AULA 1- projeto estruturas de concreto

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PROJETO DE ESTRUTURAS EM 
CONCRETO 
 
 
ESCALONAMENTO E ANCORAGEM 
DAS ARMADURAS 
Prof. Maria Vânia N. N. Peres 
E-mail: vaniaperes@gmail.com 
ARMADURA NEGATIVA NOS APOIOS DE 
EXTREMIDADE E ARMADURA CONSTRUTIVA 
Nos trechos onde a armadura não é necessária pelo cálculo, coloca-se 
armadura construtiva, devendo ser maior ou igual ao diâmetro do estribo. Em 
geral adota-se duas barras com diâmetro de 6.3 mm. 
ESCALONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL 
 
d b
1,4Vd
 
w
wd
 (MPa) f 
ck1c  
 1 = 0,1 
ESCALONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL 
(estão em zona de boa aderência) 
ESCALONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL 
ESCALONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL 
Processo simplificado 
para escalonamento 
ESCALONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL 
ANCORAGEM DAS ARMADURAS PASSIVAS POR 
ADERÊNCIA 
Ancoragem por aderência 
• As barras tracionadas podem ser ancoradas ao longo de 
um comprimento retilíneo ou com grande raio de curvatura 
em sua extremidade. 
 
• As barras comprimidas devem ser ancoradas sem 
ganchos. 
Ancoragem reta: 
𝑙𝑏𝑛𝑒𝑐 ≤ 𝑙𝑏𝑑𝑖𝑠𝑝 = 𝐿𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 − 𝑐 (𝑎𝑛𝑐𝑜𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙) 
𝑙𝑏𝑛𝑒𝑐 > 𝑙𝑏𝑑𝑖𝑠𝑝 = 𝐿𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 − 𝑐 (𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑎𝑛𝑐𝑜𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑝𝑜𝑠) 
ANCORAGEM DAS ARMADURAS PASSIVAS POR 
ADERÊNCIA 
ANCORAGEM DAS ARMADURAS PASSIVAS POR 
ADERÊNCIA 
ANCORAGEM DAS ARMADURAS PASSIVAS POR 
ADERÊNCIA 
Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma 
barra de armadura passiva necessário para ancorar a força limite As.fyd nessa barra, 
admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a 
fbd. 
O comprimento de ancoragem básico é dado por: 
O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por: 
ANCORAGEM DAS ARMADURAS PASSIVAS POR 
ADERÊNCIA 
onde: 
α = 1,0 para barras sem gancho; 
α = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do 
gancho ≥ 3φ; 
α = 0,7 quando houver barras transversais soldadas; 
α = 0,5 quando houver barras transversais soldadas e gancho, com cobrimento no 
plano normal ao do gancho ≥ 3φ; 
lb,min é o maior valor entre 0,3 , 10 φ e 100 mm. 
 
A resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto na ancoragem de 
armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão: 
ANCORAGEM DAS ARMADURAS PASSIVAS POR ADERÊNCIA 
Armadura tracionada a ser ancorada no apoio 
extremo 











2
 valor de e negativo M se 
4
1
2
 valor de negativo ou 0M se 
3
1
apoio,
apoio,
,
vão
apoiovãos
vão
apoiovãos
ancs M
MA
M
MA
A
 A
3
1
vão,s
M
vãoapoio
+
vão
M < 0,5 M
Armadura mínima a ancorar no apoio extremo de vigas. 
Armadura tracionada a ser ancorada no apoio 
extremo 











2
 valor de e negativo M se 
4
1
2
 valor de negativo ou 0M se 
3
1
apoio,
apoio,
,
vão
apoiovãos
vão
apoiovãos
ancs M
MA
M
MA
A
 A
4
1
vão,s
vãoM
+
vãoM > 0,5 Mapoio
Armadura mínima a ancorar no apoio extremo de vigas. 
c
8 Ø
b
b,disp
D
As,corr
Ø
Acréscimo de armadura longitudinal ancorada no apoio para As,corr quando o comprimento de 
ancoragem efetivo (lb,disp) do apoio é menor que o comprimento de ancoragem com gancho (lb,nec). 
ancs
dispb
b
corrs AA ,
,
,
7,0



Armadura tracionada a ser ancorada no apoio 
extremo 
Armadura tracionada a ser ancorada no apoio 
extremo 
Ø100c
D
b
8 Ø Ø
 b,nec As,ef
Grampos
gr
Ancoragem em apoio extremo com a utilização de grampos e armadura longitudinal efetiva com 
gancho. 
ef,scorr,sgr,s AAA 
O gancho a 90º é o mais 
usual na prática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ganchos da armadura de tração 
Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração podem ser: 
• semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2 φ; 
• em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4 φ; 
• em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8 φ. 
Para as barras lisas, os ganchos devem ser semicirculares. 
Ganchos da armadura de tração 
O diâmetro interno da curvatura dos ganchos das armaduras longitudinais de tração 
deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 9.1. 
Armadura em apoio intermediário – vigas contínuas 











2
M
M valor de e negativo M se A
4
1
2
M
M valor de negativoou 0M se A
3
1
A
vão
apoioapoiovão,s
vão
apoioapoiovão,s
anc,s
A
10 Ø
BARRA 1
BARRA 1
DIAG
R. DESLO
C.
Ancoragem da armadura longitudinal em apoios 
intermediários com o ponto A fora do apoio. 
Armadura em apoio intermediário – vigas contínuas 
O comprimento do gancho da armadura 
negativa no pilar deve se estender 35 φ 
além do centro do pino de dobramento. Os 
estribos do pilar devem ter espaçamento 
menor que 10 cm dentro do trecho de 
comprimento 2b+h. A barra inclinada unindo 
a viga ao lance superior do pilar é também 
indicada, porém, não é prática comum a sua 
aplicação. 
2
b
 +
 h
e
s
tr
s
 
 
 

1
0
 c
m
b
h
A = 0,5 As s
-
-
sA
D
Detalhamento indicado por LEONHARDT e MÖNNIG (1982) 
 para a armadura negativa da viga em nós de pórtico. 
Armadura comprimida a ser ancorada no apoio 
extremo 
Armadura comprimida a ser ancorada no apoio 
extremo 
Ø
D
A s
-
3
5
 Ø
Comprimento do gancho da armadura negativa dentro do pilar, conforme LEONHARDT e 
MÖNNIG (1982). 
EMENDA POR TRANSPASSE DAS BARRAS ISOLADAS 
TRACIONADAS 
 
Quando a distância livre entre barras emendadas estiver compreendida entre 0 e 4 φ , 
o comprimento do trecho de traspasse para barras tracionadas deve ser: 
α0t é o coeficiente função da porcentagem de barras emendadas na mesma 
seção, conforme Tabela 9.4. 
EMENDA POR TRANSPASSE DAS BARRAS ISOLADAS 
COMPRIMIDAS 
Quando as barras estiverem comprimidas, adota-se a seguinte expressão para 
cálculo do comprimento de traspasse: 
ANCORAGEM DOS ESTRIBOS 
A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos 
ou barras longitudinais soldadas. 
 
Os ganchos dos estribos podem ser: 
• semicirculares ou em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento 
igual a 5 φt, porém não inferior a 5 cm; 
• em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 φt, porém 
não inferior a 7 cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios 
lisos). 
 
O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual ao valor 
dado na Tabela 9.2. 
ANCORAGEM DOS ESTRIBOS 
𝑀𝑘 = 46,88 𝑘𝑁. 𝑚 𝑀𝑑 = 1,4𝑀𝑘 = 65,63 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑓𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
1,4
 𝑓𝑐𝑑 = 
2,0
1,4
= 1,43 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
𝑓𝑦𝑑 = 
𝑓𝑦𝑘
1,15
 𝑓𝑦𝑑 = 
50
1,15
= 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
x = 1,25. 𝑑 1 − 1 − 
𝑀𝑑
0,425.𝑏𝑤.𝑓𝑐𝑑.𝑑2
 
x = 1,25.36. 1 − 1 − 
6563
0,425.20.1,43.362
= 10,63 𝑐𝑚 
𝑘𝑥 = 
𝑥
𝑑
=
10,63
36
= 0,29 < 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45 (𝐴𝑅𝑀𝐴𝐷𝑈𝑅𝐴 𝑆𝐼𝑀𝑃𝐿𝐸𝑆) 
𝑥2 = 0 < 𝑥 = 10,6 > 𝑥23 = 0,259.36 = 9,32 𝑁 𝑜𝑘! 
𝑥23 = 9,32 < 𝑥 = 10,6 > 𝑥34 = 0,628.36 = 22,61 𝑜𝑘! (𝐷𝑂𝑀Í𝑁𝐼𝑂 3) 
𝐴𝑠 = 
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 . (𝑑 − 0,4. 𝑥)
=6563
43,48. (36 − 0,4.10,63)
= 4,74 𝑐𝑚2 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,15%. 𝑏𝑤. ℎ = 
0,15
100
. 20.40 = 1,20 𝑐𝑚2 
𝐴𝑠 > 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 𝑂𝐾! 𝑈𝑆𝐴 𝐴𝑠 = 4,74 𝑐𝑚
2 
∅12.5 𝑚𝑚 → 𝑛 =
4,74
1,227
= 4 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 
𝐴𝑠𝑒𝑓 = 4.1,227 = 4,91 𝑐𝑚
2 
𝑏𝑜 = 𝑏𝑤 − 2. 𝑐 − 2. ∅𝑡 = 20 − 2.2,5 − 2.0,5 = 14 𝑐𝑚 
𝑒ℎ ≥ 
2 𝑐𝑚
∅ = 1,25 𝑐𝑚
1,2. 𝑑𝑚á𝑥,𝑎𝑔𝑟 = 1,2.1,9 = 2,28 𝑐𝑚
 
𝑒𝑣 ≥ 
2 𝑐𝑚
∅ = 1,25 𝑐𝑚
0,5. 𝑑𝑚á𝑥,𝑎𝑔𝑟 = 0,5.1,9 = 0,95 𝑐𝑚
 
𝑁 = 
𝑏𝑜 − 𝑒ℎ
∅ + 𝑒ℎ
= 
14 − 2,28
1,25 + 2,28
 
𝑁 = 3,32 ~ 3 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑛𝑎 
 1ª𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 
d 
d’ 
𝐶𝐺 =
3.
1,25
2 . 1,25 + 1. 1,25 + 2,0 +
1,25
2 . 1,25
3.1,25 + 1.1,25
 
𝐶𝐺 = 1,44 𝑐𝑚 
𝑑′ = 𝑐 + ∅𝑡 + 𝐶𝐺 = 2,5 + 0,5 + 1,44 = 4,44 𝑐𝑚 
𝑑 = h − d′ = 40 − 4,44 = 35,36 𝑐𝑚 
4 ∅ 12.5 𝑚𝑚 
𝑉𝑠𝑑 = 1,4. 𝑉𝑘 = 1,4.37,5 = 52,5 𝑘𝑁 
𝑓𝑦𝑑 = 
𝑓𝑦𝑘
1,15
=
60
1,15
= 52,17 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27. ∝𝑣. 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤. 𝑑 = 0,27. 1 −
20
250
. 1,43.20.36 = 255,75 𝑘𝑁 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 → 52,5 < 255,75 𝑂𝐾! → 𝑁Ã𝑂 𝑂𝐶𝑂𝑅𝑅𝐸𝑅Á 𝐸𝑆𝑀𝐴𝐺𝐴𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 
 𝑁𝑂 𝐶𝑂𝑁𝐶𝑅𝐸𝑇𝑂 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 
𝑉𝑠𝑤
0,9. 𝑓𝑦𝑤𝑑 . 𝑑
= 
𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐
0,9. 𝑓𝑦𝑤𝑑 . 𝑑
= 
52,5 − 47,52
0,9.43,5.36
= 0,0035
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
= 0,35
𝑐𝑚2
𝑚
 
𝑉𝑐 = 0,6. 𝑓𝑐𝑡𝑑 . 𝑏𝑤 . 𝑑 = 0,6.0,110.20.36 = 47,52 𝑘𝑁 
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 
0,21
𝛾𝑐
. 𝑓𝑐𝑘
23 = 
0,21
1,4
. 202
3
= 1,10 𝑀𝑃𝑎 = 0,110 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
𝑓𝑦𝑤𝑑 ≤ 
𝑓𝑦𝑑 = 52,17 𝑘𝑁/𝑐𝑚2
435 𝑀𝑃𝑎 = 43,5 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
 
𝐴𝑠𝑤𝑚𝑖𝑛
𝑠
= 0,2. 𝑏𝑤.
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
= 0,2.20.
0,221
50
= 0,0177
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
= 1,77
𝑐𝑚2
𝑚
 
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3. 𝑓𝑐𝑘
23 = 0,3. 202
3
= 2,21 𝑀𝑃𝑎 = 0,221 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 0,35
𝑐𝑚2
𝑚
<
𝐴𝑠𝑤𝑚𝑖𝑛
𝑠
= 1,77
𝑐𝑚2
𝑚
 N OK! → 𝐴𝐷𝑂𝑇𝐴 → 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 1,77
𝑐𝑚2
𝑚
 
TODO OS TRECHOS SERÃO DIMENSIONADOS COM ARMADURA MÍNIMA 
𝐴𝑠𝑤𝑚𝑖𝑛
𝑠
= 
𝑉𝑠𝑤𝑚𝑖𝑛
0,9. 𝑓𝑦𝑤𝑑 . 𝑑
= 
𝑉𝑠𝑑𝑚𝑖𝑛 − 𝑉𝑐
0,9. 𝑓𝑦𝑤𝑑 . 𝑑
= 
𝑉𝑠𝑑𝑚𝑖𝑛 − 47,52
0,9.43,5.36
= 0,0177 
𝑉𝑠𝑑𝑚𝑖𝑛 = 72,47 𝑘𝑁 
s = 
𝐴∅
𝐴𝑠𝑤
𝑠
. 𝑁𝑅. 𝑡 =
0,2
1,77
. 2.100 = 22,6 𝑐𝑚 ~ 22 𝑐𝑚 
 𝑡 ≥ 100 𝑐𝑚 → 𝐴𝐷𝑂𝑇𝐴 𝑡 = 100 𝑐𝑚 
 𝑡 < 100𝑐𝑚 → 𝐴𝐷𝑂𝑇𝐴 𝑡 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 
480 cm 
 0,67. 𝑉𝑅𝑑2 = 0,67.255,75 = 171,35 𝑘𝑁 
 
 𝑠𝑚á𝑥 ≤ 
0,6. 𝑑 = 0,6.36 = 21,6 𝑐𝑚 ~ 21 𝑐𝑚
30 𝑐𝑚
 → 𝑠𝑚á𝑥 = 21 𝑐𝑚 
𝑠 = 22 𝑐𝑚 > 𝑠𝑚á𝑥 = 21 𝑐𝑚 → 𝐴𝐷𝑂𝑇𝐴 𝑠 = 21 𝑐𝑚 
𝑛 = 
𝐿
𝑠
=
480
21
= 22,86 ~ 23 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 
23 ∅ 5.0 𝑐/21 
𝐻 = ℎ − 2. 𝑐 = 40 − 2.2,5 = 35 𝑐𝑚 
𝐵 = 𝑏𝑤 − 2. 𝑐 = 20 − 2.2,5 = 15 𝑐𝑚 
𝐺𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ≥
5. ∅𝑡 = 5.0,5 = 2,5 𝑐𝑚
5 𝑐𝑚
 
𝐿 = 2. 𝐻 + 2. 𝐵 + 2. 𝐺𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 
𝐿 = 2.35 + 2.15 + 2.5 = 110 𝑐𝑚 
5 
5 
35 
15 
23∅5.0 − 𝐿 = 110 𝑐𝑚 
C) Armadura negativa nos apoios de extremidade 
𝑎 ≥
0,15. 𝑙 + ℎ = 0,15.500 + 40 = 115 𝑐𝑚
𝑙𝑏 + ℎ = 63 + 40 = 103 𝑐𝑚
 , 𝑙𝑏 = 63 𝑐𝑚 (𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝐴3.4) 
𝐴𝑠 ≥ 
0,25. 𝐴𝑠𝑐𝑎𝑙𝑐 = 0,25.4,75 = 1,19 𝑐𝑚
2
0,67. 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,67.1,20 = 0,80 𝑐𝑚
2 , 𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 ∅ = 10 𝑚𝑚 
𝑛 = 
𝐴𝑠
𝐴∅
=
1,19
0,8
= 1,49 ~ 2 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝐴𝑒𝑓 = 𝑛. 𝐴∅ = 2.0,8 = 1,6 𝑐𝑚
2 
𝐿𝑜 = 𝑎 + 𝑙𝑏𝑛𝑒𝑐 = 115 + 17,5 = 132,5~133 𝑐𝑚 
𝑙𝑏𝑛𝑒𝑐 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑙𝑏𝑑𝑖𝑠𝑝 
𝐿 = 𝐿𝑜 + ∆𝐶 = 133 + 13 = 146 𝑐𝑚 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎) 
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝐴3.5 
∅ 10 𝑚𝑚
𝑅 = 2,5
∆𝑙 = 15
∆𝑐 = 13 
𝑙𝑏min=8 𝑐𝑚
 
𝐿1 = 𝐿𝑜 − 𝑅 − ∅ = 133 − 2,5 − 1,0 
𝐿1 = 129,5 𝑐𝑚 H 
𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑎𝑏 = 0,5𝜋 𝑅 +
𝜙
2
 
𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑎𝑏 = 0,5𝜋 2,5 +
1,0
2
= 4,71 𝑐𝑚 
𝐻 = Δ𝑙 − 𝑅 − 𝜙 = 15 − 2,5 − 1,0 = 11,5 𝑐𝑚 
𝐻 = 11,5 𝑐𝑚 
15 133 
- 146 
Armadura construtiva 
D) Ancoragem das barras que chegam aos apoios 
(Admitindo que 3 barras de 12.5 mm chegam aos apoios) 
𝑣ã𝑜 ú𝑛𝑖𝑐𝑜: 
3 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑣ã𝑜 𝑎𝑡é 𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
1 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑟á 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑎
 
𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑎 𝑎𝑑𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 → 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑠 
 𝑜𝑢 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠 
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝐴3.4:
𝑙𝑏 = 55 𝑐𝑚
𝑙𝑏𝑒 = ∝1. 𝑙𝑏 = 38 𝑐𝑚
 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝐴3.5: 
𝑙𝑏𝑚𝑖𝑛 = 10 𝑐𝑚
𝑅 = 3,15 𝑐𝑚
 
𝑙𝑏𝑛𝑒𝑐 = ∝ . 𝑙𝑏.
𝐴𝑠𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠𝑒𝑓
 ≥ 𝑙𝑏𝑚𝑖𝑛 ≥ 
𝑅 + 5,5. ∅ = 3,15 + 5,5.1,25 = 10,02 ~10 𝑐𝑚
6 𝑐𝑚
 
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 1: ∅ < 20 𝑚𝑚 𝑒 𝐴ç𝑜 𝐶𝑎 − 50 → 𝐷 = 5. ∅, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 𝑅 =
𝐷
2
=
5.1,25
2
= 3,12~3,15 
𝑙𝑏 = 
∅
4
.
𝑓𝑦𝑑
𝑓𝑏𝑑
 𝑓𝑏𝑑 = 𝜂1. 𝜂2. 𝜂3. 𝑓𝑐𝑡𝑑 𝑓𝑐𝑡𝑑 =
0,21
1,4
202
3
= 1,10𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑏𝑑 = 2,25.1,0.1,0.0,110 = 0,2475 𝑘𝑁/𝑐𝑚
2 
𝑙𝑏 = 
1,25
4
.
43,48
0,2475
= 54,9~55 𝑐𝑚 
𝐴𝑠𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑎𝑙
𝑑
.
𝑉𝑑
𝑓𝑦𝑑
= 
36
36
.
52,5
43,48
= 1,21 𝑐𝑚2 
𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑙 = 𝑑 = 36 𝑐𝑚 
𝐴𝑠𝑒𝑓 = 𝑛. 𝐴∅ = 3.1,227 = 3,68 𝑐𝑚
2 
𝑙𝑏𝑛𝑒𝑐 = 0,7.55.
1,21
3,68
= 12,65 𝑐𝑚 > 𝑙𝑏𝑚𝑖𝑛 = 10 𝑐𝑚 𝑂𝐾! 
𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎 𝑙𝑏𝑛𝑒𝑐 = 12,65 𝑐𝑚 𝑙𝑏𝑑𝑖𝑠𝑝 = 𝐿𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 − 𝑐 = 20 − 2,5 = 17,5 cm 
𝑙𝑏𝑛𝑒𝑐 < 𝑙𝑏𝑑𝑖𝑠𝑝 → 𝐴 𝐴𝑁𝐶𝑂𝑅𝐴𝐺𝐸𝑀 𝑃𝑂𝐷𝐸 𝑆𝐸𝑅 𝐹𝐸𝐼𝑇𝐴 𝐶𝑂𝑀 𝐺𝐴𝑁𝐶𝐻𝑂, 𝐿𝑂𝐺𝑂 𝐴𝑆 
 𝐴𝑅𝑀𝐴𝐷𝑈𝑅𝐴𝑆 𝑆𝐸𝑅Ã𝑂 𝐼𝑁𝑇𝑅𝑂𝐷𝑈𝑍𝐼𝐷𝐴𝑆 17,5 𝐶𝑀 𝑁𝑂𝑆 𝑃𝐼𝐿𝐴𝑅𝐸𝑆 
 𝐷𝐸 𝐸𝑋𝑇𝑅𝐸𝑀𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸 𝐸 𝑆𝐸𝑅Ã𝑂 𝐷𝑂𝐵𝑅𝐴𝐷𝐴𝑆 (∆𝐿) 
𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝐴3.5: ∅12.5 𝑚𝑚 
𝑅 = 3,15
∆𝐿 = 15 𝑐𝑚
∆𝐶 = 12 𝑐𝑚
 
𝐴𝑠𝑎𝑛𝑐 = 𝑛. 𝐴∅ = 3.1,227 = 3,68 𝑐𝑚
2 > 
1
3
 𝐴𝑠𝑣ã𝑜 = 1,58 𝑐𝑚
2 𝑂𝐾! 
480 
3∅12.5 − 𝐿 = 539 
515 
𝐿𝑜 = 𝐿𝑓𝑎𝑐𝑒/𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 + 2. 𝑙𝑏𝑛𝑒𝑐 = 480 + 2.17,5 = 515 𝑐𝑚 
𝐿 = 𝐿𝑜 + 2. ∆𝐶 = 515 + 2.12 = 539 𝑐𝑚 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎) 
𝐻 = 
𝐿1 = 𝐿𝑜 − 𝑅 − ∅ = 515 − 3,15 − 1,25 = 510,6 𝑐𝑚 
𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑎𝑏 = 0,5𝜋 𝑅 +
𝜙
2
 
𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑎𝑏 = 0,5. 𝜋 3,15 +
1,25
2
= 5,93 𝑐𝑚 
𝐻 = 8. ∅ = 8.1,25 = 10 𝑐𝑚 
∆𝑙 = 15 𝑐𝑚 
E) 
Vd = 52,5 kN 
𝑀𝑑
𝑛
= 
65,63
4
= 16,41 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑎: 𝑀 𝑥 = 52,5. 𝑥 −
15.1,4 𝑥2
2
= 65,63 → 𝑥1 = 2,5 𝑚 
𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑏: 𝑀 𝑥 = 52,5. 𝑥 −
15.1,4 𝑥2
2
= 49,22 → 𝑥1 = 1,25 𝑚, 𝑥2 = 3,75 𝑚 
𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐: 𝑀 𝑥 = 52,5. 𝑥 −
15.1,4 𝑥2
2
= 32,81 → 𝑥1 = 0,73 𝑚, 𝑥2 = 4,27 𝑚 
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒çã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 𝑛𝑜 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑚𝑎𝑗𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) 
𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑: 𝑀 𝑥 = 52,5. 𝑥 −
15.1,4 𝑥2
2
= 16,41 → 𝑥1 = 0,33 𝑚, 𝑥2 = 4,66 𝑚 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟á 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑎 é 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑜 
𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑏. 
146 
133 
146 
133 
515 23∅5.0 − 𝐿 = 110 𝑐𝑚 
515 − 2.133 + 2.0,63 = 250,26~260 cm