Topografia e Geodésia II ALUNOS 18.02.16

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2016 
TOPOGRAFIA E GEODÉSIA II 
MATERIAL DE APOIO ÀS AULAS 
Elaboração: Prof. Sebastião Jarbas Pinheiro e Prof. Paulo F. Bueno 
 
Versão: V02.13.02.16 
1 
 
 
Sumário 
 
1.0 –ALTIMETRIA 
1.1- DFINIÇÃO 5 
1.2- FINALIDADE 5 
1.3- ALTIMETRIA E COTA 6 
 1.4-REFERÊNCIA DE NÍVEL 6 
 1.5-PROCESSOS DE NIVELAMENTO 7 
 1.6-AVALIAÇÃO DO ERRO DE NIVELAMENTO 8 
 1.7-PRECISÃO NOS NIVELAMENTOS E TOLERÂNCIAS 9 
 
 
 
2.0- PLANIALTIMETRIA 9 
2.1- DEFINIÇÃO 9 
2.2-CARACTERÍSTICAS 10 
2.3-MÉTODOS DE LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO 10 
2.3.1-NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO OU INDIRETO 10 
2.3.2-NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 14 
2.3.2.1-NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES 15 
2.3.2.2-NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO 15 
 2.3.3 – FORMAS DE COLETA DE DADOS 16 
 
3.0- PROCESSO DAS CURVAS DE NÍVEL 
3.1-DEFINIÇÃO 18 
 3.2- CARACTERÍSTICAS DAS CURVAS DE NÍVEL 19 
 
4.0-INTERPOLAÇÃO DAS CURVAS DE NÍVEL 20 
 4.1- PROCESSO ANALÍTICO 20 
 
 
5.0-TRAÇADO DAS CURVAS DE NÍVEL 21 
 
 5.1-FORMATO COM PONTOS NOTÁVEIS DO TERRENO - LEVANTAMENTO POR IRRADIAÇÕES 21 
 5.2-DEMARCAÇÃO NO CAMPO 22 
 
6.0-PERFIL 23 
 6.1- DEFINIÇÃO 23 
 6.2-PROCEDIMENTOS PARA TRAÇAR UM PERFIL 24 
 6.3-REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 24 
 6.3.1-A PARTIR DE ELEMENTOS DO ESTAQUEAMENTO 24 
 6.3.2-A PARTIR DE INTERSECÇÃO DE UM PLANTO VERTICAL COM ELEMENTOS DA PLANTA 25 
 6.4-GREIDE 25 
 6.4.1-DEFINIÇÃO E CARACTERÍSTICAS 25 
 6.4.2-RAMPA 26 
2 
 
 6.4.3-DECLIVIDADE OU INCLINAÇÃO 26 
 
7.0- TERRAPLENAGEM 32 
 7.1-DEFINIÇÃO 32 
 7.2-PLATAFORMAS (PLATÔS) 32 
 7.3-CÁLCULO DE VOLUMES 33 
 
8.0- LOCAÇÃO DE OBRAS 39 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 46 
 
9.0-SENSORIAMENTO REMOTO 56 
 9.1- PRINCÍPIOS DO SENSORIAMENTO REMOTO 56 
 9.2-SISTEMAS DE SENSORES 56 
 9.3-FOTOGRAFIAS ANALÍTICAS E DIGITAIS 56 
 9.4-ESTEREOSCOPIA 56 
 9.5-OPERAÇÕES SOBRE IMAGENS 56 
 9.6-CONFECÇÕES DE MAPAS 56 
 
10- ELEMENTOS DE GEODÉSIA 57 
 10.1-MODELOS DA TERRA 57 
 10.1.1-MODELO ESFÉRICO 57 
 10.1.2-MODELO ELIPSOIDAL 58 
 10.1.3 -MODELO GEOIDAL 59 
 10.1.4- MODELO PLANO 60 
 10.2- DATUM ALTIMÉTRICO OU VERTICAL 60 
 10.3 -ALTITUDE ORTOMÉTRICA (GEOIDAL) 60 
 10.4-ALTITUDE GEOMÉTRICA (ELIPSÓIDAL) 61 
 10.5- CONVERSÃO DE ALTITUDES 62 
 10.5.1-MODELO DE ONDULAÇÃO GEOIDAL 62 
 10.6- SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO(SGB) 64 
 10.6.1-REDE ALTIMÉTRICA 64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIA 
- ESTADIMETRIA - 
Distância Horizontal (DH) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3,692 
3,642 
 
7,334 
Exemplo 1 
7,334 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TIPOS DE ÂNGULOS VERTICAIS 
Exemplo 2 
5 
 
 
Fórmulas para o cálculo de DH 
 
 DH = G.100.cos2  ou DH = G.100.sen²z 
 
Onde: 
DH = Distância horizontal 
G = Fs – Fi (em metros) 
100 = constante estadimétrica 
 = ângulo vertical 
z = ângulo zenital 
Aplicações 
1- Calcular a distância horizontal (DH) entre dois pontos, medida com auxílio 
de um teodolito e mira. 
Dados: 
a) Leituras de mira b) Angulo vertical : () = 4º28’ 
FS = 1600 mm Cálculos 
FM = 1200 mm DH = 100.G. cos ²  
FI = 800 mm G= 1,600 – 0,800 = 0,80 
 DH = 100 x 0.80 x 0.9939 = 79,51 m 
1.0 – ALTIMETRIA 
 
1.1 – DEFINIÇÃO 
 É a parte da Topografia que determina as cotas ou distâncias verticais de um 
certo número de pontos referidos ao plano horizontal de projeção. 
 
1.2 - FINALIDADE 
A altimetria tem por fim a medida da distância vertical ou diferença de nível 
entre diversos pontos do terreno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DN (-) 
6 
 
1.3 - ALTITUDE E COTA 
• Altitude – Quando as distâncias verticais são referidas à superfície 
média dos mares. 
• Cota – Quando as distâncias verticais são referidas a um plano de 
referência arbitrário (fictício), situado acima ou abaixo das 
superfícies dos mares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 - REFERÊNCIA DE NÍVEL (RN) 
 
São pontos fixos no terreno que correspondem a cotas ou altitudes de um 
nivelamento. 
 
Podem ser : 
 
 artificiais : concreto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
• natural : soleira de porta de edifício, pedra natural, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 - PROCESSOS DE NIVELAMENTO 
 
• Nivelamento barométrico 
 
 Realizado com barômetros 
 
 Utiliza-se pressões atmosféricas entre pontos para determinar diferença de 
nível 
 - método sem precisão para serviços topográficos 
 - Instrumentos: barômetros de mercúrio e barômetros aneróides. 
 
 Analógico Digital 
 
 
 
 
 
 
 
• Nivelamento trigonométrico 
8 
 
• Nivelamento Trigonométrico/Estadimétrico/Taqueométrico 
 
 Realizado com teodolito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 
 Realizado com níveis ópticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6 - AVALIAÇÃO DO ERRO DE NIVELAMENTO 
 
- Erros instrumentais: aparelhos desretificados, mira com folga, etc. 
-Erros do operador: imprecisão nas leituras, anotações, etc. 
-Erros devido às condições climáticas e atmosféricas: calor, frio, pressão 
atmosférica, etc. 
 
9 
 
1.7 - PRECISÃO NOS NIVELAMENTOS E TOLERÂNCIAS 
 
- Resultado do processamento: Obtido com os dados de campo. 
- Tolerâncias: Preconizadas pela Norma NBR 13.133. 
 
 IVN Taqueométrico 
 
 IN Geométrico 
 
 
2.0 – PLANIALTIMETRIA 
 
2.1 – Definição 
Planialtimetria representa as informações planimétricas e altimétricas 
em uma única planta, carta ou mapa. 
2.2- Características 
10 
 
A planimetria permite representar os acidentes geográficos (naturais ou 
artificiais) do terreno em função de suas coordenadas planas (x, y). 
 
A altimetria, por sua vez, fornece um elemento a mais, que é a 
coordenada (z) de pontos isolados do terreno (pontos cotados) ou de 
planos horizontais de interseção com o terreno (curvas de nível). 
 
 2.3- Métodos de levantamento Planialtimétrico 
 
2.3.1 - Nivelamento trigonométrico ou indireto 
 
-Baseia-se na resolução de um triângulo, do qual se conhece um dos 
catetos (distância D), e se procura o outro cateto medindo para tal o 
ângulo formado entre a horizontal e o ponto visado na mira (fio médio). 
 
 Método menos exato que o geométrico 
 Pequeno erro na medida do ângulo dá um erro sensível na 
diferença de nível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deseja-se obter a distância horizontal (DH), a diferença de nível (DN) e a 
altitude (HB). 
Z
hi
fmA
B
DH
DH
.tg 
DN
DATUM (NMM)
HA
HB
linha
 de v
isada
mira


Exemplo: Seja a fig. abaixo, onde: 
 
DH= Distância horizontal = ângulo vertical 
DN= Diferença de Nível z= ângulo zenital 
hi= Altura do Instrumento HA= Altitude de A 
fm=Fio médio HB=Altitude de B 
 
 
 
 
11 
 
 
FÓRMULAS 
 
 Distância horizontal (DH) 
DH = G.100.cos2  ou DH= G.100.sen²z 
Onde : 
 
G = Fs – Fi (em metros) 
 
 Diferença de nível (DN ) 
 
 DN = hi + DH. tg  - Fm 
 
 Entrar com o sinal (+/-) 
 Cota de um ponto (Hn) 
 
 
 
 
Onde: 
 
Hn-1 = cota do ponto anterior (cota do ponto da estação do teodolito) 
Exemplo 1 
Nivelamento de um eixo longitudinal 
 
Calcular as cotas dos pontos A,B,C,D e E , nivelados pelo processo 
trigonométrico. 
 
 
r 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hn = Hn-1 +/- DN 
Dado: Caderneta de campo/planilha 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
Levantamento planialtimétrico de uma área (poligonal fechada) 
 
A - Cálculo das distâncias reduzidas (DH) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Croqui 
ii 
13 
 
B - Cálculo do erro altimétrico 
 
 O erro é calculado somando as diferenças de nível (+) e as diferenças 
de nível (-), separadamente, obtendo-se: DN (+) e DN (-). 
 
 O erro na cota (Ec) será: 
Ec = DN (+) - DN (-) 
 
AJUSTAMENTO 
 Ajustamento (Ajc) letra C na planilha. 
 
O ajustamento das cotas é feito levando-se em consideração o erro de cota 
por metro percorrido e que é dado por: Emc = Ec /D 
 
 Portanto, o valor a ser ajustado em uma cota será o produto do erro por 
metro percorrido pela distância percorrida, desde o vértice anterior 
(estação) até o ponto em questão (ponto visado). 
 
 Ajc = Emc. D 
 
 Cálculo da Cota 
 A cota de cada ponto visado é obtida considerando-se, para o vértice 
inicial, um valor arbitrário (de cota) suficientemente grande para que 
todos os resultados a serem obtidos sejam positivos e, a seguir, faz-se 
sucessivamente a soma algébrica (acumulada) entre os valores da cota 
do vértice anterior e o valor da diferença de nível compensada. 
 
C - CÁLCULO DAS COTAS DOS VÉRTICES DA POLIGONAL FECHADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D- Cálculo das cotas das irradiações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.2- NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 
 
• É aquele que opera por meio de visadas horizontais obtidas com auxílio de 
instrumentos ópticos de precisão chamados níveis. 
 
a) Erro altimétrico (Ec) 
ΣDN(+) = 
ΣDN(-) = 
Ec = 
Ec = 
 
 
b) Cálculo da tolerância da cota 
 (Tc) 
Tc = 0,30m√ 
 
c) Erro por 
metro 
Emc = Ec/D 
Emc = 
Emc = 
15 
 
 
 NÍVEIS ÓPTICOS (Níveis de Engenharia) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.2.1- Nivelamento Geométrico Simples 
 
É aquele realizado com apenas uma estação do nível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.2.2 - NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO 
 
É aquele realizado com mais de uma estação do nível. 
 
 
 
 
 
 
 Conferência do Nivelamento Geométrico 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.3 - FORMAS DE COLETA DE DADOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 POR EIXO LONGITUDINAL 
 POR SEÇÕES TRANSVERSAIS 
 POR POLIGONAÇÃO COM IRRADIAÇÕES 
 POR QUADRICULAÇÃO 
 
Sentido contrário ao nivelamento 
.a 
.b 
.c 
.d 
.e 
.f 
.h .i 
.g 
17 
 
o CLASSIFICAÇÃO QUANTO À PRECISÃO 
 
 Nivelamento de alta precisão ou de 1ª ordem ou Geodésico – quando o 
erro provável acidental não atinge  2 mm por km; 
 Nivelamento geométrico de precisão ou de 2ª ordem – quando o erro 
provável por km não atinge  6 mm; 
 Nivelamento geométrico topográfico ou de 3ª ordem – quando o erro 
provável não atinge  3 cm (30 mm) por km 
 
o APLICAÇÃO: 
 
 Transporte de RN 
 Determinação do relevo de terrenos 
 Marcação direta de curvas de nível para construção de terraços 
 Obras de construção (engenharia) em geral 
 Controle de recalque em obras de engenharia 
 
o DEFINIÇÕES: 
 
 Visada ré (Vr) – É a leitura de mira feita em um ponto de cota conhecida. 
 Visada vante (Vv) – É a leitura de mira feita em um ponto de cota 
desconhecida ou a calcular. 
 Visada vante de mudança (Vvm) – É a última leitura de mira vante de uma 
estação. 
 Altura do Instrumento (Ai) – É a distância vertical que vai do plano de 
referência até a linha de visada na mira (FM). 
 
 Cálculos: 
 
 Ai = C + Vr 
 
 C = Ai – Vv 
 
 
 A verificação do nivelamento de uma poligonal aberta é feita através do 
contranivelamento, ou seja, nivelamento em sentido contrário. 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Exemplo de cálculo de um Nivelamento Geométrico 
(Poligonal aberta) 
 
 
o PROCESSOS DE REPRESENTAÇÃO DO RELEVO 
 
 A representação do relevo é feita principalmente pelos seguintes processos: 
 
 Das curvas de nível 
 
 Dos planos cotados 
 
 
3.0 - PROCESSO DAS CURVAS DE NÍVEL 
 
3.1- Definição 
 
Consiste em seccionar o terreno por um conjunto de planos horizontais 
equidistantes, que interceptam a superfície do local, determinando linhas 
fechadas que recebem o nome de “curvas de nível”. 
 
PONT
OS 
NIVE
LADO
S 
 
(PN) 
 VISADAS 
Altura do 
instrumento 
(Ai) 
Cota 
( c ) 
m 
 Obs 
Ré (Vr) Vante (Vv) 
R
N-
0 
 3,120 -------- 
 
700,000 Estaqueame
nto de 20 
em 20 m. 
RN-0: 
Localizado 
no 
entroncame
nto das ruas 
........ 
próximo 
....................
....................
....... 
0 
 
2,320 
 
1 
 
1,430 
 
2 
 
1,840 
 
+
1
1 
 
2,020 
 
3 
 
2,140 
 
4 
 
2,210 
 
+ 
7 
 1,190 2,200 
 
5 
 
1,340 
 
+ 
2 
 
2,840 
 
 
 
19 
 
 
 
3.2 - CARACTERÍSTICAS DAS CURVAS DE NÍVEL 
 
 a) duas curvas de nível jamais se cruzam, porque disto resultaria um 
único ponto com duas elevações diferentes; 
 b) quando as curvas de nível estão muito afastadas umas das outras 
significa que o terreno é levemente inclinado, e quando muito 
próximas, um terreno fortemente inclinado; 
 c) curvas de nível igualmente espaçadas indicam terreno de inclinação 
invariável; 
 d) uma curva de nível não pode desaparecer repentinamente; 
 e) o maior declive do terreno ocorre no local onde aparecer a menor 
distância entre duas curvas de nível; 
 f) formam linhas fechadas em torno das elevações e depressões, dentro 
ou fora dos limites do desenho; 
 g) ausência de curvas de nível nota-se quando há terreno plano; 
 h) as curvas de nível não atravessam perpendicularmente um curso 
d’água. Elas acompanham o leito em sentido inverso ao das águas, e o 
atravessam descrevendo um V; sua culminância coincide com o 
talvegue, retornando depois pela margem oposta. 
 
 
 
20 
 
• PROCESSO DOS PLANOS COTADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.0 – INTERPOLAÇÃO DAS CURVAS DE NÍVEL 
 
 
4.1 – PROCESSO ANALÍTICO 
 
Representa-seem planta as curvas de nível que tenham cota inteira, a uma 
equidistância vertical de acordo com a declividade do terreno e escala do 
desenho. A posição dos pontos de cota inteira é obtida por interpolação 
linear entre os pontos levantados no terreno. 
 
EXEMPLO 
 
Interpolar para obter a curva inteira 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
5- TRAÇADO DAS CURVAS DE NÍVEL 
 
5.1 – Formato com pontos notáveis do terreno levantados por irradiações 
 
Como os pontos a serem interpolados estarão dispostos de maneira 
desordenada é importante saber quais as interpolações que devem ser feitas 
e quais não devem ser feitas. 
 
Seguir as três regras: 
1- Somente interpolar entre pontos imediatamente próximos 
2- Não cruzar direções de interpolação 
3- Não passar uma direção de interpolação muito perto de pontos de cota 
conhecida. 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura acima, as linhas contínuas representam as interpolações corretas. 
A linha tracejada 13 - 15 desrespeita a 2ª regra. A linha tracejada 1 - 17 
desrespeita a 3ª regra, porque passa muito perto do ponto 12. Uma 
eventual interpolação entre os pontos 2 e 15 desrespeitaria a 1ª regra, pois 
desconheceria a existência do ponto 14 de cota conhecida. 
Quando ocorrem os desrespeitos a estas regras, as curvas de nível 
resultarão deslocadas, deformadas e, certas vezes, até com 
indeterminações. 
No exemplo abaixo uma inadequada interpolação entre A e D faria supor 
que o terreno fosse uniformemente inclinado entre estes 2 pontos, quando 
na realidade apresenta menor aclive ente A e a reta BC e um maior aclive 
entre BC e D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
Na figura acima, caso fossem feitas apenas as interpolações corretas 
AB,BC,CD e BD, as curvas de nível seriam as linhas contínuas. 
Acrescentada a interpolação incorreta AD passariam a ser as tracejadas 
que, como se vê, foram repuxadas para o lado de A, inclusive obrigando a 
curva 13 a atravessar a reta BC, onde não pode haver pontos com esta 
cota. 
 
5.2 - Demarcação no campo 
 
São locadas diretamente no campo para fins de construção de terraços, 
que tem as seguintes finalidades: 
 
 Diminuir a velocidade da enxurrada; 
 Diminuir o volume de água da enxurrada; 
 Diminuir as perdas de solo, sementes, adubos, nutrientes, herbicidas, 
inseticidas e fungicidas; 
 Aumentar a umidade do solo, uma vez que há maior infiltração de 
água. 
 Se o terraço for em nível, este deverá reter todo o volume de água 
escorrida para posterior infiltração. Quando em desnível, deverá dar 
vazão ao escorrimento superficial de forma disciplinada, sem causar 
erosão em seu interior. 
 
 
6- PERFIL 
 
6.1 – Definição 
 
É a representação gráfica do relevo, num plano vertical, segundo uma 
direção pré-estabelecida. 
 
 Perfil Longitudinal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Perfil Transversal 
P
V 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o APLICAÇÕES 
 Implantação de edifícios – verificação de volumes de cortes e aterros 
 Implantação de redes de água e esgoto – definição de cotas para 
escavação 
 Implantação de redes elétricas – definição de extensão de 
cabeamento 
 Implantação de estradas – definição de cortes e aterros 
 Estudos geológicos – realização de cortes geológicos que permite 
visualizar a disposição e a relação entre as diferentes litologias que se 
encontram em profundidade. 
 
6.2 – PROCEDIMENTOS PARA TRAÇAR UM PERFIL 
 
Sobre o eixo horizontal (abscissas) marcam-se as distâncias horizontais na 
ordem em que foram levantados (estaqueamento). Sobre o eixo vertical 
(ordenadas) marcam-se as cotas inteiras, iniciando pela menor e indo até a 
maior cota. 
Para marcar os pontos do terreno, segue no eixo horizontal até o primeiro 
ponto do estaqueamento, subindo daí no eixo vertical até a cota desejada, 
marcando assim o ponto do terreno, e assim sucessivamente. 
 
 O perfil geralmente é desenhado em duas escalas, sendo a vertical 1/10 da 
horizontal, a fim de realçar mais o relevo. 
Ex. : Escalas: H= 1/2000 e V= 1/200 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
6.3 – Representação gráfica 
 
6.3.1 – A partir de elementos do estaqueamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.3.2 – A partir de intersecção de um plano vertical com elementos da 
planta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
6.4 – GREIDE 
 
6.4.1 – Definição e Característica 
 
É a linha projetada sobre o perfil, dotada de uma certa declividade ou 
não, que determina quanto do terreno deve ser cortado ou aterrado. 
Uma característica do greide é a Cota Vermelha, a qual é a distância 
vertical entre um ponto qualquer do greide e um ponto 
correspondente no terreno. A cota vermelha pode ser positiva (aterro) 
ou negativa (corte). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cota A’ = Cotaant + ((i/100).DH)) 
 Cota vermelha (aterro) = Cota A’ – Cota A 
 Cota vermelha (corte) = Cota B’ – Cota B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto de Passagem: Quando o ponto do greide coincide 
com o ponto do terreno, não havendo assim corte ou 
aterro, ponto C. 
 
AA' = Cota Vermelha POSITIVA (+) ATERRO 
BB' = Cota Vermelha NEGATIVA (-) CORTE 
26 
 
 
6.4.2 – RAMPA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4.3 – Declividade ou inclinação 
 
A declividade de um terreno entre dois pontos A e B é medida pela 
inclinação da reta que os une com o plano horizontal. 
 
 Pode ser expressa em porcentagem, em milésimos ou em graus. 
 
 Declive ou inclinação em porcentagem – O meio mais comum de 
exprimir a valor do declive de uma encosta é em porcentagem. 
 
 O declive em porcentagem é igual a: 
 D = DN . 100 
 DH 
 Onde: 
 D = Declive ou inclinação em porcentagem (%) 
 DN =Diferença de nível entre dois pontos 
 DH =Distância horizontal entre dois pontos 
 
Na planta a distância horizontal é medida diretamente, e a altura 
vertical é a diferença de nível entre os pontos. Um declive ascendente 
é positivo (+) e um descendente é negativo (-). 
 
Exemplo 1 
 
• Na fig. a linha XY representa uma encosta. Se a distância horizontal 
entre X e Y é de 100 metros e a diferença de nível é de 10 metros, o 
declive da encosta XY é igual a: 
 
 
27 
 
 
 
D = . 100 = 10% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 
• Na fig. abaixo, trata-se de achar o declive entre A e B. Mede-se 
primeiramente a distância horizontal (DH) 220 m. Determina-se a 
altura (Dn) subtraindo a cota de A da cota de B. A altura é de: 559 m 
– 530 m = + 29 m. 
O declive é: 
D = 29 . 100  D = 13% 
 220 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Declive = Diferença de Nível x 100 
 Dist. horizontal (DH) 
Distância horizontal (DH) 
100 m 
1
0
 m
 
D
if
er
en
ça
 d
e 
N
ív
el
 (
D
N
) 
100
10
y 
28 
 
o DIFERENÇA DE NÍVEL ENTRE PONTOS DO TERRENO 
 
1 – Dada pela diferença entre as cotas ou altitudes dos pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Dada pela diferença de leituras nas miras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o DETERMINAÇÃO NA PLANTA DA COTA DE UM PONTO 
 
Seja determinar na fig. a cota do ponto P. Ele se acha compreendido 
entre as curvas de nível 40 e 50. Traçando-se a normal MN às duas 
curvas passando por P verificamos ser as distâncias horizontais MP’ e 
MN’ iguais a 40 e 145 metros, respectivamente. Como a equidistância 
entre as curvas é de 10 metros, temos que a diferença de nível (PP’) é 
de: 
 
 
 
 
Evidentemente, o valor de H será positivo se a cotade C (HC) for maior 
que a cota de B (HB) e negativo em caso contrário.
 
DN = LA - LB 
L
A 
L
B 
mPP
PP
76,2
145
40.10
'
40
'
145
10

Logo, a cota do ponto P será: 
 
 Cota de M + 2,76 m = 40 + 2,76 m = 42,76 m. 
29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculos da Inclinação (Declividade), da cota do Greide e da Cota Vermelha 
 
Exemplo Dados: PIV-1= 707,556 e PIV-2= 715,254 
 
 
 
 
30 
 
DN 
FÓRMULAS: 
 
1- Inclinação (i%) 
 
 
 I = 
 
 
 100 
 
 
2- Cota do Greide (CG) 
 
 CG(n) = CG(n-1) + (i/100 . DH) 
 
 
 
 
3- CV = Cota do greide – Cota do terreno 
 
 
 
 
 
Exercício 
 
 
 
1- Dado o perfil longitudinal na pag. seguinte, pede-se: 
 
 
a)-Calcular as declividades dos greides 
 
b)-Calcular as cotas dos greides 
 
c)-Calcular as cotas vermelhas 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
7.0 – TERRAPLENAGEM 
 
7.1- Definição 
 
De forma genérica pode-se definir terraplenagem ou movimento de 
terras como o conjunto de operações necessárias à remoção do excesso 
de terra para locais onde esta esteja em falta, tendo em vista um 
determinado projeto a ser implantado. 
 
 Aplicação 
 
 A construção de uma estrada de rodagem, ferrovia ou aeroporto, a 
edificação de uma fábrica ou usina hidrelétrica, ou mesmo de um 
conjunto residencial exigem a execução de serviços de terraplenagem 
prévios, regularizando o terreno natural, em obediência ao projeto que 
se deseja implantar. 
 Pode-se afirmar, portanto, que todas as obras de Engenharia Civil de 
grande porte ou pequeno porte exigem trabalhos prévios de 
movimentação de terras. 
 
7.2 - PLATAFORMAS (platôs) 
 
 As plataformas são obras projetadas e executadas com a finalidade de 
tornar plana a superfície irregular de um terreno; elas tanto podem ser 
horizontais como inclinadas. 
Com relação ao tipo de movimento de terra utilizado, podem ser 
classificadas em: 
 Plataformas em aterro 
 Plataformas em corte 
 Plataformas em corte e aterro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3- CÁLCULO DE VOLUMES 
 
33 
 
7.3- CÁLCULO DE VOLUMES 
 
7.3.1-Volume pela fórmula do Prismóide 
 
Se o volume estiver compreendido entre duas superfícies horizontais 
delimitadas por curvas de nível, será estimado pela fórmula do 
Prismóide. Considere a fig. abaixo. 
Onde: 
 
A1 e A2  Áreas das figs. limitadas por curvas de nível 
h  equidistância vertical 
V  volume 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A fórmula do Prismóide é a mais adequada para calcular volumes do tipo 
apresentado na fig. acima. Representa o volume de uma secção cônica de 
altura h cujas áreas de base e topo têm valores A1 e A2, respectivamente. 
 
7.3.2 - Volume pela fórmula da Seção Média 
 
Se o volume a determinar estiver compreendido entre superfícies 
verticais, como é o caso de volumes a movimentar ao longo de futuros 
eixos de vias rodoviárias, fig. abaixo, ele será aproximado pela fórmula 
da Seção Média, representada pela equação: 
Onde: 
V  volume 
A1 e A2 áreas das figuras limitadas por 
 perfis do terreno. 
h  distância entre as duas superfícies verticais. 
 
 
 
 
 
).(
3
2211 AAAA
h
V 
V = ( + ) 
 
 
34 
 
 
 Na fig. acima as superfícies verticais são encontradas construindo 
perfis das seções transversais do terreno. É usual, em projetos de 
vias rodoviárias, efetuar cálculos de volumes por este processo a 
cada 20 metros de via. 
 
o CÁLCULO DO VOLUME DE CORTE 
 
Exemplo 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
Exemplo 2 – VOLUME DE CORTE = VOLUME DE ATERRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
o ETAPAS DE UM PROJETO DE TERRAPLENAGEM 
 
 
1) LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2) DESENHO DO PROJETO - SITUAÇÃO REMANEJADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
• Sempre que se executa um corte ou um aterro num determinado 
terreno, é necessário criar planos inclinados (de corte ou de aterro), 
para a contenção do terreno superior. Esses planos inclinados 
recebem o nome de taludes de corte (nos casos de corte) ou saias de 
aterro (nos casos de aterro). 
 
• As escolhas das inclinações são feitas em função da necessidade de 
estabilidade ou por motivos estéticos. Por outro lado, a estabilidade 
maior ou menor depende da natureza do solo. Por exemplo, taludes 
de corte em rocha podem ser até verticais. Nos casos comuns, os 
taludes de corte variam entre 2/3 e 1/1 e os de aterro entre 1/1 e 3/2. 
 
 
o FATORES DE EMPOLAMENTO DOS SOLOS 
 
 Quando se escava o terreno natural, o solo que se 
encontrava num certo estado de compactação, proveniente 
do seu próprio processo de formação, experimenta uma 
expansão volumétrica que chega a ser considerável em 
certos casos. 
Os solos naturais apresentam expansões volumétricas 
diferentes, gerando diversos valores de fator de 
empolamento e porcentagem de empolamento. De modo 
geral, quanto maior as porcentagens de finos (argila e silte), 
maior será essa expansão. Ao contrário, os solos arenosos, 
com pequenas porcentagens de finos, sofrem pequeno 
empolamento (tabela abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipo de solo 
Empolamento 
(%) 
Solos argilosos 40 
Terra comum seca (solos 
argilo-siltosos com areia) 
25 
Terra comum úmida 25 
Solo arenoso seco 12 
38 
 
 
o PROJETO DE PLATÔ 
 
Roteiro 
 
 a) definir a forma e dimensões do platô; 
 b) localizar o platô sobre as curvas de nível; 
 c) definir o nível altimétrico (corte e/ou aterro) 
 d) definir cota média (Vc = Va) e corrigi-la em função do “FC” 
(fator de conversão) por tentativas; 
 e) definido a cota de implantação deverá ser definido os 
contornos do platô, que são decorrentes do projeto de 
arquitetura (layout, acessos externos e internos); 
 f) definido o contorno do platô, deve-se desenhar as saias do 
aterro e cristas dos cortes. 
 g) retira-se todas as curvas de nível que cruzam o platô (um 
plano pode ser circundado por uma curva de nível, jamais 
cruzado). 
 
Exemplo 
Projeto de platô – relevo após movimento de terra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
o OFF-SETS 
 
É a linha que representa em planta a crista da escavação e 
“pé” da saia do aterro. 
 Crista de Corte (estaca offset): Ponto limite da conformação dos 
taludes de corte. 
 Pé de Aterro (estaca offset) : Ponto limite da saia dos aterros. 
 A escavação e aterro devem ser iniciados a partir da linha de 
“off-set, portanto estas obras devem ser executadas 
respectivamente de cima para baixo e inversamente para o 
aterro. 
 
8.0 - LOCAÇÃO DE OBRAS 
 
• GENERALIDADES 
 
Levantamentos para locação deobras podem ser de maior ou 
menor complexidade, dependendo da forma do terreno, da 
importância da estrutura a ser locada e da amplitude da obra. 
O sucesso da obra dependerá de um correto levantamento, de 
um projeto bem elaborado e de uma boa locação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
• ALGUNS TIPOS DE PROJETOS QUE NECESSITAM DE LOCAÇÃO: 
 
 Construção de vias de transportes (eixos de rodovias e ferrovias, 
intersecção viárias, etc). 
 Edificações (estacas, blocos e sapatas, eixo de pilares, etc). 
 Loteamentos (quadras, lotes, glebas, sistema viário, área de 
proteção ambiental, etc.). 
 Mineração (Locação de frentes de lavras e banquetas, pontos de 
sondagem, poços piezométricos, furos para explosivos, drenagem, 
etc.). 
 Controle de terraplenagem (alturas de corte e aterro, inclinações 
de taludes, banquetas, sistemas de drenagem, etc.). 
 Construções com características de desenvolvimento vertical 
(torres, chaminés, dutos, contrapesos, poços de elevador, etc.). 
 Túneis e barragens (traçados, altura do nível de água, etc.). 
 Montagem industriais (eixos, alinhamentos horizontais e verticais, 
paralelismos, etc.). 
 Canalizações e redes de transmissão (traçados em geral, etc.). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
 
Existem diferentes métodos de locação, os quais variam em 
função do tipo de obra. 
No projeto de locação a obra estará referenciada a pontos 
conhecidos e previamente definidos. 
A partir destes pontos, passa-se a locar no solo a projeção da 
obra desenhada na planta. 
É comum ter-se como referência, para a locação da obra, os 
seguintes elementos: 
 o alinhamento da rua; 
 um poste localizado no alinhamento do passeio; 
 um ponto (marco) com coordenadas x,y,z deixado pelo 
topógrafo quando da realização do controle da 
terraplenagem; 
 uma lateral do terreno quando este estiver corretamente 
localizado; 
 marcos de uma triangulação com coordenadas x,y,z 
conhecidas; 
 marcos de amarração dos Pi’s e RN’s deixados pela topografia 
quando do levantamento do trecho de uma estrada, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
1- LOCAÇÃO POR COORDENADAS POLARES 
Para a locação de pontos por esse processo é necessário 
conhecer um ponto origem, uma direção de referência, os 
ângulos e as distâncias em relação à linha de referência para 
os demais pontos. 
A direção de referência é obtida a partir das coordenadas de 
dois pontos ou de um determinado alinhamento. 
 Ex. locação do ponto P 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIO 
Calcular o ângulo () e a distância necessários para locar o 
ponto 1 . 
 
CADERNETA DE LOCAÇÃO 
ESTAÇÃO 
DE 
REFERÊNCIA 
COORDENADA X (m) COORDENADA Y (m) 
A 1868,658 660,039 
ESTAÇÃO 
DE RÉ COORDENADA X (m) COORDENADA Y (m) 
B 1892,645 669,805 
PONTO A LOCAR 
PONTO X (m) Y (m)  
D 
(m) 
1 1886,750 655,739 
 
43 
 
 
 
2- LOCAÇÃO POR COORDENADAS RETANGULARES 
 
Exemplo 
 
Seja locar uma residência térrea composta de 29 fundações 
(sapatas e estacas), com base nas medidas contidas no 
projeto de locação, figura seguinte. 
 
 
 
 CADERNETA DE LOCAÇÃO PRELIMINAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Exemplo de um gabarito em uma obra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo de uma marcação da locação dos pilares no gabarito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
3- LOCAÇÃO POR INTERSECÇÃO 
 
Neste processo o ponto será locado a partir de outros dois 
pontos conhecidos. 
Pode-se empregar observações angulares ou lineares. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1- Nivelamento trigonométrico 
 
1.1- Redução de distâncias (DH ) 
 
 
 DH = 100 .G . sen² z ou DH = 100 . G . cos²α 
 
 
47 
 
Dados: 
FS = 1,600 FM = 1,200 FI = 0,800 AV = 85° 32´ 00´´ 
 
FS = 2,156 FM = 1,500 FI = 0,844 AV = 93° 54´ 30´´ 
 
1. 2- Diferença de nível ( DN ) : DN = AI – FM + DH . tan α 
 
Dados: 
 
a) FS = 1,842 ; FM = 1,642 ; FI = 1,442 ; AV = 86° 15´ 
30´´; AI = 1,52 
b) FS = 1,690 ; FM = 1,500 ; FI = 1,310 ; AV = 95° 45´ 20´ ; 
AI = 1,38 
 
1.3- Cota ( H ): Hn = Hn-1 +/- DN 
 
a) Calcular a Cota (H) do ponto B. 
 
Dados: 
Ponto A : AI = 1,42 ; HA = 10,000 
 
Ponto B : FS = 0,809 ; FM = 0,567; FI = 0,325 ; AV = 84° 15´ 
 
 b) Calcular a Cota (H) do ponto 2. 
 
Ponto 1 : AI = 1,48 ; H1 = 20,000 
 
Ponto 2 : FS = 1,300 ; FM = 0,950 ; FI = 0,600 ; AV = 97° 02´ 
 
2- Declividade (D%) ou inclinação (i%) (rampa) 
 
D = DN / DH . 100 
48 
 
 
a) calcular a declividade entre os pontos A e B, separados por 
uma distância de 151,80 m, sabendo que suas cotas são HA = 
25,120 m e HB = 42,580 m. 
 
b) calcular a declividade entre os pontos 1 e 2, separados 
por uma distância de 350,50 m, sabendo que suas 
altitudes são H1 = 760,224 m e H2 =715,184 m. 
 
3 - Nivelamento Geométrico 
 
a) compor a caderneta de nivelamento geométrico, calcular as 
cotas dos pontos e fazer a prova dos cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
PN RÉ Vint. Vmud. Alt.Inst. (AI) COTAS 
(m) 
RN1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
b) com base no esquema (croqui) de um nivelamento 
geométrico, compor a caderneta, calcular as cotas dos 
pontos e fazer a prova dos cálculos. 
 
Cota do RN1 = 10,00 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A, B, C = Estações do Nível 
( ....... ) = leitura de mira 
Pontos Nivelados: RN, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 
 
PN Ré Vint. Vmud. Alt. Inst. (Ai) Cotas (m) 
 RN1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
c) compor, completar e calcular a caderneta de nivelamento 
geométrico e fazer a prova de cálculo. 
Os valores entre “aspas” são as cotas dos pontos. 
Os valores sobre as linhas tracejadas são as alturas do 
instrumento. 
Os valores entre parêntesis são as leituras de mira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PN Ré Vint. Vmud. Alt. Inst.(Ai) Cotas (m) 
 RN1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
d) completar a caderneta de nivelamento geométrico, 
calcular as cotas e fazer a prova de cálculo. 
 
 PN RÉ VANTE AI COTAS 
 
3,511 
 
100,000 
2 
 
2,110 
 
3 
 
0,813 
 
3 
 
4 
 
3,120 
 
103,348 
5 
 
2,084 
 
6 
 
106,258 
6 
 
109,982 
 
7 
 
1,002 
 
 
4 - Interpolação de Curvas de Nível 
 
Fórmula: d = dn. 
 
Onde: 
d = distância parcial 
D = distância total 
dn = diferença de nível parcial 
DN = diferença de nível total 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DN
D
dn
d
DN
D
C
52 
 
 
e) Interpolar e traçar as curvas de nível de 1m em 1m 
no desenho abaixo. 
 Tirar as medidas entre os pontos na escala de 1 : 500. 
 Desenhar o perfil entre os pontos A, G, H, D. 
 Escalas: H = 1: 500 e V = 1 : 50. 
 Utilizar o papel milimetrado formato A4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pontos Cotas 
A 10,20 
B 8,9 
C 7,5 
D 5,5 
E 8,4 
F 6,7 
G 9,8 
H 11,2 
53 
 
 
 5- Greide 
 
5.1- Dados de um projeto (rodovia): 
 
a) Cotas do Terreno b) Cotas dos greides 
 
PONTOS COTAS 
1 101,30 
2 103,60 
3 104,50 
4 104,40 
5 103,50 
6 103,90 
7 105,80 
8 106,40 
9 105,60 
10 103,00 
11 101,80 
12 102,10 
 
Obs.: Estaqueamento de 20m em 20m. 
 
Pede-se: 
 
a) desenhar o perfil longitudinal e os greides em papel 
milimetrado formato A4, nas escalas (Horizontal 1: 1000 e 
Vertical 1: 100). 
b) calcular as cotas do greide nos pontos 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 e 11 
c) calcular a inclinação (rampa) do terreno entre os pontos 1 - 
7 e 7 – 12. 
d) calcular as cotas vermelhas em todos os pontos. 
 
 
PONTOS COTAS 
1 101,30 
7 105,80 
12 102,10 
54 
 
6 - Cálculo de volumes 
 
a) uma vala foi aberta para a passagem de uma tubulação, 
conforme mostra a fig. abaixo. 
Pede-se para calcular o volume de escavação efetuado. Para 
efeitos de cálculo, tanto o terreno quanto a base da 
escavação são planos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) deseja-se construir uma rampa com inclinação de 10%, 
conforme o exemplo dado. Sabendo-se que a cota de início 
da rampa é de 34,55m (ponto mais baixo), que o terreno está 
nivelado na cota 36,73m e que a rampa deverá ter largura de 
7m, calcular o volume de material a ser retirado do terreno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
c) um terreno de 20m x 20m foi quadriculado de 10 m x 10 m, 
obtendo as cotas conforme croqui. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pede-se: 
 
1- Calcular a cota final do plano horizontal que resulte em 
volumes de corte e aterro iguais (Vc = Va) 
2- Interpolar e traçar no desenho a curva de passagem entre 
corte e aterro 
3- Desenhar os perfis das seções A, B e C 
4- Calcular as áreas de aterro e de corte 
5- Calcular o volume total de aterro 
6- Calcular o volume total de corte. 
Obs.: Para atender os itens 2 e 3 , desenhar a fig. acima na 
escala 1:200 no formato A4, em papel milimetrado. 
56 
 
 
7- LOCAÇÃO 
 
1- Calcular os ângulos ,  e  para fins de locação dos pilares 
P3 e P4 da ponte projetada sobre o rio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 - SENSORIAMENTO REMOTO 
 
9.1 – Princípios de sensoriamento remoto 
9.2 – Sistemas de sensores 
9.3 – Fotografias analógicas e digitais 
9.4 - Estereoscopia 
9.5 - Operações sobre imagens 
9.6 - Confecção de mapas 
 
 Este conteúdo será desenvolvido em grupo em atividade 
de pesquisa. 
57 
 
 10 - ELEMENTOS DE GEODÉSIA 
 
10.1 - Modelos da Terra 
 
Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se 
modelos para a sua representação, mais simples, regulares e 
geométricos e que mais se aproximam da forma real para efetuar os 
cálculos. Cada um destes modelos tem a sua aplicação, e quanto 
mais complexa a figura empregada para a representação da Terra, 
mais complexos serão os cálculos sobre esta superfície. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.1.1 - Modelo Esférico 
 
Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada uma esfera, 
como no caso da Astronomia. Um ponto pode ser localizado sobre 
esta esfera através de sua latitude e longitude. Tratando-se de 
Astronomia, estas coordenadas são denominadas de latitude e 
longitude astronômicas. 
 
10.1.2 - Modelo Elipsoidal 
A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução. 
58 
 
Mais de 70 diferentes elipsóides de revolução são utilizados em 
trabalhos de Geodésia no mundo. 
Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois 
parâmetros, os semi-eixos a (maior) e b (menor). 
 
Principais Elipsóides utilizados no Brasil 
Elipsóides 
Semi-eixo 
maior (a) 
Semi-eixo 
menor (b) 
Achatamento 
Hayford 
Córrego Alegre 
6.378.388 6356911,94600 297,000745015 
SAD-69 
Datum Chuá 
6.378.160 6356774,71900 298,25000004356 
WGS-84 
GPS 
6.378.137 6356752,31425 298,257223563 
SIRGAS2000 
25/02/2015 
6.378.137 6.356.752,31425 298,257222101 
 
10.1.3 - Modelo Geoidal 
 
O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É 
definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em 
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repouso, prolongado através dos continentes. Não é uma 
superfície regular e é de difícil tratamento matemático. A figura a 
seguir representa de forma esquemática a superfície física da 
Terra, o elipsóide e o geóide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.1.4 - Modelo Plano 
 
Considera a porção da Terra em estudo como sendo plana. É a 
simplificação utilizada pela Topografia. Esta aproximação é válida 
dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos 
topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, 
este plano tem suas dimensões limitadas. Tem-se adotado como 
limite para este plano na prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 
13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano 
com até aproximadamente 80 km. 
 
 
 
Geóide 
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10.2 - DATUM ALTIMÉTRICO OU VERTICAL 
 
O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade 
ou superfície de nível, utilizado como referência para as altitudes 
ortométricas. 
 
 As altitudes podem ser do tipo Ortométrica ou Geométrica. 
 
10.3 - Altitude Ortométrica (geoidal). 
 
Definição: Distância medida sobre a vertical, do geóide até a superfície 
física no ponto considerado. 
 
 São as altitudes referenciadas ao geóide (nível médio do mar). 
 Cada região ou país banhado por um oceano pesquisa em sua 
costa lugares onde a variação de marés é mínima. 
 Nestes locais são instalados instrumentos que medem a 
variação das marés, denominados Marégrafos . 
 Um destes marégrafos é escolhido como referência 
denominado de Datum de Controle Vertical. 
 O referencial altimétrico ou Datum Vertical Oficial no Brasil é o 
Datum Imbituba definido por observações maregráficas tomadas 
na baía de Imbituba, no litoral do Estado de Santa Catarina, entre 
os anos de 1949 e 1957 . 
 Caso Particular: Datum Porto de Santana, que é referência para 
o Estado do Amapá, tomado entre os anos de 1957 e 1958. 
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 Os Marcos de Referência de Nível são transportados a partir de 
Nivelamentos geométrico e trigonométrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.4 - Altitude Geométrica (Elipsoidal) h : 
 
São as altitudes referenciadas ao elipsóide (calculadas 
geometricamente) 
Mudando de Datum, mudaremos de altitude geométrica 
Obtido a partir de sistemas de posicionamentos via satélites. 
 • O GPS fornece diretamente a altitude elipsóidica referido ao 
WGS-84. 
• A altitude usada na engenharia é a altitude ortométrica. 
H: altitude ortométrica 
h:altitude geométrica (elipsóidica) 
N: altura geoidal 
 
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10.5- CONVERSÃO DE ALTITUDES 
 
A conversão da altitude geométrica em ortométrica é feita pela 
equação H = h-N. O problema é na determinação de N, uma vez 
que o geóide no Brasil não é bem determinado, pois temos 
poucos pontos Gravimétricos. 
 
10.5.1- MODELO DE ONDULAÇÃO GEOIDAL 
 
O Mapa Geoidal ,fig. seguinte, apresenta as ondulações geoidais. 
Porém, esse mapa possui escala muito pequena para fazer 
interpolação. 
Então, para a obtenção de N, utilizamos o software Mapgeo 
2015, disponibilizado pelo IBGE para interpolação. 
http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/oquee_geoi
de.shtm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10.6 - SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO (SGB) 
 
10.6.1- Rede Altimétrica 
 
A partir de uma referência altimétrica (marégrafo) transportam-se as altitudes 
para todo o território através de linhas de nivelamento geométrico de alta 
precisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de transporte de Altitudes 
k• 61853 pontos (160.000 km) • Iniciada em 1945 
• Referência – marégrafo da baía de Imbituba-SC 
• Precisão relativa melhor que 2mm 
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Rede Altimétrica de Alta Precisão (RAAP) do SGB