Permutações e Combinações

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© Agnelo Marotta Cassula 25
PERMUTAÇÃO
Consequentemente P3
7: 
)!rn(
!n
P n
r
−
=
De um modo geral o número de permutações de n itens
tomados r de cada vez (nPr) é igual a:
2105x6x7
)!37(
!7
P
)!rn(
!n
P 7
3
n
r
==
−
==
−
=
© Agnelo Marotta Cassula 26
De maneira geral a fórmula para determinar o número de
permutações é aplicada quando as três regras a seguir
são satisfeitas:
– Todos os itens são diferentes;
– Nenhuma restrição é imposta a posição em que um 
item pode ocupar;
– Nenhum item pode ser usado mais de uma vez.
PERMUTAÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 27
EX.
! O número de permutações de três livros diferentes, A,
B e C, tomados três a três é 6:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
Porém, estas 6 permutações equivalem a uma única
combinação, pois são sempre os mesmos 3 livros
que estão sendo selecionados, não importando a
ordem com que eles são arranjados.
COMBINAÇÃO
! Para r elementos tem-se r! maneiras de arranjá-los e
todas essas maneiras geram uma única combinação.
© Agnelo Marotta Cassula 28
COMBINAÇÃO
! Por isso conclui-se que o número de combinações de n
elementos tomados r de cada vez é r! vezes menor que
a permutação de n elementos tomados r de cada vez.
Cr
n x r! = Pr
n ou
!r)!rn(
!n
!r
P
C
n
r
n
r
×−
==
© Agnelo Marotta Cassula 25
PERMUTAÇÃO
Consequentemente P3
7: 
)!rn(
!n
P n
r
−
=
De um modo geral o número de permutações de n itens
tomados r de cada vez (nPr) é igual a:
2105x6x7
)!37(
!7
P
)!rn(
!n
P 7
3
n
r
==
−
==
−
=
© Agnelo Marotta Cassula 26
De maneira geral a fórmula para determinar o número de
permutações é aplicada quando as três regras a seguir
são satisfeitas:
– Todos os itens são diferentes;
– Nenhuma restrição é imposta a posição em que um 
item pode ocupar;
– Nenhum item pode ser usado mais de uma vez.
PERMUTAÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 27
EX.
! O número de permutações de três livros diferentes, A,
B e C, tomados três a três é 6:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
Porém, estas 6 permutações equivalem a uma única
combinação, pois são sempre os mesmos 3 livros
que estão sendo selecionados, não importando a
ordem com que eles são arranjados.
COMBINAÇÃO
! Para r elementos tem-se r! maneiras de arranjá-los e
todas essas maneiras geram uma única combinação.
© Agnelo Marotta Cassula 28
COMBINAÇÃO
! Por isso conclui-se que o número de combinações de n
elementos tomados r de cada vez é r! vezes menor que
a permutação de n elementos tomados r de cada vez.
Cr
n x r! = Pr
n ou
!r)!rn(
!n
!r
P
C
n
r
n
r
×−
==
© Agnelo Marotta Cassula 25
PERMUTAÇÃO
Consequentemente P3
7: 
)!rn(
!n
P n
r
−
=
De um modo geral o número de permutações de n itens
tomados r de cada vez (nPr) é igual a:
2105x6x7
)!37(
!7
P
)!rn(
!n
P 7
3
n
r
==
−
==
−
=
© Agnelo Marotta Cassula 26
De maneira geral a fórmula para determinar o número de
permutações é aplicada quando as três regras a seguir
são satisfeitas:
– Todos os itens são diferentes;
– Nenhuma restrição é imposta a posição em que um 
item pode ocupar;
– Nenhum item pode ser usado mais de uma vez.
PERMUTAÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 27
EX.
! O número de permutações de três livros diferentes, A,
B e C, tomados três a três é 6:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
Porém, estas 6 permutações equivalem a uma única
combinação, pois são sempre os mesmos 3 livros
que estão sendo selecionados, não importando a
ordem com que eles são arranjados.
COMBINAÇÃO
! Para r elementos tem-se r! maneiras de arranjá-los e
todas essas maneiras geram uma única combinação.
© Agnelo Marotta Cassula 28
COMBINAÇÃO
! Por isso conclui-se que o número de combinações de n
elementos tomados r de cada vez é r! vezes menor que
a permutação de n elementos tomados r de cada vez.
Cr
n x r! = Pr
n ou
!r)!rn(
!n
!r
P
C
n
r
n
r
×−
==
© Agnelo Marotta Cassula 25
PERMUTAÇÃO
Consequentemente P3
7: 
)!rn(
!n
P n
r
−
=
De um modo geral o número de permutações de n itens
tomados r de cada vez (nPr) é igual a:
2105x6x7
)!37(
!7
P
)!rn(
!n
P 7
3
n
r
==
−
==
−
=
© Agnelo Marotta Cassula 26
De maneira geral a fórmula para determinar o número de
permutações é aplicada quando as três regras a seguir
são satisfeitas:
– Todos os itens são diferentes;
– Nenhuma restrição é imposta a posição em que um 
item pode ocupar;
– Nenhum item pode ser usado mais de uma vez.
PERMUTAÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 27
EX.
! O número de permutações de três livros diferentes, A,
B e C, tomados três a três é 6:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
Porém, estas 6 permutações equivalem a uma única
combinação, pois são sempre os mesmos 3 livros
que estão sendo selecionados, não importando a
ordem com que eles são arranjados.
COMBINAÇÃO
! Para r elementos tem-se r! maneiras de arranjá-los e
todas essas maneiras geram uma única combinação.
© Agnelo Marotta Cassula 28
COMBINAÇÃO
! Por isso conclui-se que o número de combinações de n
elementos tomados r de cada vez é r! vezes menor que
a permutação de n elementos tomados r de cada vez.
Cr
n x r! = Pr
n ou
!r)!rn(
!n
!r
P
C
n
r
n
r
×−
==
© Agnelo Marotta Cassula 29
COMBINAÇÃO
EX.
! Determinar o número de combinações de 3 letras
possíveis de ser formado com as quatro primeiras
letras do alfabeto, ou seja: A, B, C, D.
!r)!rn(
!n
C n
r
×−
=
4
!3)!34(
!4
C 4
3
=
×−
=
ABC, ABD, ACD, BCD
© Agnelo Marotta Cassula 30
Para o cálculo de índices de confiabilidade, o conceito
de combinação é mais usual, pois é mais importante
conhecer qual a combinação de eventos que levam o
sistema a falhar e não a sequência em que esses
eventos ocorrem. Entretanto, existem situações em que
a sequência (permutação) também se faz necessário.
APLICAÇÃO EM CONFIABILIDADE
© Agnelo Marotta Cassula 31
Regra Nº1 – Eventos Independentes
! Dois eventos são independentes se a ocorrência de um 
não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
Regra Nº2 – Eventos mutuamente exclusivos
! Dois eventos são mutuamente exclusivos ou disjuntos se 
eles não podem ocorrer no mesmo instante.
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 32
Regra Nº3 – Eventos complementares
! Dois acontecimentos de um evento são complementares 
se quando um deles ocorrer o outro não pode ocorrer. Um 
evento é o complemento do outro e, portanto, a soma dos 
dois é igual a unidade.
Regra Nº4 – Eventos condicionais
! Eventos condicionais são aqueles eventos que ocorrem 
condicionados à ocorrência de outro evento ou eventos.
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 29
COMBINAÇÃO
EX.
! Determinar o número de combinações de 3 letras
possíveis de ser formado com as quatro primeiras
letras do alfabeto, ou seja: A, B, C, D.
!r)!rn(
!n
C n
r
×−
=
4
!3)!34(
!4
C 4
3
=
×−
=
ABC, ABD, ACD, BCD
© Agnelo Marotta Cassula 30
Para o cálculo de índices de confiabilidade, o conceito
de combinação é mais usual, pois é mais importante
conhecer qual a combinação de eventos que levam o
sistema a falhar e não a sequência em que esses
eventos ocorrem. Entretanto, existem situações em que
a sequência (permutação) também se faz necessário.
APLICAÇÃO EM CONFIABILIDADE
© Agnelo Marotta Cassula 31
Regra Nº1 – Eventos Independentes
! Dois eventos são independentes se a ocorrência de um 
não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
Regra Nº2 – Eventos mutuamente exclusivos
! Dois eventos são mutuamente exclusivos ou disjuntos se 
eles não podem ocorrer no mesmo instante.
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 32
Regra Nº3 – Eventos complementares
! Dois acontecimentos de um evento são complementares 
se quando um deles ocorrer o outro não pode ocorrer. Um 
evento é o complemento do outro e, portanto, a soma dos 
dois é igual a unidade.
Regra Nº4 – Eventos condicionais
! Eventos condicionais são aqueles eventos que ocorrem 
condicionados à ocorrência de outro evento ou eventos.
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 29
COMBINAÇÃO
EX.
! Determinar o númerode combinações de 3 letras
possíveis de ser formado com as quatro primeiras
letras do alfabeto, ou seja: A, B, C, D.
!r)!rn(
!n
C n
r
×−
=
4
!3)!34(
!4
C 4
3
=
×−
=
ABC, ABD, ACD, BCD
© Agnelo Marotta Cassula 30
Para o cálculo de índices de confiabilidade, o conceito
de combinação é mais usual, pois é mais importante
conhecer qual a combinação de eventos que levam o
sistema a falhar e não a sequência em que esses
eventos ocorrem. Entretanto, existem situações em que
a sequência (permutação) também se faz necessário.
APLICAÇÃO EM CONFIABILIDADE
© Agnelo Marotta Cassula 31
Regra Nº1 – Eventos Independentes
! Dois eventos são independentes se a ocorrência de um 
não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
Regra Nº2 – Eventos mutuamente exclusivos
! Dois eventos são mutuamente exclusivos ou disjuntos se 
eles não podem ocorrer no mesmo instante.
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 32
Regra Nº3 – Eventos complementares
! Dois acontecimentos de um evento são complementares 
se quando um deles ocorrer o outro não pode ocorrer. Um 
evento é o complemento do outro e, portanto, a soma dos 
dois é igual a unidade.
Regra Nº4 – Eventos condicionais
! Eventos condicionais são aqueles eventos que ocorrem 
condicionados à ocorrência de outro evento ou eventos.
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 29
COMBINAÇÃO
EX.
! Determinar o número de combinações de 3 letras
possíveis de ser formado com as quatro primeiras
letras do alfabeto, ou seja: A, B, C, D.
!r)!rn(
!n
C n
r
×−
=
4
!3)!34(
!4
C 4
3
=
×−
=
ABC, ABD, ACD, BCD
© Agnelo Marotta Cassula 30
Para o cálculo de índices de confiabilidade, o conceito
de combinação é mais usual, pois é mais importante
conhecer qual a combinação de eventos que levam o
sistema a falhar e não a sequência em que esses
eventos ocorrem. Entretanto, existem situações em que
a sequência (permutação) também se faz necessário.
APLICAÇÃO EM CONFIABILIDADE
© Agnelo Marotta Cassula 31
Regra Nº1 – Eventos Independentes
! Dois eventos são independentes se a ocorrência de um 
não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
Regra Nº2 – Eventos mutuamente exclusivos
! Dois eventos são mutuamente exclusivos ou disjuntos se 
eles não podem ocorrer no mesmo instante.
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 32
Regra Nº3 – Eventos complementares
! Dois acontecimentos de um evento são complementares 
se quando um deles ocorrer o outro não pode ocorrer. Um 
evento é o complemento do outro e, portanto, a soma dos 
dois é igual a unidade.
Regra Nº4 – Eventos condicionais
! Eventos condicionais são aqueles eventos que ocorrem 
condicionados à ocorrência de outro evento ou eventos.
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 33
Regra Nº5 – Simultaneidade de Eventos
Matematicamente isto é conhecido como a Interseção de dois 
eventos, expresso como (A ∩ B), (A e B) ou (Ax B).
a) Eventos independentes
Se dois eventos são independentes, por definição a probabilidade 
da ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência 
do outro.
P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) xP(B)
b) Eventos dependentes
P(A ∩ B) = P(A | B) xP(B)
= P(B | A) xP(A)
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 34
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois
Eventos
! Matematicamente isto é conhecido como a União de 
dois eventos, expresso como (A ∪ B), (A ou B) ou (A+B).
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 35
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois
Eventos - União
a) Eventos independentes e mutuamente exclusivos
A B
S
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 36
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois 
Eventos – União
b) Eventos não mutuamente exclusivos (podem ocorrer ao 
mesmo tempo) e independentes
A
B
S
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
LEIS DAS PROBABILIDADES
= P(A) + P(B) – P(A)xP(B)
© Agnelo Marotta Cassula 33
Regra Nº5 – Simultaneidade de Eventos
Matematicamente isto é conhecido como a Interseção de dois 
eventos, expresso como (A ∩ B), (A e B) ou (Ax B).
a) Eventos independentes
Se dois eventos são independentes, por definição a probabilidade 
da ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência 
do outro.
P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) xP(B)
b) Eventos dependentes
P(A ∩ B) = P(A | B) xP(B)
= P(B | A) xP(A)
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 34
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois
Eventos
! Matematicamente isto é conhecido como a União de 
dois eventos, expresso como (A ∪ B), (A ou B) ou (A+B).
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 35
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois
Eventos - União
a) Eventos independentes e mutuamente exclusivos
A B
S
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 36
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois 
Eventos – União
b) Eventos não mutuamente exclusivos (podem ocorrer ao 
mesmo tempo) e independentes
A
B
S
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
LEIS DAS PROBABILIDADES
= P(A) + P(B) – P(A)xP(B)
© Agnelo Marotta Cassula 33
Regra Nº5 – Simultaneidade de Eventos
Matematicamente isto é conhecido como a Interseção de dois 
eventos, expresso como (A ∩ B), (A e B) ou (Ax B).
a) Eventos independentes
Se dois eventos são independentes, por definição a probabilidade 
da ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência 
do outro.
P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) xP(B)
b) Eventos dependentes
P(A ∩ B) = P(A | B) xP(B)
= P(B | A) xP(A)
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 34
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois
Eventos
! Matematicamente isto é conhecido como a União de 
dois eventos, expresso como (A ∪ B), (A ou B) ou (A+B).
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 35
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois
Eventos - União
a) Eventos independentes e mutuamente exclusivos
A B
S
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 36
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois 
Eventos – União
b) Eventos não mutuamente exclusivos (podem ocorrer ao 
mesmo tempo) e independentes
A
B
S
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
LEIS DAS PROBABILIDADES
= P(A) + P(B) – P(A)xP(B)
© Agnelo Marotta Cassula 33
Regra Nº5 – Simultaneidade de Eventos
Matematicamente isto é conhecido como a Interseção de dois 
eventos, expresso como (A ∩ B), (A e B) ou (Ax B).
a) Eventos independentes
Se dois eventos são independentes, por definição a probabilidade 
da ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência 
do outro.
P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) xP(B)
b) Eventos dependentes
P(A ∩ B) = P(A | B) xP(B)
= P(B | A) xP(A)
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 34
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois
Eventos
! Matematicamente isto é conhecido como a União de 
dois eventos, expresso como (A ∪ B), (A ou B) ou (A+B).
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 35
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois
Eventos - União
a) Eventos independentes e mutuamente exclusivos
A B
S
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 36
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois 
Eventos – União
b) Eventos não mutuamente exclusivos (podem ocorrer ao 
mesmo tempo) e independentes
A
B
S
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
LEIS DAS PROBABILIDADES
= P(A) + P(B) – P(A)xP(B)
© Agnelo Marotta Cassula 37
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois 
Eventos - União
c) Eventos não mutuamente exclusivos (podem ocorrer ao 
mesmo tempo) e dependentes
Neste caso temos a forma geral:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
LEIS DAS PROBABILIDADES
A
B
S
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A | B) x P (B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(B | A) x P (A)
© Agnelo Marotta Cassula 38
Considere a probabilidade denum baralho se retirar uma 
carta vermelha, ou uma carta com figura, ou ambas.
Cartas no baralho = 52 
Cartas vermelhas (A) = 26 => P(A) = 26/52
Cartas com figuras (B) = 12 => P(B) = 12/52
Eventos não mutuamente exclusivos e dependentes, logo:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A | B) x P(B)
P(A | B) = 6/12 (probabilidade de ser uma carta vermelha dado que a carta é uma figura)
P(A ∪ B) = 26/52 + 12/52 – (6/12) x (12/52) = 8/13
ou
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(B | A) x P(A)
P(B | A) = 6/26 (probabilidade de ser uma figura dado que é uma carta vermelha)
P(A ∪ B) = 26/52 + 12/52 – (6/26) x (26/52) = 8/13
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 39
Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade condicionada
! A ocorrência de um evento pode estar condicionada à 
ocorrência de um número i de eventos Bi que são 
mutuamente exclusivos.
P(A ∩ B1) = P(A | B1) x P(B1)
P(A ∩ B2) = P(A | B2) x P(B2)
.
.
.
Σ P(A ∩ Bi) = P(A)= Σ P(A | Bi) x P(Bi)
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 40
Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade condicionada
A
B1
S
P(A) = Σ P(A ∩ Bi), como os eventos são dependentes:
P(A) = Σ P(A | Bi) x P(Bi)
B2 B3
B4
B6
Bi
B5
que é a equação para cálculo das probabilidades
condicionadas.
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 37
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois 
Eventos - União
c) Eventos não mutuamente exclusivos (podem ocorrer ao 
mesmo tempo) e dependentes
Neste caso temos a forma geral:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
LEIS DAS PROBABILIDADES
A
B
S
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A | B) x P (B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(B | A) x P (A)
© Agnelo Marotta Cassula 38
Considere a probabilidade de num baralho se retirar uma 
carta vermelha, ou uma carta com figura, ou ambas.
Cartas no baralho = 52 
Cartas vermelhas (A) = 26 => P(A) = 26/52
Cartas com figuras (B) = 12 => P(B) = 12/52
Eventos não mutuamente exclusivos e dependentes, logo:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A | B) x P(B)
P(A | B) = 6/12 (probabilidade de ser uma carta vermelha dado que a carta é uma figura)
P(A ∪ B) = 26/52 + 12/52 – (6/12) x (12/52) = 8/13
ou
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(B | A) x P(A)
P(B | A) = 6/26 (probabilidade de ser uma figura dado que é uma carta vermelha)
P(A ∪ B) = 26/52 + 12/52 – (6/26) x (26/52) = 8/13
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 39
Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade condicionada
! A ocorrência de um evento pode estar condicionada à 
ocorrência de um número i de eventos Bi que são 
mutuamente exclusivos.
P(A ∩ B1) = P(A | B1) x P(B1)
P(A ∩ B2) = P(A | B2) x P(B2)
.
.
.
Σ P(A ∩ Bi) = P(A)= Σ P(A | Bi) x P(Bi)
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 40
Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade condicionada
A
B1
S
P(A) = Σ P(A ∩ Bi), como os eventos são dependentes:
P(A) = Σ P(A | Bi) x P(Bi)
B2 B3
B4
B6
Bi
B5
que é a equação para cálculo das probabilidades
condicionadas.
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 37
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois 
Eventos - União
c) Eventos não mutuamente exclusivos (podem ocorrer ao 
mesmo tempo) e dependentes
Neste caso temos a forma geral:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
LEIS DAS PROBABILIDADES
A
B
S
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A | B) x P (B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(B | A) x P (A)
© Agnelo Marotta Cassula 38
Considere a probabilidade de num baralho se retirar uma 
carta vermelha, ou uma carta com figura, ou ambas.
Cartas no baralho = 52 
Cartas vermelhas (A) = 26 => P(A) = 26/52
Cartas com figuras (B) = 12 => P(B) = 12/52
Eventos não mutuamente exclusivos e dependentes, logo:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A | B) x P(B)
P(A | B) = 6/12 (probabilidade de ser uma carta vermelha dado que a carta é uma figura)
P(A ∪ B) = 26/52 + 12/52 – (6/12) x (12/52) = 8/13
ou
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(B | A) x P(A)
P(B | A) = 6/26 (probabilidade de ser uma figura dado que é uma carta vermelha)
P(A ∪ B) = 26/52 + 12/52 – (6/26) x (26/52) = 8/13
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 39
Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade condicionada
! A ocorrência de um evento pode estar condicionada à 
ocorrência de um número i de eventos Bi que são 
mutuamente exclusivos.
P(A ∩ B1) = P(A | B1) x P(B1)
P(A ∩ B2) = P(A | B2) x P(B2)
.
.
.
Σ P(A ∩ Bi) = P(A)= Σ P(A | Bi) x P(Bi)
LEIS DAS PROBABILIDADES
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Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade condicionada
A
B1
S
P(A) = Σ P(A ∩ Bi), como os eventos são dependentes:
P(A) = Σ P(A | Bi) x P(Bi)
B2 B3
B4
B6
Bi
B5
que é a equação para cálculo das probabilidades
condicionadas.
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 37
Regra Nº6 – Ocorrência de pelo menos um de dois 
Eventos - União
c) Eventos não mutuamente exclusivos (podem ocorrer ao 
mesmo tempo) e dependentes
Neste caso temos a forma geral:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
LEIS DAS PROBABILIDADES
A
B
S
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A | B) x P (B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(B | A) x P (A)
© Agnelo Marotta Cassula 38
Considere a probabilidade de num baralho se retirar uma 
carta vermelha, ou uma carta com figura, ou ambas.
Cartas no baralho = 52 
Cartas vermelhas (A) = 26 => P(A) = 26/52
Cartas com figuras (B) = 12 => P(B) = 12/52
Eventos não mutuamente exclusivos e dependentes, logo:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A | B) x P(B)
P(A | B) = 6/12 (probabilidade de ser uma carta vermelha dado que a carta é uma figura)
P(A ∪ B) = 26/52 + 12/52 – (6/12) x (12/52) = 8/13
ou
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(B | A) x P(A)
P(B | A) = 6/26 (probabilidade de ser uma figura dado que é uma carta vermelha)
P(A ∪ B) = 26/52 + 12/52 – (6/26) x (26/52) = 8/13
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 39
Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade condicionada
! A ocorrência de um evento pode estar condicionada à 
ocorrência de um número i de eventos Bi que são 
mutuamente exclusivos.
P(A ∩ B1) = P(A | B1) x P(B1)
P(A ∩ B2) = P(A | B2) x P(B2)
.
.
.
Σ P(A ∩ Bi) = P(A)= Σ P(A | Bi) x P(Bi)
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 40
Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade condicionada
A
B1
S
P(A) = Σ P(A ∩ Bi), como os eventos são dependentes:
P(A) = Σ P(A | Bi) x P(Bi)
B2 B3
B4
B6
Bi
B5
que é a equação para cálculo das probabilidades
condicionadas.
LEIS DAS PROBABILIDADES
© Agnelo Marotta Cassula 41
Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade Condicionada
LEIS DAS PROBABILIDADES
Considere um sistema com dois componentes, A e B, a dois estados:
funcionamento e falha. Assuma que o sistema falha apenas se ambos
falharem. Deduza a probabilidade do sistema falhar, se QA e QB são as
probabilidades de falha dos componentes.
P(sist. falha) = P(sist. falha | B não falha) x P(B não falha) +
P(sist. falha | B falha) x P(B falha)
P(sist. falha) = 0 x (1 – QB) + (QA x QB) = QA x QB
P(sist. falha) = P(sist. falha | A não falha) x P(A não falha) +
P(sist. falha | A falha) x P(A falha)
P(sist. falha) = 0 x (1 – QA) + (QB x QA) = QA x QB
A
B
Sistema Paralelo
OU
© Agnelo Marotta Cassula 42
Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade Condicionada
LEIS DAS PROBABILIDADES
Considere um sistema com dois componentes, A e B, a dois estados:
funcionamento e falha. Assuma que o sistema funciona apenas se ambos
funcionarem. Deduza a probabilidade do sistema funcionar se RA e RB
são as probabilidades de funcionamento dos componentes.
P(sist. func.) = P(sist. func. | B não func.) x P(B não func.) +
P(sist. func. | B func.) x P(B func.)
P (sist. func.) = 0 x (1 – RB) + RA x RB = RA x RB
P(sist. func.) = P(sist. func. | A não func.) x P(A não func.) +
P(sist. func. | A func.) x P(A func.)
P (sist. func.) = 0 x (1 – RA) + RB x RA = RA x RB
Sistema Série
OU
BA
© Agnelo Marotta Cassula 41
Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade Condicionada
LEIS DASPROBABILIDADES
Considere um sistema com dois componentes, A e B, a dois estados:
funcionamento e falha. Assuma que o sistema falha apenas se ambos
falharem. Deduza a probabilidade do sistema falhar, se QA e QB são as
probabilidades de falha dos componentes.
P(sist. falha) = P(sist. falha | B não falha) x P(B não falha) +
P(sist. falha | B falha) x P(B falha)
P(sist. falha) = 0 x (1 – QB) + (QA x QB) = QA x QB
P(sist. falha) = P(sist. falha | A não falha) x P(A não falha) +
P(sist. falha | A falha) x P(A falha)
P(sist. falha) = 0 x (1 – QA) + (QB x QA) = QA x QB
A
B
Sistema Paralelo
OU
© Agnelo Marotta Cassula 42
Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade Condicionada
LEIS DAS PROBABILIDADES
Considere um sistema com dois componentes, A e B, a dois estados:
funcionamento e falha. Assuma que o sistema funciona apenas se ambos
funcionarem. Deduza a probabilidade do sistema funcionar se RA e RB
são as probabilidades de funcionamento dos componentes.
P(sist. func.) = P(sist. func. | B não func.) x P(B não func.) +
P(sist. func. | B func.) x P(B func.)
P (sist. func.) = 0 x (1 – RB) + RA x RB = RA x RB
P(sist. func.) = P(sist. func. | A não func.) x P(A não func.) +
P(sist. func. | A func.) x P(A func.)
P (sist. func.) = 0 x (1 – RA) + RB x RA = RA x RB
Sistema Série
OU
BA
© Agnelo Marotta Cassula 41
Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade Condicionada
LEIS DAS PROBABILIDADES
Considere um sistema com dois componentes, A e B, a dois estados:
funcionamento e falha. Assuma que o sistema falha apenas se ambos
falharem. Deduza a probabilidade do sistema falhar, se QA e QB são as
probabilidades de falha dos componentes.
P(sist. falha) = P(sist. falha | B não falha) x P(B não falha) +
P(sist. falha | B falha) x P(B falha)
P(sist. falha) = 0 x (1 – QB) + (QA x QB) = QA x QB
P(sist. falha) = P(sist. falha | A não falha) x P(A não falha) +
P(sist. falha | A falha) x P(A falha)
P(sist. falha) = 0 x (1 – QA) + (QB x QA) = QA x QB
A
B
Sistema Paralelo
OU
© Agnelo Marotta Cassula 42
Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade Condicionada
LEIS DAS PROBABILIDADES
Considere um sistema com dois componentes, A e B, a dois estados:
funcionamento e falha. Assuma que o sistema funciona apenas se ambos
funcionarem. Deduza a probabilidade do sistema funcionar se RA e RB
são as probabilidades de funcionamento dos componentes.
P(sist. func.) = P(sist. func. | B não func.) x P(B não func.) +
P(sist. func. | B func.) x P(B func.)
P (sist. func.) = 0 x (1 – RB) + RA x RB = RA x RB
P(sist. func.) = P(sist. func. | A não func.) x P(A não func.) +
P(sist. func. | A func.) x P(A func.)
P (sist. func.) = 0 x (1 – RA) + RB x RA = RA x RB
Sistema Série
OU
BA
© Agnelo Marotta Cassula 41
Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade Condicionada
LEIS DAS PROBABILIDADES
Considere um sistema com dois componentes, A e B, a dois estados:
funcionamento e falha. Assuma que o sistema falha apenas se ambos
falharem. Deduza a probabilidade do sistema falhar, se QA e QB são as
probabilidades de falha dos componentes.
P(sist. falha) = P(sist. falha | B não falha) x P(B não falha) +
P(sist. falha | B falha) x P(B falha)
P(sist. falha) = 0 x (1 – QB) + (QA x QB) = QA x QB
P(sist. falha) = P(sist. falha | A não falha) x P(A não falha) +
P(sist. falha | A falha) x P(A falha)
P(sist. falha) = 0 x (1 – QA) + (QB x QA) = QA x QB
A
B
Sistema Paralelo
OU
© Agnelo Marotta Cassula 42
Regra Nº7 – Aplicação da Probabilidade Condicionada
LEIS DAS PROBABILIDADES
Considere um sistema com dois componentes, A e B, a dois estados:
funcionamento e falha. Assuma que o sistema funciona apenas se ambos
funcionarem. Deduza a probabilidade do sistema funcionar se RA e RB
são as probabilidades de funcionamento dos componentes.
P(sist. func.) = P(sist. func. | B não func.) x P(B não func.) +
P(sist. func. | B func.) x P(B func.)
P (sist. func.) = 0 x (1 – RB) + RA x RB = RA x RB
P(sist. func.) = P(sist. func. | A não func.) x P(A não func.) +
P(sist. func. | A func.) x P(A func.)
P (sist. func.) = 0 x (1 – RA) + RB x RA = RA x RB
Sistema Série
OU
BA
FACULDADE DE ENGENHARIA
GUARATINGUETÁ
CONFIABILIDADECONFIABILIDADECONFIABILIDADECONFIABILIDADE
Prof. Dr. Agnelo Marotta Cassula
Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá
© Agnelo Marotta Cassula 2
BIBLIOGRAFIA
© Agnelo Marotta Cassula 3
Introdução
CONFIABILIDADE
© Agnelo Marotta Cassula 4
“Confiabilidade é a probabilidade de um
dispositivo desempenhar seu propósito adequa-
damente durante o tempo desejado, sob as
condições operativas encontradas”.
DEFINIÇÃO
Probabilidade
Desempenho adequado
Tempo
Condições de operação
Nesta definição existem 4 parâmetros importantes:
FACULDADE DE ENGENHARIA
GUARATINGUETÁ
CONFIABILIDADECONFIABILIDADECONFIABILIDADECONFIABILIDADE
Prof. Dr. Agnelo Marotta Cassula
Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá
© Agnelo Marotta Cassula 2
BIBLIOGRAFIA
© Agnelo Marotta Cassula 3
Introdução
CONFIABILIDADE
© Agnelo Marotta Cassula 4
“Confiabilidade é a probabilidade de um
dispositivo desempenhar seu propósito adequa-
damente durante o tempo desejado, sob as
condições operativas encontradas”.
DEFINIÇÃO
Probabilidade
Desempenho adequado
Tempo
Condições de operação
Nesta definição existem 4 parâmetros importantes:
FACULDADE DE ENGENHARIA
GUARATINGUETÁ
CONFIABILIDADECONFIABILIDADECONFIABILIDADECONFIABILIDADE
Prof. Dr. Agnelo Marotta Cassula
Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá
© Agnelo Marotta Cassula 2
BIBLIOGRAFIA
© Agnelo Marotta Cassula 3
Introdução
CONFIABILIDADE
© Agnelo Marotta Cassula 4
“Confiabilidade é a probabilidade de um
dispositivo desempenhar seu propósito adequa-
damente durante o tempo desejado, sob as
condições operativas encontradas”.
DEFINIÇÃO
Probabilidade
Desempenho adequado
Tempo
Condições de operação
Nesta definição existem 4 parâmetros importantes:
FACULDADE DE ENGENHARIA
GUARATINGUETÁ
CONFIABILIDADECONFIABILIDADECONFIABILIDADECONFIABILIDADE
Prof. Dr. Agnelo Marotta Cassula
Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá
© Agnelo Marotta Cassula 2
BIBLIOGRAFIA
© Agnelo Marotta Cassula 3
Introdução
CONFIABILIDADE
© Agnelo Marotta Cassula 4
“Confiabilidade é a probabilidade de um
dispositivo desempenhar seu propósito adequa-
damente durante o tempo desejado, sob as
condições operativas encontradas”.
DEFINIÇÃO
Probabilidade
Desempenho adequado
Tempo
Condições de operação
Nesta definição existem 4 parâmetros importantes:
© Agnelo Marotta Cassula 5
Em nossa sociedade moderna, os engenheiros são
responsáveis pelo planejamento, projeto e construção
de produtos que vão de simples aparelhos a sistemas
extremamente complexos.
A falha destes, pode causar efeitos que vão da
inconveniência e irritação a impactos bastante
severos para a sociedade e meio ambiente. Portanto,
é fundamental saber o quão confiável e seguro são os
produtos que utilizamos.
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 6
As técnicas de avaliação da confiabilidade,
inicialmente voltadas às industrias militares e
aeroespaciais, encontraram grande aplicação nas
usinas nucleares, no setor elétrico e nos processos de
fabricação contínuos (siderurgia e química). Em
todos estes casos as falhas implicam em
consequências que podem ser bastante severas para a
sociedade e/ou meio ambiente.
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 7
Atualmente, as técnicas de confiabilidade são
também empregadas na fabricação de aparelhos
eletrodomésticos, automóveis etc., cujo impacto de
uma falha é relativamente pequeno. Basicamente tais
técnicas devem avaliar o comportamento futuro dos
equipamentos e sistemas. O período futuro pode
variar de segundos (míssil terra-ar) a décadas
(geradores elétricos). Em qualquer caso, devido à
natureza estocástica das falhas e de outros
parâmetros, o problema não é determinístico.
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 8
Na avaliação da confiabilidade são obtidos diversos
índices de confiabilidade.
A definição de um nível adequado deconfiabilidade
é uma tarefa difícil, pois depende do sistema e das
consequências associadas aos diversos modos de
falha. Em muitos casos não é importante definir um
nível absoluto de confiabilidade, e sim, o quanto a
confiabilidade de um sistema é melhorada por dollar
investido.
INTRODUÇÃO
Importância da Confiabilidade
Estocástico = Probabilístico
Custo Benefício
© Agnelo Marotta Cassula 5
Em nossa sociedade moderna, os engenheiros são
responsáveis pelo planejamento, projeto e construção
de produtos que vão de simples aparelhos a sistemas
extremamente complexos.
A falha destes, pode causar efeitos que vão da
inconveniência e irritação a impactos bastante
severos para a sociedade e meio ambiente. Portanto,
é fundamental saber o quão confiável e seguro são os
produtos que utilizamos.
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 6
As técnicas de avaliação da confiabilidade,
inicialmente voltadas às industrias militares e
aeroespaciais, encontraram grande aplicação nas
usinas nucleares, no setor elétrico e nos processos de
fabricação contínuos (siderurgia e química). Em
todos estes casos as falhas implicam em
consequências que podem ser bastante severas para a
sociedade e/ou meio ambiente.
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 7
Atualmente, as técnicas de confiabilidade são
também empregadas na fabricação de aparelhos
eletrodomésticos, automóveis etc., cujo impacto de
uma falha é relativamente pequeno. Basicamente tais
técnicas devem avaliar o comportamento futuro dos
equipamentos e sistemas. O período futuro pode
variar de segundos (míssil terra-ar) a décadas
(geradores elétricos). Em qualquer caso, devido à
natureza estocástica das falhas e de outros
parâmetros, o problema não é determinístico.
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 8
Na avaliação da confiabilidade são obtidos diversos
índices de confiabilidade.
A definição de um nível adequado de confiabilidade
é uma tarefa difícil, pois depende do sistema e das
consequências associadas aos diversos modos de
falha. Em muitos casos não é importante definir um
nível absoluto de confiabilidade, e sim, o quanto a
confiabilidade de um sistema é melhorada por dollar
investido.
INTRODUÇÃO
Importância da Confiabilidade
Estocástico = Probabilístico
Custo Benefício
© Agnelo Marotta Cassula 5
Em nossa sociedade moderna, os engenheiros são
responsáveis pelo planejamento, projeto e construção
de produtos que vão de simples aparelhos a sistemas
extremamente complexos.
A falha destes, pode causar efeitos que vão da
inconveniência e irritação a impactos bastante
severos para a sociedade e meio ambiente. Portanto,
é fundamental saber o quão confiável e seguro são os
produtos que utilizamos.
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 6
As técnicas de avaliação da confiabilidade,
inicialmente voltadas às industrias militares e
aeroespaciais, encontraram grande aplicação nas
usinas nucleares, no setor elétrico e nos processos de
fabricação contínuos (siderurgia e química). Em
todos estes casos as falhas implicam em
consequências que podem ser bastante severas para a
sociedade e/ou meio ambiente.
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 7
Atualmente, as técnicas de confiabilidade são
também empregadas na fabricação de aparelhos
eletrodomésticos, automóveis etc., cujo impacto de
uma falha é relativamente pequeno. Basicamente tais
técnicas devem avaliar o comportamento futuro dos
equipamentos e sistemas. O período futuro pode
variar de segundos (míssil terra-ar) a décadas
(geradores elétricos). Em qualquer caso, devido à
natureza estocástica das falhas e de outros
parâmetros, o problema não é determinístico.
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 8
Na avaliação da confiabilidade são obtidos diversos
índices de confiabilidade.
A definição de um nível adequado de confiabilidade
é uma tarefa difícil, pois depende do sistema e das
consequências associadas aos diversos modos de
falha. Em muitos casos não é importante definir um
nível absoluto de confiabilidade, e sim, o quanto a
confiabilidade de um sistema é melhorada por dollar
investido.
INTRODUÇÃO
Importância da Confiabilidade
Estocástico = Probabilístico
Custo Benefício
© Agnelo Marotta Cassula 5
Em nossa sociedade moderna, os engenheiros são
responsáveis pelo planejamento, projeto e construção
de produtos que vão de simples aparelhos a sistemas
extremamente complexos.
A falha destes, pode causar efeitos que vão da
inconveniência e irritação a impactos bastante
severos para a sociedade e meio ambiente. Portanto,
é fundamental saber o quão confiável e seguro são os
produtos que utilizamos.
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 6
As técnicas de avaliação da confiabilidade,
inicialmente voltadas às industrias militares e
aeroespaciais, encontraram grande aplicação nas
usinas nucleares, no setor elétrico e nos processos de
fabricação contínuos (siderurgia e química). Em
todos estes casos as falhas implicam em
consequências que podem ser bastante severas para a
sociedade e/ou meio ambiente.
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 7
Atualmente, as técnicas de confiabilidade são
também empregadas na fabricação de aparelhos
eletrodomésticos, automóveis etc., cujo impacto de
uma falha é relativamente pequeno. Basicamente tais
técnicas devem avaliar o comportamento futuro dos
equipamentos e sistemas. O período futuro pode
variar de segundos (míssil terra-ar) a décadas
(geradores elétricos). Em qualquer caso, devido à
natureza estocástica das falhas e de outros
parâmetros, o problema não é determinístico.
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 8
Na avaliação da confiabilidade são obtidos diversos
índices de confiabilidade.
A definição de um nível adequado de confiabilidade
é uma tarefa difícil, pois depende do sistema e das
consequências associadas aos diversos modos de
falha. Em muitos casos não é importante definir um
nível absoluto de confiabilidade, e sim, o quanto a
confiabilidade de um sistema é melhorada por dollar
investido.
INTRODUÇÃO
Importância da Confiabilidade
Estocástico = Probabilístico
Custo Benefício
© Agnelo Marotta Cassula 9
Em qual situação é mais seguro se encontrar?
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 10
Custo do investimento
C
o
n
fi
ab
il
id
ad
e
1,0
∆∆∆∆C
∆∆∆∆R
Custo incremental da Confiabilidade
CUSTO INCREMENTAL
∆∆∆∆C
∆∆∆∆R
∆∆∆∆C
∆∆∆∆R
© Agnelo Marotta Cassula 11
Confiabilidade
C
u
st
o
Custo incremental da Confiabilidade
Custo do
investimento
Custo da
interrupção
Custo do
ciclo de vida
CUSTO DO CICLO DE VIDA
© Agnelo Marotta Cassula 12
Transmissão
Geração
Distribuição
Sistema
Energético
Nível Hierárquico 0
NH0
Nível Hierárquico 1
NH1
Nível Hierárquico 2
NH2
Nível Hierárquico 3
NH3
NÍVEIS HIERÁRQUICOS
Vale a pea invstir até o 
valor mínimo da curva. 
Quando se desloca para 
a direita, existe muito 
g a s t o p a r a u m 
a c r e s c i m o p o u c o 
s i g n i f c a t i v o d e 
confiabilidade.
Ambiente bem 
c o n t r o l a d o 
q u e 
dificilmente dá 
problema
O índice de 
falhas é baixo 
por conta da 
l o c a l i z a ç ã o 
(difícil acesso)
Maior índice de 
falhas -> Desasters 
Naturais, chuvas, 
t e m p e s t a d e s . 
Galhos = 70%
Reso lução: Inves t imento na 
previsão do tempo. Tendo a 
previsão, é possível enviar equipes 
de manutenção para as áreas que 
será afetadas.
Maior dificuldade é o TEMPO: identificação 
do problema (apos 5 rec lamacoes), 
locomoção (transito devido a falta de 
energia), resolução.
Escassez de materia prima;
© Agnelo Marotta Cassula 9
Em qual situação é mais seguro se encontrar?
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 10
Custo do investimento
C
o
n
fi
ab
il
id
ad
e
1,0
∆∆∆∆C
∆∆∆∆R
Custo incremental da Confiabilidade
CUSTO INCREMENTAL
∆∆∆∆C
∆∆∆∆R
∆∆∆∆C
∆∆∆∆R
© Agnelo Marotta Cassula 11
Confiabilidade
C
u
st
o
Custo incremental da Confiabilidade
Custo do
investimento
Custo da
interrupção
Custo do
ciclo de vida
CUSTO DO CICLO DE VIDA
© Agnelo Marotta Cassula 12
TransmissãoGeração
Distribuição
Sistema
Energético
Nível Hierárquico 0
NH0
Nível Hierárquico 1
NH1
Nível Hierárquico 2
NH2
Nível Hierárquico 3
NH3
NÍVEIS HIERÁRQUICOS
Vale a pea invstir até o 
valor mínimo da curva. 
Quando se desloca para 
a direita, existe muito 
g a s t o p a r a u m 
a c r e s c i m o p o u c o 
s i g n i f c a t i v o d e 
confiabilidade.
Ambiente bem 
c o n t r o l a d o 
q u e 
dificilmente dá 
problema
O índice de 
falhas é baixo 
por conta da 
l o c a l i z a ç ã o 
(difícil acesso)
Maior índice de 
falhas -> Desasters 
Naturais, chuvas, 
t e m p e s t a d e s . 
Galhos = 70%
Reso lução: Inves t imento na 
previsão do tempo. Tendo a 
previsão, é possível enviar equipes 
de manutenção para as áreas que 
será afetadas.
Maior dificuldade é o TEMPO: identificação 
do problema (apos 5 rec lamacoes), 
locomoção (transito devido a falta de 
energia), resolução.
Escassez de materia prima;
© Agnelo Marotta Cassula 9
Em qual situação é mais seguro se encontrar?
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 10
Custo do investimento
C
o
n
fi
ab
il
id
ad
e
1,0
∆∆∆∆C
∆∆∆∆R
Custo incremental da Confiabilidade
CUSTO INCREMENTAL
∆∆∆∆C
∆∆∆∆R
∆∆∆∆C
∆∆∆∆R
© Agnelo Marotta Cassula 11
Confiabilidade
C
u
st
o
Custo incremental da Confiabilidade
Custo do
investimento
Custo da
interrupção
Custo do
ciclo de vida
CUSTO DO CICLO DE VIDA
© Agnelo Marotta Cassula 12
Transmissão
Geração
Distribuição
Sistema
Energético
Nível Hierárquico 0
NH0
Nível Hierárquico 1
NH1
Nível Hierárquico 2
NH2
Nível Hierárquico 3
NH3
NÍVEIS HIERÁRQUICOS
Vale a pea invstir até o 
valor mínimo da curva. 
Quando se desloca para 
a direita, existe muito 
g a s t o p a r a u m 
a c r e s c i m o p o u c o 
s i g n i f c a t i v o d e 
confiabilidade.
Ambiente bem 
c o n t r o l a d o 
q u e 
dificilmente dá 
problema
O índice de 
falhas é baixo 
por conta da 
l o c a l i z a ç ã o 
(difícil acesso)
Maior índice de 
falhas -> Desasters 
Naturais, chuvas, 
t e m p e s t a d e s . 
Galhos = 70%
Reso lução: Inves t imento na 
previsão do tempo. Tendo a 
previsão, é possível enviar equipes 
de manutenção para as áreas que 
será afetadas.
Maior dificuldade é o TEMPO: identificação 
do problema (apos 5 rec lamacoes), 
locomoção (transito devido a falta de 
energia), resolução.
Escassez de materia prima;
© Agnelo Marotta Cassula 9
Em qual situação é mais seguro se encontrar?
INTRODUÇÃO
© Agnelo Marotta Cassula 10
Custo do investimento
C
o
n
fi
ab
il
id
ad
e
1,0
∆∆∆∆C
∆∆∆∆R
Custo incremental da Confiabilidade
CUSTO INCREMENTAL
∆∆∆∆C
∆∆∆∆R
∆∆∆∆C
∆∆∆∆R
© Agnelo Marotta Cassula 11
Confiabilidade
C
u
st
o
Custo incremental da Confiabilidade
Custo do
investimento
Custo da
interrupção
Custo do
ciclo de vida
CUSTO DO CICLO DE VIDA
© Agnelo Marotta Cassula 12
Transmissão
Geração
Distribuição
Sistema
Energético
Nível Hierárquico 0
NH0
Nível Hierárquico 1
NH1
Nível Hierárquico 2
NH2
Nível Hierárquico 3
NH3
NÍVEIS HIERÁRQUICOS
Vale a pea invstir até o 
valor mínimo da curva. 
Quando se desloca para 
a direita, existe muito 
g a s t o p a r a u m 
a c r e s c i m o p o u c o 
s i g n i f c a t i v o d e 
confiabilidade.
Ambiente bem 
c o n t r o l a d o 
q u e 
dificilmente dá 
problema
O índice de 
falhas é baixo 
por conta da 
l o c a l i z a ç ã o 
(difícil acesso)
Maior índice de 
falhas -> Desasters 
Naturais, chuvas, 
t e m p e s t a d e s . 
Galhos = 70%
Reso lução: Inves t imento na 
previsão do tempo. Tendo a 
previsão, é possível enviar equipes 
de manutenção para as áreas que 
será afetadas.
Maior dificuldade é o TEMPO: identificação 
do problema (apos 5 rec lamacoes), 
locomoção (transito devido a falta de 
energia), resolução.
Escassez de materia prima;
© Agnelo Marotta Cassula 13
INIDISPONIBILIDADE TÍPICA
Estatística Típica da Indisponibilidade de Energia
Elétrica nos Consumidores.
Indisponibilidade Média / consumidor ano
Sistema minutos %
Geração e Transmissão 0,5 0,5
132 KV 2,3 2,4
66 KV e 33 KV 8,0 8,3
11 KV e 6,6 KV 58,8 60,7
Baixa Tensão 11,5 11,9
Saídas Programadas 15,7 16,2
Total 96,8 100,0
© Agnelo Marotta Cassula 14
Conceitos Básicos 
de
Probabilidade
CONFIABILIDADE
© Agnelo Marotta Cassula 15
Experimento: ao descrever um experimento, deve-se
especificar que operação ou procedimento deve ser
realizado, assim como o que deve ser observado.
Ex.: Jogue uma moeda quatro vezes e observe o no.
de caras.
Eventos: conjunto de resultados possíveis ou subcon-
junto do espaço amostral.
Probabilidade: define quantitativamente a possibili-
dade de um ou mais eventos ocorrerem. Varia entre:
0 (impossibilidade absoluta) e 1 (certeza absoluta).
CONCEITOS
© Agnelo Marotta Cassula 16
PROBABILIDADE
Agrupando os eventos favoráveis em um conjunto e os
desfavoráveis em outro, temos dois conjuntos possíveis.
0 0,5 1
Impossibilidade absoluta 
Certeza absoluta
eventosdepossível.no
sucessos.no
)sucesso(P =
eventosdepossível.no
falhas.no
)falha(P =
Risco = Probabilidade de Falha
© Agnelo Marotta Cassula 13
INIDISPONIBILIDADE TÍPICA
Estatística Típica da Indisponibilidade de Energia
Elétrica nos Consumidores.
Indisponibilidade Média / consumidor ano
Sistema minutos %
Geração e Transmissão 0,5 0,5
132 KV 2,3 2,4
66 KV e 33 KV 8,0 8,3
11 KV e 6,6 KV 58,8 60,7
Baixa Tensão 11,5 11,9
Saídas Programadas 15,7 16,2
Total 96,8 100,0
© Agnelo Marotta Cassula 14
Conceitos Básicos 
de
Probabilidade
CONFIABILIDADE
© Agnelo Marotta Cassula 15
Experimento: ao descrever um experimento, deve-se
especificar que operação ou procedimento deve ser
realizado, assim como o que deve ser observado.
Ex.: Jogue uma moeda quatro vezes e observe o no.
de caras.
Eventos: conjunto de resultados possíveis ou subcon-
junto do espaço amostral.
Probabilidade: define quantitativamente a possibili-
dade de um ou mais eventos ocorrerem. Varia entre:
0 (impossibilidade absoluta) e 1 (certeza absoluta).
CONCEITOS
© Agnelo Marotta Cassula 16
PROBABILIDADE
Agrupando os eventos favoráveis em um conjunto e os
desfavoráveis em outro, temos dois conjuntos possíveis.
0 0,5 1
Impossibilidade absoluta 
Certeza absoluta
eventosdepossível.no
sucessos.no
)sucesso(P =
eventosdepossível.no
falhas.no
)falha(P =
Risco = Probabilidade de Falha
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INIDISPONIBILIDADE TÍPICA
Estatística Típica da Indisponibilidade de Energia
Elétrica nos Consumidores.
Indisponibilidade Média / consumidor ano
Sistema minutos %
Geração e Transmissão 0,5 0,5
132 KV 2,3 2,4
66 KV e 33 KV 8,0 8,3
11 KV e 6,6 KV 58,8 60,7
Baixa Tensão 11,5 11,9
Saídas Programadas 15,7 16,2
Total 96,8 100,0
© Agnelo Marotta Cassula 14
Conceitos Básicos 
de
Probabilidade
CONFIABILIDADE
© Agnelo Marotta Cassula 15
Experimento: ao descrever um experimento, deve-se
especificar que operação ou procedimento deve ser
realizado, assim como o que deve ser observado.
Ex.: Jogue uma moeda quatro vezes e observe o no.
de caras.
Eventos: conjunto de resultados possíveis ou subcon-
junto do espaço amostral.
Probabilidade: define quantitativamente a possibili-
dade de um ou mais eventos ocorrerem. Varia entre:
0 (impossibilidade absoluta) e 1 (certeza absoluta).
CONCEITOS
© Agnelo Marotta Cassula 16
PROBABILIDADE
Agrupando os eventos favoráveis em um conjunto e os
desfavoráveis em outro, temos dois conjuntos possíveis.
0 0,5 1
Impossibilidade absoluta 
Certeza absoluta
eventosdepossível.no
sucessos.no
)sucesso(P =
eventosdepossível.no
falhas.no
)falha(P =
Risco = Probabilidade de Falha
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INIDISPONIBILIDADE TÍPICA
Estatística Típica da Indisponibilidade de Energia
Elétrica nos Consumidores.
Indisponibilidade Média / consumidor ano
Sistema minutos %
Geração e Transmissão 0,5 0,5
132 KV 2,3 2,4
66 KV e 33 KV 8,0 8,3
11 KV e 6,6 KV 58,8 60,7
Baixa Tensão 11,5 11,9
Saídas Programadas 15,7 16,2
Total 96,8 100,0
© Agnelo Marotta Cassula 14Conceitos Básicos 
de
Probabilidade
CONFIABILIDADE
© Agnelo Marotta Cassula 15
Experimento: ao descrever um experimento, deve-se
especificar que operação ou procedimento deve ser
realizado, assim como o que deve ser observado.
Ex.: Jogue uma moeda quatro vezes e observe o no.
de caras.
Eventos: conjunto de resultados possíveis ou subcon-
junto do espaço amostral.
Probabilidade: define quantitativamente a possibili-
dade de um ou mais eventos ocorrerem. Varia entre:
0 (impossibilidade absoluta) e 1 (certeza absoluta).
CONCEITOS
© Agnelo Marotta Cassula 16
PROBABILIDADE
Agrupando os eventos favoráveis em um conjunto e os
desfavoráveis em outro, temos dois conjuntos possíveis.
0 0,5 1
Impossibilidade absoluta 
Certeza absoluta
eventosdepossível.no
sucessos.no
)sucesso(P =
eventosdepossível.no
falhas.no
)falha(P =
Risco = Probabilidade de Falha
© Agnelo Marotta Cassula 17
PROBABILIDADE
EX. 1
! Considere uma moeda e a probabilidade de se obter cara ou coroa 
em uma simples jogada.
cara = sucesso e coroa = falha
Neste exemplo s (no. sucesso) = 1 e f (no. falha) = 1, e (s + f ) = 2
Portanto:
2
1
)11(
1
fs
f
)f(Pe
2
1
)11(
1
fs
s
)s(P =
+
=
+
==
+
=
+
=
© Agnelo Marotta Cassula 18
PROBABILIDADE
EX. 2
! Considere um dado e a probabilidade de se obter um 4 
em uma única jogada.
e
6
1
)51(
1
fs
s
)s(P =
+
=
+
=
Se um 4 é chamado de sucesso, então s = 1 e f = 5.
6
5
6
1
1)s(P1)f(Pou
6
5
)51(
5
fs
f
)f(P =−=−==
+
=
+
=
© Agnelo Marotta Cassula 19
EX. 3
! Considere o lançamento de dois dados. A probabilida-
de de se obter como soma dos números que estiverem
com a face voltada para cima um nove, em uma única
jogada, é:
PROBABILIDADE
Sucesso = [ (3,6); (4,5); (5,4); (6,3) ], portanto s = 4.
© Agnelo Marotta Cassula 20
PROBABILIDADE
As falhas serão:
(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6)
(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6)
(3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5)
(4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,6)
(5,1); (5,2); (5,3); (5,5); (5,6)
(6,1); (6,2); (6,4); (6,5); (6,6)
9
8
9
1
1)f(Pou
9
8
36
32
)f(P =−===
e
9
1
36
4
)s(P ==
32 eventos de falha
© Agnelo Marotta Cassula 17
PROBABILIDADE
EX. 1
! Considere uma moeda e a probabilidade de se obter cara ou coroa 
em uma simples jogada.
cara = sucesso e coroa = falha
Neste exemplo s (no. sucesso) = 1 e f (no. falha) = 1, e (s + f ) = 2
Portanto:
2
1
)11(
1
fs
f
)f(Pe
2
1
)11(
1
fs
s
)s(P =
+
=
+
==
+
=
+
=
© Agnelo Marotta Cassula 18
PROBABILIDADE
EX. 2
! Considere um dado e a probabilidade de se obter um 4 
em uma única jogada.
e
6
1
)51(
1
fs
s
)s(P =
+
=
+
=
Se um 4 é chamado de sucesso, então s = 1 e f = 5.
6
5
6
1
1)s(P1)f(Pou
6
5
)51(
5
fs
f
)f(P =−=−==
+
=
+
=
© Agnelo Marotta Cassula 19
EX. 3
! Considere o lançamento de dois dados. A probabilida-
de de se obter como soma dos números que estiverem
com a face voltada para cima um nove, em uma única
jogada, é:
PROBABILIDADE
Sucesso = [ (3,6); (4,5); (5,4); (6,3) ], portanto s = 4.
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PROBABILIDADE
As falhas serão:
(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6)
(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6)
(3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5)
(4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,6)
(5,1); (5,2); (5,3); (5,5); (5,6)
(6,1); (6,2); (6,4); (6,5); (6,6)
9
8
9
1
1)f(Pou
9
8
36
32
)f(P =−===
e
9
1
36
4
)s(P ==
32 eventos de falha
© Agnelo Marotta Cassula 17
PROBABILIDADE
EX. 1
! Considere uma moeda e a probabilidade de se obter cara ou coroa 
em uma simples jogada.
cara = sucesso e coroa = falha
Neste exemplo s (no. sucesso) = 1 e f (no. falha) = 1, e (s + f ) = 2
Portanto:
2
1
)11(
1
fs
f
)f(Pe
2
1
)11(
1
fs
s
)s(P =
+
=
+
==
+
=
+
=
© Agnelo Marotta Cassula 18
PROBABILIDADE
EX. 2
! Considere um dado e a probabilidade de se obter um 4 
em uma única jogada.
e
6
1
)51(
1
fs
s
)s(P =
+
=
+
=
Se um 4 é chamado de sucesso, então s = 1 e f = 5.
6
5
6
1
1)s(P1)f(Pou
6
5
)51(
5
fs
f
)f(P =−=−==
+
=
+
=
© Agnelo Marotta Cassula 19
EX. 3
! Considere o lançamento de dois dados. A probabilida-
de de se obter como soma dos números que estiverem
com a face voltada para cima um nove, em uma única
jogada, é:
PROBABILIDADE
Sucesso = [ (3,6); (4,5); (5,4); (6,3) ], portanto s = 4.
© Agnelo Marotta Cassula 20
PROBABILIDADE
As falhas serão:
(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6)
(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6)
(3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5)
(4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,6)
(5,1); (5,2); (5,3); (5,5); (5,6)
(6,1); (6,2); (6,4); (6,5); (6,6)
9
8
9
1
1)f(Pou
9
8
36
32
)f(P =−===
e
9
1
36
4
)s(P ==
32 eventos de falha
© Agnelo Marotta Cassula 17
PROBABILIDADE
EX. 1
! Considere uma moeda e a probabilidade de se obter cara ou coroa 
em uma simples jogada.
cara = sucesso e coroa = falha
Neste exemplo s (no. sucesso) = 1 e f (no. falha) = 1, e (s + f ) = 2
Portanto:
2
1
)11(
1
fs
f
)f(Pe
2
1
)11(
1
fs
s
)s(P =
+
=
+
==
+
=
+
=
© Agnelo Marotta Cassula 18
PROBABILIDADE
EX. 2
! Considere um dado e a probabilidade de se obter um 4 
em uma única jogada.
e
6
1
)51(
1
fs
s
)s(P =
+
=
+
=
Se um 4 é chamado de sucesso, então s = 1 e f = 5.
6
5
6
1
1)s(P1)f(Pou
6
5
)51(
5
fs
f
)f(P =−=−==
+
=
+
=
© Agnelo Marotta Cassula 19
EX. 3
! Considere o lançamento de dois dados. A probabilida-
de de se obter como soma dos números que estiverem
com a face voltada para cima um nove, em uma única
jogada, é:
PROBABILIDADE
Sucesso = [ (3,6); (4,5); (5,4); (6,3) ], portanto s = 4.
© Agnelo Marotta Cassula 20
PROBABILIDADE
As falhas serão:
(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6)
(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6)
(3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5)
(4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,6)
(5,1); (5,2); (5,3); (5,5); (5,6)
(6,1); (6,2); (6,4); (6,5); (6,6)
9
8
9
1
1)f(Pou
9
8
36
32
)f(P =−===
e
9
1
36
4
)s(P ==
32 eventos de falha
© Agnelo Marotta Cassula 21
PERMUTAÇÃO & COMBINAÇÃO
! Se o número de elementos dos conjuntos de eventos 
for muito grande o processo de enumeração de 
estado será tedioso e sujeito a erro.
! A probabilidade de ocorrência de um evento pode ser 
mais facilmente tratada em alguns problemas usando o 
conceito de Permutação e/ou Combinação.
© Agnelo Marotta Cassula 22
! O número de permutações de n itens diferentes é igual 
ao número de maneiras em que esses itens podem ser 
arranjados.
! Se todos os itens são utilizados no arranjo, o número 
de permutações será designado por nPn. Se apenas r
(r número de itens
r -> pareamento
© Agnelo Marotta Cassula 21
PERMUTAÇÃO & COMBINAÇÃO
! Se o número de elementos dos conjuntos de eventos 
for muito grande o processo de enumeração de 
estado será tedioso e sujeito a erro.
! A probabilidade de ocorrência de um evento pode ser 
mais facilmente tratada em alguns problemas usando o 
conceito de Permutaçãoe/ou Combinação.
© Agnelo Marotta Cassula 22
! O número de permutações de n itens diferentes é igual 
ao número de maneiras em que esses itens podem ser 
arranjados.
! Se todos os itens são utilizados no arranjo, o número 
de permutações será designado por nPn. Se apenas r
(r número de itens
r -> pareamento
© Agnelo Marotta Cassula 21
PERMUTAÇÃO & COMBINAÇÃO
! Se o número de elementos dos conjuntos de eventos 
for muito grande o processo de enumeração de 
estado será tedioso e sujeito a erro.
! A probabilidade de ocorrência de um evento pode ser 
mais facilmente tratada em alguns problemas usando o 
conceito de Permutação e/ou Combinação.
© Agnelo Marotta Cassula 22
! O número de permutações de n itens diferentes é igual 
ao número de maneiras em que esses itens podem ser 
arranjados.
! Se todos os itens são utilizados no arranjo, o número 
de permutações será designado por nPn. Se apenas r
(r número de itens
r -> pareamento
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PERMUTAÇÃO & COMBINAÇÃO
! Se o número de elementos dos conjuntos de eventos 
for muito grande o processo de enumeração de 
estado será tedioso e sujeito a erro.
! A probabilidade de ocorrência de um evento pode ser 
mais facilmente tratada em alguns problemas usando o 
conceito de Permutação e/ou Combinação.
© Agnelo Marotta Cassula 22
! O número de permutações de n itens diferentes é igual 
ao número de maneiras em que esses itens podem ser 
arranjados.
! Se todos os itens são utilizados no arranjo, o número 
de permutações será designado por nPn. Se apenas r
(r número de itens
r -> pareamento