elétrica e um campo magnético é dada pela Lei Circuital de Ampère, 
podendo ser escrita como: 
 
 ∮ 𝑯 · 𝒅𝒍 = 𝑰 (1.6) 
 
Onde H é definido como intensidade de campo magnético, em A/m, devido a corrente I. 
 
De acordo com a Equação (1.5), a integral da componente tangencial de H ao longo do caminho fechado 
é igual à corrente envolvida pelo caminho. 
 
Quando o caminho fechado é atravessado pela corrente N vezes, como na Figura 1.4, a Equação (1.5) 
torna-se: 
 
 ∮ 𝑯 · 𝒅𝒍 = 𝑵𝑰 = F (1.7) 
 
Na qual F, ou 𝑵𝑰, é conhecido como força magneto motriz (abreviadamente fmm). Rigorosamente 
falando, F tem a mesma unidade (ampères) que I. Entretanto, como em muitos livros, segue-se a convenção 
comum citando F em ampères espiras (Aℓ), isto é, considera-se N possuindo uma unidade adimensional, a 
espira. 
 
O fluxo magnético, a densidade de fluxo magnético, a força magnetomotriz e a permeabilidade 
magnética são quantidades básicas necessárias para a avaliação do desempenho dos circuitos magnéticos. 
 
1.6 Permeabilidade e Saturação 
 
Num meio material isotrópico, H, que é determinado somente pelo movimento de cargas elétricas 
(corrente elétrica) e B, que depende também das propriedades dos meios, estão relacionados por: 
 
 B = 𝝁H (1.8) 
 
 
 
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Onde 𝝁 é definido como permeabilidade do meio, medida em henries por metro (H/m). Considerando 
um espaço livre, tem-se: 
 
 B = 𝝁𝟎H (1.9) 
 
 
Onde 𝝁𝟎 é a permeabilidade do meio (ar). O valor atribuído é: 
 
𝝁𝟎 = 4𝜋 · 10 H/m (Este valor também é conhecido como “constante magnética”). 
 
O material do núcleo de uma máquina elétrica é geralmente ferromagnético e, a variação de B com H 
não é linear, como mostrado na curva típica abaixo. É claro que a inclinação da curva depende da densidade de 
fluxo de operação, estando então a mesma dividida em regiões I, II e III. Isto leva ao conceito de diferentes 
tipos de permeabilidade. Então: 
 
 B = 𝝁H = 𝝁𝒓𝝁𝟎H (1.10) 
 
Na qual 𝝁 é chamado de permeabilidade e 𝝁𝒓 = 𝝁𝟎/𝝁 é denominado de permeabilidade relativa, que é 
adimensional). Ambas 𝝁 e 𝝁𝒓variam com H ao longo da curva B – H. As definições a seguir se referem a 
permeabilidade relativa, ou seja, a constante 𝝁𝟎 estará fatorada. 
 
 
A permeabilidade diferencial é o valor que corresponde a inclinação da curva B – H num certo ponto: 
 
 𝝁𝒅 = 
𝟏
𝝁𝟎
·
𝒅𝑩
𝒅𝑯
 (1.11) 
 
 
A permeabilidade inicial é definida como: 
 
 𝝁𝒊 = 
𝟏
𝝁𝟎
· lim
𝒅𝑩
𝒅𝑯
 (1.12) 
 
A permeabilidade relativa na região I é aproximadamente constante e igual a permeabilidade inicial. 
 
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Em todas as três regiões a razão de B para H, em qualquer ponto da curva corresponde a permeabilidade 
de amplitude, conhecida também por permeabilidade total ou normal: 
 
 𝝁𝒂 = 
𝟏
𝝁𝟎
·
𝑩
𝑯
 (1.13) 
 
1.7 Lei dos Circuitos Magnéticos 
 
Um circuito magnético é análogo a um circuito de corrente contínua, em alguns aspectos. Desde que o 
comprimento do entreferro g seja suficientemente pequeno, a configuração do circuito a seguir pode ser 
analisada com dois componentes em série: 
 
 Um núcleo magnético de permeabilidade 𝜇; 
 
 A área de seção reta 𝐴 e comprimento médio 𝑙 ; 
 
 Um entreferro de permeabilidade 𝜇 ; 
 
 Área de seção reta 𝐴 e comprimento g; 
 
Um circuito magnético com um entreferro de ar está apresentado na figura a seguir: 
 
As técnicas de análise de circuito magnético são semelhantes ao de circuito elétrico. Assim, no núcleo, 
a densidade de fluxo pode ser considerada uniforme. Portanto, tem-se as equações: 
 
 𝑩𝑪 = 
∅ 
𝑨𝑪
 
 
E no entreferro: 
 𝑩𝒈 = 
∅ 
𝑨𝒈
 
 
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Onde, ∅: representa o fluxo magnético. 
 
Considerando o circuito magnético análogo a um circuito elétrico, tem-se a equação: 
 
F = 𝐻 𝑙 + 𝐻 𝑙 
 
Usando a relação linear B-H, obtém-se: 
 F = 
𝑩𝑪 
𝝁
𝑙𝐶 + 
𝑩𝒈 
𝝁𝟎
𝑙𝑔 
 
Entretanto, F = Ni, é a FMM (Força Magneto Motriz) aplicada ao circuito magnético. 
 
mo um circuito𝐴: representa a DO PELAS 
 
Abaixo a Tabela 1 que resume esta similaridade. 
 
Na tabela, ℓ é o comprimento e A é a área da seção transversal do caminho, ou para a corrente no circuito 
elétrico, ou para o fluxo no circuito magnético. O ∅ é análogo a I e R é análogo a R . As leis para os resistores 
em série ou em paralelo também valem para as relutâncias. 
 
A diferença básica entre a resistência elétrica R e a relutância magnética R é que a primeira está associada 
a uma perda de energia, cujo valor é R·𝐈𝟐, enquanto a última não. 
 
Além disso, o fluxo magnético apresenta caminhos de dispersão, enquanto as correntes elétricas 
normalmente não o fazem. 
 
 
 
Circuito Elétrico 
 
 Circuito Magnético 
 
 
Lei de Ohm: I = V/R 
 
∅ = F / R 
Resistência: R = ℓ/(𝜎A) Relutância: R = ℓ/(𝜇A) 
Corrente: I Fluxo: ∅ 
Tensão: V Fmm: F 
Condutividade: 𝜎 Permeabilidade: 𝜇 
Condutância: G Permeância: P 
 
Tabela 1-1 
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Na Figura a seguir, considerando que a intensidade de fluxo magnético é constate ao longo do percurso 
medido por 𝑙 (caminho médio) e pela Lei de Ampère, tem-se: 
 
 ∮ 𝑯 · 𝒅𝒍 = 𝑵𝑰 → NI = 𝑯𝒏𝒍𝒏 (1.14) 
 
1.8 Operação em Corrente Alternada 
 
Se a fmm é de corrente alternada, então a curva B – H é substituída pelo laço de histerese simétrico da 
Figura acima. A área dentro do laço é proporcional a perda de energia, em calor, por ciclo. Esta perda de energia 
é conhecida como perda por histerese. 
 
As correntes de Foucault, ou correntes parasitas induzidas no material do núcleo constituem uma outra 
característica de operação de um ciclo magnético, quando ele está excitado por uma bobina percorrida por 
Caminho do Fluxo 
Laço de Histerese 
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corrente alternada. As perdas magnéticas à histerese de e correntes de Foucault, em conjunto são conhecidas 
como perdas no núcleo ou perdas no ferro e, são aproximadamente dadas pelas seguintes expressões: 
 
Perdas por correntes de Foucault: 𝑃 = 𝐾 𝑓 𝐵 (W/kg) (1.15) 
 
Perdas por histerese: 𝑃 = 𝐾 𝑓𝐵 , , (W/kg) (1.16) 
 
Nas equações acima, 𝐵 é a densidade do fluxo máxima, f é a frequência da corrente alternada , 𝐾 é 
uma constante que depende da condutividade e da espessura do material e 𝐾 é uma outra constante de 
proporcionalidade. 
 
1.9 Corrente de Focault 
 
As correntes induzidas não são obtidas apenas nos condutores em forma de fio. Também condutores 
maciços podem fornecê-la. Por exemplo, um bloco de cobre maciço pode ser um condutor. Se o bloco estiver 
submetido a um campo magnético variável e ser ligado nas suas extremidades a outros blocos ou condutores, 
temos um circuito fechado. 
Com isso, uma f.e.m. induzida aparece nas extremidades do bloco e no seu interior fazendo com que 
surjam no interior do bloco corrente induzidas. Essas correntes recebem o nome de correntes de Foucault. 
 
A reduzida resistência elétrica de condutores maciços permite que as correntes de Foucault atinjam 
intensidades bastante elevadas. Isso aquece o condutor e causa dissipação de consideráveis quantidades de 
energia.As correntes de Foucault constituem a base de funcionamento dos fornos de indução, nos quais se 
fundem peças metálicas através do efeito joule causadas pelas correntes. 
 
 
1.10 Fator de Laminação 
 
Para reduzir as perdas por correntes de Foucault o núcleo deve ser constituído de lâminas, ou finas chapas 
com uma finíssima camada de isolamento entre as mesmas. As lâminas são orientadas paralelamente à direção 
do fluxo. 
 
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A perda por correntes de Foucault é aproximadamente proporcional ao quadrado da espessura de 
laminação, a qual varia de 0,5 a 5 mm em quase todas as máquinas elétricas. Laminando-se um núcleo aumenta-
se o seu volume. A razão do volume realmente ocupado pelo material magnético para o volume total do núcleo 
é conhecida como fator de laminação, também conhecido como fator de empilhamento. 
 
Sendo a perda por histerese proporcional a área do laço da curva, o núcleo de uma máquina é feito com 
aço de boa qualidade magnética, tendo estreito laço de histerese. 
 
Considere as figuras a seguir, onde são apresentados um núcleo não laminado na figura (a) e um núcleo 
laminado na figura (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tabela 1.2 apresenta os valores mais apropriados entre a espessura de laminação e o fator de laminação. 
 
 
 
Espessura de laminação, mm Fator de laminação 
 
0,0127 
0,0254 
0,0508 
0,10 a 0,25 
0,27 a 0,36 
 
 
0,50 
0,75 
0,85 
0,90 
0,95 
 
∅ ∅ 
𝑵ú𝒄𝒍𝒆𝒐 𝑵ú𝒄𝒍𝒆𝒐 
Tabela 1 – 2 
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1.11 Flangeamento 
 
O flangeamento também conhecido como espalhamento ou efeito de borda, são linhas de fluxo 
aparecendo ao longo das partes magnéticas separadas pelo ar, como é mostrado na Figura a seguir. 
 
O efeito aumenta com a área do núcleo e com o comprimento do entreferro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐵 = 
 çã
 
 
 
1.12 Energia Armazenada Num Campo Magnético 
 
A energia magnética armazenada num campo magnético dentro de um certo volume, v, é definida pela 
integral de volume: 
𝑊 =
1
2
𝐵 · 𝐻𝑑𝑣 = 
1
2
𝜇 𝐻 · 𝑑𝑣 =
1
2𝜇
𝐵 · 𝑑𝑣 
 
1.13 Cálculo da Indutância 
 
A indutância é definida como o enlace de fluxo por unidade de corrente: 
 
 L = (1.18) 
 
Onde λ é chamado de fluxo concatenado. Para uma quantidade de N espiras, tem-se: 
 
 λ = 𝑁∅ (1.20) 
 
Portanto, a Equação (1.17), torna-se: 
 
 L = 
∅
 (1.21) 
 
 
Núcleo 
 
Núcleo 
 
Entreferro 
Frangeamento 
 
(1.17) 
 
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A unidade de indutância é o Henry (H). se considerarmos a Equação 1.17, tem-se: 
 
 1 H = 1 Wb/A. 
 
1.14 Lei de Lenz 
 
Ao aproximarmos ou afastarmos um dos polos de um imã a uma espira, a variação do fluxo através da 
mesma determina a indução de uma corrente. 
 
 “A corrente elétrica induzida num circuito sempre tem um sentido de tal maneira a contrariar a 
variação do fluxo de indução que a originou”. 
 
O fato expresso na Lei de Lenz, de que qualquer corrente induzida tem um efeito que se opõe à causa 
que a produziu é uma realização, nesse contexto, do princípio de conservação de energia. Se a corrente induzida 
atuasse no sentido de favorecer a variação do fluxo magnético que a produziu, o campo magnético da espira. 
 
A Figura a seguir teria um polo sul confrontando o polo norte do imã que se aproxima, com o que o imã 
seria atraído no sentido da bobina. 
 
Se o imã fosse, então, abandonado, seria acelerado na direção da bobina, aumentando a intensidade da 
corrente induzida, que geraria um campo cada vez maior que, por sua vez, atrairia o imã com uma força cada 
vez maior e, assim sucessivamente, com um aumento cada vez maior na energia cinética do imã. 
 
Se fosse retirada energia do sistema imã-espira na mesma taxa com que a energia cinética do imã 
aumenta, haveria um fornecimento infindável de energia às custas do nada. 
 
Um dispositivo que operasse desse modo seria ummoto-perpétuo. Tal dispositivo não existe porque 
seria violado o princípio de conservação da energia. 
 
1.15 Lei de Faraday 
 
Michael Faraday nasceu em 1791 nos arredores de Londres. Iniciando a sua vida profissional aos 13 
anos numa livraria e depois numa oficina de encadernação de livros, teve oportunidade de ler livros sobre ciência 
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quando despertou nele o grande interesse pela eletricidade. Posteriormente, empregou-se na Real Instituição de 
Ciência da Grã-Bretanha, onde permaneceu cerca de 45 anos, até o restante de sua vida. 
 
Entre os vários trabalhos no campo da eletricidade, destacou-se, sobretudo, pelos estudos da eletrólise e 
indução magnética. O seu diário de 1820 a 1862 constitui num documento notável de seus estudos e foi 
publicado em 1932 pela Real Instituição em sete grossos volumes, totalizando cerca de 3.240 páginas com 
milhares de desenhos. 
 
A lei de Faraday permite o cálculo do valor da f.e.m. induzida em um circuito. 
 
 “A f.e.m. induzida em um circuito é igual ao quociente da variação do fluxo magnético pelo intervalo 
de tempo dessa variação, com sinal trocado”. 
 
 A lei de Lenz está presente na Lei de Faraday através do sinal de menos. 
 
 e = − 
∆∅
∆
 (1.22) 
 
Segundo a Lei de Faraday, “se o fluxo magnético através da superfície limitada por um circuito varia 
com o tempo, aparece nesse circuito uma força eletromotriz (fmm) induzida”. 
 
Essa lei está relacionada ao princípio de conservação de energia, conforme explanado antes. Deve-se 
observar que o nome força eletromotriz, dado a essa grandeza, é mantido por questões históricas. Essa grandeza 
não representa fisicamente uma força e sim, uma diferença de potencial elétrico. 
 
Assim, tem como unidade no SI o volt (V). 
 
1.16 Indutância Mútua, Autoindutância 
 
1.16.1 Autoindutância 
 
Quando a corrente varia em um circuito, o fluxo magnético que o abrange varia e, no circuito, induz-se 
uma f.e.m. Admitindo constante a permeabilidade, a f.e.m. induzida é proporcional à taxa de variação da 
corrente, onde a constante de proporcionalidade L se chama autoindutância do circuito. 
 
 𝓋 = L. (1.23) 
 
 A unidade de autoindutância é o weber/ampère ou Henry (H). 
 
 
 
 
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Numa bobina de N espiras a f.e.m. induzida é dada por: 
 
 𝓋 = N.
∅
 (1.24) 
 Onde N.
∅
 define o “fluxo de ligação” do circuito. Combinando as duas equações, tem-se: 
 
 L. = N.
∅
 ∴ L. = N.
∅
 ∴ L = N. 
∅
 → ∅ = L.i (1.25) 
 
1.16.2 Indutância Mútua 
 
Na figura abaixo, consideremos a corrente 𝑖 , na bobina 1, variando com o tempo. A corrente 𝑖 
estabelece um fluxo magnético ∅ . 
 
 
Parte desse fluxo abrange a bobina 1 e chama-se fluxo de perdas ∅ . O fluxo restante ∅ abrange 
também, a bobina 2. A tensão induzida na bobina 2 é dada pela lei de Faraday: 
 
 𝓋 = 𝑁 .
∅
 (1.26) 
 
Como ∅ está relacionado à corrente 𝑖 , 𝓋 é proporcional à taxa de variação da corrente 𝑖 ou: 
 
 𝓋 = 𝑀. (1.27) 
 
Onde a constante de proporcionalidade M se chama indutância mútua entre as duas bobinas. A unidade 
de indutância mútua é a mesma da autoindutância (o henry). Igualando as duas equações tem-se: 
 
 M = 𝑁 .
∅
 (1.28) 
 
O acoplamento mútuo é bilateral e resultados análogos serão obtidos se uma corrente variável 𝑖 , função 
do tempo, circular na bobina 2. 
 
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1.17 Coeficiente de Acoplamento 
 
O fluxo de ligação depende do espaçamento e orientação dos eixos das bobinas. A fração do fluxo total 
que abrange as duas bobinas chama-se coeficiente de acoplamento k. Então, temos: 
 
 K = 
∅
∅
 = 
∅
∅
 (1.29) 
 
O valor máximo de k = 1. Tem-se também que: 
 
 M = k. 𝑳𝟏. 𝑳𝟐 (1.30) 
 
1.18 Energia em um Indutor 
 
A energia elétrica armazenada em um indutor é dada pela equação: 
 
W = . L.i² (1.31) 
 
Esta expressão mostra que a energia armazenada é função exclusivamente da corrente que atravessa o 
indutor. Esta energia é armazenada de forma reversível, no campo magnético associado ao indutor. 
 
1.19 Campo Magnético De Uma Espira Circular 
 
Em um ímã, as linhas de indução saem do polo Norte e chega ao polo Sul. Uma espira percorrida por 
uma corrente origina um campo magnético análogo ao de um ímã, e então se atribui a ela um polo Norte, do 
qual as linhas saem, e um pólo Sul, para o qual elas chegam. 
 
Um fio enrolado forma uma espira. Vários fios ligados nos seus terminais formam uma bobina. A 
intensidade do vetor indução magnético (vetor 𝐵) no centro de uma bobina é dada pela expressão: 
 
 B = N. . (1.32) 
 
Onde: 
 
N é o número de espiras. 
 
1.20 Campo Magnético de Um Solenoide 
 
Denomina-se solenoide (do grego: solen = tubo) ou bobina longa, um fio condutor enrolado, segundo 
uma espiral. 
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As extremidades do solenoide denominam-se polos: Norte, de onde saem às linhas de indução, Sul, onde 
entram. 
 
A intensidade do vetor indução magnética é dado por: 
 
 B = 𝜇.(N/l).i (1.33) 
 
1.21 Força Sobre Cargas Elétricas Em Movimento 
 
Uma carga elétrica lançada no interior de um campo magnético fica sob a ação de uma força. Mesmo 
que a carga esteja no interior do campo, esta força se anula quando a velocidade da carga se torna nula ou 
também quando a direção da velocidade for igual à direção do vetor indução magnética neste campo. 
 
Esta força, conhecida por força magnética de Lorentz ou simplesmente força de Lorentz, possui as 
seguintes características: 
 
Direção: sempre perpendicular ao vetor indução magnética 𝐵 e ao vetor velocidade 𝑉; 
 
Módulo (ou intensidade): 
 
 F = q.v.B.sen𝜃 (1.34) 
 
Onde: 
 
𝜃 = ângulo formado por 𝑉 e 𝐵 
 
q = carga elétrica; 
 
Sentido: é dado pela regra da mão esquerda de Fleming, quando a carga q é positiva (q > 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐹 
𝐵 
𝑉 
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1.22 Exercícios Resolvidos e Propostos 
 
1.22.1) Utilize a lei de Ampère para calcular a intensidade de campo magnético devido a um condutor reto, 
infinitamente longo, percorrido por uma corrente I ampères, em um ponto afastado r metros do condutor. 
 
Solução: 
 
Pela Lei de Ampère: ∮ 𝐻 · 𝑑𝑙 = I 
 
Como a intensidade do campo magnético pode ser considerado um círculo em volta do condutor e, a 
distância do campo r pode ser considerado como o comprimento da circunferência. Portanto: l = 2𝝅𝒓. 
 
Assim: 
∮ 𝐻 · 𝑑𝑙 = I ∮ 𝐻 · 2𝜋𝑟 = I 𝐻 · 2𝜋𝑟 = I → H = 
𝑰
𝟐𝝅𝒓
 (A/m) 
1.22.2) Um fio de cobre reto e extenso é percorrido por uma corrente i = 1,5 A. Sabe-se que 𝜇 = 4𝜋.10 .
. 
Calcule a intensidade e a densidade do campo magnéticooriginado num ponto à distância r = 0,25 m do fio. 
 
Utilize a equação acima e a relação B = 𝜇H. 
 
Resp.: 0,955 A/m 11,99x10 T 
 
1.22.3) Um condutor reto e extenso é percorrido por uma corrente i = 2 A. Calcule a densidade de campo 
magnético B originado num ponto, à distância r = 1 m do condutor (𝜇 = 4𝜋.10 .
). 
 
1.22.4) Um condutor reto de comprimento infinito é percorrido por uma corrente elétrica constante de 5 A e 
imerso no vácuo. Sabendo-se que a permeabilidade magnética do vácuo vale 𝜇 = 4𝜋.10 .
, determinar a 
intensidade do vetor indução magnética 𝐵 produzido num ponto que dista 50 cm do fio. 
 
1.22.5) Demonstre que a indutância expressa em grandeza do campo magnético é: 
 
 L = 
²
 ou L = 𝑁²P 
 
1.22.6) Em um par de bobinas acopladas, a corrente contínua na bobina 1 é de 5 ampères e os fluxos 
correspondentes ∅ e ∅ são, respectivamente, 20.000 e 40.000 maxwells. Sendo 𝑁 e 𝑁 os totais de espiras, 
determinar 𝐿 , 𝐿 M e K. (Nota: 1 weber = 10 maxwells) 
 
1.22.7) Duas bobinas, 𝐿 = 0,8 H e 𝐿 = 0,2 H tem coeficientes de acoplamento K = 0,9. Determinar a indutância 
mútua. 
 
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1.22.8) O circuito magnético apresentado na figura a seguir tem as dimensões 𝐴 = 𝐴 = 9 cm², 𝑙 = 0,050 cm, 
𝑙 = 30 cm e N = 500 espiras. Considere o valor de 𝜇 = 70.000 para o material do núcleo. Determine: 
a) As relutâncias 𝑅 e 𝑅 . 
b) Considere que o circuito magnético esteja operando com 𝐵 = 1,0 T, calcule o valor do fluxo ∅. 
c) Nas mesmas condições de (b), calcule a corrente i. 
 
 
Solução: 
a) Cálculo dos valores das relutâncias 𝑹𝑪 e 𝑹𝒈: 
 
Utilizando as equações, 
 
R = ℓ/(𝜇A) ∴ 𝑅 = = 
( )( )
( . )( · )( · )
 → 𝑹𝑪 = 3,79·𝟏𝟎𝟑 A·e/Wb 
 
R = ℓ/(𝜇A) ∴ 𝑅 = = 
( )( )
( · )( · )
 → 𝑹𝒈 = 4,42·𝟏𝟎𝟓 A·e/Wb 
 
b) Cálculo do fluxo ∅: 
 
∅ = 𝐵 𝐴 ∴ ∅ = (1)(9·10 ) → ∅ = 9·𝟏𝟎 𝟒 Wb 
 
c) Cálculo da corrente i: 
 
Ni = F ∴ F = ∅ · 𝑅 ∴ Ni = ∅ ·(𝑅 + 𝑅 ) ∴ (500)(𝑖) = (9 · 10 )(3,79 · 10 + 4,42 · 10 ) → 
 
i = 0,80 A 
 
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1.22.9) Considere o circuito magnético apresentado na figura a seguir, com os seguintes valores: 
𝑙 = 0,050 cm, 𝑙 = 30 cm e N = 500 espiras e 𝐴 = 𝐴 = 9 cm². O valor de 𝜇 = 70.000 para o material do 
núcleo. Determine: 
a) O fluxo ∅ e a corrente elétrica i. 
b) O fluxo ∅ e a corrente elétrica i, para N = 500 espiras e 𝑙 = 0,040 cm. 
 
 
 
 
 
 i 
 
 
 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: 9·10 Wb, i = 0, 40 A, ·10 Wb, i = 0, 64 A. 
 
1.22.10) Considere o circuito magnético apresentado na figura acima, com os seguintes valores: 
𝑙 = 0,050 cm, 𝑙 = 30 cm e N = 500 espiras e 𝐴 = 𝐴 = 9 cm². O valor de 𝜇 = 70.000 para o material do 
núcleo. Determine: 
a) A indutância L. 
b) A energia magnética armazenada W, quando 𝐵 = 1,0 T. 
c) A tensão induzida e para um fluxo de núcleo, que varia no tempo a uma frequência de 60 Hz, sendo 
𝐵 = 1,0sen𝜔t, onde 𝜔 = 2𝜋𝑓. 
 
Solução: 
a) Cálculo da indutância L: 
 
Utilizando a equação, 
 
L= ∴ L = 
∅
 
O valor de ∅ = 𝐵 𝐴 ∴ ∅ = (1)(9·10 ) → ∅ = 9·𝟏𝟎 𝟒 Wb 
 𝒍𝒈 
𝒍𝑪 
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O valor de i é calculado por, Ni = F ∴ F = ∅ · 𝑅 ∴ Ni = ∅ ·(𝑅 + 𝑅 ) . Assim, têm-se que calcular os 
valores de 𝑅 e 𝑅 . Portanto, utilizando as equações, 
 
R = ℓ/(𝜇A) ∴ 𝑅 = = 
( )( )
( . )( · )( · )
 → 𝑹𝑪 = 3,79·𝟏𝟎𝟑 A·e/Wb 
 
R = ℓ/(𝜇A) ∴ 𝑅 = = 
( )( )
( · )( · )
 → 𝑹𝒈 = 4,42·𝟏𝟎𝟓 A·e/Wb 
 
Assim, 
 
Ni = ∅ ·(𝑅 + 𝑅 ) ∴ (500)(𝑖) = (9 · 10 )(3,79 · 10 + 4,42 · 10 ) → i = 0,80 A 
 
 
Com os valores de N, ∅ e i calculados, tem-se: 
 
L = 
∅
 ∴ L = 
( )( · )
,
 → L = 0,56 H 
 
b) Cálculo da energia armazenada W: 
 
Utilizando a equação, W = . L.i² 
 
W = . L.i² ∴ W = .(0,56)(0,80) → W = 0,18 J 
 
c) Cálculo da tensão induzida e: 
 
Utilizando a equação, e = . Entretanto, λ = N∅ e ∅ = 𝐵 𝐴 . O valor de e será, 
 
e = ∴ e = 
( )
 ∴ e = N𝐴
𝑑(𝐵𝐶)
𝑑𝑡
 ∴ e = N𝐴
𝑑(1𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡)
𝑑𝑡
 ∴ 
 
e = N𝐴 1𝜔cos𝜔𝑡 ∴ e = (500)(9·10 )(1)(2𝜋60) cos(2𝜋60)𝑡 → e = 170cos(377)t V 
 
1.22.11) Considere o circuito magnético apresentado na figura do exercício 1.22.10 com com os seguintes 
valores: 𝑙 = 0,050 cm, 𝑙 = 30 cm e N = 500 espiras e 𝐴 = 𝐴 = 9 cm². O valor de 𝜇 = 70.000 para o material 
do núcleo. Determine: 
a) A indutância L. 
b) A energia magnética armazenada W, quando 𝐵 = 1,0 T. 
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c) A tensão induzida e para um fluxo de núcleo, que varia no tempo a uma frequência de 50 Hz, sendo 
𝐵 = 1,0sen𝜔t, onde 𝜔 = 2𝜋𝑓. 
 
 Resp.: 0,56 H, 0, 115 J, 113cos(314)t V