concreto protendido 01

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Unidade 01
Concreto Protendido e Traçado de
Cabos
Caro(a) aluno(a),
quando nos deparamos com conceitos ou técnicas construtivas novas, devemos procurar saber
todas as condições e especificações que tais conceitos ou técnicas nos dão, para que assim
possamos, de fato, entender o seu funcionamento.
Você como estudante e futuro engenheiro civil terá, no exercício de sua função, de lidar com vários
fatores diante de um projeto de dimensionamento de estruturas de concreto protendido.
É muito importante para a vida profissional do Engenheiro Civil, principalmente em disciplinas
ligada a área de estruturas, o conhecimento e a capacidade de dimensionamento de estruturas, seja
de concreto armado, protendido, aço e outros materiais.
O dimensionamento geralmente relaciona-se a recomendações normativas que visam assegurar
segurança da estrutura e condições de habitabilidade da edificação.
Por fim, após conhecer os principais fundamentos do concreto protendido, dimensionamento e
verificações de segurança, pode haver a seguinte dúvida em relação ao procedimento: a posição e o
traçado dos cabos, quaisquer que sejam, garantirão as melhorias inicialmente estipuladas?
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Nesta primeira unidade, tomaremos conhecimento acerca do concreto protendido, técnica já
bem consolidada, a qual tem se difundido nos últimos tempos em obras correntes.
Basicamente, a ideia da protensão é aplicar uma força nas armaduras ativas de modo que o
concreto trabalhe a compressão em regiões onde inicialmente existiam esforços de tração.
Nessa unidade, avaliaremos as recomendações e o dimensionamento de estruturas de concreto
protendido.
É importante conhecer os mecanismos de cálculo que visam assegurar uma região do elemento
estrutural, em que se recomenda traçar o trajeto dos cabos de protensão para que desempenhe
a sua função estrutural.
Você aluno(a), como futuro Engenheiro Civil, em situações práticas de projeto ou de obra,
precisa ter condições de responder às seguintes perguntas ao fim desta unidade:
Como é realizada a protensão em estruturas de concreto e como o seu comportamento é
melhorado?
Quais são as principais semelhanças e diferenças entre o concreto armado convencional e o
concreto protendido?
Como é dado o processo construtivo para a protensão em estruturas de concreto? Quais são
os materiais e como são utilizados?
Porém, essa força aplicada inicialmente será a mesma atuante durante toda a vida da
estrutura?
Se existem perdas durante esse processo, como quantificar?
Quais as perdas mais relevantes que se devem considerar no dimensionamento de
elementos protendidos?
Quais estados limites devem ser verificados para o dimensionamento de estruturas de
concreto?
Qual deles é preponderante para o concreto protendido?
Quais as condições e as recomendações do dimensionamento à flexão?
Quais são os processos de análise das tensões no concreto?
Como são calculados esses parâmetros? Graficamente, o que significam?
CENÁRIO PRÁTICO
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Unidade 01
Aula 01
Introdução ao Concreto Protendido e à
Protensão
Introdução
Caro(a) aluno(a), muito provavelmente você deve ter estudado ou sabe os conceitos relacionados
ao concreto armado. A grande maioria das edificações no Brasil e no mundo utilizam esse material
como elemento estrutural devido às suas várias vantagens. No entanto, como qualquer outro
material, o concreto armado apresenta algumas desvantagens, entre elas, o seu alto peso próprio,
possuir um vão limitado para sua construção, entre outros. É nesse contexto que o concreto
protendido se apresenta como um avanço tecnológico do concreto armado.
O artifício de se introduzir a protensão em estruturas de concreto configura a ele uma maior
resistência à tração, sendo utilizado em estruturas onde apresentam esforços de flexão elevados.
Essa tecnologia, mesmo não sendo nova, traz bastante eficácia e durabilidade às estruturas,
oferecendo, assim, uma ótima relação custo benefício. Se bem executada, seguindo todos os
parâmetros de qualidade, uma estrutura protendida pode resultar em pouca ou nenhuma
manutenção no decorrer de sua vida útil.
Serão apresentados os conceitos iniciais acerca do concreto protendido, seu contexto histórico, a
protensão aplicada ao concreto, suas principais características e os tipos de protensão que existem
atualmente.
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É muito importante quando começamos a estudar um assunto novo, ainda mais na Engenharia,
mergulhar, de fato, em todos os seus conceitos, especificações e cálculos. Em assuntos da área de
estrutura mais ainda, pois existem muitas considerações em que se deve ter toda a atenção quando
se está estudando.
No caso do concreto protendido, além de aprendermos seus conceitos e dimensionamento, é
importante saber como ele é executado. Quais materiais são utilizados? Como cada um deles é
empregado? Quais são os tipos de protensão que existem?
Um dos objetivos desta aula é de responder essas perguntas e mostrar a você, aluno(a), os materiais
utilizados para que você tenha mentalmente todo o esquema que é realizado para a execução de
estruturas de concreto protendido.
Reforço a você, aluno(a), para que não se atenha apenas a esse material. Busque por informações
extras e, se for o caso, tente acompanhar a execução da protensão em uma obra, para que tenha
contato direto com o tema e auxilie no seu aprendizado.
Ao final desta aula, você será capaz de:
conhecer o contexto histórico e avanço do concreto protendido no Brasil e no mundo;
entender o conceito de protensão aplicado ao concreto;
conhecer os diferentes tipos de protensão visando saber quais são os mais indicados para os
diferentes casos.
conhecer os materiais que são empregados para a execução da protensão;
entender o processo construtivo de estruturas protendidas;
conhecer os sistemas de protensão.
Contexto Histórico do Concreto Protendido
Os primeiros conceitos acerca do concreto armado e concreto protendido iniciaram-se na
Inglaterra com a criação da primeira fábrica de cimento Portland, no ano de 1884. A partir de tal
fato, desenvolveram-se tecnologias para a construção desse tipo de estrutura, difundindo-se, assim,
para o resto do mundo.
As técnicas de reforço de elementos de concreto realizados através da colocação de armaduras
(concreto armado) já eram conhecidos em meados do século 19. No entanto, várias patentes de
métodos de protensão e ensaios foram requeridos, porém sem sucesso. Isso se devia às perdas de
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protensão devido, principalmente, à fluência e à retração do concreto, conceitos que até então
eram desconhecidos na época.
Pereira et. al (2005) comenta que o americano P. J. Jackson, no ano de 1886, fez a primeira proposta
de pré-tensionar a armadura com o objetivo de aumentar a resistência da peça de concreto. Já no
século 20, Morsh e Koenen desenvolveram uma teoria que, por muito tempo, foram os
fundamentos do concreto armado, sendo até hoje validados por ensaios. Os dois pesquisadores
começaram a entender os efeitos da retração e fluência do concreto que acabavam provocando as
perdas de protensão observadas no século 19.
Com isso, no ano de 1923, o americano R. H. Dill reconheceu a necessidade da utilização de aços de
alta resistência submetidos a elevadas tensões com o intuito de superar as perdas de protensão que
eram provocadas pelas características do concreto utilizado. Em 1924, o engenheiro Francês
Eugene Freyssinet utilizou-se da protensão para reduzir o alongamento de tirantes emuma perda progressiva no valor da
SAIBA MAIS
De fato, os fatores mais críticos para a retração do concreto são a temperatura e umidade
relativa do ar ao redor do concreto. Temos que ambientes quentes e secos acabam
acelerando o processo de retração, enquanto ambientes frios e úmidos retardam esse
processo. E há casos de concretos em ambientes muito úmidos (como de pilares de pontes
que estão submergidos) não apresentarem retração, e sim expansão em seu volume.
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protensão instalada, fazendo com o que o valor inicialmente instalado diminua progressivamente
até se estabilizar em um tempo infinito.
Perdas por Fluência do Concreto
A fluência do concreto é uma propriedade que se apresenta no estado viscoplástico. O
comportamento observado mostra como um elemento sob tensão constante apresenta uma
deformação inicial seguido de uma deformação que possui a tendência de aumentar ao longo do
tempo. Embora a tensão observada esteja abaixo do escoamento, a deformação observada pela
fluência é de caráter permanente.
Nas estruturas protendidas, o comportamento da fluência acaba levando a perdas na protensão,
uma vez que aumentar a deformação do concreto implica em um aumento de mesma magnitude na
deformação do aço.
As tensões desenvolvidas no concreto em torno do aço tendem a ser de compressão, acarretando,
assim, um encurtamento e uma consequente perda de tensão do elemento de protensão.
Diferentes fatores estão associados ao comportamento da fluência, entre eles: granulometria,
formato e tipo dos agregados, consumo e tipo de cimento, fator água/cimento, compactação da
mistura, grau de endurecimento do concreto no momento do carregamento, temperatura, umidade
e magnitude dos esforços solicitantes.
A seguir, veremos um diagrama entre a deformação com o decorrer do tempo e mostra os principais
fatos que ocorrem em determinadas idades.
ATENÇÃO
Por mais que neste material tenhamos avaliado o efeito da retração e fluência do concreto
em tópicos separados, na prática os dois ocorrem simultaneamente nas estruturas,
agravando mais ainda o problema da perda de protensão. Deve-se lembrar que os dois
processos são distintos, apenas ocorrem ao mesmo tempo e assume-se, então, em termos de
cálculo a independência de ambos.
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1
Deformação por Retração: a partir do momento de lançamento do concreto o efeito da retração
começa a atuar no concreto.
2
Deformação elástica imediata: assim que o concreto começa a obter resistência mecânica pelo
endurecimento começa a sofrer as deformações recorrentes do carregamento nele aplicado,
entre eles seu peso próprio ou no caso do concreto protendido, os efeitos da protensão
aplicados.
SAIBA MAIS
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Perda por Relaxação do Aço
A relaxação do aço é a diminuição da tensão no aço que ocorre quando a armadura, já deformada
pela força inicial, é mantida em comprimento constante. Basicamente, ocorre um alívio de tensão
na armadura, resultando em perdas de protensão nela aplicada.
3
Deformação por fluência: a fluência é a deformação lenta que ocorre com o passar dos anos e
está presente em quase toda vida útil do elemento estrutural.
4
Podemos notar que o encurtamento do concreto, seja devido à retração ou a fluência, resulta em
perda de protensão. As duas grandezas estão diretamente relacionadas.
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Introdução
Já sabemos que durante a aplicação de protensão e posterior a esse procedimento existem as
perdas. Essas perdas fazem com que a força aplicada pelo macaco hidráulico diminua com o tempo,
podendo, assim, comprometer todo o sistema de protensão.
É importante em projetos e dimensionamento que esses valores sejam calculados e previstos para
que assim, caso necessário, seja aplicada uma força de protensão superior já pensando nas
possíveis perdas que podem ocorrer.
Nessa aula, teremos a oportunidade de determinar, por meio de cálculos, tanto as perdas imediatas
como as perdas progressivas e avaliar qual o impacto delas, considerando a força de protensão
total. Deve-se lembrar que todos os cálculos e verificações estão dentro das especificadas pela NBR
6118 (ABNT, 2014).
Ao final desta aula, você será capaz de:
determinar as perdas de protensão imediatas;
determinar as perdas de protensão progressivas.
VÍDEO
Olá, estudante! Para assistir a esse vídeo, acesse a versão web do seu material didático.
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Antes de, de fato, calcularmos as perdas de protensão precisamos saber qual o valor da força que
está sendo aplicada nos cabos para que depois disso possamos quantificar essas perdas. Os valores
apresentados estão todos dentro das recomendações da NBR 6118 (ABNT, 2014).
Determinação da Força de Protensão
A força de protensão é definida para o caso da pré-tração como a força aplicada pelos macacos
hidráulicos na pista de protensão, antes que seja realizada a ancoragem dos fios na cabeceira da
pista nos blocos de ancoragem.
Já para a situação de pós-tensão, ela é definida como a força máxima aplicada pelos macacos
hidráulicos antes da ancoragem com as cunhas.
Para o seu cálculo, segue-se recomendação da NBR 6118 (ABNT, 2014) no item 9.6.1.1, que fornece
a força média na armadura de protensão segundo a Equação 1, a seguir:
Onde:
Pt (x): força na armadura de protensão no instante de tempo t na abscissa x;
Pi: força máxima aplicada à armadura pelo equipamento de tração;
ΔP0 (x): perda imediata da protensão medida a partir de Pt(x) no instante t = 0 na abscissa x;
ΔPt (x): perda de protensão progressiva na abscissa x em função do tempo t calculada a partir de t =
0.
Pt (x) = Pi − ΔP0 (x) − ΔPt (x)      Equação 1
SAIBA MAIS
Caro(a) aluno(a), é sempre importante, quando estamos estudando um assunto, que existam
recomendações de normas técnicas. Sugere-se que elas estejam presentes no momento do
estudo. Isso é necessário, pois aumenta a sua familiaridade com o documento que estará
presente na sua vida como profissional. Para esse assunto, recomenda-se a leitura do item 9.6
da NBR 6118 (ABNT, 2014).
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Durante a operação de protensão, ou seja de tração no cabos, a força máxima aplicada (P ) não deve
ser superior aos valores decorrentes das limitações das tensões no aço. A NBR 6118 (ABNT, 2014)
recomenda esses valores em seu item 9.6.1.2.1 e eles são definidos como:
Para o caso da armadura pré-tracionada, a tensão na saída do aparelho de tração decorrente da
aplicação da força (P ) deve obedecer aos seguintes limites:
Aço de relaxação normal (RN): 
Aço de relaxação baixa (RB): 
Para o caso da armadura pós-tracionada, a tensão na saída do aparelho de tração decorrente da
aplicação da força (P ) deve obedecer aos seguintes limites:
Aço de relaxação normal (RN): 
Aço de relaxação baixa (RB): 
Cordoalhas engraxadas RB: 
Aço CP-85/100 (barras): 
Em que:
f : resistência à tração do aço de protensão;
f : resistência ao escoamento do aço de protensão.
i
i
{
0, 77fptk
0, 90fpyk
{
0, 77fptk
0, 85fpyk
i
{
0, 74fptk
0, 87fpyk
{
0, 74fptk
0, 82fpyk
{
0, 80fptk
0, 88fpyk
{
0, 72fptk
0, 88fpyk
ptk
pyk
ATENÇÃO
Avaliando as componentes da Equação 1, pode-se notar que a força de protensão efetiva que
irá atuar no elemento estrutural (Pt (x)) depende da força máxima (Pi) que será aplicadano
ato da protensão, subtraindo as perdas imediatas (ΔP0 (x)) e as perdas progressivas (ΔPt (x)).
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Determinação das Perdas de Protensão
Segundo a NBR 6118 (2014, p. 49 item 9.6.3.1):
[...] o projeto deve prever as perdas da força de protensão em relação ao valor inicial
aplicado pelo aparelho tensor, ocorridas antes da transferência da protensão ao concreto
(perdas iniciais, na pré-tração), durante essa transferência (perdas imediatas) e ao longo do
tempo (perdas progressivas).
Perdas por Encurtamento Imediato do Concreto
Bastos (2018) comenta que a aplicação da protensão por meio de macacos hidráulicos provoca
deformações à peça de concreto à medida que a armadura vai sendo tracionada, não causando
queda de tensão por deformação imediata do concreto, quando se tem apenas um cabo de
protensão. Porém, em casos nos quais haja mais cabos, a protensão é realizada cabo por cabo. Esse
procedimento acaba gerando deformações no concreto, resultando em perdas de protensão nos
cabos que já estão tracionados e ancorados.
Sendo assim, imagine que o primeiro cabo sofrerá a perda de protensão do segundo cabo; quando
este receber a força de protensão, o terceiro cabo protendido sofrerá a perda dos outros dois e
assim por diante, ou seja, podemos concluir que a perda de protensão é dada pelo n-1 cabos
protendidos. A Equação 2 mostra a expressão utilizada para a determinação da perda de protensão
por encurtamento imediato do concreto segundo item 9.6.3.3.2.1 da NBR 6118 (2014).
Em que:
Δσp: perda média de protensão devido ao encurtamento imediato do concreto (por cabo);
αp: relação entre o módulo de elasticidade do aço de protensão e o módulo de elasticidade do
concreto (Ep/Ec)
σcp: tensão inicial no concreto ao nível do baricentro da armadura de protensão, devido à
protensão instantânea de n cabos;
σcg: tensão do concreto ao nível do baricentro da armadura de protensão, devido à carga
permanente mobilizada pela protensão ou simultaneamente aplicada com a protensão;
Δσp = αp (σcp + σcg) (n − 1) / 2n      Equação 2
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n: número de cabos utilizados na protensão.
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Para entendermos melhor o conceito, iremos aplicar em um exemplo prático. Imagine uma viga
de concreto submetida a pré-tração com seção transversal dada pela Figura 1, a seguir.
Considere que foram utilizadas 3 cordoalhas de ½’’ de aço CP-190 RB e a relação entre o módulo
de elasticidade do aço de protensão e o concreto seja de 7. Qual a perda de protensão por
encurtamento imediato do concreto nesse problema?
Primeiramente, calcula-se a tensão inicial aplicada ao aço. Considerando o aço CP-190 RB,
temos:
Considera-se o menor valor dentre os dois calculados, portanto a tensão inicial é de 1368 MPa.
Com a tensão, podemos encontrar a força que está sendo aplicada, sendo como:
A excentricidade é dada por:
Resultando na tensão inicial do concreto (σcp):
NA PRÁTICA
Figura 1 - Representação da seção transversal da viga
Fonte: Carvalho (2013, p. 27).
0, 80 x fptk = 0, 80 x 1900 = 1520 MPa
0, 88 x fpyk = 0, 80 x  (0, 90 x 1900) = 1368 MPa
σ = F/Ap  →  F = σ.Ap  →  F = 1368 x 3(π .  12, 7)2/4  →  F = 519, 8 kN
e = d − h/2  →  e = 0, 55 − 0, 60/2  →  e = 0, 25 m
σcp = F/Ac + F . e2/Ic  →  σcp = 519, 8/  (0, 2 x 0, 6)  +  519, 8 x  (0, 25)2/  (0, 20 x 0, 603
σcp = 4331, 66 + 9024, 3 = 13355, 96 kN/cm2 = 13, 36 MPa
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Perdas por Atrito do Cabo com a Bainha
Considere um elemento estrutural pós-tracionado, com a armadura já tensionada pelo macaco
hidráulico e com a presença de ancoragem ativa em ambas as extremidades. Uma determinada
seção dessa armadura a uma certa distância x da ancoragem terá uma tensão menor que as demais
seções, isso devido às perdas de tensão gerada pelo atrito entre a armadura e a bainha, bem como
entre os próprios fios ou cordoalhas. A Figura 2, a seguir, representa essa situação com as forças de
atrito atuando no comprimento do cabo e diminuindo, assim, a sua resistência.
Para a determinação do valor dessa perda, a NBR 6118 (2014) no item 9.6.3.3.2.2 fornece a
expressão recomendada para a perda de atrito na pós-tração, mostrada pela Equação 3:
Sendo:
Pi: força de protensão inicial;
x: a abscissa onde se deseja calcular a perda, medida a partir da ancoragem;
Substituindo na Equação 2, ficamos com:
Tendo a tensão inicial com 1368 MPa, pode-se dizer que as perdas por encurtamento do
concreto representam aproximadamente 2,3% da tensão inicial aplicada.
Δσp = 7  (13, 36 + 0) (3 − 1) / 2 x 3 = 31, 08 MPa
Figura 2 - Perdas de protensão devido ao atrito no cabo com a bainha
Fonte: Bastos (2018, p. 40).
ΔP (x) = Pi [1 − e−(μ∑ α + kx)]      Equação 3
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∑α: a soma dos ângulos de desvio entre a ancoragem e o ponto x da abscissa em radianos;
k: coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas não intencionais do cabo. Nos casos de
falta de dados experimentais, pode ser adotado o valor de 0,01µ;
μ: coeficiente de atrito entre a bainha e cabo. Na falta de dados experimentais, utilizam-se os
seguintes valores:
μ = 0,50 entre cabo e concreto (sem bainha);
μ = 0,30 entre barras ou fios com mossas ou saliências e bainha metálica;
μ = 0,20 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica;
μ = 0,10 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica lubrificada;
μ = 0,05 entre cordoalha e bainha de polipropileno lubrificada.
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Para a viga mostrada na Figura 3, iremos determinar a perda de protensão devido ao atrito de
uma viga de concreto. A viga em questão possui cordoalhas CP 190 RB com 7 fios em trajeto de
arco circular. Considere μ = 0,20 e k=0,006.
O primeiro passo é a determinação da tensão e força de protensão inicial, semelhante ao que foi
realizado para a perda de protensão devido ao encurtamento do concreto, sendo:
Considera-se o menor valor dentre os dois calculados, portanto a tensão inicial é de 1402,2
MPa.
Com a tensão, podemos encontrar a força que está sendo aplicada, sendo como:
Para a determinação do ângulo entre o ponto de ancoragem e o ponto onde deseja determinar a
perda, utilizaremos a representação mostrada na Figura 4. Lembrando que, nesse caso, iremos
determinar a perda de protensão no meio do vão da viga, pois é o local com abscissa x, mas
distante dos dois pontos de ancoragem e, portanto, o local onde terá as maiores perdas.
NA PRÁTICA
Figura 3 - Esquema da viga
Fonte: Bastos (2018, p. 41).
0, 74 x fptk = 0, 74 x 1900 = 1406 MPa
0, 82 x fpyk = 0, 82 x  (0, 90 x 1900) = 1402, 2 MPa
σ = Pi/Ap  →  Pi = σ.Ap  →  Pi = 140, 22 x 9, 87 → Pi = 1383, 97 kN
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Perda por Acomodação da Ancoragem
Esse tipo de perda está diretamente ligada ao escorregamento dos fios e depende muito do tipo de
ancoragem que o dispositivo apresenta. De maneira geral, o seu valor decresce com o aumento da
distância do ponto de ancoragem ativa, podendo, em alguns casos, até ser desprezível na seção
onde está mais solicitada. Devido a essa característica, é importante a sua determinação para peças
curtas, pois afetam mais o seu desempenho.
considerando m sendo aproximado 2y, ficamos com:
Para o casode ângulo pequenos, temos tg α é aproximadamente α, sendo assim:
Para o problema em questão:
Portanto, a perda de protensão devido ao atrito segundo a Equação 3 é:
Ou seja, em percentual (157,23/1383,97 *100). a perda por atrito representou 11,36% do valor
da protensão inicialmente aplicada na armadura.
Figura 4 - Ângulo para armadura curva
Fonte: Bastos (2018, p. 41).
tg α/2 = m/  (x/2) = 2m/x
tg α/2  =  4y/x
α = 8y/x
α = 8 x 28/ 1520 = 0, 147 rad
ΔP (x) = 1383, 97 [1 − e−(0,20 x 0,147 + 0,006 x 15,2)] = 157, 23 kN
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Para as ancoragens que utilizam cunhas, as perdas de protensão são superiores. A própria NBR
6118 (2014), no seu item 9.6.3.3.2.3, recomenda que essas perdas sejam determinada por meio de
experimentos ou a adoção de valores que sejam recomendados por fabricantes dos dispositivos de
ancoragem, justamente para se ter um valor mais próximo do real.
Quando a armadura recua devido à acomodação da ancoragem, acaba surgindo um atrito na
direção contrária, fazendo com que a perda de tensão na armadura ocorra apenas a uma certa
distância X do ponto de ancoragem ativa.
Para esse tipo de perda, como já dito, a NBR 6118 (2014) não traz nenhuma expressão de cálculo
para a sua determinação. No entanto, pela Lei de Hooke, podemos chegar na expressão mostrada
pela Equação 4, que determina a perda de tensão na posição da ancoragem (pior caso).
Onde:
Ep: módulo de elasticidade do aço de protensão;
δ: acomodação na ancoragem;
δ/X = ε: perda por deformação média até o valor de X.
A posição X onde a tensão é nula é dada pela Equação 5.
Em que:
λ: valor que depende da curvatura da armadura e do atrito (μ);
σpi: tensão na armadura no momento de aplicação da carga protensão.
Entretanto, a expressão que calcula o valor de X pode variar conforme o tipo da trajetória a que o
cabo está submetido. Sendo assim, o Quadro 1, a seguir, mostra os valores para cada caso.
Δσp = 2Ep. (δ/X)      Equação 4
X = √Ep. δ/σpi.λ      Equação 5
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Quadro 1 - Valores de λ e X para diferentes tipos de trajetórias do cabo
Fonte: Bastos (2018, p. 45).
Para a viga mostrada na Figura 5, com tensão inicial de protensão de 1303 MPa e com um
encurtamento na ancoragem de δ = 5,1 mm, qual o valor da perda de protensão no ponto da
ancoragem ativa? Considere μ = 0,15, k = 0,0025 e Ep = 196 GPa.
Como para esse caso a trajetória é parabólica, utilizaremos a expressão de λ indicada a seguir:
Com isso, pode-se determinar o valor de X onde a perda de tensão atuante é nula, sendo:
Com isso, a perda de protensão devido à acomodação da ancoragem resulta em;
Resultando em uma perda percentual de (162,4/1303)*100 = 12,5%.
NA PRÁTICA
Figura 5 - Esquema da viga protendida
Fonte: Bastos (2018, p. 44).
λ = 2 (μa/b2) + k = 2 (0, 15 x 0, 457)/7, 322 + 0, 0025 = 0, 00506/m
X = √Ep. δ/σpi.λ = √19600.0, 0051/ 130, 3.0, 00506 = 12, 31m
Δσp = 2Ep. (δ/X) = 2.19600. (0, 051/12, 31) = 162, 4 MPa
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Perda por Retração do Concreto
A perda de protensão devido à retração do concreto é afetada por diferentes fatores, entre os quais
traço adotado, tipo de cimento, tempo de cura, tempo de aplicação da protensão, dimensões da
peça, condições do ambiente e assim por diante. Devido a todas essas variáveis que afetam a sua
determinação, é mais trabalhosa e envolve mais cálculos e considerações. Estima-se que 80% da
retração no concreto ocorram no primeiro ano.
Sendo assim, a perda de protensão devido à retração pode ser aproximada pela expressão
mostrada na Equação 6:
Em que:
εcs: deformação específica da retração do concreto no nível da armadura de protensão;
Ep: módulo de elasticidade da armadura de protensão.
O valor da deformação εcs é fornecido pela NBR 6118 (2014) segundo item 8.2.11. Os valores
recomendados estão mostrados na Figura 6 e inseridos na norma através da Tabela 8.2.
O mesmo item da NBR 6118 ainda acrescenta:
[...] em casos onde não é necessária grande precisão, os valores finais do coeficiente de
fluência e da deformação específica de retração do concreto, submetidos a tensões
menores que 0,5fc quando do primeiro carregamento, podem ser obtidos, por interpolação
linear, a partir da Tabela 8.2
(ABNT, 2014, p. 27).
Δσ = εcs.Ep      Equação 6
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No entanto, para projetos em que se deseja a determinação mais precisa da deformação específica
devido à retração, a NBR 6118 (2018) registra em seu Anexo A as equações que devem ser
utilizadas.
O item A.2.3.1 traz as hipóteses básicas e as variáveis que afetam o valor da retração do concreto,
sendo:
umidade relativa do ambiente;
consistência do concreto no lançamento;
espessura fictícia da peça.
Com isso, o valor da retração entre os instantes t0 e t é dada conforme a Equação 7:
Em que:
εcs∞: é o valor final da retração;
εcs∞ = ε1s.ε2s
ε1s: coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente e da consistência do concreto,
conforme mostra a Figura 7 (Tabela A.1 da NBR 6118).
ε2s: coeficiente dependente da espessura fictícia da peça, dado conforme Equação 8.
Onde:
Figura 6 - Valores característicos superiores da deformação específica de retração e coeficiente de
fluência
Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 27).
εcs (t, t0) = εcs∞. [βs  (t) − βs  (t0)]      Equação 7
Figura 7 - Valores numéricos usuais para determinação da fluência e retração
Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 212).
ε2s = 33 + 2hfic/ 20, 8 + 3hfic      Equação 8
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hfic: é a espessura fictícia, dado conforme a Equação 9.
Onde:
γ: coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente (U%), dado conforme a Equação 10;
Ac: área da seção transversal da peça;
uar: parte do perímetro externo da seção transversal da peça em contato com o ar.
βs (t) ou βs (t0): coeficiente relativo à retração, no instante t ou t0, conforme mostra a Figura 8
(Figura A.3 da NBR 6118).
t: idade fictícia do concreto no instante considerado, expressa em dias;
t0: idade fictícia do concreto no instante em que o efeito da retração na peça começa a ser
considerado, expressa em dias.
Perdas por Fluência do Concreto
hfic = γ. (2Ac/uar)      Equação 9
γ = 1 + e(−7,8+0,1U)      Equação 10
Figura 8 - Idade fictícia do concreto em dias
Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 213).
VÍDEO
Olá, estudante! Para assistir a esse vídeo, acesse a versão web do seu material didático.
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Perdas por Relaxação do Aço
A perda de protensão devido à relaxação do aço, que é a deformação constante no qual o aço é
submetido, é determinada pelo coeficiente ψ(t, to) que é dado conforme a Equação 11.
Em que:
σpi: tensão inicial na qual a armadura é submetida;
Δσpr (t,t0): perda de tensão por relaxação pura desde o instante t0 do estiramento da armadura até
instante t considerado.
Os valores médios da relaxação, medidos após 1000h, à temperatura constante de 20°C
para as perdas de tensão referidas a valores básicos da tensão inicial de 50% a 80% da
resistência característica fptk (ψ1000).
(ABNT, 2014, p. 54).
Os valores de (ψ1000) são dados conforme a Figura 9 (Tabela 8.3 da NBR 6118).
Porém, existem casos em que se deseja obter os valores médios em tempos diferentes de 1000h.
Para isso, a NBR 6118 (2014) indica o uso da Equação 12, em que a temperatura seja sempre de
20°Ce o tempo deve ser expresso em dias.
ψ (t, t0) = Δσpr  (t, t0)/ σpi      Equação 11
Figura 9 - Valores de ψ1000 em porcentagem
Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 29).
ψ (t, t0) = ψ1000(t − to/41, 67)0,15      Equação 12
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Determinação da Força de Protensão Final
Após a determinação da força de protensão inicial (Pi), descontadas todas as perdas mostradas no
decorrer da aula, entre as quais as perdas imediatas e perdas progressivas, determina-se a força de
protensão final (P∞).
É esse valor que de fato estará atuando na peça estrutural durante sua vida útil.
Fechamento
Ao final desta aula, é importante que você entenda os principais conceitos e definições acerca da
perda de protensão.
Os pontos principais que devem ser lembrados no caso das perdas instantâneas são que elas
ocorrem devido à própria execução da protensão e das características dos materiais que as
compõem. Por exemplo, a deformação imediata do concreto é um fenômeno em que sempre irá
ocorrer devido às propriedades dele, então cabe ao projetista tentar simular o quanto isso poderá
prejudicar a protensão e quantificar essas perdas.
ATENÇÃO
Em tensões inferiores a 0,5fptk, admite-se que não há perdas na tensão por relaxação;
para tensões ditas intermediárias, os valores apresentados na Figura 9 podem ser
realizados por interpolação linear;
considera-se que, para o tempo infinito, o valor de ψ(t,t0) é dado por
ψ(t∞,t0)=2,5.ψ1000.
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Para o caso das perdas progressivas, temos a mesma situação: são fenômenos ligados às
propriedades do material ao longo do tempo que podem impactar na qualidade da protensão com o
passar dos anos.
É importante entender os conceitos envolvidos acerca da perda da protensão, e, mais à frente, ter
as capacidades e ferramentas de cálculo para quantificá-las e com isso analisar os efeitos que
podem ser causados no sistema de protensão.
Ao final desta aula, é importante que você tenha a compreensão de que o valor da protensão
inicialmente aplicado a uma peça estrutural, na prática, não será o valor que ela terá durante toda a
sua vida útil.
Vimos que a protensão final depende da subtração das perdas que ocorrem durante a execução da
protensão, bem como das perdas que os próprios materiais acabam sofrendo.
Essas perdas devem ser consideradas em todos os projetos para que assim realmente se verifique
qual a magnitude desses valores. E, em alguns casos, esses valores podem ser elevados, sendo
necessárias então adaptações e modificações em projeto para que se obtenham os valores
especificados inicialmente.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
compreender as perdas de protensão e como elas agem em estruturas de concreto;
conhecer as perdas instantâneas e suas principais características;
conhecer as perdas progressivas e suas principais características.
conhecer a força de protensão inicialmente aplicada;
conhecer e determinar as perdas que ocorrem na protensão.
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Para a viga protendida com pós-tensão com aderência posterior apresentada a seguir, pede-se
para calcular as perdas de protensão, considerando que ela possui uma carga de 6,4 kN/m de
carga permanente e 16 kN/m de carga variável. (As demais informações serão dadas com o
andamento do problema para melhor visualização e aprendizagem.)
Caro(a) aluno(a), recomenda-se, no decorrer desse exemplo prático, que você esteja com a
norma em mãos no decorrer do cálculo para que se tenha uma maior noção das equações e das
variáveis envolvidas.
Propriedades da seção transversal
Propriedades dos materiais
Concreto - 
Módulo de elasticidade do concreto
Aço para protensão: CP 190 RB
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
Figura - Tipologia da viga e representação da sua seção transversal
Fonte: Souza (2010, p. 1).
Ac = 20 x 40 x 2  +  16 x 60  =  2560 cm2
y = 50 cm
I = 40 x 1003/12  −  2 x  (12 x 603/12) = 2901333 cm4
W = I/y = 2901333/50 = 58027 cm3
fck = 30 MPa
Ec = 5600√fck = 5600√30 = 30672, 46 MPa  =  3067, 20 kN/cm2
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E = 19500 kN/cm²
Tensão e força inicial de protensão considerando pós-tração com aço de relaxação baixa:
 Adotado (menor
valor)
(Ap = 3,71 cm² considerando 5 cordoalhas com 11 mm de diâmetro cada)
Cálculo das Perdas de Protensão
Cálculo Das Perdas Por Acomodação Da Ancoragem
Admitindo Nesse Caso Que:
O Cabo Penetra δ=6,0 mmna Ancoragem Individual Por Cordoalha;
Os Cabos Serão Protendidos Pelas Duas Pontas, Ou Seja, Ambas As Ancoragens São Ativas.
Portanto, A Perda Será De: 
Cálculo das Perdas por Atrito
Curvatura dos Cabos
Cabo x y tg α α (rad) ፀ/2 = 2α
1 1,0 40 0,04 0,04 0,08
fptk = 190, 00 kN/cm2$; $fpyk = 171, 00 kN/cm2
{
0, 74fptk
0, 82fpyk
σpi = 0, 74 x 190  = 140, 6 kN/cm2σpi = 0, 82 x 171 = 140, 22 kN/cm2    ⇒
Pi = σpiAp = 140, 22 x 3, 71 = 520, 21 kN
L = 20 m = 20000 mm
ΔL = 6 + 6 = 12 mm
εp = ΔL/L = 12/20000 = 600 x 10−6
Δσp = εpEp = 600 x 10−6 x 19500 = 11, 70 kN/cm2
Δσp/σpi = 11, 70/140, 22 = 8, 34
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2 1,0 30 0,03 0,03 0,06
3 1,0 20 0,02 0,02 0,04
coeficiente de atrito (cordoalha-bainha): μ = 0,20
atrito devido à ondulação parasita: β = 0,017 rad/m
No centro do vão, com x = 10 m
Cabo Pi (kN) Σα = ፀ/2       perda
1 520,21 0,08 0,17 25,37 kN 0,048 4,8 %
2 520,21 0,06 0,17 23,38 kN 0,044 4,4 %
3 520,21 0,04 0,17 21,39 kN 0,041 4,1 %
Perdas por Deformação imediata do concreto
Será admitido que as cinco cordoalhas de cada cabo serão tracionadas simultaneamente durante
o ato da protensão. Assim, o número de cabos a considerar é n = 3. Valores da força de protensão
descontadas as perdas por atrito e por acomodação da ancoragem:
Por se encontrar em uma posição intermediária, o cabo 2 será utilizado como referência. As
tensões na seção no centro do vão serão:
Coordenada y do cabo 2 no centro do vão: y = 30 cm
ΔP (x) = Pi (1 − e−μ(∑ α+βx))
P = Pi (1 − Δσp − ΔP (x))
P1 = 520, 21  (1  − 0, 0834 − 0, 048) = 451, 85 kN
P2 = 520, 21  (1  − 0, 0834 − 0, 044) = 453, 93 kN
P3 = 520, 21  (1  − 0, 0834 − 0, 041) = 455, 849 kN
σcg =   ± Mg. y/I = 320 x 100 x 30 / 2901333 = 0, 33 kN/cm2
Mp = 3 x 453, 93 x 30  = 48953, 7 kN . cm  =  489, 54 kN .m
σcp = −453, 93 x 3 / 2560  − 48953, 7 x 30/ 2901333 =   − 1, 038 kN/cm2
αp = Ep/Ec = 19500/3067, 20 = 6, 35
Δσp = αp  (σcp + σcg) n − 1/ 2n
Δσp = 6, 35  (−1, 038 + 0, 33) x  (3 − 1)/ (2x3) =   − 1, 498 kN/cm2
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Resultando em uma perda de: 
Totalizando as perdas imediatas:
Perdas na ancoragem 8,34 %
Perdas por atrito nos cabos 4,43 % (média)
Perdas por deformação imediata do concreto 1,06 %
TOTAL 13,83 %
Perdas Devido à Retração do Concreto
Dados admitidos inicialmente:
Umidade Relativa: U = 60%
Temperatura média: T = 22°C
Slump do concreto: 8,0 cm
Tempo inicial: t0 = 28 dias
Tempo final: t = 3000 dias (aproximadamente 8 anos).
Idade fictícia do concreto:
Retração 
Δσp/σpi = 1, 498/140, 22 = 1, 06
ε1s = [−6, 16  −  U/484  +  U 2/1590]/10−4 =   − 401, 982 x 10−5
γ = 1 + e(−7,8+0,1U) = 1, 165
hfic = γ  (2.Ac)/uar = 1, 165 x  (2 x 2560)/288 = 20, 71 cm  =  0, 207 m
ε2s = (0, 33 + 2.hfic)/ (0, 21 + 3hfic) = 0, 895
εcs∞ = ε1s + ε2s =   − 401, 982 x 10−6 x 0, 895  =   − 359, 774 x 10−6
A = 40
B = 116h3
fic − 282h2
fic + 220hfic − 4, 8 = 29, 685
C = 2, 5h3
fic − 8, 8hfic + 40,7 = 38, 901
D = −75h3
fic + 585h2
fic + 496hfic − 6, 8 = 120, 273
E = −169h4
fic + 88h3
fic + 584h2
fic − 39hfic + 0, 8 = 18, 221
βs (t) = [(t/100)3 + A(t/100)2 + B (t/100) ] / [(t/100)3 + C (t/100)2 + D (t/100) + E]
α = 1
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Resultando em:
Resultando na perda de 
Perdas Devido à Fluência do Concreto
Idade fictícia do concreto
Para cimento CP, no cálculo do coeficiente de fluência, assim:
to,fic = [(22 + 10)/30] x 28 = 29, 867 dias
tfic = [(22 + 10)/30] x 3000 = 3200 dias
βs (t) = 0, 977$e$βs (t0) = 0, 216
εcs (t, to) = εcs∞ [βs (t) − βs (t0)] =   − 359, 774 x 10−6  [0, 977−, 0216] =   − 273, 788 x10−6
ΔσPs =   − Ep. εcs (t, t0) = −19500 x  (−273, 788 x 10−6) = 5, 33 kN/cm2
ΔσPs/σPi = 5, 33/140, 22 = 3, 80 
(t, t0) = a + f∞ [βf (t) − βf (t0)] + d∞βd
α = 2
t0,fic = 2 x  (22 + 10/30) x 28 = 59, 733 dias
tfic =  2 x  (22 + 10/30) x 3000 = 6400 dias
fc (t0)/fc (t∞) = 9t0 (t0 + 42)/  (9t0 + 40) (t0 + 61) = 0, 784
a = 0, 8  [1 − fc (t0)/fc (t∞)] = 0, 173
1c = 4, 45 − 0, 035U = 2, 350
2c = (0, 42 + hfic)/ (0, 20 + hfic) = 1, 540
f∞ = 1c2c = 2, 350 x 1, 540 = 3, 620
d∞ = 0, 4
βd = (t − t0 + 20)/ (t − t0 + 70) = 0, 992
A = 42h3
fic − 350h2
fic + 588hfic + 113 = 220, 14
B = 768h3
fic − 3060h2
fic + 3234hfic − 23 = 522, 36
C =   − 200h3
fic + 13h2
fic + 1090hfic + 183 = 407, 53
D = 7579h3
fic − 31916h2
fic + 35343hfic + 1931 = 7949, 20
βf (t) = (t2 + At + B)/ (t2 + Ct + d) = 0, 972
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Na altura da fibra correspondente ao cabo 2:
Resultando na perda de 
Perdas Devido à Relaxação do Aço de Protensão
Tempo inicial: 
Tempo final: 
Aço RB
A perda por relaxação pura será:
Resultando em um percentual de 
Totalizando as perdas, temos:
Perdas na ancoragem 8,34 %
Perda por atrito nos cabos 4,43 %
Perda por deformação imediata do concreto 1,06 %
Perdas devido à retração do concreto 3,80 %
Perda devido à fluência do concreto 7,26 %
Perda devido à relaxação da armadura 6,1 %
βf (t0) = (t2
0 + At0 + B)/ (t0
2 + Ct0 + D) = 0, 481
ϕ (t, t0) = 0, 173 + 3, 620  [0, 972 − 0, 481] + 0, 4 x 0, 992 = 2, 347
P0 = Pi  (1 − 13, 83%) = 520, 21  (1 − 0, 1383) = 448, 26 kN
σcp0 =   − 3P0/Ac − (3P0 x 30/I) x 30
= − (3 x 448, 26) / 2560  −   (3 x 448, 26 x 30/2901333) x 30  =   − 0, 94 kN/cm2
σP0 = P0/Ap = 448, 26/3, 71 = 120, 82 kN/cm2
ΔσPϕ = αp. . (σcg − |σcP0|)/ 1 − αp (|σcP0|/σP0). (1 + /2)
ΔσPϕ = 6, 35 x 2, 350 x  (0, 33 − 0, 94)/ 1 − 6, 35(0, 94/120, 82.  (1 + 2, 350/2) =   − 10, 18
ΔσP/σPi = 10, 18/140, 22 = 7, 26
to = 28 dias
t = 3000 dias
σpi/fptk = 140, 22/190 = 0, 73    ⇒ ψ1000 = 3, 2
ψ (t, t0) = ψ1000(t − t0/1000)0,15 = 0, 032((3000 − 28) x 24 horas/1000)0,15 = 0, 061
Δσpri (t, t0) = σPi.ψ (t, t0) = 140, 22 x 0, 061 = 8, 55 kN/cm2
(Δσpri/σPi = 8, 55/140, 22 = 6, 1
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TOTAL 30,99 %
Caro(a) aluno(a), com o objetivo de entender e quantificar perdas devido à protensão em uma
estrutura de concreto, temos um trabalho realizado que busca quantificar as perdas de
protensão em uma longarina de uma ponte isostática.
O texto completo pode ser acessado pelo link a seguir:
Clique aqui.
Nos resultados, atente-se como o autor calculou as perdas de forma a entender o processo de
cálculo e as suas especificações.
Segundo Pereira (2016, p. 75), autor do trabalho “A viga apresenta perdas imediatas na ordem
de 10% da tensão inicial aplicada e perdas progressivas de aproximadamente 20%”.
NA PRÁTICA
Talvez, agora que você chegou até este ponto do curso, surja aquele questionamento: quão
vantajoso é o uso do concreto protendido frente ao concreto armado convencional?
Diante disso, é importante a nossa busca por trabalhos científicos que realizaram essas
verificações com dados confiáveis de pesquisa. Para isso, o link a seguir traz um artigo que
realizou essa comparação em vigas de tamanho real, sendo assim mais próximas da realidade de
obra:
.
Atente-se principalmente na metodologia adotada para os ensaios experimentais, nos
resultados obtidos e na conclusão final do trabalho. Com isso, poderá ter a dimensão da melhora
no uso da protensão em estruturas de concreto.
ESTUDO DE CASO
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https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/148729/001002267.pdf?sequence=1
http://repositorio.unesc.net/bitstream/1/1157/1/Samuel%20Giassi%20Zanette.pdf
Unidade 01
Aula 03
Verificações da Norma NBR 6118
(2014)
Introdução
Aluno (a), nesta aula, verificaremos as principais recomendações apresentadas pela NBR 6118
(ABNT, 2014) em relação ao concreto protendido, principalmente acerca dos estados limites. Mas,
para iniciarmos nossos estudos, o que são os estados limites?
Por definição, um estado limite define a impropriedade no uso da estrutura, seja por razões de
segurança, funcionalidade, estética ou desempenho fora do esperado para a sua utilização normal,
sem interrupção do seu funcionamento em razões de colapso de um ou mais dos seus componentes.
A NBR 6118 (2014) define dois critérios de segurança para os procedimentos em projetos de
estruturas de concreto (simples, armado e protendido): o estado limite último (ELU) e estado limite
de serviço (ELS).
O ELU é relacionado com o estado em que não se pode mais utilizar a estrutura por razões de
segurança, visto que apresenta esgotamento da sua capacidade resistente. Nesse caso, são
necessários reparos ou até mesmo a demolição da estrutura, a fim de que a segurança seja
verificada.
Já o ELS relaciona-se ao conforto dos usuários, à durabilidade da estrutura, à aparência e à boa
utilização no geral.
19/08/25, 15:36 IESB
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Ao final desta aula, você será capaz de:
compreender as principais considerações acerca do ELU;
compreender as principais considerações acerca do ELS.
Aluno(a), quando elaboramos um projeto estrutural qualquer, devemos considerar a resistência
última e de serviço das partes que o compõem.
A resistência última de uma peça é aquela cujo valor, se ultrapassado pelos esforços solicitantes
que atuam na estrutura, poderá levá-la ao colapso. Portanto, essa verificação é mais crítica quando
se analisa a segurança estrutural, chamada de estado limite último (ELU); ao passo que a verificação
realizada em serviço (ELS) tem como objetivo avaliar de que modo a estrutura trabalha: imagine
uma viga que resiste aos esforços solicitantes, satisfazendo ao ELU, porém apresenta uma grande
fissuração ou uma flecha (deslocamento) muito alto, o que gera um certo desconforto ao usuário da
edificação. Dessa forma, é necessário verificar não apenas se a estrutura resistirá aos esforços
solicitantes, mas também dar condições para não impedir o seu uso. Essa verificação é conhecida
como estado limite de serviço (ELS).
Verificação ao Estado Limite Último (ELU)
A verificação do estado limite último (ELU) é a mais crítica para qualquer que seja a estrutura, já que
está relacionada diretamente com a sua estabilidade e segurança, a qual deve ser realizada para os
esforços de flexão, cisalhamento e torção.
Segundo definição da NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 4), item 3.2.1, o estado limite último é o "estado-
limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a
paralisação do uso da estrutura.".
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Aluno (a), para que possamos calcular a resistência última à flexão (principal esforço considerado
no dimensionamento de elemento de concreto armado e protendido), é necessário entendermos as
três diferentes formas que a viga pode atingir a ruína.
RUPTURA DO AÇO: esse tipo de ruína ocorre apenas nos casos em que a viga é
subdimensionada, ou seja, a área de aço calculada para suportar os esforços está abaixo do que
seria recomendado. Para esse caso, o concreto ao redor do cabo de protensão ultrapassa a sua
resistência à tração e à fissura, transferindo todo o esforço de tração ao cabo. Como esse cabo
já sofreu uma deformação no momento em que é aplicada a protensão, esse acréscimo
(ocorrido devido ao incremento de tração) é suficiente para levar o aço à sua ruptura total,
portanto ao colapso frágil da estrutura;
ESCOAMENTO EXCESSIVO DO AÇO: esse tipo de ruína tende a ocorrer em vigas subarmadas
(domínio 3 de deformação). O aço atinge o seu valor de resistência ao escoamento, levantando
à posição da linha neutra e aumentando a deformação do concreto, até que este chegue à
ruptura. Esse modo de ruptura (do tipo dúctil) é desejado, pois aumenta as chances de prevenir
o seu colapso;
COMPRESSÃO EXCESSIVA DO CONCRETO: ocorre geralmente nas vigas superarmadas
(domínio 4 de deformação). Nesse caso, o concreto (ou seja, a viga em si), ultrapassa a sua
deformação última antes de atingir o seu valor de escoamento, portanto se rompe de forma
frágil.
SAIBA MAIS
Os estados limites últimos (ELU) referem-se à segurança das estruturas ao colapso, quer pelo
esmagamento do concreto, quer pela deformação excessiva do aço. Além disso, eles são
"protegidos" por coeficientes de segurança recomendados pela NBR 6118 para diferentes
situações (majoração para esforços e minoração para as resistências características dos
materiais).
Fonte: Silva Filho (2010, p. 17).
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Principais Fases Até o Colapso
Consideremos, a efeitos de análise, uma seção transversal de uma viga hipotética de concreto
armado ou protendido, submetida a um momento fletor M crescente, a qual passa por três
diferentes níveis de deformação, denominados estádios, cujo objetivo é determinar o
comportamento da peça até o seu colapso.
Estádio I: conhecido também por estádio elástico. Nessa fase, a intensidade do momento fletor
é de pequena intensidade; a tensão de tração no concreto não ultrapassa a sua resistência
característica à tração (ftk). Dessa forma:
○   o diagrama de tensão normal é linear ao longo da seção;
○   as tensões nas extremidades das fibras mais comprimidas são proporcionais às suas
deformações, visualizado no trecho linear do diagrama tensão-deformação do concreto;
○   não há a presença de fissuras visíveis na viga.
Estádio II: conhecido também por estádio de fissuração. Nessa fase, aumenta-se o valor do
momento fletor, em que as tensões de tração desenvolvidas abaixo da linha neutra (LN) terão
valores superiores ao da resistência à tração do concreto (ftk) provocando a fissuração na peça.
Portanto:
○   considera-se que apenas o aço está resistindo aos esforços de tração;
○   as tensões de compressão no concreto continuam lineares;
○   as fissuras de tração na flexão no concreto começam a ser visíveis.
Estádio III: aumenta-se ainda mais o valor do momento fletor, até que seja próximo ao valor de
ruína. Logo:
○   as fibras acima da LN, ou seja, as mais comprimidas do concreto, começam a escoar,
atingindo a deformação específica de 0,35% (3,5‰);
○   o diagrama de tensões tende a ficar vertical, com quase todas as suas fibras trabalhando com
o valor máximo da tensão, resultando em deformações superiores a 0,2% (2‰);
○   a peça apresenta um alto grau de fissuração, atingindo o início da zona comprimida;
○   supõe-se que a distribuição de tensões no concreto ocorra segundo um diagrama parábola-
retângulo.
ATENÇÃO
Aluno(a), você pode notar que muito conceitos apresentados são idênticos aos considerados
para o dimensionamento de estruturas de concreto armado; de fato, a ideia é essa: os dois
têm os mesmos mecanismos de resistência para o dimensionamento, diferenciando em
alguns pontos no cálculo, que veremos mais à frente.
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Para o melhor entendimento desses diferentes estádios de deformação, veja o Saiba Mais a seguir,
que mostra a seção da viga e a distribuição de tensões no concreto com o avanço no valor do
momento fletor atuante.
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1: ESTÁDIO I
Possui apenas tensões elásticas onde as tensões no concreto são proporcionais às suas
deformações.
2: ESTÁDIO II
O concreto não resiste mais aos esforços de tração, pois com o aumento no valor do momento
fletor quem passa a resistir a esse esforço é a armadura ativa ou passiva.
SAIBA MAIS
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3: ESTÁDIO III
Caso onde o concreto já possui deformação limite recomendada de 0,35% e o diagrama de de
tensão tende a assumir uma configuração dita parábola-retângulo.
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4
Representação da distribuição de tensões conforme o diagrama parábola-retângulo com a base
dada como 0,85.fcd onde fcd é o valor da resistência à compressão de cálculo do concreto.
5
Simplificação do diagrama parábola retângulo que a NBR 6118 considera para efeitos de
dimensionamento, onde a altura do retângulo é y=0,8.x sendo x altura da linha neutra da seção.
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Simplificadamente, podemos admitir que:
ESTÁDIO I e II correspondem às situações de serviço (ELS);
ESTÁDIO III
corresponde ao estado limite último (ações majoradas e resistência minoradas), em que só ocorre em
situações extremas.
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A NBR 6118 (ABNT, 2014) traz algumas hipóteses básicas a serem consideradas para o cálculo no
estado limite último de seções submetidas a ações normais:
a)   Seções transversais mantêm-se planas após a deformação: depois do início da deformação até o
ELU, as deformações são, em cada ponto, proporcionais à sua distância até a linha neutra da seção,
cumprindo-se \a hipótese de Bernoulli;
b)   Solidariedade dos materiais: admite-se a perfeita solidariedade entre concreto e armadura, ou
seja, a deformação específica de uma barra da armadura tracionada ou comprimida é igual à
deformação específica no concreto que esteja adjacente. Sendo segundo a NBR 6118 (2014. p.
120), "a deformação das barras passivas aderentes ou o acréscimo de deformação das barras ativas
aderentes em tração ou compressão, devem ser o mesmo que do concreto em seu entorno.".
c)   Armaduras não aderentes: para as armaduras ativas não aderentes, na falta de valores
experimentais e de análises não lineares adequadas, os valores de acréscimo das tensões para
estruturas de edifícios, apresentados a seguir, devem ser divididos pelos devidos coeficientes de
ponderação:
d)
para elementos com relação vão/altura útil igual ou menor que 35;
valor dado em megapascal, não podendo ser superior a 420 MPa.
para elementos com relação vão/altura útil maior que 35;
Δσp = 70 + fck/100ρρ
Δσp = 70 + fck/300ρρ
ATENÇÃO
Tanto a seção transversal, quanto às análises feitas até agora referem-se principalmente às
seções submetidas à flexão simples,porém o procedimento com a armadura ativa de
protensão pouco mudará, como observaremos adiante. O efeito da protensão, criar um
estado de tensões de compressão na peça, aumentará o valor do momento fletor no estádio II
(chamado posteriormente de momento de fissuração MR) significativamente.
Fonte: Carvalho (2012, p. 4).
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valor dado em megapascal, não podendo ser superior a 210 MPa.
Com:
Em que:
: variação de tensão no aço de protensão entre o tempo t0 e t;
: área da seção transversal do cabo resultante (cabo de protensão).
: taxa geométrica da armadura ativa;
: largura da mesa de compressão;
: altura útil referida à armadura ativa.
e)   As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, devem ser desprezadas no ELU;
f)   A distribuição de tensões no concreto deve ser feita de acordo com o diagrama parábola-
retângulo, com tensão de pico de 0,85.fcd (conforme mostrado no infográfico desta aula). Esse
diagrama pode ser substituído pelo retângulo de profundidade , em que o valor de λ é
definido como:
 para fck ≤ 50 MPa, ou;
 para fck > 50 MPa.
e a tensão constante atuante até a profundidade y pode ser tomada igual a:
 no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir
desta para a borda comprimida;
 para o caso contrário.
sendo definido como:
•   para concretos de classes até C50 (50 MPa):
•   para concretos de classes de C50 até C90 (90 MPa):
g)   Tensão na armadura: recomenda-se que o diagrama tensão-deformação seja fornecido pelo
fabricante do aço, caso contrário os valores característicos de resistência ao escoamento , da
resistência à tração e o alongamento após ruptura εuk devem satisfazer os valores mínimos
estabelecidos na NBR 7483. Para o cálculo dos estados limites de serviço e último, utiliza-se o
diagrama simplificado, conforme Figura 1 (Figura 8.5 da NBR 6118).
ρρ = Ap/ bcdp
Δσp
Ap
ρρ
bc
dp
y = λx
λ = 0, 8
λ = 0, 8 − (fck − 50)/400
αcfcd
0, 9.αc. fcd
αc
αc = 0, 85
αc = 0, 85. [1, 0 − (fck − 50)/200]
fpyk
fptk
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h)   O estado limite último fica caracterizado pelas deformações específicas de cálculo do concreto
(εc) e do aço (εs), que atingem (uma delas ou ambas) os valores máximos das deformações
específicas desses materiais (valores últimos); os diversos casos possíveis de distribuição das
deformações do concreto e do aço na seção transversal definem os domínios de deformação
apresentados na Figura 2 (figura 17.1 da NBR 6118).
Sendo:
Ruptura convencional por deformação plástica excessiva
RETA A Presença de tração uniforme na seção
DOMÍNIO 1 Tração não uniforme, sem presença de compressão
DOMÍNIO 2
Flexão simples ou composta, sem ruptura à compressão do concreto ( ), com o máximo
alongamento permitido.
Ruptura convencional por encurtamento-limite do concreto
Figura 1: Diagrama tensão-deformação para aços de armadura ativa.
Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2014, p.31).
Figura 2: Domínios de estado-limite último de uma seção transversal.
Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2014, p.122).
εcCombinação frequente
ELS-D Combinação quase permanente
Concreto protendido nível 3
(protensão completa)
Pré-tração com CAA III e IV
Verificar as duas condições abaixo
ELS-F Combinação rara
ELS-D Combinação frequente
Tabela 3: Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura, em função das classes de agressividade ambiental.
Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 80).
Estado Limite de Deformações Excessivas (ELS-DEF): as flechas ou os deslocamentos atingem
os valores estabelecidos pela NBR 6118, conforme mostra a Figura 4 (figura 13.3 da NBR
6118). Os elementos com presença de flexão, principalmente as vigas e as lajes, apresentam
flechas; cabe ao projetista estrutural limitá-las para valores aceitáveis, visando sempre o
conforto do usuário e a estética da estrutura;
Tipo de efeito Razão da limitação Exemplo
Deslocamento a
considerar
Deslocamento-limite
Aceitabilidade sensorial
Visual
Deslocamentos visíveis
em elementos
estruturais
Total l /250
Outro
Vibrações sentidas no
piso
Devido a cargas acidentais l /350
Efeitos estruturais em
serviço
Superfícies que devem
drenar água
Coberturas e varandas Total l / 250
Pavimentos que devem
permanecer planos
Ginásios e pistas de
boliche
Total l / 350+contraflecha 
Ocorrido após a
construção do piso
l / 600
Elementos que
suportam equipamentos
sensíveis
Laboratórios
Ocorrido após
nivelamento do
equipamento
De acordo com
recomendação do fabricante
do equipamento
k
k
k
k
a
a
a
b
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Efeitos em elementos
não estruturais
Paredes
Alvenaria, caixilhos e
revestimentos
Após a construção da
parede
l /500 e 10mm e 
Divisórias leves e
caixilhos telescópicos
Ocorrido após a instalação
da divisória
l /250 e 25mm
Movimento lateral de
edifícios
Provocado pela ação do
vento para combinação
frequente
H/1700 e H /850 entre
pavimentos 
Movimentos térmicos
verticais
Provocado por diferença
de temperatura
l / 400 e 15mm
Tipo de efeito Razão da limitação Exemplo
Deslocamento a
considerar
Deslocamento-limite
Efeitos em elementos
não estruturais
Forros
Movimentos térmicos
horizontais
Provocado por diferença de
temperatura
H /500
Revestimentos colados
Ocorrido após a construção
do forro
l / 350
Revestimentos
pendurados ou com juntas
Deslocamento ocorrido
após a construção do forro
l / 175
Pontes rolantes Desalinhamento de trilhos
Deslocamento provocado
pelas ações decorrentes da
frenação
H/400
Efeitos em elementos
estruturais
Afastamento em relação
às hipóteses de cálculo
adotadas
Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos
sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados,
incorporando-os ao modelo estrutural adotado.
Tabela 4:  Limites para deslocamentos
Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 77).
Estado Limite de Descompressão (ELS-D): um ou mais pontos da seção transversal têm tensão
de tração nula, não havendo tração no restante da seção. Normalmente, caracteriza-se pela
passagem de uma seção totalmente comprimida para o surgimento de tensões de tração no
concreto, cujo cálculo ocorre pelo Estádio 1;
Estado Limite de Descompressão Parcial (ELS-DP): visa garantir a compressão na seção
transversal na região em que estão presentes as armaduras ativas. Conforme mostra a Figura 5,
essa região deve se estender até uma distância ap da face mais próxima da armadura ativa;
c d
 c
i
e 
f
g
i
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Estado limite de compressão excessiva (ELS-CE): as tensões de compressão atingem o limite
convencional estabelecido; portanto, é usual para o concreto protendido no momento da aplicação
da protensão. Segundo Bastos (2018, p. 53):
sob tensão de compressão superior a 50% da resistência à compressão, acentua-se a
microfissuração interna do concreto. Acima de 70%, a microfissuração fica instável. Por
isso, é recomendada a tensão de serviço de apenas 60% da resistência do concreto. Para
verificação simplificada no ELU no ato da protensão, a NBR 6118 fixa o limite de 0,7fckj.
Estado Limite de Vibração Excessiva (ELS-VE): as vibrações atingem os limites estabelecidos para a
utilização normal da construção. O projetista deverá eliminá-las ou limitá-las, a fim de que não
prejudiquem o conforto dos usuários na utilização das estruturas.
A Figura 6 mostra de forma esquemática a evolução dos deslocamentos (δ) a uma viga isostática
simplesmente apoiada quando está sujeita a um carregamento crescente, representado por P, e
protendida por um cabo de protensão excêntrico situado próximo à borda inferior da seção. Nota-
se na figura os principais estados limites e onde a sua atuação é mais significativa, bem como o
diagrama de tensões esquemático para cada caso.
Figura 5: Estado limite de descompressão parcial
Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 5).
ATENÇÃO
A NBR 6118 (2014) dá a liberdade ao projetista, nesse caso, de substituir o ELS-D pelo ELS-
DP, considerando ap = 50 mm.
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Combinação de Ações no Els
Como veremos, o dimensionamento da força de protensão está diretamente relacionado à
verificação dos estados limites de serviço. Portanto, é necessário que se abordem as combinações
de ações de serviço.
A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determinados os efeitos
mais desfavoráveis para a estrutura, e a verificação da segurança em relação aos estados
limites últimos e aos estados limites de serviço deve ser realizada em função de
combinações últimas e combinações de serviço, respectivamente
(HANAI, 2005, p.58).
Segundo Bastos (2018), as combinações de serviço são classificadas de acordo com a sua
permanência na estrutura e devem ser verificadas como mostrado a seguir:
a)   Quase permanente: atua durante grande parte do período de vida útil da estrutura, e a sua
consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas. É
determinada conforme Equação 1:
Em que:
: valor de cálculo das ações para combinações em serviço;
: valor característico das ações permanentes principais diretas;
: valor característico das ações variáveis principais diretas;
Figura 6: Curva carga-deslocamento para um carregamento crescente
Fonte: Silva Filho (2010, p. 19).
Fd,ser = ∑ Fgi,k +∑ ψ2jFqj,k      Equação 1
Fd,serv
Fg1k
Fq1k
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: fator de redução de combinação frequente para ELS;
: fator de redução de combinação quase permanente para ELS;
O valor de e são dados conforme mostra a Tabela 7 (tabela 11.2 da NBR 6118).
Ações
Cargas acidentais de
edifícios
Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que
permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas
concentrações de pessoas 
0,5 0,4 0,3
Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que
permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada
concentração de pessoas 
0,7 0,6 0,4
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6
Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 0,3 0
Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3
Tabela 7: Valor dos coeficientes de redução de combinação.
Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 65).
b)   Frequente: repete-se muitas vezes durante a vida útil da estrutura, podendo ser necessária a
verificação dos estados limites de formação de fissuras, abertura de fissuras e vibrações excessivas,
conforme mostra a Equação 2:
c)   Rara: ocorre algumas vezes durante a vida útil da estrutura e a sua consideraçãopode ser
necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras, conforme mostra a Equação 3:
ψ1
ψ2
ψ1 ψ2
γ12
Ψ0 Ψ1a Ψ2
b
c
Fd,ser = ∑ Fgi,k +∑ ψ1jFq1,k +∑ ψ2jFqj,k      Equação 2
Fd,ser = ∑ Fgi,k + Fq1k +∑ ψ1jFqj,k      Equação 3
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Fechamento
Aluno(a), ao final desta aula, devemos compreender que os estados limites recomendados pela NBR
6118 (ABNT, 2014) visam sempre garantir a segurança e a durabilidade das estruturas que os
Engenheiros Civis projetam e edificam.
O atendimento das considerações indicadas pela norma, tanto para o ELU quanto para o ELS, é
muito importante para o processo de dimensionamento de peças de concreto, visto que os seus
coeficientes alteram muito os resultados finais.
O ELU, na maioria das vezes, com os seus coeficientes de majoração, os esforços atuantes e a
minoração das resistências dos materiais, facilmente é atendido. Já o ELS requer análises mais
delicadas, a fim de que a estrutura tenha um bom desempenho durante a sua vida útil.
Para o concreto protendido, o ELS é ainda mais importante, pois um aumento de fissuração, por
exemplo, pode atacar de maneira severa a armadura ativa, comprometendo todo o sistema de
protensão aplicado.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
conhecer as recomendações acerca do ELU segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014);
conhecer as recomendações acerca do ELS segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014).
Vídeo
Para complementar o seu aprendizado, assista o vídeo a seguir:
ASSISTA
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Unidade 01
Aula 04
Dimensionamento à Flexão e ao
Cisalhamento
Introdução
Aluno (a), o concreto armado convencional e o concreto protendido, em termos de
dimensionamento, seguem as mesmas considerações e verificações, porém há uma única diferente:
a presença da força de protensão no elemento estrutural.
O dimensionamento deve seguir as recomendações de normas e obedecer aos estados limites,
tanto o ELU como o ELS, visando uma estrutura segura e com bom desempenho ao usuário.
Nessa aula, conceituaremos as forças de protensão, tanto final quanto inicial, voltadas às
verificações de tensões ao longo do vão e às equações que regem o dimensionamento, tanto à
flexão como à força cortante.
Ao final desta aula, você será capaz de conhecer:
as forças de protensão atuante;
o dimensionamento à flexão;
o dimensionamento à cortante.
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Estimativa da Força de Protensão Final (P∞)
A força de protensão P∞ corresponde ao valor que deve permanecer no elemento protendido após
todas as perdas de protensão, de modo a atender todos os requisitos estabelecidos para a estrutura
durante a sua vida útil.
O processo de cálculo apresentado é uma das alternativas para o dimensionamento, em que se
parte do ELS para a determinação da força de protensão.
Inicialmente, efetuamos uma estimativa do valor de P∞, o qual será utilizado para determinar a
armadura ativa necessária, feita em função dos parâmetros a seguir:
As ações sobre a estrutura, as características dos materiais, a geometria da estrutura e da
seção devem ser pré-estabelecidas com dados experimentais ou com algum pré-
dimensionamento realizado;
Os esforços provocados devidos às cargas permanentes e variáveis devem ser conhecidos
tanto para estruturas isostáticas como para as hiperestáticas, bem como o conhecimento do
traçado dos cabos;
O grau de protensão deve ser estabelecido previamente, ou seja, se a protensão será completa,
parcial ou limitada. Com isso, estima-se o valor da força de protensão necessária após todas as
perdas;
A estimativa das perdas progressivas na tensão na armadura de protensão.
A seguir, apresentamos o equacionamento para os diferentes graus de protensão que podem ser
aplicados.
PROTENSÃO COMPLETA
Combinação frequente de ações Combinação rara de ações
(retangular)
 (seção T)
Escolhe-se o menor valor de P∞ entre os dois calculados.
PROTENSÃO LIMITADA
Combinação quase-permanente de ações Combinação frequente de ações
σbg1 + σbg2 + ψ1σbq1 + ψ2σbq2 + σbP∞
= 0
σbg1 + σbg2 + σbq1 + ψ1σbq2 + σbP∞
= 1, 5fctk 
σbg1 + σbg2 + σbq1 + ψ1σbq2 + σbP∞ = 1, 2fctk
σbP∞
= P∞,est/Ac + P∞,est. ep / Wb σbP∞
= P∞,est/Ac + P∞,est. ep / Wb
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(retangular)
 (seção T)
Escolhe-se o menor valor de P∞ entre os dois calculados.
PROTENSÃO PARCIAL
Combinação quase-permanente de ações
Estimativa da Força de Protensão Inicial (Pi)
Com o valor estimado de P∞, arbitra-se um valor de perdas totais de protensão em porcentagem
(ΔP), em que o valor da protensão inicial aplicada (Pi) sofra a redução até atingir o valor da
protensão final (P∞). Ou seja, com a experiência vivenciada em projetos semelhantes, pode-se
arbitrar um percentual médio das perdas de protensão.
σbg1 + σbg2 + ψ2σbq1 + ψ2σbq2 + σbP∞
= 0
σbg1 + σbg2 + ψ1σbq1 + ψ2σbq2 + σbP∞ = 1, 5fctk 
σbg1 + σbg2 + ψ1σbq1 + ψ2σbq2 + σbP∞
= 1, 2fctk
σbP∞ = P∞,est/Ac + P∞,est. ep / Wb σbP∞ = P∞,est/Ac + P∞,est. ep / Wb
σbg1 + σbg2 + ψ2σbq1 + ψ2σbq2 + σbP∞
= 0
σbP∞ = P∞,est/Ac + P∞,est. ep / Wb
ATENÇÃO
Uma vez determinado um valor estimativo da força de protensão, os passos seguintes
compreendem o cálculo da armadura ativa necessária e a determinação de valores
representativos de estados da força de protensão.
Fonte: Hanai (2005, p. 68).
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Segundo Bastos (2018, p. 58), pode-se determinar o valor da força de protensão estimada inicial
Pi,est., conforme mostra a Equação 1:
Com o valor de Pi,est e os valores limites das tensões na armadura ativa, determina-se o valor da
área da seção transversal da armadura ativa, conforme apresentado por Bastos (2018, p. 58) na
Equação 2:
Chega-se, assim, à área de aço necessária. Consultando-se tabelas de aços de fabricantes,
verificam-se o número de fios e as cordoalhas necessários, a fim de obter a área de aço efetiva (
).
A partir do valor efetivo da armadura ativa, busca-se aproveitar ao máximo a capacidade resistente
do aço empregado. Segundo Bastos (2018, p. 58), determina-se o valor efetivo de Pi a ser aplicado
pelo macaco hidráulico, conforme Equação 3:
Pi,est = P∞,est/  (1 − ΔParb)      Equação 1
Ap,est = Pi,est/σPi      Equação 2
Ap,ef
ATENÇÃO
Aluno, embora muitas vezes seja difícil quantificar essas perdas percentuais, pois depende
muito da experiência em projetos anteriores e semelhantes, no geral esse valor gira em torno
de 20 a 30% de perdas, excluindo as perdas por atrito dos cabos.
SAIBA MAIS
Para encontrar a área efetiva de aço, é recomendado que se consulte o catálogo de
fabricantes para que se encontre as informações geométricas da armadura, entre elas área
da seção transversal, para adotar a mais adequada ao seu projeto. Nesse caso, calcula-se uma
área efetiva e, sem seguida, realizam-se as verificações necessárias; caso a segurança não
seja atendida, deve-se alterar essa área de armadura inicial e realizar as verificações
novamente, até que os estados limites sejam atendidos.
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O valor de Pi é, a princípio, aquele considerado no projeto, estando sujeito à sua validação ou não,
conforme avançam as verificações necessárias.
Pi = Ap,ef.σpi      Equação 3
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Aluno (a) vamos imaginar um exemplo prático para absorver os conceitos apresentados até
agora. Imagine que, para um determinado projeto, deseja-se determinar a área efetiva de
armadura ativa necessária. Para isso, temos a viga mostrada na Figura 1, a seguir, com as cargas
atuantes bem como a configuração da sua seção transversal:
Considere, para isso, as seguintes informações:
Protensão aplicada do tipo limitada;
fck do concreto: 40 MPa
Percentual de perdas adotado: 30%;
Cordoalha de aço do tipo CP 190 RB - 12,7mm
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), para o caso de protensão limitada, devem ser verificadas
duas condições para o dimensionamento: o estado limite de fissuração para combinação
frequente de ações e o estado limite de descompressão para combinação quase permanente de
ações. Essas condições estão listadas no escopo da NBR 6118 (ABNT, 2014) e podem ser
observadas na Figura 2, a seguir:
Tipo de concreto estrutural
Classe de agressividade
ambiental (CAA) e tipo de
protensão
Exigências relativas à
fissuração
Combinação de ações em serviço a
utilizar
Concreto simples CAA I a CAA IV Não há -
Concreto armado
CAA I ELS-W w  0,4mm
Combinação frequenteCAA II e CAA III ELS-W w  0,3mm
CAA IV ELS-W w  0,2mm
SAIBA MAIS
Figura 1: Viga com as cargas atuantes
k
k
k
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Concreto protendido nível 1
(protensão parcial)
Pré-tração com CAA I ou Pré-
tração com CAA I e II
ELS-W w  0,2mm Combinação frequente
Concreto protendido nível 2
(protensão limitada)
Pré-tração com CAA II ou
Pré-tração com CAA III e IV
Verificar as duas condições abaixo
ELS-F Combinação frequente
ELS-D Combinação quase permanente
Concreto protendido nível 3
(protensão completa)
Pré-tração com CAA III e IV
Verificar as duas condições abaixo
ELS-F Combinação rara
ELS-D Combinação frequente
Tabela 2: Condições para dimensionamento ao ELSFonte: NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 80).
Para o caso de combinação quase permanente de ações, temos:
As tensões consideradas se devem à carga permanente, à variável e à protensão:
Para carga permanente:
Para carga variável:
Considerando o fator de redução da carga variável ( ) igual a 0,4, temos:
A tensão referente à força de protensão final é dada por:
Deixando a força de protensão ( ) em evidência, temos:
k
a
a
σg1 + ψ2σq1 + σbP∞
= 0
Mg1 = qgL
2/8 = 200, 25 kN . m
σg1 = Mg1y/Ix = 20205 x 30/  (30 x 603/12) = 1, 12 kN/cm2
Mg1 = qqL
2/8 = 517, 5 kN . m
σg1 = Mg1y/Ix = 51750 x 30/  (30 x 603/12) = 2, 87 kN/cm2
ψ2
σg1 + ψ2σq1 + σbP∞
= 0
1, 12 + 0, 4 x 2, 87 + σbP∞
= 0
σbP∞ =   − 2, 27 kN/cm2
σbP∞
= P∞,est/Ac + P∞,est. ep y/ Ix
P∞,est
σbP∞ = P∞,est (1/Ac + ep y/ Ix)
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Área da seção (Ac): 
Momento de inércia (Ix): 
Altura da linha neutra da seção: 
Excentricidade inicial adotada: 
Com isso, o valor da força de protensão final para combinação quase permanente de ações
resulta em:
Para o caso de combinação frequente de ações, temos:
Em que:
Como as tensões, devido às cargas permanentes e variáveis, foram previamente calculadas,
vamos apenas substituí-las, considerando, para esse caso, o fator de redução para a carga
variável ( ) igual a 0,6:
Repetindo o procedimento explicado, ficamos com:
Com isso, há dois valores de referente às duas diferentes combinações de ações:
Combinação quase permanente
Combinação frequente
O valor adotado é o menor dos dois. Sendo assim, .
Dessa forma, podemos calcular o valor da protensão inicial que deve ser aplicada (P ):
Ac = 30 x 60 = 1800 c m2
Ix = (30 x 603)/12 = 540000 cm4
y = 30 cm
ec = 22 cm.
−2, 27 = P∞,est (1/1800 + 22 x 30/ 540000)
P∞,est = 1276, 87 kN
σg1 + ψ1σq1 + σbP∞ = 1, 5fctk
1, 5fctk = 1, 5 x 0, 7 x fctm = 1, 5 x 0, 7 x 0, 3 x fck2/3 = 3, 68 MPa
ψ1
σg1 + ψ1σq1 + σbP∞ = 1, 5fctk
1, 12 + 0, 6 x 2, 87 + σbP∞ = 0, 368
σbP∞ =   − 2, 47 kN/cm2
σbP∞ = P∞,est (1/Ac + ep y/ Ix)
−2, 47 = P∞,est (1/1800 + 22 x 30/ 540000)
P∞,est = 1389, 4 kN
P∞,est
P∞,est = 1276, 87 kN
P∞,est = 1389, 4 kN
P∞,est = 1276, 87 kN
i, est
Pi,est = P∞,est/  (1 − ΔParb) = 1276, 87/ (1 − 0, 3) = 1824, 1 kN
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Para determinar a área da armadura, devemos primeiramente calcular a tensão inicial na
armadura para o caso de pré-tensão e de aço do tipo RB (relaxação baixa):
Devemos adotar o menor valor dentro dos dois calculados, portanto , a fim
de calcularmos a área da armadura de protensão:
Segundo o manual do fabricante, a área da seção transversal de uma cordoalha que foi adotada
tem o valor de 98,7mm²; sendo assim, ficamos com:
Portanto, arredondando esse valor, definimos que serão utilizados 13 cabos para essa
protensão. Com o valor de cabos calculado, podemos definir a área da armadura efetiva, sendo:
σpi ≤ 0, 77.fptk   →   σpi ≤ 0, 77.1900   →   σpi ≤ 1463 MPa
σpi ≤ 0, 85.fpyk   →   σpi ≤ 0, 85.0, 90.1900   →   σpi ≤ 1453, 5 MPa
 σpi = 1453, 5 MPa
Ap,est = Pi,est/σpi = 1824, 1/145, 35 = 12, 54 cm2
n = 12, 54/0, 987 = 12, 71 cabos
Ap,ef = n. Ap    → Ap,ef = 13 x 0, 987 = 12, 83 cm2 
ATENÇÃO
Aluno(a), desafio você a resolver o exemplo anterior, considerando os outros dois graus de
protensão: protensão completa e parcial. Atente-se para os coeficientes adotados e verifique
as diferenças nos valores encontrados.
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Determinação do Pré-Alongamento
Aluno (a), vale reforçar que o concreto protendido difere do concreto armado apenas pela presença
da armadura ativa que introduz o esforço de protensão no interior do elemento estrutural. Para o
ELU, no caso de solicitações normais, adotam-se os mesmos procedimentos de cálculo do concreto
armado convencional, devendo apenas considerar o alongamento prévio existente da armadura de
protensão antes das ações externas.
Para o cálculo, consideramos um estado de neutralização, ou seja, uma situação fictícia com o
concreto sem nenhuma tensão atuante. Nesse estado, a deformação na armadura ativa tem um
determinado valor, correspondente ao chamado pré-alongamento, conforme mostra o
equacionamento a seguir:
Em que:
: força de neutralização;
: força de cálculo da protensão;
: relação entre o módulo de resistência do aço e do concreto;
: área efetiva da armadura ativa;
: tensão no concreto no nível da armadura dado, conforme a equação a seguir:
O valor de cálculo da força de protensão (Pd) no Estado Limite Último (ELU), considerando todas as
perdas progressivas, é dado por:
Em que, segundo Hanai (2005, p. 70):
   Efeito favorável
   Efeito desfavorável
Portanto, a deformação de pré-alongamento na armadura de protensão, quando nela atua a força
Pnd, conforme a Lei de Hooke, é:
Resultando em Equação 7 .
Pnd = Pd + αpApσcpd      Equação 4
Pnd
Pd
αp
Ap
σcpd
σcpd = P∞/Ac + P∞ec
2/Ix      Equação 5
Pd = γpP∞      Equação 6
γp = 0, 9     ⇒
γp = 1, 2     ⇒
σ = εE    →   ε = σ/E = P/AE
εpnd = |Pnd|/ApEp
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Determinação do Momento Fletor Último
A determinação do momento fletor último (Mud) tem como objetivo verificar se há ou não a
necessidade de adicionar armadura passiva na peça estrutural, visando aumentargalpões de
grandes vãos.
Caro(a) aluno(a), sabemos que o concreto armado utiliza apenas armadura passivas. apresentando,
assim, inconvenientes e limitações como fissuras em condições de serviço e impossibilidade de
utilização de aços com alta resistência ao escoamento. Sendo assim, em alguns casos, as estruturas
convencionais de concreto armado tornam-se antieconômicas.
Atente-se para o conceito de armadura passiva.
As armaduras passivas são simplesmente colocadas na estrutura e só passam a
trabalhar quando o concreto começa a se deformar. Assim é preciso retirar o
escoramento da estrutura de concreto armado para que, iniciada a deformação das
fibras de concreto, a armadura, que tem aderência ao concreto, comece a se deformar e
passe então a resistir aos esforços. Sendo assim as armaduras passivas só passam a
desenvolver seu papel depois de solicitada pela deformação advinda do concreto.
Fonte: Carvalho (2013, p. 01).
ATENÇÃO
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Para tentar salvar o concreto armado dessas limitações, os primeiros conceitos de protensão
vieram da Europa entre os anos 30 e 40. No final da década de 1950, surgiu a primeira patente de
protensão com utilização de bainha individual de plástico extrudadas sobre a cordoalha. Desde
então, essa técnica de protensão em estruturas de concreto possui larga aceitação no mundo e vem
se popularizando nas edificações em geral.
Já, no Brasil, a primeira obra que fez uso da protensão foi a Ponte do Galeão na cidade do Rio de
Janeiro, no ano de 1948, com o projeto do Engenheiro Eugene Freyssinet. Essa obra foi a primeira
que utilizou estruturas protendidas no continente das Américas e foi recorde mundial de extensão
na época, com 380m de comprimento. Essa obra fez uso de cabos lisos envolvidos com até três
camadas de papel Kraft pintados com betume. Portanto, tinha-se, assim, o sistema de protensão
não aderente. A seguir, na Figura 1, podemos visualizar a Ponte do Galeão, sua localização e
tipologia.
Figura 1- Ponte do Galeão localizada no Rio de Janeiro (RJ)
Fonte: Thomaz (2010, p. 2) e Vieira (2011).
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Após o sistema Freyssinet, desenvolveu-se uma patente de protensão genuinamente brasileira,
desenvolvida pelo engenheiro civil e mecânico José Rudloff Manns, nos anos 50. Esse sistema de
protensão leva o nome de seu criador, chamado Rudloff - VSL. O VSL vem da fusão da empresa que
o engenheiro possuía, em 1981, com a empresa suiça VSL, que já estava no Brasil desde 1968.
Com isso, posteriormente, abriram-se as portas para o surgimento de vários outros sistemas de
protensão. No Ceará e em alguns estados, destaca-se o Sistema Impacto de protensão,
desenvolvido pelo Engenheiro Joaquim Caracas.
O Que se Entende por Protensão?
A palavra protensão, pré-tensão, presstressing (no inglês) já nos transmite a ideia de um estado
prévio de tensões aplicado a algo, que, na nossa área de interesse, a Engenharia Civil, aplica-se em
materiais de construção e estruturas.
Inicialmente, antes de apresentar os primeiros comentários sobre concreto protendido em si,
veremos como o conceito da protensão pode ser aplicado, recorrendo a exemplos corriqueiros do
nosso dia a dia.
Caro(a) aluno(a), você já reparou como muito dos nossos atos cotidianos podem ser analisados
tomando conceitos de Física e Matemática e, até mesmo, aplicados para a Engenharia? Vejamos um
exemplo disso.
SAIBA MAIS
A execução da Ponte do Galeão foi acompanhada por um jovem engenheiro brasileiro, que,
futuramente, seria o presidente da STUP – Sociedade Técnica para Utilização da Protensão –,
chamado Carlos Freire Machado No Brasil, a STUP, além de realizar várias obras de grande
importância, formou vários técnicos, projetistas, engenheiros de obra. Todos capacitados
para a elaboração de projetos e execução de estruturas protendidas, permitindo, com isso,
uma rápida assimilação das técnicas de protensão Freyssinet.
Fonte: Silva Filho (2010, p. 2).
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Imagine uma fila de livros, conforme mostra a Figura 2.a, onde estes não podem se apoiar em dois
pontos distintos, pois a resistência à flexão depende das tensões de tração que não existem entre
dois livros. Ou seja, dificilmente os livros continuariam na posição mostrada e cairiam no chão. No
entanto, se aplicarmos uma força de compressão no sentido horizontal dos livros, estes passam a
funcionar como uma viga conseguindo vencer o vão livre e se mantendo em equilíbrio, como mostra
a Figura 2.b.
A aplicação da força de compressão normal pode vir a ser entendida como uma forma de se
protender o conjunto de componentes estruturais, que, no caso mostrado, trata-se de uma pilha de
livros. O peso próprio dos livros atua no sentido de fazê-los escorregar, de tracionar a região
inferior da viga hipotética. A força de compressão externa aplicada produz tensões de compressão,
mobilizando, assim, o atrito entre os livros, bem como a eliminar as tensões normais de tração
 (HANAI, J. B. de, 2005).
Figura 2 - a) Fila de livros. b) Força de compressão aplicada aos livros para conferir equilíbrio ao
conjunto
Fonte: Carneiro (2007, p. 1).
ATENÇÃO
Caro(a) aluno(a), com o exemplo cotidiano apresentado, ainda podemos refletir um pouco
sobre alguns dados conceituais, o que fica a cargo da sua curiosidade.
Pense o que aconteceria se a força normal, em vez de ser aplicada ao longo da linha do centro
de gravidade dos livros, for aplicada mais acima ou mais abaixo? Quais são as possíveis
consequências em termos de esforços e tensões?
Fonte: O autor.
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Então, a protensão pode ser definida como:
aquelas nas quais parte das armaduras é previamente alongada por equipamentos
especiais de protensão, com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a
fissuração e os deslocamentos da estrutura, bem como propiciar o melhor aproveitamento
de aços de alta resistência no estado-limite último (ELU)
(NBR 6118, 2014, p. 3).
o artifício de introduzir, numa estrutura, um estado prévio de tensões, de modo a melhorar
a sua resistência ou seu comportamento, sob ação de diversas solicitações
(PFEIL, 1984, p. 1).
Protensão Aplicada ao Concreto
Caro(a) aluno(a), sabe-se que o concreto é um material largamente empregado no Brasil e no
mundo, em que a grande maioria das estruturas são confeccionadas com esse material, já que seus
componentes (cimento, areia, pedra) são de baixo custo e presentes em todas as regiões do planeta.
O concreto convencional possui uma excelente resistência à compressão e, com o avanço da
tecnologia, hoje podem ser fabricados com essa resistência superior a 100 MPa.
SAIBA MAIS
O Cimento Portland, um dos componentes do concreto, é o segundo material mais
consumido no mundo, perdendo apenas para a água. A produção, apenas no Brasil, estima-se
em mais de 100 milhões de toneladas por ano.
Fonte: O autor.
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No entanto, tal concreto possui como desvantagem a baixa resistência à tração, na ordem de 8% a
12% do valor da resistência à compressão. Além de ser baixa, é pouco confiável, tanto que, para o
dimensionamento de elementos de concreto, a resistência à tração dele é desconsiderada, segundo,
por exemplo, a norma brasileira NBR 6118 (2014), que trata das recomendações para estruturas de
concreto.
Outra desvantagem acerca da baixa resistência à tração do concreto é o aparecimento de
fissuração. Embora a fissuração sejaa segurança no
ELU. O cálculo do Mud é realizado por meio de tentativas: inicialmente, arbitra-se uma tensão na
armadura de protensão (σp,arb) ou a posição da linha neutra (x). A solução é definida quando existir
equilíbrio entre as forças de tração e compressão aplicadas na seção transversal do elemento
estrutural.
Aluno (a), considere a Figura 3, a seguir, a qual mostra uma seção transversal de uma viga qualquer
com a presença das armaduras passivas (positiva e negativa) e da armadura ativa. Temos o
diagrama de deformações no aço e no concreto; por último, a representação das forças que atuam
nessa seção.
ATENÇÃO
A seguir, serão apresentadas as equações para a determinação do momento fletor último de
seções retangulares, contemplando os concretos inseridos no grupo I, ou seja, aqueles com
resistência à compressão entre 20 e 50 MPa. Para os concretos do grupo II, com resistências
entre 50 e 90 MPa, a NBR 6118 (2014) recomenda modificações em alguns parâmetros.
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Realizando o equilíbrio das forças, temos:
Considerando:
Vamos supor que as armaduras passivas estão em regime de escoamento, portanto:
Realizando as substituições propostas, a equação de equilíbrio fica:
Isolando a variável x (altura da linha neutra), a equação fica:
Realizando o equilíbrio de momentos fletores, fazendo a somatória de momentos sobre a
resultante Rcc, temos:
Portanto, a condição de segurança ao final da verificação será satisfeita, quando:
A compatibilidade entre deformações é dada como:
Armadura Ativa Armadura Passiva + Armadura Passiva -
Figura 3: Tensões e deformações na seção retangular no ELU.
Fonte: Bastos (2018, p. 71).
∑ Fx = 0    →   Rst + Rpt − Rcc − Rsc = 0    →   Rst + Rpt = Rcc + Rsc      Equação 8
Rst = σsd.As    Rpt = σpd.Ap    Rcc = σcd.Ac
Rcc = 0, 85.fcd.0, 8.x. bw    Rsc = σ′
sd.A
′
s
σsd = fyd    σ
′
sd = f ′
yd
Resultando em        Resultando em
Rst = fyd. .As    Rsc = f ′
yd.A
′
s
fyd. .As + σpd.Ap = 0, 85.fcd.0, 8.x. bw + f ′
yd.A
′
s    Equação 9
x = fyd. .As + σpd.Ap − f ′
yd.A
′
s/0, 85.fcd.0, 8bw    Equação 10
Mud = σpdAp (dp − 0, 4x) + fydAs (ds − 0, 4x) + f ′
ydA
′
s (0, 4x − d′)    Equação 11
Mud ≥ Msd
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Aluno (a), o fluxograma apresentado a seguir tem como objetivo demonstrar os passos realizados
para a determinação do momento fletor último (Mud).
CÁLCULO DO PRÉ-ALONGAMENTO: O cálculo do pré-alongamento é dado pela equação 
DETERMINAÇÃO DA TENSÃO NA ARMADURA: Supondo inicialmente que a ruptura ocorra nos domínios 3 ou 4, isto é, a tensão no
concreto seja dada por , e a deformação seja .
TENTATIVAS: Agora, iniciam as tentativas de arbitrar valores para a tensão na armadura.
TENSÃO DE CÁLCULO NA ARMADURA: Inicialmente, adotamos o valor de cálculo .
ALTURA DA LINHA NEUTRA: Com isso, calculamos a altura da linha neutra, conforme a equação
.
COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES: Por meio do valor da linha neutra, encontramos o valor de nas equações de
compatibilidade.
DOMÍNIO 3 OU 4? Se , a hipótese inicial e a ruptura nos domínios 3 e 4 estão corretas.
TENSÃO NA ARMADURA: calculamos a tensão na armadura, conforme a equação .
OK: se a tensão calculada como igual ou muito próxima à adotada está correta, podemos calcular o momento último.
NÃO OK: se a tensão calculada diferir muito da encontrada, refazemos todos os passos com uma nova tensão de protensão.
εcd/εp1d = x/  (dp − x) εcd/εsd = x/  (ds − x) εcd/ε
′
sd = x/  (x − d′)
εpnd = |Pnd|/ApEp
σcd = 0, 85.fck εcd = 0, 35
σpd = fpyd = fpyk/1, 15
x = fyd. .As + σpd.Ap − f ′
yd.A
′
s/0, 85.fcd.0, 8bw
ep1d
ep1d , a armadura passiva tracionada (As) está escoando, e a tensão é de (tensão
de escoamento).
Cálculo do momento fletor último (Mud)
Nesse caso, segundo o critério de segurança ( ), o momento máximo de cálculo aplicado é .
εcd/εsd = x/  (ds − x) = 0, 35/εsd = 23, 74/  (56 − 23, 74)   → εsd = 0, 476
εsd = 0, 476 εyd = 0, 207 fyd = 43, 48 kN/cm2
Mud = σpdAp (dp − 0, 4x) + fydAs (ds − 0, 4x) + f ′
ydA
′
s (0, 4x − d′)
Mud = 149, 64 x 5, 92  (52 − 0, 4 x 23, 74) + 43, 48 x 7, 6  (56 − 0, 4 x 23, 74) + 0
Mud = 53020 kN . cm ou 5302 kN .m
Mud ≥ Msd Msd ≤ 5302 kN .m
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As bielas comprimidas apresentam-se, no geral, com ângulo de inclinação de 5° a 15° menores que a
treliça clássica do cisalhamento a 45°. Quanto maiorfor o grau de protensão aplicado, menores são
os esforços de tração na alma, consequentemente requer menor quantidade de armadura
transversal.
No caso de vigas protendidas isostáticas, o encurvamento dos cabos próximos dos apoios produz
uma componente de força contrária à força cortante solicitante, conforme mostra a Figura 6.
Realizando o somatório de forças verticais, temos:
Equação 12
Segundo a NBR 6118 (2014, p. 134)
No valor de VSd, deve ser considerado o efeito da projeção da força de protensão na sua
direção, com o valor de cálculo correspondente ao tempo t considerado. Entretanto,
quando esse efeito for favorável, a armadura longitudinal de tração junto à face tracionada
por flexão deve satisfazer à condição: 
A condição apresentada pela norma visa fornecer uma melhor contribuição do concreto na sua
região comprimida na flexão, a fim de garantir uma maior rigidez no banzo tracionado.
Segundo a NBR 6118 (2014), a resistência do elemento estrutural em uma determinada seção
transversal deve atender às seguintes condições:
Figura 6: Componente de força devido à curvatura do cabo.
Fonte: Bastos (2018, p. 91).
∑ Fy = 0 
−Vd + Pdsenα + Vsd = 0
Vsd = Vd − Pdsenα
Apfpyd + Asfyd ≥ Vsd
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Em que:
: força de cálculo solicitante;
: força resistente de cálculo relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto dos
modelos indicados adiante;
: segundo a NBR 6118 (2014), essa parcela é da força cortante resistente de cálculo,
relativa à ruína por tração diagonal. Vc é referente à parcela da força cortante, absorvida por
mecanismos complementares ao da treliça, enquanto Vsw é a parcela resistida pela armadura
transversal, de acordo com os modelos adotados pela norma discretizados a frente.
Modelo de Cálculo 1
De acordo com a NBR 6118 (2014, p. 135)
O modelo 1 admite diagonais de compressão inclinadas de 45° em relação ao eixo
longitudinal do elemento estrutural e admite que a parcela complementar Vc tenha valor
constante, independentemente de Vsd.
A verificação da compressão diagonal do concreto é dada conforme mostra a equação a seguir:
Com expresso em MPa.
O cálculo da armadura transversal é dado conforme Equação 16:
Em que:
: é a tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor de fyd no caso de estribos, e
70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores
superiores a 435 MPa (segundo a NBR 6118, 2014); entretanto, no caso de armaduras transversais
ativas, o acréscimo de tensão devido à força cortante não pode ultrapassar a diferença entre fpyd e
a tensão de protensão, nem ser superior a 435 MPa.
Para o caso de flexo-compressão, temos a Equação 17:
Vsd ≤ VRd2    Equação 13
Vsd ≤ VRd3 = Vc + Vsw    Equação 14
Vsd
VRd2
Vc + Vsw
VRd2 = 0, 27.αv2. fcd. bw. d      Equação 15
αv2 = (1 − fck/250) 
Vsw = (Asw/s).0, 9.d. fywd (senα + cosα)      Equação 16
fywd
Vc = Vc0 (1 + M0/Msd,máx) ≤ 2Vc0      Equação 17
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Com e 
Em que:
Msd,max: momento fletor máximo de cálculo conforme o trecho em análise;.
M0: momento fletor que anula a tensão de compressão na borda da seção tracionada pelo
momento máximo (Msd,máx), provocada pelas forças normais que atuam juntamente com Vsd. Essa
tensão é calculada com os valores de γf e γp iguais a 0,9 e pode ser determinada conforme a
Equação 18:
em que Wb/Ac corresponde à distância da extremidade superior do núcleo central de inércia da
seção ao centro de gravidade, ou seja, à excentricidade do centro de pressão com a qual a tensão na
borda inferior se anula.
Vc0 = 0, 6.fctd. bw. d fctd = fctk,inf/γc = 0, 7.fctm/γc
Mo = (γpP∞ + γf.Ng+q)Wb/Ac + γpP∞ep      Equação 18
No cálculo de Vc, referente à contribuição do concreto, a relação entre M0 e Msd,máx fornece
uma estimativa do estado de fissuração devido à flexão no trecho considerado para o ELU. Se
essa relação tem valor próximo de 0, ou seja, valor de m0 é muito pequeno, a região considerada
tem esforços de tração e fissuração devido à flexão (zona b). Se a relação tem valor próximo ou
igual a 1, ou seja, m0 é um valor muito próximo de Msd,máx, então não há fissuração na região
considerada, conforme mostra a Figura 6.
SAIBA MAIS
Figura 6: Zona b com fissuração e zona a sem fissuração.
Fonte: Bastos (2018, p. 93).
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Modelo de Cálculo 2
De acordo com a NBR 6118 (2014, p. 137)
O modelo de cálculo II admite diagonais de compressão inclinadas de em relação ao eixo
longitudinal do elemento estrutural, com variando entre 30° e 45°. Admite, ainda, que a parcela
complementar Vc sofra redução com o aumento de Vsd.
A verificação da compressão diagonal do concreto é dada conforme Equação 19:
E o cálculo da armadura transversal é dado conforme Equação 20:
Fechamento
Aluno (a), ao final desta aula, é importante que todos os conceitos apresentados estejam fixados:
desde a obtenção da força de protensão final, descontando as perdas progressivas (lembrando que
o valor considerado de perdas é arbitrado, sendo necessárias todas as verificações das perdas de
protensão), até a protensão inicial recomendada para aplicação no ato da protensão.
Com esses valores, seguimos o dimensionamento, seja para encontrarmos uma área de aço de
armadura ativa ou até mesmo para a verificação do momento fletor último de uma peça estrutural.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
conhecer as forças de protensão e seus respectivos graus;
conhecer o equacionamento para o dimensionamento à flexão;
conhecer o equacionamento para o dimensionamento à força cortante.
θ
θ
VRd2 = 0, 54.αv2. fcd. bw. d. sen2θ (cotg α  + cotg θ)    Equação 19
Vsw = (Asw/s)0, 9.d. fywd. (cotg α  + cotg θ)sen α    Equação 20.
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Depois de conhecermos diversas informações sobre o concreto protendido, desde sua tipologia
até as condições de dimensionamento presentes nessa unidade, é importante que vejamos como
é executado na prática.
Aluno (a), recomenda-se a visitação a obras que utilizem a protensão, caso possível, para
acompanhar todo o processo. Neste momento, para fixar o conteúdo estudado, apresentamos o
vídeo que mostra como é realizada a protensão em uma pista de protensão industrial. Trata-se
de uma protensão do tipo pré-tensão, ou seja, os cabos são tracionados antes da concretagem.
Atente-se a todas as etapas realizadas e tente identificar no conteúdo apresentado em qual
momento foi abordado o conceito mostrado.
https://youtu.be/l8cY0lPDQko
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
Aluno (a), nesse ponto do curso você pode ter notado que foram apresentados muitos conceitos
e muitas equações, por isso é normal que, em determinado momento, todas essas informações
sejam confundidas. Visando um entendimento amplo de tudo que foi visto até agora, indica-se a
leitura do material disponível no link a seguir: um relatório de dimensionamento de uma
estrutura em concreto protendido, compreendendo todas as suas etapas, desde o pré-
dimensionamento, passando pelas considerações de cálculo, até o detalhamento dos elementos
protendidos. Utilizar esse material no geral ou até mesmo em etapas em que ficou alguma
dúvida nos seus estudos é de grande ajuda.
Clique aqui
NA PRÁTICA
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https://youtu.be/l8cY0lPDQko
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAghFQAE/projeto-concreto-protendido
Unidade 01
Aula 05
Recomendações e Cálculo para o
Traçado dos Cabos
Comoestudo de caso, destaca-se o artigo a seguir, que mostra a aceitação do concreto
protendido em empresas em Minas Gerais. É importante analisar o mercado da protensão,
tentando englobar todo o processo envolto nesse assunto.
As principais vantagens, desvantagens e custo envolvidos na protensão são informações que
não cabem no nosso curso, mas que devem estar sempre presentes na prática do Engenheiro
Civil.
Clique aqui
ESTUDO DE CASO
Vídeo
Para complementar o seu aprendizado, assista o vídeo a seguir:
ASSISTA
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Introdução
Aluno(a), no decorrer do curso, vimos as principais propriedades, as perdas e o dimensionamento
acerca do concreto protendido, porém em nenhum momento comentamos sobre o traçado
percorrido por esses cabos no interior do elemento estrutural em que está inserido. Dessa forma,
fica a dúvida: posso dispor desses cabos em qualquer lugar e obter garantias de eficácia do sistema
de protensão?
Obviamente, a resposta é não! Assim como a grande maioria dos processos desenvolvidos na
Engenharia, é necessário ter cuidado e atender a requisitos de qualidade. O traçado dos cabos está
diretamente relacionado a percorrer trechos em que haja tensões de tração, já que a protensão
aplicará tensões de compressão, anulando (ou amenizando) as de tração.
Existem métodos que avaliam regiões do elemento estrutural, recomendando a colocação da
armadura de protensão, a fim de criar uma “zona segura” para a acomodação dessa armadura.
Sabemos que o traçado dos cabos de protensão são fundamentais para a eficiência do sistema como
um todo e deve sempre seguir uma região segura dentro do elemento estrutural, para que os cabos
sejam instalados neste local.
Quais os parâmetros envolvidos nessa análise? Quais variáveis são consideradas? Nesta aula,
analisaremos dois processos de cálculo dessas regiões: o processo das curvas limites e do fuso
limite.
Após a análise numérica, serão mostrados as principais etapas e os cuidados que devem ser
verificados na execução de estruturas protendidas, a fim de que você observe o processo
integralmente, atentando-se para possíveis problemas que possam ocorrer durante a protensão.
Ao final desta aula, você será capaz de:
conhecer o processo das curvas e fusos limites;
conhecer as disposições sobre a geometria do traçado dos cabos;
avaliar as recomendações da NBR 6118 (2014) sobre o traçado dos cabos.
calcular o traçado dos cabos de protensão;
conhecer o processo construtivo de estrutura de protensão.
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Hanai (2005) aborda a necessidade de verificar as tensões normais no concreto ao longo do vão e
não apenas na seção mais solicitada pelo carregamento externo, visto que, ao introduzir a
armadura ativa no concreto, ocorre uma transmissão da força de protensão, ocasionando esforços
demasiadamente elevados em regiões do concreto pouco solicitadas pelas ações consideradas.
Um processo mais imediato, inclusive utilizando recursos computacionais, bem difundidos hoje em
dia, para execução de projetos nessa área, seria a verificação das seções ao longo do vão,
simplesmente repetindo os cálculos efetuados nas regiões de maiores solicitações.
No entanto, serão mostrados e desenvolvidos no decorrer desta aula dois processos gráficos de
verificação de tensões ao longo do concreto, os quais apresentam algumas vantagens
interessantes, como a disposição da armadura ativa no interior do concreto ao longo do vão. Os
processos descritos são:
processo das curvas limites;
processo do fuso limite.
Processo das Curvas Limites
O processo das curvas limites tem como objetivo fornecer, de maneira aproximada, a posição limite
do cabo de protensão equivalente, para que as tensões na seção transversal da viga se situem em
uma faixa de valores aceitáveis e desejáveis, ou seja, é determinada uma região na viga onde se
recomenda que esteja o cabo equivalente.
No processo das curvas limites, define-se um limite superior para a posição do cabo de protensão
equivalente, para que a tensão na borda inferior da seção transversal da viga seja nula: se o cabo de
protensão estiver acima dessa zona limite, ocorrerão tensões de tração na borda inferior, tornando-
SAIBA MAIS
O cabo equivalente é a representação de todos os cabos por um único cabo fictício, obtido
pela união do centro de gravidade de todos os demais. A sua conceituação e outras
informações estão no decorrer desta aula.
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se indesejável para esse caso.
Devemos também observar que a posição limite do cabo depende da combinação de ações
consideradas, assim, para combinações de ações distintas, há limites diferentes.
Considerando todas as combinações de ações verificadas na seção mais solicitada pelo
carregamento externo, escolhem-se as mais desfavoráveis, como:
a)   Estado em vazio: atuam apenas o peso próprio do elemento estrutural e a protensão antes das
perdas progressivas, ou seja, pouca carga e muita protensão.
b)   Estado em serviço: atuam todas as cargas permanentes, a protensão depois das perdas
progressivas, e todas as cargas variáveis, corrigidas pelos fatores ψ, ou seja, há muita carga e pouca
protensão.
Para esses dois estados, são impostos limites às tensões normais causadas pela protensão, visando
respeitar os estados-limites de serviço (descompressão, formação de fissuras, fissuração inaceitável
e compressão excessiva).
Considerando que a atuação do momento fletor tem valores diferentes para cada região da seção,
repetindo o procedimento de cálculo apresentado, seccionando a viga em diferentes segmentos,
verifica-se uma posição limite do cabo para cada segmento. Se forem unidos os pontos
correspondentes às posições limites do cabo nos segmentos considerados, obtêm-se as curvas
limites, conforme mostra a Figura 1.
SAIBA MAIS
O processo das curvas limites é adequado, pois existe variação significativa da força de
protensão ao longo do vão por eliminação da aderência em determinados trechos ou pelo
encurvamento e ancoragem de alguns cabos antes dos apoios.
Fonte: Bastos (2018, p. 59).
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Conforme a seção transversal adotada e os cabos de protensão escolhidos, a posição das curvas
limites varia, consequentemente varia a região desejável da localização dos cabos de protensão.
Existem situações indesejadas, em que uma escolha errada tanto da seção transversal quanto dos
cabos de protensão pode resultar em formas ou posições indesejadas conforme mostra o
Infográfico a seguir.
Figura 1 - Posição limite superior do cabo de protensão equivalente
Fonte: Klein (2002, p. 33).
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Curva da posição limite inferior do cabo de protensão equivalente muito próxima da borda
inferior da viga resultando em pouco espaço para alojar cabos no trecho central
Curva da posição limite superior do cabo de protensão equivalente muito alta em relação à
borda inferior da viga gerando uma seção transversal excessiva e antieconômicaCurvas das posições limites superior e inferior se cruzando, sem regiao possível para o
alojamento do cabo no trecho central da viga sendo uma seção inadequadaFonte: adaptada de
Klein (2002, p. 36).
SAIBA MAIS
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Portanto, as curvas limites determinam uma região na viga dentro da qual deverá estar o cabo de
protensão equivalente. Os cabos de protensão individuais deverão ser lançados, a fim de que o cabo
representante fique dentro da região determinada pelas curvas limite.
Processo do Fuso Limite
Outro processo gráfico de verificação das tensões no concreto ao longo do vão é o processo do fuso
limite, interessante em casos em que não há uma variação sensível da força de protensão, ou seja,
quando não ocorre interrupção dos cabos tensionados no vão, sendo todos eles ancorados nas
extremidades da peça estrutural.
Caro(a) aluno(a), vimos que: no processo das curvas limites, estabelece-se um limite devido às
tensões originadas a partir da protensão, ao passo que no caso do fuso limite, estabelecem-se
limites para a excentricidade da força de protensão, valor supostamente constante em todo o
comprimento do vão.
O estudo mais aprofundado desse processo, incluindo seu equacionamento, permite a observação
do traçado dos cabos de protensão, a fim de que a excentricidade do cabo resultante sempre
permaneça dentro de uma faixa da peça, chamada fuso limite, atendendo às limitações das tensões
normais.
O princípio desse processo estar em recordar o equilíbrio de tensões normais na seção transversal
do concreto. Imagine uma seção solicitada por uma força de protensão excêntrica e por um
momento fletor, devido às ações externas. Obtém-se o diagrama de tensões, considerando a força
normal deslocada da sua posição real, como mostra a Figura 2.
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Em que:
Essa situação considera uma viga simplesmente apoiada, sujeita a cargas permanentes, à
sobrecarga variável e à protensão.
Assim como visto no processo das curvas limites, para o processo dos fusos limites também são
considerados os dois casos de carregamentos extremos: o estado em vazio e o estado em serviço.
As considerações de cálculo, a fim de se obter a região segura para o traçado dos cabos, seguem a
premissa da equação mostrada anteriormente, sendo adaptável a cada caso de carregamento.
Figura 2 - Determinação do centro de gravidade
Fonte: Hanai (2005, p. 75).
M = P . em    →    em = M/P
σc = P/A + P (ep − em) /W
SAIBA MAIS
O processo dos fusos limites é adequado, visto que a força de protensão se mantém
aproximadamente constante ao longo do vão (cabos retos ou com curvatura suave, forças de
atrito pequenas), com todos os cabos ancorados juntos aos apoios.
Fonte: Bastos (2018, p. 59).
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Traçado Geométrico dos Cabos de Protensão
Aluno(a), geralmente nas vigas com sistema de protensão na pós-tração todos os cabos são
representados por um único cabo fictício, obtido por meio da união do centro de gravidade de todos
os demais, chamado cabo representante.
Portanto, o procedimento para se determinar o número de cabos necessários em uma viga
qualquer baseia-se em considerar o valor da força de protensão correspondente ao cabo
representante. Outra informação importante é considerar a trajetória do cabo representante, por
meio da qual é possível avaliar as perdas de protensão imediatas e progressivas para que se
obtenha, finalmente,  o número de cabos necessários, imaginando o caso em que todos os demais
cabos tenham como força de protensão média o valor encontrado para o cabo representante.
Portanto, a fim de se determinar o número de cabos necessários para operação de protensão, é
preciso conhecer o seu esquema estrutural, fornecendo as informações necessárias para o
desenvolvimento do cálculo, constando nessa etapa a indicação da trajetória dos cabos. É
interessante indicar pelo menos:
a posição dos apoios na viga;
os tipos de ancoragem (V- viva, M- morta);
valor do vão ou vãos;
altura da peça;
marcação das seções mais importantes com sua designação;
inclinações prováveis do cabo representante.
Como exemplo visual, podemos avaliar a envoltória de momentos fletores da viga, mostrada na
Figura 3 (a). Nesse caso, utiliza-se a envoltória de momentos fletores, por se tratar de uma viga
utilizada em pontes ou viadutos, ou seja, há a presença de cargas móveis devido ao tráfego de
veículos. Considerando essa viga como biapoiada com dois balanços nas suas extremidades, a
forma dos cabos de protensão tem a forma aproximada como mostra a Figura 3 (b).
Desta maneira, verifica-se a semelhança entre o diagrama do momento fletor e a disposição dos
cabos de protensão, os quais ficam mais próximos da fibra superior na região em torno de S0
(momento fletor negativo) e, ao contrário, mais próximos da fibra inferior, na região em torno das
seções S4 e S5 (momento fletor positivo).
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Aluno(a), sabemos que cada projeto tem suas peculiaridades e que deve ser sempre avaliado caso a
caso, porém existem preceitos gerais que conduzem ao melhor detalhamento da trajetória dos
cabos.
Tratando-se da protensão com aderência posterior, de uma maneira geral, os cabos (fios ou
cordoalhas) têm trajetórias semelhantes aos do diagrama (ou envoltória) de momentos fletores,
utilizando sempre a recomendação: onde houver tração que se leve a protensão.
A Figura 4 mostra outro exemplo típico de traçado de cabo: nesse caso, apenas o cabo
representante, de uma viga contínua submetida a ação de uma carga distribuída uniformemente em
todo seu comprimento. Nota-se que a trajetória do cabo tem praticamente a mesma forma que o
diagrama de momento fletor: apenas na região próxima do apoio central existe uma concavidade ao
contrário, para que não haja concentração de tensão no concreto provocado pelo cabo.
Figura 3 - a) Forma da envoltória dos momentos fletores b) Trajetória esquemática do cabo
representante
Fonte: Carvalho (2012, p. 3 e 4).
SAIBA MAIS
O traçado dos cabos é extremamente importante para a definição final dos esforços nas
peças protendidas e deve ser projetado em função dos carregamentos atuantes da estrutura,
de forma a contrabalançá-los.
Fonte: Ferreira (2007, p. 29).
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Ainda sobre a Figura 4, avaliando os trechos da trajetória do cabo representante, verifica-se que os
trechos 1 e 3 têm mais a função de combater o cisalhamento do que a flexão. Na seção extrema,
como não há esforço de momento fletor devido às cargas atuantes, o cabo deve ser posicionado ao
centro de gravidade da seção para não causar flexão. O trecho 2 da trajetória do cabo, situado
próximo à borda inferior da viga, combate os momentos fletores positivos, ao passo que o trecho 4,
situado próxima a borda superior, combate o momento fletor negativo.
É importante verificar nas regiões onde há presença de trechos curvos que necessariamente
ocorrem no cabo para que possa ir de uma fibra a outra, se obedece a raios mínimos, a fim de evitar
uma compressão excessiva no concreto ou, ainda, a fissura da bainha durante o seu
posicionamento, para que não se torne mais estanque.
Figura 4 - Exemplo de viga contínua submetida a ação vertical uniforme, diagrama de momento
fletor respectivo, traçado do cabo representante.
Fonte: Carvalho (2012, p. 5).
SAIBA MAIS
Aluno(a), compare o concreto armado e concreto protendido; nesse caso, para o
detalhamentoda armadura, uma das diferenças básicas é que: no concreto protendido
trabalha-se com um elemento contínuo, cabo ou fio, enquanto no concreto armado as barras
são interrompidas e ancoradas, por não serem necessárias ao combate à flexão. No concreto
protendido, o mesmo elemento deve prover de compressão, tanto a face inferior quanto a
superior.
Fonte: Carvalho (2012, p. 5).
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Recomendações da NBR 6118 para Traçado
dos Cabos
É importante conhecermos o que a norma brasileira NBR 6118 (2014) informa a respeito do
traçado dos cabos: a armadura de protensão pode ser retilínea, curvilínea, poligonal ou de traçado
misto. Geralmente, em trechos curvilíneos, adota-se a parábola do 2° grau por ser uma curva
simples e ter um raio de curvatura aproximadamente constante para pequenas inclinações do cabo,
que resulta em perdas por atrito praticamente proporcionais ao comprimento da curva.
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014) As curvaturas das armaduras de protensão devem respeitar os
raios mínimos exigidos, em função do diâmetro do fio, da cordoalha ou da barra ou do diâmetro
externo da bainha metálica.
O estabelecimento dos raios mínimos de curvatura pode ser realizado experimentalmente,
desde que decorrente de investigação adequadamente realizada e documentada.
Dispensa-se a justificativa do raio de curvatura adotado, desde que ele seja superior a 4 m,
8 m e 12 m, respectivamente, nos casos de fios, barras e cordoalhas.
(ABNT, 2014, p. 152)
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Com relação a curvatura próxima das ancoragens da protensão no elemento estrutural,
recomenda-se a redução da curvatura dos fios, cordoalhas ou feixes, desde que se comprove
experimentalmente a possibilidade de redução por meio de ensaios. Nessas regiões, deve haver
garantia da resistência do concreto em relação ao fendilhamento e à manutenção da posição do
cabo, quando ele provocar empuxo no vazio.
Outra recomendação da NBR 6118 (2014) é referente à adoção de segmentos retos nas
extremidades dos cabos de protensão, a fim de permitir o alinhamento de seus eixos com os dos
respectivos dispositivos de ancoragem. O comprimento desses segmentos não pode ser inferior a
100 cm; para o caso de monocordoalhas engraxadas, esse valor pode ser tomado como 50 cm. A
Figura 5 mostra esse segmento quando se aproxima da extremidade do elemento estrutural, ou
seja, do seu ponto de ancoragem.
Para exemplificar a recomendação dada pela NBR 6118 em um caso comparativo, tomemos dois
cabos de mesmo comprimento e desvio angular, tendo o primeiro grandes raios de curvaturas e
o segundo raios mínimos conforme a figura seguir.
Cabos com diferentes raios de curvatura.
Aplicando-se a protensão nos cabos pelos dois lados simultaneamente (ancoragem viva), o
primeiro dará maior alongamento com igual esforço de protensão inicial (P0) que o segundo, ou
seja, terá menores atritos ao longo de sua trajetória, gerando menores perdas de protensão.
SAIBA MAIS
Fonte: Rudloff (2012, p. 4).
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É permitida ainda, segundo a norma, a adoção de emendas das armaduras de protensão quando
necessário, desde que esse procedimento seja realizado com luva e rosca, permitido no caso de fios,
cordoalhas e cabos individuais por dispositivos especiais de eficiência consagrada ou devidamente
comprovada por ensaios específicos.
Processo das Curvas Limites
Estado em Vazio
Em uma seção qualquer da peça, onde σbv,lim e σtv,lim são limites das tensões normais no concreto
(correspondentes a um determinado estado-limite estabelecido para o estado em vazio), tem-se a
distribuição de tensões mostrada na Figura 1:
Figura 5 - Segmento reto da armadura de protensão próxima a ancoragem
Fonte: Awa Comercial (2018, on-line).
VÍDEO
Olá, estudante! Para assistir a esse vídeo, acesse a versão web do seu material didático.
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Analisando as bordas, chegamos às seguintes equações:
Na borda inferior: onde 
Resultando em: Equação 1
Na borda superior: onde 
Resultando em: Equação 2
Logo, temos as limitações para as tensões provocadas pela protensão em uma seção qualquer
do elemento estrutural, em função de valores estabelecidos por normas e por tensões
provocadas pelo carregamento externo naquela seção.
Estado em Serviço
Semelhantes ao caso anterior, em uma seção qualquer da peça, onde σ1s,lim e σ2s,lim são limites
das tensões normais no concreto (correspondentes a um determinado estado-limite estabelecido
para o estado em serviço), tem-se a distribuição de tensões mostrada na Figura 2:
Figura 1 - Tensões no estado vazio
Fonte: Bastos (2018, p. 60).
σbP0 + σbg1 = σbv σbv ≥ σbv,lim
σbP0 ≥ σbv,lim − σbg1
σtP0 + σtg1 = σtv σtv ≤ σtv,lim
σtP0 ≤ σtv,lim − σtg1
Figura 2 - Tensões no estado em serviço
Fonte: Bastos (2018, p. 61).
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Analisando as bordas, chegamos às seguintes equações:
Na borda inferior: onde 
Resultando em: Equação 3
Na borda superior: onde 
Resultando em: Equação 4
Assim como mostrado para o estado vazio, as equações para o estado de serviço apresentam
limitações para as tensões provocadas pela protensão.
Curvas Limites para as Tensões Devidas à
Protensão
As equações 1, 2, 3 e 4 apresentadas definem curvas ao longo da viga, limitantes para as tensões
devido à protensão. Dessa forma, já seria possível traçar gráficos e verificar se, em alguma região,
os diagramas correspondentes às tensões devido à protensão não ultrapassam as respectivas
curvas limites.
Para determinar as tensões relativas, toma-se como referência uma viga biapoiada, sendo a seção
transversal mais solicitada a seção do meio do vão. Ao se dividirem membros pelas respectivas
tensões devido à protensão no meio do vão (σbp0,m e σtp0,m)  para a borda inferior ou superior em
vazio, e σbp∞,m e σtp∞,m  para a borda inferior ou superior em serviço), as equações são:
Curva limite para a borda inferior em vazio
Curva limite para a borda superior em vazio
Curva limite para a borda inferior em serviço
σbP∞ + σbg + σbq = σbs σbs ≤ σbs,lim
σbP∞ ≤ σbs,lim − σbg − σbq
σtP∞ + σtg + σtq = σts σts ≥ σts,lim
σtP∞ ≥ σts,lim − σtg − σtq
σbP0/σbP0,m ≥ (σbv,lim − σbg1)/σbP0,m    ⇒    Cbv      Equação 5
σtP0/σtP0,m ≥ (σtv,lim − σtg1)/σtP0,m    ⇒    Ctv      Equação 6
ATENÇÃO
É possível tornar mais prática a verificação gráfica, trabalhando-se com tensões relativas em
valores adimensionais e reunindo todas as verificações num só diagrama.
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Curva limite para a borda superior em serviço
Aplicação do Processo das Curvas Limites
Imagine uma viga biapoiada, protendida em pista de protensão, com armadura ativa constituída por
cabos retos (por exemplo, 6 cordoalhas com a mesma força em casa); ao se admitir que as tensões
normais na seção mais solicitada já foram verificadas, aplicamos o processo das curvas limites,
verificando a simetria entre a geometria e carregamento na viga.
Em primeiro lugar, desenhamos um gráfico de referência, tendo como abcissa a posição x ao longo
do eixo da viga; e a ordenada, as tensões relativas devido à protensão. Observe que a ordenada
máxima das tensões relativas é igual 1, ou seja, no meio do vão, as 6 cordoalhas produzem 100%
dos efeitos.
Essa ordenada igual a 1 pode ser dividida em partes iguais ao número de cabos (para essecaso, 6
cabos: cada 1/6 representa a contribuição de cada cabo nas tensões provocadas pela força de
protensão total). Com isso, desenham-se as curvas para os pontos de interesse, gerando-as, como
mostra a Figura 3.
σbP∞/σbP∞,m ≤ (σbs,lim − σbg − σbq)/σbP∞,m    ⇒    Cbs      Equação 7
σtP∞/σtP∞,m ≤ (σts,lim − σtg − σtq)/σtP∞,m    ⇒    Cts      Equação 8
Figura 3 - Exemplo de curvas limites em viga com seis cordoalhas
Fonte: Hanai (2005, p. 72).
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Processo do Fuso Limite
Assim como no caso do processo das curvas limites, para o processo dos fusos limites a avaliação
das tensões ao longo do vão no concreto é realizada, por meio de duas situações de ações extremas:
estado em vazio e estado em serviço.
Estado em Vazio
Considerando o estado vazio, ou seja, aquele em que atua a protensão plena, sem as subtrações em
decorrência das perdas, e o peso próprio da peça estrutural, temos uma situação mostrada na
Figura 4.
Caro(a) aluno(a), dependendo da magnitude da força de protensão e da excentricidade, o centro de
gravidade (posição da força de protensão, deslocada pela existência do esforço de momento fletor)
poderá atingir o valor limite da tensão na borda inferior ou aquele correspondente à borda
superior.
a)   Considerando a borda inferior como situação crítica, temos as equações apresentadas a seguir:
Figura 4 - Tensões no estado vazio, com o valor do momento fletor externo devido ao carregamento
permanente g1
Fonte: Bastos (2018, p. 63).
emg1 = Mg1/P0      Equação 9
σbv = P0/A + P0 (ep − emg1)/Wb
SAIBA MAIS
Analisando o diagrama montado, verifica-se que as tensões relativas devido à protensão não
poderiam ser mantidas constantes até o apoio, pois estariam interceptando as curvas limites
para o estado vazio (Ctv e Cbv). Isso significa que os valores limites para as tensões normais
no concreto seriam desrespeitadas nesse estado; portanto, as tensões devido à protensão
devem ser alteradas, de tal modo que sejam respeitadas as curvas limites.
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Realizando algumas simplificações de cálculo, chega-se à parcela , considerando
que a excentricidade limite é alcançada quando , conforme apresentado a seguir:
Resultando em 
Agora, realizam-se as modificações de cálculo indicadas a seguir
Em que a parcela é a excentricidade limite na região central da seção, na qual uma força normal
aplicada produz tensão nula na borda inferior, resultando na equação simplificada mostrada a
seguir:
A expressão apresentada busca estabelecer uma restrição ao valor da excentricidade da armadura
de protensão ou do cabo resultante, conforme mostra a Figura 5.
b)   Considerando a borda superior como situação crítica, temos as equações apresentadas a seguir:
ep − emg1 = abv
σbv = σbv,lim
P0/A + P0. av1/Wb = σbv,lim      Equação 10
(Po/A) + (P0/A). (A/Wb). a1v = σbv,lim
P0/A = σcg0      Equação 11
A/Wb =   − 1/ekb
ekb
abv = ekb. (1 − σbv,lim/σcg0)      Equação 12.
Figura 5 - Valor limite para o fuso no estado em vazio considerando a borda inferior como crítica
Fonte: Bastos (2018, p. 64).
emg1 = Mg1/P0      Equação 13
σtv = P0/A + P0 (ep − emg1)/Wt
ATENÇÃO
Para que o valor limite na borda inferior não seja ultrapassado, o centro de gravidade não
pode estar a uma distância do centro de gravidade da seção transversal maior que , ou
seja:
Fonte: Hanai (2005, p. 67).
a1v
ep − emg1 ≤ abv     ⇒    ep ≤ abv + emg1
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Realizando as mesmas modificações para a borda inferior, chega-se à seguinte equação
simplificada:
Encontrando os valores de e , consideramos o mais desfavorável para determinar o limite
para a armadura de protensão (no caso, cabo resultante para finalidade de cálculo).
Estado em Serviço
Considerando agora o estado em serviço, ou seja, aquele em que atua a força de protensão,
descontando-se as suas perdas, a carga permanente total e a sobrecarga variável adotada, temos a
situação mostrada na Figura 6.
a)   Considerando a borda inferior como situação crítica, temos as seguintes equações:
Considere as mesmas simplificações de cálculo para o estado em vazio, ou seja, a parcela
.  Observe também que a excentricidade limite é alcançada quando ${{\sigma
}_{bs}}={{\sigma }_{bs,lim}}$, resultando na equação a seguir:
b)   Considerando a borda superior como situação crítica, temos as seguintes equações:
Considerando as mesmas modificações realizadas nos casos anteriores, chegamos à seguinte
equação simplificada:
Traçado do Fuso Limite
Caro(a) aluno(a), imagine uma viga com simetria geométrica e de carregamento, considerando
apenas a sua metade para realizar a análise do traçado do fuso limite. Com os valores dos esforços
em diferentes posições da seção transversal ao longo do vão do concreto e aplicando as equações
apresentadas anteriormente, podemos desenhar o diagrama correspondente ao fuso limite, como
na Figura 7.
atv = ekt. (1 − σtv,lim/σcg0)      Equação 14
abv atv
Figura 6 - Tensões no estado em serviço, com o valor do momento fletor externo devido à carga
permanente total e a sobrecarga variável
Fonte: Bastos (2018, p. 64).
σbs = P∞/A + P∞ (ep − emg+q)/Wb      Equação 15
ep − emg+q = abs
abs = ekb. (1 − σbs,lim/σcg∞)      Equação 16
σts = P∞/A + P∞ (ep − emg+q)/Wt      Equação 17
ats = ekb. (1 − σts,lim/σcg∞)      Equação 18
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Analisando o diagrama anterior, observamos que, devido à excentricidade da armadura de
protensão não poder ser mantida constante ao longo do vão até o seu apoio, é necessário que se
varie a excentricidade dos cabos, assim como mostra a Figura 8, exemplificando os esquemas de
distribuição para o caso de pós e pré-tração.
Figura 8 - Exemplos de aplicação do fuso limite para cabos pós e pré-tensionados, respectivamente
Fonte: Bastos (2018, p. 66).
Figura 7 - Região do fuso limite
Fonte: Bastos (2018, p. 66).
ATENÇÃO
Concluímos que o processo do fuso limite é bastante prático e atende bem a casos em que a
armadura de protensão é ancorada nos topos da peça e nos quais a força de protensão é
aproximadamente constante ao longo do vão.
Essa situação ocorre quando a inclinação do cabo equivalente é relativamente pequena e as
perdas de protensão por atrito não inviabilizam a consideração de um valor único ao longo do
vão. Essa simplificação é aceitável, sendo utilizada inclusive em projetos de estruturas
hiperestáticas.
Fonte: Hanai (2005, p. 79)
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Orientações para Execução do Concreto
Protendido
Segundo Schmid (2005, p. 56).
O sucesso da tecnologia do concreto protendido e a obtenção de todas as vantagens
técnicas que ela possibilita estão diretamente relacionados com a qualidade da execução
do processo da protensão de uma estrutura, como um todo. A grande responsabilidade que
a protensão pode ter na estabilidade da estrutura requer que ela seja executada com
cuidados especiais e acompanhamento por pessoal especializado e experiente.
Caro(a) aluno(a), após todos os conceitos observados sobre o concreto protendido, a maioria
referente ao seu dimensionamento e à verificação de segurança estrutural, é importante
conhecermos as orientações básicas para a execução de estruturas protendidas, já que esse passo é
determinante para a qualidade final da protensão. A seguir, serão expostas algumas recomendações
especiaispara a sua realização, a fim de verificarmos os itens mais importantes a serem
considerados.
Estocagem dos Materiais e Equipamentos de
Protensão
Recomenda-se que o material seja estocado em um local que facilite a sua amostragem e a sua
movimentação dentro do canteiro de obras, observando-se os seguintes cuidados mínimos:
Identificar o material, visando evitar possíveis trocas involuntárias.
Estocar o aço de protensão na embalagem original do fornecedor em local seco e com uma
distância de 30 cm acima do solo.
Proteger o aço de protensão contra as intempéries.
Evitar que as cordoalhas engraxadas fiquem expostas ao sol, para não danificar a sua capa
plástica.
Impedir que se utilize óleo solúvel em água, para proteger o aço de protensão contra corrosão.
Tomar cuidado no uso do maçarico nas proximidades do aço, caso haja execução de solda, a fim
de protegê-lo do aumento da temperatura ou de fagulhas.
Proteger os equipamentos utilizados para protensão, dando acesso somente àqueles que
saibam manuseá-los, para evitar danos.
Figura 9 - Bobinas de aço de protensão em um canteiro de obras
Fonte: Schmid (2005, p. 57).
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Confecção dos Cabos
Confecção dos cabos
Inspecionar todos os cabos de protensão antes do seu uso, pois deve estar limpo, isento de óleo
e resíduos.
Verificar a existência de oxidação no aço e a sua gravidade; caso seja superficial, recomenda-se
retirá-la, esfregando alguma esponja plástica abrasiva; se for mais severa, não se recomenda o
seu uso.
Submeter a ensaios mecânicos, em casos de dúvidas de sua qualidade, por exemplo devido a um
tempo prolongado de armazenamento, a fim de comprovar as suas propriedades.
Evitar que os cabos ou cordoalhas sejam arrastados no solo ou em superfícies abrasivas.
Atentar-se no corte do aço, conforme especificações de projeto, especialmente se a medida
indicada considerar os comprimentos para fixação dos equipamentos de protensão.
Impedir o uso de fios dobrados ou torcidos durante aplicação da protensão na armadura.
Efetuar o corte das cordoalhas por meio de disco rotativo ou tesoura: nunca por maçarico, pois
pode alterar as propriedades físicas do aço.
Atentar-se para que as extremidades dos cabos, na região de ancoragem, estejam limpas e
isentas de possíveis respingos de nata de cimento, oxidação ou concreto, visando o ajuste
perfeito entre cabo e o macaco de protensão.
Realizar possíveis emendas entre as bainhas por meio de luvas externas, com o mesmo material
da bainha e com um diâmetro ligeiramente superior, visando uma vedação perfeita.
Colocação dos Cabos
Na fase de colocação dos cabos de protensão nas formas, devem ser observados os seguintes
pontos:
Colocar as bainhas nas formas, de acordo com o projeto, obedecendo as tolerâncias admitidas
em relação às linhas teóricas de projeto.
Inserir os cabos na bainha em ordem definida pela empresa que executa a protensão.
Fixar as bainhas nas formas por meio de travessas, caranguejos, estribos ou pastilhas.
Utilizar espaçamentos das bainhas que suportem a concretagem da peça estrutural, visando
impedir o seu deslocamento.
Fixar as ancoragens para que não haja deslocamentos durante as próximas etapas do
procedimento.
Coincidir o eixo dos cabos de protensão rigorosamente com o eixo das suas ancoragens e em
posição normal às faces destas.
Manter retilíneos os primeiros 50 cm do cabo de protensão a partir da ancoragem.
Evitar a entrada de nata de cimento nos cabos vedações, nas ancoragens e nas emendas de
bainhas.
Evitar que pessoas caminhem sobre os cabos de protensão já instalados.
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Verificações Realizadas Antes da Concretagem
Antes da concretagem, devem ser conferidos os seguintes itens:
Inspecionar todas as bainhas para que se evite possíveis defeitos: desalinhamentos, mossas,
problemas de rigidez ou de vedação.
Verificar os ângulos de saída e as dimensões de projeto, para que as bainhas estejam sempre
ortogonais às placas funil.
Verificar a estanqueidade das junções entre purgadores, bainhas e cones de ancoragem.
Verificar possíveis danos às bainhas, a fim de corrigi-los.
Conferir se foram colocados todos os cabos nas bainhas e nas suas respectivas localizações,
conforme projeto.
Verificar se existe espaço suficiente para colocação e operação dos equipamentos utilizados na
aplicação da protensão.
Cuidados Durante e Após Concretagem
Verificar a trabalhabilidade do concreto, atentando-se para que o diâmetro máximo do
agregado seja compatível com o espaçamento das bainhas, com a ancoragem e com a armadura
passiva.
Possuir apoio para os tubos das bombas de concreto, evitando que encostem nos cabos.
Instruir os trabalhadores das concretagens em relação às posições que devem ser introduzidos
os vibradores, para que não danifiquem as bainhas e os purgadores.
Evitar, durante a concretagem, que equipamentos ou pessoas danifiquem bainhas, ancoragens,
purgadores ou que os desloquem das suas posições.
Não lançar concreto de grandes alturas: recomenda-se uma altura não superior a 2 m.
Verificações Antes da Operação de Protensão
Preparar os dispositivos para colocação e operação dos equipamentos de protensão.
Evitar a circulação de pessoas nos locais onde será realizada a protensão, delimitando a área, a
fim de proporcionar segurança.
Verificar se as extremidades dos cabos e as placas funil estão limpas, sem qualquer
irregularidade e com as suas respectivas inclinações.
Figura 10 - Pré-montagem dos cabos aderentes e engraxados, respectivamente
Fonte: Schmid (2005, p. 58-59).
Figura 11 - Laje protendida com colocação dos cabos
Fonte: Schmid (2005, p. 59).
Figura 12 - Detalhe do purgador e da armadura de fretagem na ancoragem
Fonte: Schmid (2005, p. 60).
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Verificar se todos os blocos de ancoragem estão nas suas cunhas.
Reparar falhas de concretagem na estrutura.
Aferir os manômetros dos equipamentos de protensão.
Verificar as pressões atingidas para a execução da força de protensão.
Numerar os cabos das ancoragens das armaduras ativas e passivas.
Verificar no projeto as seguintes informações: força de protensão, alongamento de cada cabo,
resistência do concreto na idade da realização da protensão, sequência da protensão dos
cabos.
Operação da Protensão
Iniciar a operação de protensão apenas quando o concreto atingir resistência suficiente àquela
indicada em projeto, para que possa resistir às tensões nas regiões de ancoragem.
Realizar a protensão obedecendo às fases e à sequência, definidas em projeto.
Posicionar inicialmente o macaco sem carga na cordoalha.
Verificar o perfeito ajuste entre macaco e superfície de ancoragem, antes de ser aplicada
qualquer carga.
Atentar para que o aumento de pressão seja realizado simultaneamente ao desacunhamento,
no caso de ancoragem viva-viva, ou seja, quando as duas extremidades estiverem tensionadas.
Controlar a força de protensão nos cabos, para que não se aplique força além da especificada
em projeto.
Anotar a pressão manométrica e o alongamento dos cabos: quando tensionados nas duas
extremidades, o alongamento é calculado somando-se o valor dos dois lados.
Verificação dos Resultados da Protensão
Após a realização da protensão, deve-se atentar para os seguintes itens:
Comparar o alongamento total obtido com o alongamento teórico esperado, aceitando-se
valores com mais ou menos 10% de diferença com o inicialmente estipulado. Situações que
extrapolam esse limite devem ser comunicadas ao responsável para a tomada de decisões antes
da liberação do cabo.
Verificar, após a cravação, possíveis deslizamentos dos fios, para comunicar imediatamente ao
projetistaa fim de que tome as devidas medidas.
Cortar as pontas das cordoalhas junto ao bloco, após aprovada a operação de protensão,
deixando em média 3 cm para fora da cunha.
Quebrar a superfície do concreto, limpar os blocos, colocar a forma juntamente com os
purgadores e vedar todas as aberturas das peças de ancoragem, após o corte das cordoalhas.
Figura 13 - Equipamento de aplicação da protensão
Fonte: Schmid (2005, p. 61).
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Injeção de Calda de Cimento (nos casos de
protensão aderente)
Nos casos de protensão aderente, a injeção da calda de cimento é fundamental para o perfeito
funcionamento da protensão instalada. O objetivo é conferir aderência entre armadura e concreto,
e garantir a proteção contra a corrosão.
Os principais cuidados recomendados nesse procedimento são verificar:
Temperatura ambiente.
Lavagem dos cabos de protensão.
Homogeneidade e fluidez da nata.
Fechamento e corte dos purgadores.
Figura 14 - Pintura das cordoalhas para medição dos alongamentos
Fonte: Schmid (2005, p. 61).
Figura 15 - Operação de injeção de nata de cimento
Fonte: Schmid (2005, p. 62).
ATENÇÃO
Obedecendo as normas técnicas sobre assunto, recomenda-se que a operação da injeção seja
realizada em, no máximo, 15 dias após a protensão.
Fonte: Schmid (2005, p. 62).
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Fechamento
Ao final desta aula aluno (a), é importante que você entenda que o processo das curvas limites visa
criar uma região segura para os traçados dos cabos de protensão por meio das tensões
desenvolvidas no concreto, sempre visando a segurança estrutural do elemento como um todo.
É importante também que tenha verificado as principais recomendações sobre a geometria dos
cabos e que, em termos práticos, na maioria dos casos, o traçado dos cabos acompanha o diagrama
de momento fletor, tomando-se cuidado em regiões de apoio e de mudança na curvatura dos cabos.
Contudo, cada projeto tem suas peculiaridades, portanto é essencial buscar a melhor solução para
cada caso.
Avaliaram-se as principais recomendações da NBR 6118 (ABNT, 2014) sobre o traçado dos cabos,
lembrando que todo Engenheiro Civil deve seguir rigorosamente as especificações da norma,
visando a segurança do objeto que se projeta.
Você deve entender a consideração das tensões no concreto ao longo do vão e as suas implicações
no processo da determinação das regiões seguras para os traçados dos cabos de protensão.
Hoje em dia, com o desenvolvimento computacional na análise de estruturas, essas ações podem
ser realizadas por meio do cálculo das tensões para diversas seções no concreto. Porém, é
importante conhecermos os métodos gráficos que auxiliam o dia-a-dia do engenheiro com
mecanismo simples de cálculo e com respostas satisfatórias.
SAIBA MAIS
Os procedimentos para execução de estruturas protendidas descritas no tópico anterior
foram extraídas do catálogo da Rudloff, empresa tradicional do ramo de protensão.
Recomenda-se que você, aluno (a), procure recomendações de outras empresas, a fim de
verificar se existem diferenças significativas no procedimento e possíveis peculiaridades do
sistema. O engenheiro civil deve estar sempre em busca de informações confiáveis, que
auxiliem as etapas construtivas, visando sempre atingir qualidade máxima do serviço.
19/08/25, 15:36 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG628/impressao/1 141/146
Vimos também o processo construtivo das estruturas protendidas, elencando os principais passos e
os cuidados que devem ser tomados em cada etapa. De nada vale um excelente projeto com uma
má execução, e vice-versa; portanto, o acompanhamento da operação de protensão é primordial
para a sua qualidade e para que o bom desempenho da sua função ao longo da vida útil da estrutura.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
conhecer os processos das curvas limites e limitar uma região segura para a trajetória dos
cabos;
conhecer os principais traçados dos cabos em função do diagrama de momento fletor;
conhecer as principais especificações da NBR 6118 acerca do tema.
compreender os processos de cálculo dos traçados dos cabos em elementos protendidos;
conhecer as etapas construtivas de estruturas protendidas.
Caro(a) aluno(a), no decorrer desta unidade, vimos as principais recomendações e o
equacionamento de regiões dentro dos elementos estruturais seguros para instalação dos cabos
de protensão. Essas verificações são realizadas, a fim de se obter um aproveitamento máximo da
protensão aplicada, resultando em peças mais resistentes.
No entanto, imagina-se que o traçado dos cabos (por estar diretamente envolvido com o
diagrama de momento fletor) pode alterar apenas os esforços normais da peça, esquecendo-se
dos esforços cortantes, o que na prática não se verifica.
A adoção de um tipo de traçado influencia diretamente na resistência ao cisalhamento da peça.
Com o objetivo de demonstrar em termos quantitativos essa informação, recomenda-se a
leitura do artigo a seguir, no qual os autores realizaram experimentalmente essa análise,
avaliando os cabos de protensão em trecho reto e trecho inclinado.
Clique aqui.
Com o fim da leitura:
Qual a diferença em termos de esforços da adoção de um trecho reto ou trecho inclinado?
Em termos quantitativos, qual dos traçados resulta em melhores resultados para o esforço
cortante em vigas protendidas?
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
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https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG628/nova_novo/documents/677-1-5267-3-10-20160923.pdf
Para demonstrar o processo construtivo na prática, assim como apresentado ao fim da aula 2,
acesse a animação a seguir, a qual mostra passo a passo as etapas de execução de uma laje
protendida.
Atente-se que, nesse caso, se trata de uma laje com cordoalha engraxada, portanto cuidados
com a bainha, por exemplo, não são necessários. Porém, o processo demonstrado é bastante
similar e é possível verificar a operação como um todo.
Clique aqui.
NA PRÁTICA
Caro (a) aluno (a), é importante que você consiga, ao final desta unidade, relacionar alguns
pontos, em termos práticos, do conteúdo estudado.
Vimos que o traçado geométrico dos cabos de protensão está ligado diretamente com a sua
executabilidade; contudo, o que isso significa? Significa que a adoção de traçados com curvas
mais suaves, respeitando as zonas seguras determinadas por processos gráficos, ou
computacionais, mais à frente, resulta em facilidade de execução no canteiro de obra, a fim de
obter uma estrutura com melhor qualidade e de desenvolver plenamente a sua função.
ESTUDO DE CASO
19/08/25, 15:36 IESB
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https://www.youtube.com/watch?v=lviEUV4v5TM
Unidade 01
Amplie seu conhecimento
Referências
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http://awacomercial.com.br/blog/como-e-feita-a-manutenc%CC%A7a%CC%83o-do-concreto-protendido/
http://www.dcc.ufpr.br/mediawiki/images/1/16/Catalogo_concreto_protendido-_Rudloff.pdf
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http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/Protendido/Orientacoes%20Executar%20CP.pdf
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/Protendido/Orientacoes%20Executar%20CP.pdftolerada dentro de limites previstos em normas, estas acabam
representando uma desvantagem ao concreto, pois acabam acarretando na redução da inércia da
peça e possibilidade de manifestações patológicas.
Ao saber que na maioria das estruturas de concreto e na distribuição de tensões atuantes sempre
existe uma região com esforços de compressão e outra com esforços de tração, como o
comportamento dessas estruturas pode ser melhorado?
É nesse questionamento que se introduz o conceito de protensão aplicada ao concreto, pois, dessa
forma, surgiu a ideia de se introduzir, previamente e de forma permanente, tensões de compressão
nas regiões do elemento estrutural que estariam sob tração, ou seja, tenta-se combater os esforços
de tração gerados pelo carregamento externo com tensões de compressão aplicadas pela
protensão.
A Figura 3 mostra uma viga de concreto armado convencional, sujeita a uma solicitação de flexão
simples. A parte superior da seção de concreto é comprimida e a inferior é tracionada, admitindo-se
fissurada para efeito de análise. Os efeitos de tração são resistidos pelas armaduras de aço
(armadura passiva).
A Figura 4 mostra a configuração de uma viga de concreto com a presença dos cabos de protensão
ancorados nas suas extremidades. A carga P representada é o esforço transmitido ao concreto
devido à protensão, chamado de esforço de protensão.
Figura 3 - Viga de concreto armado convencional
Fonte: Adaptada de Pfeil (1984, p. 2).
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Figura 4 - Representação da protensão em uma viga de concreto
Fonte: Hanai (2005, p. 5).
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As imagens a seguir mostram a distribuição de tensões em uma viga bi-apoiada protendida.
Carregamento da viga: o carregamento vem da análise das cargas que irão atuar
na viga, por exemplo, seu peso próprio, reações da laje etc.
Viga: elemento estrutural sendo solicitado pelas cargas.
Realização: da soma das tensões de flexão e da protensão resultando em tensões
de compressão na viga.
SAIBA MAIS
Carregamento da viga
Viga
Aplicação da carga de protensão P no aço.
Realização
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Nota-se que a adição da força de protensão (P) causa na viga uma tensão de compressão nas fibras
inferiores a linha neutra e de tração nas fibras superiores. Já na ação do momento fletor (M), causa-
se a flexão na viga, que gera tensões de compressão nas fibras superiores e de tração nas inferiores.
Ao somar esses dois esforços atuantes, temos apenas esforços de compressão atuando na viga. É
importante lembrar que, nesse caso, trata-se de uma protensão completa, ou seja, sem esforços de
tração. Porém, podem existir casos que diante da atuação de um momento fletor positivo resulte
nas fibras inferiores tensões de tração ou também de compressão.
Concluímos, então, que, quando se projeta uma peça em concreto protendido, procura-se fazê-lo
de maneira que em todas regiões e nas diversas combinações de ação as tensões sejam somente de
compressão ou de pequenos valores de tração. Carvalho (2013, p. 2), em seu livro sobre
dimensionamento de estruturas protendidas, brinca plagiando uma oração de São Francisco, ao
afirmar o seguinte:
o projetista quando detalha estruturas submetidas à flexão deve levar em conta para o
concreto armado: Onde houver tração que eu leve armadura; e no caso do concreto
protendido: Onde houver tração que eu leve a compressão.
Tensão de protensão: a adição da carga de protensão comprime o concreto,
resultando, assim, em tração nas fibras superiores e compressão nas fibras
inferiores.
Realizando a soma das tensões de flexão e da protensão resultando em tensões de compressão
na viga.
Tensão de protensão
Tensão de protensão
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Diferenças Tecnológicas entre Concreto
Armado e Concreto Protendido
Como mencionado anteriormente, por muito tempo o concreto armado e concreto protendido
foram tratados como materiais distintos. Nesse contexto, surge o questionamento: se os dois
materiais são tão parecidos e possuem características mecânicas semelhantes, por que tratar em
separado?
A principal e única diferença entre os dois materiais está na existência da força de compressão que
é aplicada no concreto protendido. Essa armadura dita ativa acaba requerendo alguns processos
especiais na fase de execução e projeto, diferenciando-se, assim, do concreto armado tradicional.
Dessa forma, podemos definir que a principal diferença entre os dois está na sua forma tecnológica,
ou seja, a adição ou não de conhecimentos mais específicos e adicionais para a sua execução.
Porém, sempre atentando-se ao fato de que os dois são os mesmos materiais.
Ao tomar esse conceito como referência, quais são as possíveis vantagens do concreto protendido
frente ao concreto armado?
A estrutura que conta com o concreto protendido na sua execução é mais rígida e é provocada
pela adição do estado prévio de tensão, diminuindo a fissuração da peça e usufruindo de todas
as vantagens devido a isso.
Caro(a) aluno(a), você sabia que até o ano de 2003 as normas de concreto armado e concreto
protendido eram distintas? Antes desse ano, a norma para concreto armado era a conhecida
NBR 6118 e, para concreto protendido, tinha-se a NBR 7197. Hoje, as estruturas de concreto
armado e de concreto protendido já são consideradas como sendo do mesmo tipo, ou seja, são
normalizadas por uma mesma norma que usa especificações diferentes quando for o caso.
Assim, a NBR 6118:2003, homologada em abril de 2004, já trata do “Projeto de estruturas de
concreto”, englobando o concreto simples (sem armadura), o armado (apenas com armadura
passiva) e o protendido (em que pelo menos parte da armadura é ativa).
Fonte: O autor.
SAIBA MAIS
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O concreto protendido possui menor deterioração da peça, protegendo, assim, a armadura de
agentes externos, como a corrosão.
Como usualmente o concreto desenvolvido para a protensão possui uma maior resistência
mecânica, pode-se projetar estruturas mais esbeltas, diminuindo seu peso próprio e
propiciando, assim, projetar grandes vãos (principalmente em pontes e viadutos).
A estrutura devido à aplicação da força de protensão possui a capacidade de se recompor
frente à formação de fissuras que possam ocorrer de forma inesperada.
Pelo fato de a maioria das estruturas protendidas serem pré-moldadas, ou seja, são fabricadas
em empresas especializadas, isso reduz a geração de resíduos e torna o canteiro de obras mais
limpo e organizado.
Para a execução das lajes, permite-se a diminuição da sua espessura, acarretando, assim, em
diminuição da altura total do edifício, bem como o seu peso próprio, de modo a aliviar as cargas
nas fundações.
O Quadro 1 mostra algumas obras nacionais que utilizaram a técnica de concreto protendido e
algumas de suas especificações técnicas.
Ao entender o concreto protendido como um avanço tecnológico em relação ao concreto
convencional, pode ficar a ideia de que o concreto protendido seria sempre a melhor opção do
que o concreto armado. Entretanto, devemos considerar dois aspectos importantes:
Em primeiro lugar, nem sempre existe a disponibilidade tecnológica (conhecimento,
recursos humanos e materiais) para se projetar e executar obras de concreto protendido;
Em segundo lugar, nem todas as situações o uso de protensão se manifesta tão favorável em
estruturas. Cita-se, por exemplo, a execução de fundações e de pilaressujeitos a compressão
com pequenas excentricidades.
Fonte: Hanai (2005, p. 19).
ATENÇÃO
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Quadro 1.2 - Obras em concreto protendido pelo Brasil
Todas as imagens mostradas estão disponíveis no seguinte link: .
Tipos de Protensão (Completa, Parcial e
Limitada)
Protensão completa: nesse tipo de protensão, temos que a estrutura não é solicitada por esforços e
tração, não permitindo, assim, a formação de fissuras. É muito utilizada em obras especiais, como
reservatórios, pisos e pontes.
Quadro 1.1 - Obras em concreto protendido pelo Brasil
Todas as imagens mostradas estão disponíveis no seguinte link: .
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https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG628/impressao/1 16/146
https://webflow.com/design/eadg496-estruturas-de-concreto-armado-3#
https://webflow.com/design/eadg496-estruturas-de-concreto-armado-3#
https://webflow.com/design/eadg496-estruturas-de-concreto-armado-3#
https://webflow.com/design/eadg496-estruturas-de-concreto-armado-3#
Protensão parcial:  nesse caso, a estrutura é programada para trabalhar parcialmente com esforços
de tração, no qual o sistema de protensão dê a função de equilibrar as cargas provenientes do seu
uso e são permitidas algumas fissuras.
Protensão limitada: nesse caso, há um predomínio das armaduras ativas em que não se é permitida
a formação de fissuras no estado limite de serviço (ELS).
Um pouco mais sobre o assunto será discutido no vídeo a seguir:
Os materiais utilizados para a produção do concreto protendido são praticamente os mesmos
utilizados para o concreto armado. Obviamente, a sua principal matéria-prima é o concreto
juntamente com os aços de alta resistência. Temos, ainda, o emprego das bainhas, injeção de calda
de cimento e ancoragem para os sistemas de protensão.
VÍDEO
Olá, estudante! Para assistir a esse vídeo, acesse a versão web do seu material didático.
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Concreto
O concreto é obtido através da mistura adequada de cimento, agregado fino (areia), agregado
graúdo (pedra brita) e água. Em algumas situações, são incorporados produtos químicos ou outras
adições, como microssílica, casca de arroz ou outros. A adição de produtos químicos ou outros
materiais têm a finalidade de melhorar alguma propriedade, tais como: trabalhabilidade, retardar a
velocidade das reações químicas ou aumentar a resistência.
O emprego da protensão no concreto requer, no geral, utilização de técnicas mais sofisticadas do
que em relação ao concreto armado tradicional. O controle de qualidade deve ser mais eficiente e o
uso de concretos com uma melhor qualidade são imprescindíveis.
Um exemplo que pode ser citado é a resistência característica à compressão de concretos que são
empregados em concreto protendido. Normalmente, situam-se na faixa entre 30 a 40 MPa,
podendo até, em alguns casos, superar os 50 MPa (concreto de alta resistência), enquanto no
concreto armado tradicional, a resistência varia de 20 a 30 MPa.
Os motivos que levam o concreto a ser mais resistente são os seguintes:
quando se introduz a força de protensão, esta pode causar solicitações muito elevadas. Esse
valor frequentemente é superior aos valores observados para a situação de serviço;
o uso, tanto do aço como do concreto, de alta resistência contribuí para que as peças
estruturais possuam dimensões menores que consequentemente diminuem o seu peso próprio,
facilitando, assim, o manuseio, já que a maioria dessas peças são pré-moldadas;
sabe-se que o módulo de elasticidade é proporcional à resistência do concreto, ou seja, para
concreto de alta resistência, o módulo de elasticidade é mais elevado, diminuindo, assim, as
deformações imediatas, bem como as deformações progressivas, que ocorrem com o passar do
tempo, entre elas a retração e a fluência.
ATENÇÃO
Em um primeiro momento, podemos pensar que, no concreto protendido, não se adiciona a
armadura passiva. No entanto, na maioria dos casos, a armadura passiva é colocada com os
aços CA-25, 50 ou 60.
Fonte: Elaborada pelo autor.
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A seguir, a Figura 1 mostra a concretagem de uma laje. Pode-se notar a armadura passiva disposta
juntamente com a armadura ativa (com cordoalha engraxada) revestida pelas bainhas plásticas na
cor azul.
Além das características citadas, é importante que o concreto tenha boas características de
compacidade e baixa permeabilidade, para que, assim, tenha uma proteção eficiente da armadura
contra a corrosão. Especialmente no caso do aço da armadura ativa, solicitado por tensões
elevadas, torna-se mais susceptível à corrosão, sobretudo a conhecida "corrosão sob tensão".
É primordial que o concreto possua as melhores características no que se refere às propriedades
mecânicas. Quanto ao que se refere à durabilidade das construções, há o rigor compatível com os
elevados requisitos de desempenho normalmente impostos às estruturas de concreto protendido.
Figura 1 - Concretagem de laje em concreto protendido
Fonte: Bastos (2018, p.17).
SAIBA MAIS
A aplicação do cimento CP V ARI é muito comum, porque possibilita a aplicação da força de
protensão em um tempo menor. Especialmente nas peças de concreto protendido, a cura do
concreto deve ser cuidadosa, a fim de possibilitar a sua melhor qualidade possível. A cura
térmica a vapor é frequente na fabricação das peças pré-fabricadas, para a produção de
maior quantidade de peças.
Exemplo: com cimento ARI e cura a vapor, consegue-se, em 12 h, cerca de 70 % da resistência
à compressão aos 28 dias de cura normal.
Fonte: Bastos (2018, p.18).
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Conforme recomenda a NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 18), no item 7.4.1,  “a durabilidade das
estruturas é altamente dependente das características do concreto e da espessura e qualidade do
concreto de cobrimento da armadura”.
Para que o concreto atenda aos elevados critérios impostos às estruturas de concreto protendido, é
necessário possuir os requisitos essenciais para a execução dos critérios de projeto. Dentre esses
requisitos, é possível destacar:
os tipos mais adequados de cimento (Portland, ARI, AF, Pozolânico etc);
as recomendações da tecnologia de produção de concreto;
aplicar adequadamente agregado quanto à origem mineralógica e granulométrica;
observar as proporções adequadas de água, cimento, agregados e aditivos (traço);
executar a cura adequada do concreto;
somente empregar aditivos que não venham a prejudicar a integridade das armaduras (GOMES
JÚNIOR, 2009).
Aluno(a), assim como em qualquer outro caso de produção de concreto, a cura deve ser cuidadosa,
para permitir, assim, que o concreto atinja o máximo de suas qualidades. Em particular, observa-se
que o uso da cura térmica é frequente nas instalações de produção em série de elementos pré-
fabricados, para manter um ritmo de produção diária de lotes, reutilizando as fôrmas e demais
equipamentos a cada ciclo de 24h.
No exterior, existem fábricas que utilizam sistemas de aquecimento por meio de circuitos
hidráulicos de água quente. A cura térmica à pressão atmosférica consegue obter altas resistências
em poucas horas de cura, pelo fato de se acelerar, pela elevação da temperatura, o processo e
maturação do concreto.
Para o projeto de estruturas de concreto protendido, os seguintes dados são de particular
interesse:
resistência característicaà compressão e à tração direta na data de aplicação da protensão (fckj
e fctkj);
resistência característica à compressão e à tração aos 28 dias (fck28 e fctk28);
módulo de elasticidade do concreto na idade t0, em que se aplique uma ação permanente,
como é o caso da protensão (Eci(t0));
módulo de elasticidade do concreto aos 28 dias (Eci28);
relação água cimento (a/c) da massa de concreto empregada na sua dosagem.
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Aço para Armadura Ativa
Quando se iniciou o uso do concreto protendido, no começo do século passado, constatou-se que,
depois de decorrido um certo tempo, os esforços de compressão introduzidos pela protensão
deixavam de existir, em grande parte ou totalmente devido às perdas que ocorriam, principalmente,
ao longo do tempo. Ficou então claro, por volta dos anos 40, que, para poder aplicar a protensão e
ter efetivamente tensões de compressão no concreto, mesmo decorrido um grande período de
tempo, seria necessário utilizar aços de grande resistência, mesmo que, para isso, fosse preciso
ultrapassar o valor do alongamento específico de 1%, limite para se manter a aderência entre o aço
e o concreto no sistema de concreto armado. Assim, os aços de protensão possuem valores de
escoamento bem mais altos que os usados no concreto armado (CARVALHO, 2013).
Aluno(a), o aço utilizado na protensão em estruturas de concreto se caracteriza, principalmente,
pela elevada resistência e pela ausência de patamar de escoamento. O aço para armadura ativa, no
geral, é mais econômico que o aço da armadura passiva, pois a sua resistência pode chegar a até
três vezes o valor da armadura passiva.
Imagine que, ao utilizar esse tipo de aço, evita-se, também, outro problema apresentado pelo
concreto armado: as emendas de barras presentes em grandes vãos. Esse empecilho é contornado
pelo fato do aço de alta resistência ser fornecido em grandes comprimento, basicamente na forma
de fios e cordoalhas.
Geralmente, os aços para protensão podem ser fornecidos em barras, fios, cordões e cordoalhas. A
classificação de cada um pode ser dada como:
ATENÇÃO
Pode-se imaginar erroneamente o uso do aço de alta resistência para o concreto armado.
Mas por que isso não é possível? É antieconômico, pois não explora suas potencialidades em
virtude das deformações pelo fato de ocorrer alongamentos excessivos por parte da
armadura que acarretam na abertura de grandes fissuras. Esse é um problema no qual as
peças protendidas não sofrem devido ao alongamento prévio em que a armadura é
submetida.
Fonte: O autor.
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Barras: elementos fornecidos em segmentos retos com comprimento normalmente
compreendido entre 10 e 12 m;
Fios: elementos de diâmetro nominal não maior que 12 mm cujo processo de fabricação
permita o fornecimento em rolo, com grande comprimento (Figura 2a);
Cordões: os grupamentos de 2 ou 3 fios enrolados em hélice com passo constante e com eixo
longitudinal comum (Figura 2b e 2c);
Cordoalhas: grupamento de pelo menos 6 fios enrolados em uma ou mais camadas, em torno de
um fio cujo eixo coincida com o eixo longitudinal do conjunto (Figura 2d).
Os aços utilizados para a protensão se diferenciam também pela modalidade de tratamento,
englobando as seguintes classes:
Relaxação normal (RN): conhecidos também por aços aliviados, caracterizados pela retificação
do aço por meio de tratamento térmico, que visa aliviar as tensões de trefilação;
Relaxação baixa (RB): conhecidos como aços estabilizados, recebem um tratamento
termomecânico que melhora as características elásticas e reduz a perda por relaxação.
Aluno(a), é importante conhecermos a designação adotada comercialmente para os aços de
protensão. Temos que o aço, para esse fim, é designado pelas letras CP, de concreto protendido, em
alusão ao CA utilizado para o concreto armado, seguido da categoria do aço, o valor da sua
resistência característica à tração em kgf/mm², das classes RN ou RB e o diâmetro do fio, barra ou
cordoalha. Para a designação de fios, ainda temos a indicação da conformação superficial L ou E (lisa
ou entalhada). Dessa forma, a armadura de protensão é designada, conforme é apresentado nas
Figuras 3 e 4.
Designação para fios:
Figura 2 - a) Fio isolado. b) Cordão com 2 fios. c) Cordão com 3 fios. d) Cordoalha
Fonte: Carvalho (2013, p. 13).
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Designação para cordoalhas:
Figura 3 - Designação dos fios para protensão
Fonte: Carneiro (2007, p.18).
Figura 4 - Designação das cordoalhas para protensão
Fonte: Carneiro (2007, p.18).
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Tipos de Aço para Armadura Ativa
Fios e Cordoalhas
Como visto na definição anteriormente, os fios trefilados de aço carbono e as cordoalhas são um
conjunto de fios enrolados em forma de hélice. Temos que o módulo de elasticidade do fio isolado é
pouco superior em comparativo ao da cordoalha. Tal fato é notado durante o carregamento, pois os
fios que constituem a cordoalha se acomodam e, de certa forma, acabam mascarando a sua
deformação. Em número, temos que o módulo para os fios é de 205 GPa, enquanto para as
cordoalhas é de 195 GPa.
A seguir, a Figura 5 mostra o acondicionamento das cordoalhas em rolos e bobinas. Pode-se notar a
diferença em relação ao aço utilizado para armadura passiva, em que este é comercializado em
forma de barras com comprimentos padronizados.
Imagine que você se depara com um aço com a seguinte especificação: CP 150 RB 8 L. O que isso
quer dizer?
Nesse caso, temos um aço para protensão com resistência à tração de 150 kgf/mm² (1500 MPa),
com relaxação baixa com 8 milímetros de diâmetro na forma lisa.
Outro exemplo: CP 190 RB 3 x 3,5
Aço para concreto protendido com resistência à tração de 190 kgf/mm² (1900 MPa) de
relaxação baixa, com cordoalha composta por três fios de 3,5 mm cada um de diâmetro.
Fonte: Elaborado pelo autor.
NA PRÁTICA
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Cordoalhas Engraxadas
As cordoalhas engraxadas são aquelas em que recebem um banho de graxa mineral e são revestidas
por extrusão com polietileno de alta densidade. Sendo assim, uma cordoalha engraxada pode
constituir um cabo de protensão monocordoalha, utilizados em protensão sem aderência ao
concreto.
Figura 5 - Aço em cordoalha na forma de rolo e bobina
Fonte: Bastos (2018, p. 22).
Caro(a) aluno(a), é muito importante que, além do conhecimento técnico acerca do assunto,
tenhamos a curiosidade em buscar informações e dados sobre o assunto. Para esse caso, é
imprescindível que o Engenheiro Civil conheça os produtos que são fornecidos pelo mercado,
suas especificações e principais propriedades.
Diante disso, como sugestão de leitura, segue o link do Catálogo de fios e cordoalhas da Arcelor
Mittal. Esse material traz todos os materiais comercializados pela empresa junto de suas
especificações. Atente-se nas tabelas para os valores de coeficiente de relaxação de cada tipo de
fio ou cordoalha, pois esses valores serão importantes para o cálculo das perdas de protensão
que estão presentes no nosso curso.
Clique aqui.
SAIBA MAIS
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https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG628/nova_novo/documents/Catalogo-Fios-e-Cordoalhas---Versa%CC%83o-2021_compressed.pdf
No Brasil, esse tipo de cordoalha encontra-se no mercado com diâmetro de12,7 e 15,2 mm, de aço
CP 190 RB e CP 210 RB. Para se ter uma ideia, em uma cordoalha de 12,7 mm, pode-se aplicar uma
força de 150 kN (ou 15 toneladas).
A Figura 6a mostra a tipologia da cordoalha engraxada, evidenciando os seus principais elementos e
como é constituída. Já a Figura 6b mostra uma imagem real de uma cordoalha engraxada utilizada
em concreto protendido.
A aplicação desse tipo de cordoalha tem sido bastante verificada em lajes de edifícios, tanto as do
tipo cogumelo maciças como as nervuradas. Devido à sua versatilidade e facilidade de montagem,
podem ser aplicadas na protensão (por pós-tração sem aderência) em diversos elementos
estruturais, sejam pré-moldados, sejam moldados in loco.
Bainha
As bainhas são tubos constituídos por chapas de aço laminadas a frio. São empregadas em casos de
protensão sem aderência e com aderência posterior. Esses tubos têm por finalidade permitir que a
armadura de protensão deslize através da peça de concreto, minimizando o atrito entre armadura e
concreto.
As bainhas devem ser dutos perfeitamente estanques, para que, na hora da concretagem, não haja a
penetração do concreto em seu interior, impossibilitando, assim, a passagem da armadura de
protensão.
Figura 6 - a) Representação da cordoalha engraxada. b) Cordoalha engraxada
Fonte: Hanai (2005, p. 29); Bastos (2018, p.19).
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Durante o seu processo de fabricação, além das costuras, são produzidas ondulações na forma de
hélice, mas isso por quê? A adoção dessas ondulações tem como objetivo aumentar a rigidez da
bainha sem reduzir a sua flexibilidade, o que permite, assim, enrolar cabos de grande comprimento
e facilitar o manuseio.
Comercialmente, as bainhas são divididas em três tipos: flexíveis, semirrígida e plásticas. A Figura 7
mostra dois tipos de bainhas comumente utilizadas.
Injeção de Calda de Cimento
A injeção da calda de cimento é feita basicamente para preencher, por completo, o vazio entre a
armadura de protensão e a parede interna da bainha. Possui como principais finalidades:
Figura 7 - Bainhas colocação de armadura do tipo achatada e circular
Fonte: Bastos (2018, p. 23-24).
ATENÇÃO
No caso de cordoalhas engraxadas, cada uma constitui um cabo monocordoalha, com a
bainha de plástico já incorporada. Sendo assim, só podem ser utilizadas em protensão sem
aderência.
Fonte: Hanai (2005, p. 31).
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proteger a armadura contra corrosão. A qualidade dessa operação depende da durabilidade da
obra;
estabelecer, de forma permanente, a aderência entre armadura e o concreto. Esse
procedimento é responsável também por transmitir os esforços de protensão à peça de
concreto, bem como por permitir a realização da ancoragem morta da armadura de protensão
(GOMES JÚNIOR, 2009).
Para que a injeção da calda de cimento seja satisfatória e, de fato, contribua para o bom
funcionamento do sistema de protensão, são necessárias que sejam seguidas algumas condições.
Dentre as principais, destacam-se:
além de preencher todo o vazio no interior da bainha, a calda não pode conter nenhum
elemento que possa causar corrosão da armadura quando essa mesma estiver submetida à
tensão de protensão;
a bainha não deve apresentar obstáculos que possam dificultar a penetração da calda e
preencher todo seu interior;
o maquinário responsável pela injeção deve possuir potência suficiente para assegurar a
continuidade do processo. Apesar das perdas de carga que ocorrem, os cabos nas suas
extremidades devem prover de dispositivos capazes de manter a calda sobre pressão até o seu
endurecimento.
A Figura 8a mostra o equipamento que comumente é utilizado para esse tipo de procedimento,em
que a nata de cimento é colocada no recipiente adequado e, por meio de pressão do equipamento, é
inserida dentro das bainhas. A Figura 8b mostra a configuração final desse procedimento, em que
podemos notar a bainha metálica com as armaduras de protensão em seu interior emergidas na
nata de cimento.
Figura 8: a) Equipamento para injeção da nata de cimento. b) Bainha com armaduras de protensão e
a nata de cimento endurecida
Fonte: a) Bastos (2016, p.16). b) Catálogo Rudloff (2015, p. 7).
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Ancoragem
Por definição, a
ancoragem é o dispositivo e/ou artifício responsável por fixar os cabos de protensão
tensionados. A ancoragem tem por objetivo evitar que os cabos de protensão percam a
carga aplicada pelo macaco hidráulico, ou seja, evitar que os cabos retornem ao seu estado
original, perdendo dessa forma a tensão aplicada aos cabos.
(GOMES JÚNIOR, 2009, p. 19).
Existem diferentes tipos de ancoragens. Como o nosso objetivo, porém, é de maior praticidade,
iremos citar o mais empregado em fábricas de pré-moldados protendidos e na maioria dos sistemas
de protensão, que é a ancoragem feita por meio de cunhas de aço.
A ancoragem por cunhas é feita basicamente por duas peças, um cone macho e um cone fêmea.
Ainda são subdivididos em duas categorias: ancoragem com cunha cravada e ancoragem com cunha
deslizante.
Ancoragem com cunha cravada: neste tipos de sistema, o macaco hidráulico aplica uma força e
tensiona os fios de protensão até que se atinja a força de protensão inicial. Após alcançar esse
valor, um dispositivo do macaco aciona a cunha contra uma peça fixa. Quando o macaco
SAIBA MAIS
Caro(a) aluno(a), no mundo da Engenharia, praticamente todos os procedimentos técnicos
envolvidos existe por trás de uma regulamentação que fornece as diretrizes para a execução
de tal, com o objetivo de garantir a sua correta execução e qualidade. No caso da injeção de
calda de cimento em bainhas, não é diferente, pois, para esse caso, existe a norma ABNT NBR
7681:2013. É interessante a leitura dessa norma a fim de verificar quais são as
recomendações indicadas para o seu procedimento.
Fonte: Elaborado pelo autor.
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hidráulico cessar a tensão sobre os fios, a peça fixa e a cunha serão as responsáveis por
absorver a força de protensão, constituindo, assim, uma ancoragem definitiva.
Ancoragem com cunhas deslizantes: neste sistema de ancoragem, os fios quando tensionados
pelo macaco hidráulico se movimentarão entre as cunhas, que ainda estão soltas, e que deverão
ser colocadas manualmente ou com auxílio de um martelo, antes da liberação dos fios, a fim de
garantir o surgimento de uma compressão transversal. Quando os cabos são liberados pelo
macaco, as cunhas recuam para dentro do cone fêmea por conta do atrito existente, gerado
pela compressão axial.
A Figura 9 mostra alguns tipos de ancoragem que são executadas em estruturas de concreto
protendido.
Sistemas de Protensão
Os sistemas de protensão basicamente são divididos entre como ocorre a aderência entre
armadura ativa e concreto (com ou sem aderência interna ou externa) e pelo momento da aplicação
da carga de protensão (pré e pós-tração).
O mapa mental apresentado a seguir explica, de forma didática, a diferença entre os principais tipos
de protensão e suas características.
Figura 9 - Diferentes tipos de ancoragem
Fonte: Bastos (2018, p.16 e 25).
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Fechamento
Ao final desta aula, é importante que fixamos alguns pontos que são cruciais para o entendimento e
avanço dos estudos em torno do concreto protendido. Temos de ter em mente que a aplicação de
uma carga de protensão em um elemento de concreto tem como objetivo eliminar as tensões detração, fazendo com que esse elemento trabalhe apenas a compressão, propriedade em que o
concreto possui elevados valores.
Sendo assim, é possível a construção de estruturas mais esbeltas com vãos muito superiores aos
conseguidos pelo concreto armado convencional. É devido a isso que, hoje, as estruturas de pontes
e de viadutos são, na sua maioria, construídas com concreto protendido.
Você, aluno(a), foi apresentado aos materiais que são utilizados para a execução da protensão em
estruturas de concreto. Reforçamos, na sequência, alguns pontos.
O concreto utilizado para a protensão possui a sua resistência superior ao comparado com
estruturas de concreto armado convencional. Deve-se assegurar que o concreto possui uma
elevada qualidade e, devido a isso, para execução de estruturas protendidas, o concreto é feito em
concreteiras que possuem uma qualidade superior do que rodado na obra.
O aço, também especial, possui uma resistência muito superior ao utilizado no concreto armado: a
vantagem de ser comercializados em rolos com comprimentos longos, evitando, assim, a realização
de emendas.
Os demais materiais mostrados (bainha, nata de cimento, ancoragem), como estudado no decorrer
da aula, devem possuir todas as especificações para que funcionem perfeitamente e dêem ao
concreto protendido todas as condições necessárias para o seu pleno funcionamento.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
conhecer a evolução do concreto protendido no mundo, suas primeiras aplicações e seus
avanços tecnológicos com o passar do tempo;
entender os conceitos da protensão aplicadas ao concreto, principalmente no que diz respeito
à distribuição de tensões na seção do concreto;
conhecer os tipos de protensão (limitada, parcial e completa), bem como as especificações de
cada uma delas.
conhecer os materiais que são empregados na protensão;
entender o mecanismo do processo construtivo acerca da protensão no concreto;
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conhecer os sistemas de protensão e suas características principais.
Caro(a) aluno(a), em nossa primeira aula, abordamos o contexto histórico em que o concreto
protendido está inserido. Relembrando alguns fatos, por exemplo, que a primeira construção a
utilizar essa técnica no Brasil foi a Ponte do Galeão, no Rio de Janeiro. Diante disso, o material,
que pode ser acessado pelo link apresentado a seguir, traz os cálculos da primeira viga de
protensão feita no Brasil e monitorada pelo Engenheiro Fernando Lobo Carneiro, do INT.
Link: clique aqui
Vale salientar que, na época, não existiam normas brasileiras sobre o assunto, logo as
considerações adotadas para os cálculos vieram da norma americana  ACI 423-3R / 2005.
Atente-se ao Anexo 1, que traz os comentários realizados pelo Engenheiro Fernando Lobo
Carneiro.
Atente-se, também, para o Anexo 2, que traz alguns relatos do Professor Antônio Carlos
Vasconcelos, um especialista no assunto de concreto protendido.
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
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http://aquarius.ime.eb.br/~webde2/prof/ethomaz/lobocarneiro/ponte_galeao.pdf
Para contextualizar com os assuntos abordados na aula, iremos mostrar, agora, uma obra onde o
concreto protendido foi utilizado. É a famosa ponte estaiada Octavio Frias de Oliveira,
localizada na cidade de São Paulo. Nessa obra, o concreto protendido foi usado nas vigas pré-
moldadas dos vãos de acesso ao trecho estaiado e nas peças mais esbeltas, como a laje do
tabuleiro, que trabalha transversalmente à direção do tráfego de veículos.
Segundo Faria:
“Se a laje fosse de concreto armado, sua espessura teria de ser maior e, consequentemente, seria
necessário mais concreto. O aumento da quantidade de concreto geraria um acréscimo de aço
nos estais, que suportam o peso do tabuleiro, assim como mais fundações e etc.” (FARIA, 2016,
on-line).  
Para Faria (2016), o concreto protendido tornou a obra mais econômica. A seguir, podemos ver
uma imagem da ponte.
NA PRÁTICA
Figura: Ponte estaiada Octavio Frias de Oliveira
Fonte: Concreto… (2016, on-line).
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Unidade 01
Aula 02
Perdas de Protensão Progressivas,
Imediatas e Cálculos
Diante do que foi mostrado nas aulas desta unidade, ilustra-se, como caso prático, grandes obras
que utilizaram a tecnologia do concreto protendido no Brasil.  A maior obras em concreto
protendido nacional é a ponte Jornalista Phelippe Daou, que está localizada no Amazonas e
cruza o Rio Negro. Para essa obra, foram consumidos 138 mil m³ de concreto e 2200 toneladas
de aço para protensão.
Em obras residenciais, cita-se o edifício Yachthouse Residence Club, localizado na cidade de
Balneário Camboriú (SC). Essa obra trata-se, nada mais e nada menos, do maior edifício do Brasil
quando concluído, chegando a uma altura total de 275m distribuídos em 80 andares.
ESTUDO DE CASO
Vídeo
Para complementar o seu aprendizado, assista o vídeo a seguir:
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Introdução
Quando se aplica uma força de protensão em um determinado elemento estrutural, a situação ideal
seria que toda essa força aplicada de fato colaborasse de forma integral para o bom funcionamento
do sistema, porém, na prática, não funciona assim. Mas por qual motivo?
O principal motivo de não conseguir essa força atuando de forma integral é devido às perdas que
ocorrem na execução da protensão. Por definição, temos as perdas instantâneas e as perdas
progressivas.
Como o próprio nome sugere, ambas atuam em diferentes fases da execução da protensão.
Enquanto a perda instantânea atua no momento em que a protensão é executada ou logo após, a
progressiva atua após a execução, sendo verificada depois de anos da conclusão da obra.
O objetivo geral desta aula é explicar as diferentes perdas de protensão que ocorrem nos
elementos estruturais conceituando cada uma delas e mostrando as suas peculiaridades. É de
extrema importância, em um primeiro momento, entender como essas perdas agem para que
depois no dimensionamento elas sejam determinadas por meios de cálculos recomendados pela
NBR 6118 (2014).
Ao final desta aula, você será capaz de:
compreender o conceito de perdas de protensão;
conhecer as perdas de protensão imediatas;
conhecer as perdas de protensão progressivas.
Perdas de Protensão
Quando uma peça de concreto protendido está submetida a um sistema de forças especiais e
permanentemente aplicadas, essas forças são chamadas de forças de protensão.
Seria excelente que essas forças aplicadas de caráter permanente não tivessem variações durante a
vida útil da estrutura, no entanto essas forças estão sujeitas a variações de intensidade, tanto para
mais quanto para menos.
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Quando se aplica a protensão na armadura, geralmente, não se consegue um esforço constante ao
longo dela. Diferentes fatores, como o acionamento dos macacos hidráulicos, liberação dos cabos e
a transferência da força de protensão, originam uma série de efeitos que acabam diminuindo a
força de protensão aplicada.
Essas diminuições no esforço de protensão que ocorrem ao longo dos cabos são normalmentechamadas de perdas de protensão e são comumente classificadas em perdas imediatas e perdas
progressivas ou ao longo do tempo. As perdas imediatas, como o próprio nome sugere, são as
perdas que acontecem no ato de aplicação da protensão devidas principalmente pelas
propriedades elásticas do concreto e do aço. Já as perdas progressivas acontecem ao longo do
tempo e são ocasionadas principalmente pelas propriedades viscoelásticas tanto do concreto como
do aço.
Os fatores que provocam as perdas imediatas, isto é, que acabam ocorrendo na operação de
protensão e imediatamente após a ancoragem no cabo são:
perda por deformação imediata (ou elástica) do concreto;
perda por atrito do cabo com a bainha;
perda por acomodação da ancoragem.
Já os fatores que provocam as perdas progressivas, ou seja, acontecem ao decorrer do tempo, após
o término da operação de protensão com o cabo já ancorado no concreto, são:
retração do concreto;
fluência do concreto;
relaxação do aço de protensão.
Veríssimo e César Júnior (1998, p. 1) comentam
ATENÇÃO
Em via de regra, sempre ocorre uma diminuição do esforço de protensão ao longo do cabo,
cabe ao projetista que está desenvolvendo o cálculo da estrutura calcular essas perdas em
qualquer parte da seção transversal do elementos que esteja recebendo a protensão (viga,
laje), para as diferentes combinações de carregamento ou em diferentes épocas da vida da
estrutura, satisfazendo às condições de utilização (ELS) e de estado limite último (ELU).
Fonte: Elaborada pelo autor.
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[...] que a experiência adquirida com a produção de peças protendidas geralmente conduz a
estimativas muito boas das perdas de protensão. Todavia, na ausência de informações
experimentais confiáveis, pode-se utilizar alguns processos aproximados para estimar essas
perdas.
Podemos concluir com a citação acima que os processos de estimativa das perdas de protensão que
serão mostrados são genéricos e aproximados, ou seja, tentam retratar a realidade. No entanto,
isso é muito comum na área de estruturas para a engenharia civil, em que se analisa um fenômeno
físico e, através de aproximações e considerações, obtém-se um modelo matemático que busca
retratar o comportamento e retornar resultados próximos da realidade.
Na prática, qualquer estrutura protendida deve ser cuidadosamente analisada, pois cada obra
possui suas peculiaridades que precisam ser verificadas com o objetivo de determinar se as
recomendações sugeridas são válidas para o caso em questão.
Segundo Hurst (1998), raramente se determinam as perdas de protensão de maneira 100% exata.
Estima-se uma precisão de 士10% o suficiente para a maioria das aplicações. A resistência última de
uma peça de concreto protendido é pouco afetada pela força de protensão inicial. Outro ponto a
ser avaliado é de que a probabilidade do carregamento de projeto realmente ocorrer com o seu
valor total é muito pequena, devido aos coeficientes de majoração dos esforços utilizados para o
dimensionamento das peças estruturais. Esses fatores indicam claramente que uma peça de
concreto protendido é capaz de tolerar pequenas variações da força de protensão sem
comprometer o seu funcionamento.
SAIBA MAIS
Sob condições normais, as perdas de protensão tendem a se estabilizar no cabo ao longo da
vida útil da estrutura em um período de 2 a 3 anos. A partir desse período, as perdas são
consideradas desprezíveis.
Fonte: Veríssimo; César Júnior (1998).
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Perdas Imediatas
As perdas imediatas na força de protensão, conforme comentado anteriormente, são as perdas que
acontecem na operação de protensão ou ligeiramente após. Segundo a NBR 6118 (2014), as perdas
imediatas se dividem em dois casos: caso da pré-tração e o caso de pós-tração.
Para o caso da pré-tração, temos que:
[...] a variação da força de protensão em elementos estruturais com pré-tração, por ocasião
da aplicação da protensão ao concreto, e em razão do seu encurtamento, deve ser
calculada em regime elástico, considerando-se a deformação da seção homogeneizada. O
módulo de elasticidade do concreto a considerar é o correspondente à data de protensão,
corrigido, se houver cura térmica
(ABNT, 2014, p. 50).
Já para o caso de pós-tração, temos que:
[...] para os sistemas usuais de protensão, as perdas imediatas são as devidas ao
encurtamento imediato do concreto, ao atrito entre armadura e as bainhas ou o concreto,
ao deslizamento da armadura junto à ancoragem e à acomodação dos dispositivos de
ancoragem
(ABNT, 2014, p. 50).
Perda Por Encurtamento Imediato Do Concreto
Em relação à perda de protensão por encurtamento imediato do concreto, podemos defini-la em
duas situações distintas: protensão com aderência inicial e com aderência posterior.
Para o caso de protensão com aderência inicial, a armadura de protensão é pré-tracionada com um
certo valor de tensão. Com a liberação da armadura das ancoragens nas cabeceiras da pista, a força
de protensão é transferida ao concreto, que acaba se deformando, conforme mostra a Figura 1.
Essa deformação acarreta em perda de tensão na armadura, que está aderida ao concreto.
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Essa perda de protensão é inerente ao processo de execução, uma vez que, para haver instalação da
força de protensão, é necessário que haja deformação do concreto. Por essa razão, pode-se dizer
também que esse fenômeno corresponde a uma “queda de tensão na armadura” e não
propriamente a uma “perda de protensão”.
Já para o concreto com aderência posterior, o macaco de protensão apoia-se em parte da própria
peça a ser protendida. Portanto, à medida que se traciona a armadura, está se comprimindo  o
concreto, não havendo, portanto, queda de tensão por deformação imediata do concreto, quando
se tem apenas um cabo de protensão.
Quando existem mais cabos de protensão, se eles forem tracionados um de cada vez, como é usual,
a deformação no concreto provocada pelo cabo que está sendo tracionado acarreta em perda de
tensão nos cabos já ancorados. Nesse caso, calcula-se um valor médio ou então sobretensionam-se
os cabos de modo que, após todas as operações de distensão, todos eles fiquem com a mesma força
de protensão, o que, no entanto, não é muito prático, pois dificulta as operações de tração nos
cabos.
Caro(a) aluno(a), imagine uma situação em que está em execução uma estrutura em que será
aplicada a protensão com aderência posterior. Normalmente, para esta operação, realiza-se a
protensão por etapas. Imagine que serão protendidos nove cabos no elementos estrutural. É
comum, nesse caso, protender e ancorar o primeiro cabo, depois o segundo, e assim
sucessivamente, até chegar ao nono e último cabo. Sabe-se que, quando o cabo é submetido a uma
força de protensão, acaba provocando uma deformação elástica no concreto, o que provocará uma
perda de protensão nos demais cabos já protendidos. Dessa forma, no exemplo citado, o primeiro
cabo sofreria perda de protensão dos outros oito cabos protendido, o segundo cabo dos outros sete
cabos protendido, e assim por diante, até que o último cabo não sofreria nenhuma perda por
deformação imediata do concreto.
Figura 1 - Placa de ancoragem dos cabos na cabeceira de uma pista de protensão
Fonte: Veríssimo; César Júnior (1998, p. 3).
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Imagine o procedimento mostrado na Figura 2, a seguir. Na primeira imagem, temos os cabos
inseridos dentro da bainha metálica e, na segunda imagem, eles já com o dispositivo de ancoragem
fixado na extremidade do elementoestrutural. Como descrito acima, a protensão é aplicada cabo a
cabo, gerando as perdas descritas.
Perda por Atrito do Cabo com a Bainha
Esse tipo de perda ocorre apenas nas peças protendidas com pós-tensão, ou seja, aquelas em que é
aplicada a protensão nos cabos após o endurecimento do concreto dentro das bainhas metálicas.
Essas perdas variam ao longo do comprimento da peça; sendo assim, a força de protensão
resultante em uma peça protendida na pós-tensão não varia apenas com o tempo, mas também
com a posição a ser considerada.
Conhecido também apenas por perdas por atrito, esse fenômeno ocorre devido ao fato de os cabos,
quando aplicada a força de protensão, acabarem entrando em contato com as bainhas metálicas em
que estão inseridos. Essas perdas, em alguns casos, atingem valores altos, principalmente em cabos
Figura 2 - Cabos inseridos no interior da bainha metálica e com o dispositivo de ancoragem fixado
prontos para receber a protensão
Fonte: Bastos (2018, p. 15).
ATENÇÃO
Seguindo a lógica da situação exemplo mostrada acima, podemos definir então que, em casos
nos quais houver apenas um cabo de protensão na peça, ou mais que um, mas em que todos
sejam protendidos ao mesmo tempo, não existirá perda de protensão por deformação
imediata do concreto na pós-tração.
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de grande comprimento, sendo necessário, muitas vezes, medidas na fase de construção com o
objetivo de amenizá-las.
Vamos imaginar, então, um cabo que esteja tensionado, e nele surge o atrito interno entre os fios ou
cordoalhas que constituem o cabo, bem como os fios ou cordoalhas que ficam em contato com as
paredes da bainha. O atrito presente é maior em trechos curvos em que, devido a sua configuração,
surgem elevadas pressões de contato em razão do desvio natural da trajetória dos cabos.
Um dos modos de atenuação desse tipo de perda por atrito consiste em aplicar a força de
protensão a partir das duas extremidades do cabo, ou seja, realizar uma ancoragem ativa nas
duas extremidades.
Graficamente, podemos avaliar a perda por atrito através da Figura 3, a seguir. O primeiro
mostra a ancoragem ativa em um lado e passiva do outro. Já a segunda imagem mostra ambas as
extremidades ativas, diminuindo, assim, as perdas de protensão (ΔPx) devido ao atrito gerado
pelo cabo e bainha.
SAIBA MAIS
Figura 3 - Representação das perdas de protensão por atrito devido à sua ancoragem
Fonte: Veríssimo; César Júnior (1998, p. 10).
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Entretanto, mesmo em trechos retos, a bainha pode apresentar ligeiras ondulações, ocasionando,
assim, tensões de contato entre cabo e bainha. Esse efeito é conhecido como ondulação parasita e
pode ocorrer devido:
a possíveis defeitos de montagem da armadura de protensão;
à insuficiência de pontos de amarração do cabo;
à rigidez da banha insuficiente;
ao empuxo do concreto durante a concretagem.
A Figura 4, a seguir, exemplifica essa situação. Podemos verificar o atrito presente entre os cabos e
o atrito gerado pelos cabos nas paredes internas da bainha.
Perda por Acomodação de Ancoragem
As perdas por acomodação da ancoragem estão ligadas diretamente ao dispositivo que é utilizado
para a ancoragem. No momento em que se liberam os cabos do macaco hidráulico, equipamento
que aplica a força de protensão na peça de concreto, ocorre uma acomodação das peças utilizadas
na ancoragem. Os deslocamentos que podem ocorrer originam as denominadas perdas nas
ancoragens.
Essas perdas são mais significativas em sistemas que utilizam cunhas, sendo comum encontrar em
algumas bibliografias o termo “perdas por encunhamento”. Quando se é aplicada a força, a cunha,
por consequência, sempre penetra na ancoragem, sendo que, em outros sistemas, a transferência
do esforço dá-se pelo alongamento do cabo.
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 51), “[...] as perdas devem ser determinadas
experimentalmente ou adotados os valores indicados pelos fabricantes dos dispositivos de
ancoragem”.
Figura 4 - Atrito no cabos dentro da bainha
Fonte: Veríssimo; César Júnior (1998, p. 9).
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O ensaio que mede a penetração da cunha consiste em tracionar um cabo ancorado na outra
extremidade por meio das cunhas. Nesse caso, mede-se a força de protensão aplicada no cabo P e a
consequente penetração da cunha δ na ancoragem. Traça-se um diagrama P-δ e estimam-se os
valores para diferentes cargas P.
Perdas Progressivas
Como definido anteriormente, vimos que as perdas progressivas são aquelas que ocorrem com o
decorrer da vida útil da estrutura logo após a finalização da operação de protensão. A NBR 6118
(ABNT, 2014, p. 51) define como:
[...] os valores parciais e totais das perdas progressivas de protensão, decorrentes da
retração e da fluência do concreto e da relaxação do aço de protensão, devem ser
determinados considerando-se a interação dessas causas, podendo ser utilizados os
processos indicados em 9.6.3.4.2 a 9.6.3.4.5. Nesses processos admite-se que existe
aderência entre a armadura e o concreto e que o elemento estrutural permaneça no estádio
1.
SAIBA MAIS
As determinações das perdas por ancoragem geralmente são dadas pelas empresas que
fornecem o serviço de protensão, já que elas possuem os valores de vários ensaios
executados e conseguem uma boa aproximação das perdas que podem ocorrer.
Caro(a) aluno(a), para entender melhor essa determinação, procure catálogos e
especificações de empresas que realizam esse serviço e verifique se elas possuem esses
valores.
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Perdas por Retração do Concreto
Caro(a) aluno(a), antes de fato iniciarmos o assunto de retração do concreto aplicada a estruturas
protendidas, vamos relembrar o conceito de retração e quais são suas principais características e
efeitos que podem causar.
Durante o processo de cura do concreto, sabe-se que parte da água utilizada reage com o cimento,
dando a liga com os agregados. No entanto, há uma parcela da água adicionada que não participa
desse processo químico, mas é necessária para dar a trabalhabilidade adequada ao concreto para o
seu lançamento. Após o lançamento, inicia-se o processo de cura e toda essa água “extra” que está
inserida no concreto possui a tendência de evaporar ao longo do tempo. A perda dessa água acaba
gerando tensões superficiais nos poros do concreto que, portanto, se retraem. Esse tipo de retração
causada pela perda da água livre é chamada de retração por secagem. Já os processos químicos de
endurecimento do concreto acabam gerando a chamada retração autógena.
Bastos (2018) elenca alguns fatores que influenciam a retração do concreto: traço do concreto,
relação a/c, tipo do agregado, tipo do cimento, dimensões da forma da peça e condições térmicas,
entre outros.
Na prática, em estruturas de concreto protendido, a protensão é aplicada ao elemento estrutural
depois que ele já possui uma resistência mecânica suficiente para conseguir suportar as tensões
decorrentes da própria protensão e de seu peso próprio. Portanto, a aplicação da força de
protensão deve ser adiada o tanto tempo que seja possível, mas por quê? Observa-se que a retração
é mais intensa nas primeiras idades do concreto; logo, se a protensão for aplicada um tempo depois,
as perdas geradas por ela serão, consequentemente, menores.
Basicamente, então, se a peça de concreto ou parte dela sofrer um encurtamento, nesse caso,
devido à retração, a armadura de protensão também sofrerá os efeitos desse encurtamento, já que
os dois estão trabalhando solidariamente. Logo, ocorre