Rotação de Corpos Rígidos

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FÍSICA II 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE 1 
1.1 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade do Vale de Itajaí 
Engenharia Civil 
 
CCTMar – Bloco D – Itajaí 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
ROTAÇÃO 
 
 
A rotação existe em quase todas as máquinas, usamos rotação toda vez que 
abrimos uma tampa de rosca e pagamos para experimenta-la quando vamos a um parque 
de diversões. A rotação também é importante em questões mais sérias, como a fadiga 
das peças metálicas em máquinas, veículos e aviões. 
 
A cinemática dos corpos rígidos trata dos movimentos de translação e rotação. No 
movimento de translação pura todas as partes de um corpo sofrem o mesmo 
deslocamento linear. Por outro lado, no movimento de rotação pura as partes de um corpo 
escrevem trajetórias circulares cujos centros situam-se sobre uma mesma reta - chamada 
de eixo de rotação. No movimento de rotação pura todas as partes de um corpo sofrem o 
mesmo deslocamento angular. O movimento que se aproxima mais de uma situação real 
é aquele que incorpora tanto a translação quanto a rotação. 
 
 
Fonte: https://upload.wikimedia.org 
 
As Variáveis de Rotação 
 
Vamos examinar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. Um 
corpo rígido é um corpo que pode girar com todas as partes ligadas rigidamente e sem 
mudar de forma. Um eixo fixo significa um eixo que não muda de posição. 
 
Posição Angular: Quando um objeto de um formato arbitrário, tem uma trajetória 
circular em torno de um certo eixo, podemos definir algumas grandezas que descreverão 
esse movimento. Podemos marcar um dado ponto do objeto e analisar o seu movimento. 
 
 
Fonte: http://www.varicad.cz/userdata/files/manual/pt/images/2rotation.gif 
3 
 
A distância deste ponto ao eixo de rotação é chamado de raio r da trajetória. A 
sua trajetória descreve um arco de comprimento s. A posição angular associada ao arco e 
o raio é o ângulo . 
 
 
Fonte: Halliday, Fundamentos de Física, 8ª Edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deslocamento Angular: Quando um corpo está em rotação, ele está variando a 
sua posição angular de modo que num dado momento ela é definida pelo ângulo e 
num instante posterior é definida pelo ângulo , de modo que o deslocamento angular 
entre os instantes considerados é: 
 
 
 
 
Fonte: Halliday, Fundamentos de Física, 8ª Edição 
 
Um deslocamento no sentido anti-horário é positivo e no sentido horário negativo. 
 
Velocidade Angular 
 
 
 
 
 
 
 
  Velocidade angular média 
 
 
 
 
  Velocidade angular instantânea 
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Se conhecermos (t) podemos calcular a velocidade angular por derivação. As 
unidades mais utilizadas são rad/s e rev/s. 
 
Aceleração Angular 
 
 
 
 
  Aceleração angular média 
 
 
 
 
 Aceleração angular instantânea 
 
Essas equações são válidas para todas as partículas do corpo. As unidades mais 
utilizadas são rad/s² e rev/s². 
 
Exemplo: Um disco está girando em torno do seu 
eixo central como um carrossel. A posição angular (t) de 
uma reta de referência do disco é dada por: 
 
 
 
a) Plote a posição angular do disco em função do 
tempo de t = - 3,0 s a t = 5,4 s. 
b) Em que instante o ângulo (t) passa pelo valor mínimo? 
c) Plote a velocidade angular do disco em função do tempo de t = - 3,0 s a t = 
6,0 s. 
 
Exemplo: Um pião gira com aceleração angular: 
 
 
 
Onde t está em segundos e em radianos por segundo ao quadrado. Em t = 0 a 
velocidade do pião é 5 rad/s e uma reta de referência traçada no pião está na posição 
angular = 2 rad. 
 
a) Obtenha uma expressão para a velocidade angular do pião, . 
b) Obtenha uma expressão para a posição angular do pião, . 
 
As grandezas angulares são vetores e o vetor velocidade angular é dado pela 
regra da mão direita: 
 
 
Fonte: Halliday, Fundamentos de Física, 8ª Edição 
5 
 
Rotação com Aceleração Angular Constante 
 
Nas translações puras, existe um caso especial importante que são os 
movimentos com aceleração linear constante. Nas rotações puras também existe o caso 
especial em que a aceleração angular é constante e pode ser descrito usando um 
conjunto análogo de equações. 
 
Equações do 
movimento para Aceleração 
Linear Constante 
Variável Ausente Equações do 
movimento para Aceleração 
Angular Constante 
 
 
Fonte: Halliday, Fundamentos de Física, 8ª Edição 
 
Exemplo: Uma pedra de amolar gira com aceleração angular constante 
 . No instante t = 0 ela tem uma velocidade angular e uma reta 
de referência traçada na roda está na horizontal, na posição angular . 
 
a) Em que instante após t = 0 a reta de referência está na posição angular 
 . 
b) Em que instante t a pedra de amolar pára momentaneamente? 
 
Exemplo: Você esta operando um Rotor (brinquedo de parque de diversões com 
um cilindro giratório), percebe que um ocupante está ficando tonto e reduz a velocidade 
angular do cilindro de 3,40 rad/s para 2,00 rad/s em 20 rev, com aceleração angular 
constante. Em quanto tempo ocorre a redução d velocidade? 
 
Relacionando grandezas Rotacionais e Translacionais 
 
Em um corpo rígido, todas as partículas completam uma revolução no mesmo 
intervalo de tempo, ou seja, todas têm a mesma velocidade angular . 
Por outro lado, quanto mais afastada do eixo está a partícula maior é a 
circunferência que ela percorre e, portanto, maior é sua velocidade linear escalar . 
Você gira com a mesma velocidade angular independente da distância a que se 
encontra do centro, mas sua velocidade linear escalar aumenta quando você se afasta 
do eixo de rotação. 
Frequentemente precisamos relacionar as variáveis lineares , e de um ponto 
particular de um corpo em rotação com as variáveis angulares , e . Os dois conjuntos 
6 
 
de variáveis estão relacionados através de r, a distância perpendicular do ponto ao eixo 
de rotação. É também o raio r da circunferência descrita pelo ponto em torno do eixo de 
rotação. 
 
Posição: 
 
Velocidade: 
 
 
 
 
 
 
 
Período: 
 
 
 
 
 
 
 
Aceleração: 
 
 
 
 
 
 
 
Essa aceleração é também conhecida como aceleração tangencial, pois dá conta 
da variação do módulo da velocidade. Como a velocidade é tangencial à curva, 
para que o seu módulo varie é necessário uma aceleração nesta direção. 
 
 
 
Com a definição dessa aceleração, temos agora dois tipos de aceleração no 
movimento circular: a aceleração tangencial e a aceleração radial (ou centrípeta). 
 
Aceleração Radial (ou centrípeta): 
 
 
 
 
 
Fonte: http://brasilescola.uol.com.br/fisica/caracteristicas-aceleracao-vetorial.htm 
 
Assim: 
 
Exemplo: Vamos projetar a emoção inicial em uma montanha russa. Queremos 
que cada passageiro deixe o ponto de embarque com uma aceleração g ao longo da pista 
horizontal. Para aumentar a emoção, queremos também que a primeira parte do trilho 
forme um arco de circunferência de modo que o passageiro também experimente uma 
aceleração centrípeta. 
 
Quando o passageiro acelera ao longo do arco, o módulo dessa aceleração 
centrípeta aumenta assustadoramente. Quando o módulo a da aceleração resulta 4g em 
algum ponto P de ângulo ao longo do arco, queremos que o passageiro se mova, em 
linha reta, ao longo de uma tangente de arco. 
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a) Que ângulo o arco deve subtender para que a seja 4g no ponto P? 
b) Qual é o módulo a da aceleração experimentada pelo passageiro no ponto P e 
depois de passar pelo ponto P? 
 
Energia Cinéticade Rotação 
 
Quando giramos um corpo rígido certamente este corpo possui energia cinética 
associada a rotação. Como podemos expressar essa energia? Não podemos aplicar a 
fórmula convencional 
 
 
 ao corpo como um todo, pois isso nos daria apenas a 
energia cinética do centro de massa do corpo, que é zero. 
Então vamos tratar o corpo rígido como um conjunto de partículas com diferentes 
velocidades e somar as energias cinéticas dessas partículas para obter a energia cinética 
do corpo como um todo. Segundo esse raciocínio, a energia cinética de um corpo em 
rotação é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O problema é que não é igual para todas as partículas. Resolvemos este 
problema substituindo pelo seu valor dado pela equação : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde é igual para todas as partículas. 
 
A grandeza 
 , depende da forma como a massa do corpo está distribuída 
em relação ao eixo de rotação. Chamamos esta quantidade de momento de inércia do 
corpo em relação ao eixo de rotação. O momento de inércia depende do corpo e do eixo 
em torno do qual está sendo executada a rotação. 
 
 
  Momento de Inércia 
 
Em termos do momento de inércia, a energia cinética de um objeto em rotação é: 
 
 
 
 
 
A unidade de I no SI é kg.m². 
 
O momento de inércia de um corpo em rotação envolve não apenas a sua massa, 
mas também a forma como essa massa está distribuída. Veja a figura a seguir: 
 
8 
 
 
Fonte: Halliday, Fundamentos de Física, 8ª Edição 
 
As duas rotações envolvem a mesma massa, mas é muito mais fácil executar a 
primeira rotação que a segunda. A razão é que as partículas que forma a barra estão 
mais próximas do eixo na primeira rotação. Em consequência o momento de inércia da 
barra é muito menor na primeira situação. Quanto menor o momento de inércia, mais fácil 
é executar uma rotação. 
 
Cálculo do Momento de Inércia 
 
O Momento de Inércia de um objeto em relação a um eixo é a propriedade do 
objeto que o faz resistir a uma variação em sua velocidade vetorial angular em relação 
aquele eixo. 
Se um corpo rígido contém um número pequenos de partículas, podemos calcular 
o momento de inércia em torno de um eixo de rotação usando a equação 
 . 
Se um corpo rígido contém um número muito grande de partículas seria 
impraticável. Em vez disso, substituímos o somatório por uma integral e definimos o 
momento de inércia do corpo como: 
 
  Momento de Inércia para um corpo contínuo. 
 
Teorema dos eixos paralelos 
 
Se conhecermos o momento de inércia do centro de massa do corpo em relação 
a um eixo paralelo ao eixo desejado, passando pelo seu centro de massa e seja h a 
distância perpendicular entre o eixo dado e o eixo que passa pelo centro de massa, nesse 
caso o momento de inércia I em relação ao eixo é dado por: 
 
 
  Teorema dos eixos paralelos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Alguns Momento de Inércia 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
Fonte: http://ensinoadistancia.pro.br/EaD/Fisica-1/aula-7/aula-7.html 
 
 
Fonte: http://slideplayer.com.br/slide/64323/ 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: http://slideplayer.es/slide/5188058/ 
 
 
 
Fonte: http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/solido/volantemotor.html 
 
Placa Retangular 
re 
retangular 
Paralelepípedo 
re 
retangular 
Disco 
re 
retangular 
Disco 
re 
retangular 
11 
 
 
Exemplo: A figura mostra uma barra fina, uniforme, de massa M e comprimento 
L, sobre um eixo x cuja origem está no centro da barra. 
 
 
 
a) Qual é o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à 
barra passando pelo seu centro? 
b) Qual é o momento de inércia I da barra em relação a um novo eixo 
perpendicular à barra passando pela extremidade esquerda? 
 
Exemplo: A figura mostra uma cilindro, uniforme, de massa M e comprimento L, 
raio interno e raio externo . 
 
 
 
Qual é o momento de inércia do cilindro em torno do eixo central? 
 
Exemplo: Em 1985, a empresa Test Devices, Inc. estava testando um rotor de 
aço maciço, em forma de disco, com uma massa de M = 272 kg e um raio R = 38,0 cm. 
Quando a peça atingiu uma velocidade angular de 14.000 rev/min, os engenheiros que 
realizavam o ensaio ouviram um ruído seco na câmara, que ficava um andar abaixo e a 
uma sala de distância. Na investigação, descobriram que tijolos de chumbo haviam sido 
lançados no corredor que levava a sala de testes, uma das portas da sala havia sido 
arremessada no estacionamento do lado de fora do prédio, um tijolo de chumbo havia 
atravessado a parede e invadido a cozinha de um vizinho, as vigas estruturais do edifício 
do teste tinham sido danificadas, o chão de concreto abaixo da câmara de ensaios havia 
afundado cerca de 0,5 cm e a tampa de 900 kg tinha sido lançada para cima, 
atravessando o teto e caíra de volta, destruindo o equipamento de ensaio. Os fragmentos 
da explosão só não penetraram na sala dos engenheiros por pura sorte. 
 
12 
 
 
 
Qual foi a energia liberada na explosão do rotor? 
 
1.2 
 
Torque 
 
Para abrir uma porta pesada você certamente deve aplicar uma força, mas 
apenas isso não é o suficiente. O lugar onde você aplica a força e a direção em que você 
empurra são parâmetros importante. Se você aplicar a força mais perto do eixo de rotação 
ou com um ângulo diferente de 90° ao plano da porta precisará de uma força maior para 
abrir a porta. 
Veja a figura a seguir: 
 
Fonte: Halliday, Fundamentos de Física, 8ª Edição 
 
Para determinar o modo como provoca uma rotação do corpo em torno do eixo 
de rotação, podemos decompor em duas componentes. A componente radial tem a 
mesma direção de portanto não provoca rotações pois age ao longo de uma reta que 
passa pelo ponto O. a componente tangencial é perpendicular a e tem módulo 
 e é essa componente que provoca rotações. 
A capacidade de de fazer o corpo girr depende não só do módulo da 
componente tangencial mas também da distância entre o ponto de plicação de e o 
ponto O. Para levar em conta esses dois fatores definimos uma grandeza chamada de 
torque como o produto dos dois fatores: 
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Portanto torque é uma força que tende a rodar ou virar objetos. 
Duas formas equivalentes de calcular o torque são: 
 
 
E 
 
 
Onde é a distância perpendicular entre o eixo de rotação que passa por O e 
uma reta que coincide com a direção do vetor Esta reta é chamada de linha de ação de 
 e é o braço de alavanca de . 
 
Fonte: Halliday, Fundamentos de Física, 8ª Edição 
 
No SI a unidade para torque é: N.m 
 
Segunda Lei de Newton para Rotações 
 
A segunda Lei de Newton toma uma forma peculiar quando aplicada aos 
movimentos que envolvem rotação. Se fizermos a decomposição da força aplicada a uma 
partícula segundo as suas componentes perpendicular e paralela ao vetor posição dessa 
partícula, teremos: 
 
 
 
 
e 
 
 
Mas, quando consideramos o torque associado a essa força, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
E o torque toma a forma: 
 
 
Onde I é o momento de inércia da partícula considerada. 
 
Exemplo: A figura mostra um disco uniforme, de massa 
M = 2,5 kg e raio R = 20 cm, montado em um eixo horizontal fixo. 
Um bloco de massa m = 1,2 kg está pendurado por uma corda de 
massa desprezível que está enrolada na borda do disco. 
Determine a aceleraçãodo bloco em queda, a aceleração angular 
do disco e a tensão na corda. A corda não escorrega e não existe 
atrito no eixo. 
 
Trabalho e Energia Cinética de Rotação 
 
Sabemos que quando uma força F acelera um corpo 
rígido de massa m, a força realiza um trabalho W sobre o corpo. Isso significa que a 
energia cinética K pode mudar. Já conhecemos o teorema da energia cinética: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para um movimento restrito a um eixo x podemos calcular o trabalho usando a 
equação: 
 
 
 
 
 
 
Esta equação se reduz a W = F.s quando F é constante e o deslocamento do 
corpo é s. A taxa com a qual o trabalho é realizado é a potência, que pode ser calculada 
como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos considerar uma situação análoga para rotações. Quando um torque 
acelera um corpo rígido em torno de um eixo fixo, o torque realiza um trabalho W sobre o 
corpo. Isso significa que a energia cinética rotacional do corpo pode mudar. 
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos também calcular o trabalho executando em uma rotação usando uma 
equação análoga à: 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
Correspondência entre os movimentos de rotação e translação 
 
Fonte: Halliday, Fundamentos de Física, 8ª Edição 
 
A taxa com a qual o trabalho é realizado é a potência, que pode ser calculado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Potência para rotação em torno de um eixo fixo. 
 
Exemplo: Suponha que o disco da figura parte do repouso no instante t = 0. Qual 
é a energia cinética de rotação K no instante t = 2,5 s? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
Exemplo: Uma chaminé cilíndrica começa a tombar quando sua base é 
danificada. Trate a chaminé como uma barra fina de comprimento L = 55,0 cm. Qual é sua 
velocidade angular no instante em que faz um ângulo com a vertical? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rolamento 
 
Rolamento é a mistura do movimento de translação do centro de massa mais o 
movimento de rotação e está aplicação da física vem sendo usada a muito tempo. 
 
 
Fonte: Halliday, Fundamentos de Física, 8ª Edição 
 
Nosso ponto de partida para estudar essa parte da física será simplificar o 
movimento de rolamento. 
No momento, vamos considerar apenas objetos que rolam suavemente em uma 
superfície, ou seja, objetos que rolam sem escorregar ou quicar na superfície. 
Vamos estudar esse movimento tratando-o como uma combinação de translação 
do centro de massa e rotação do resto do objeto em torno do centro de massa. 
Veja a figura: 
 
Fonte: Halliday, Fundamentos de Física, 8ª Edição 
 
Durante um intervalo de tempo t a roda gira uma determinada distância s. A roda 
gira um ângulo em torno do eixo da roda descrevendo um arco de comprimento s. O 
comprimento do arco s e o ângulo de rotação estão relacionados pela equação: 
 
 
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A velocidade liner vCM do centro da roda é ds/dt. A velocidade angular da roda é 
d /dt. Derivando a equação em relação a tempo, com R constante, obetmos: 
 
 
 
No Rolamento sem deslizamento cada ponto toca apenas uma vez no chão e a 
translação acompanha a rotação. 
A figura a seguir mostra o movimento de translação pura com um movimento de 
rotação pura, combinado-os: 
 
Fonte: midia.cmais.com.br 
 
Observe que nesta combinação de movimentos a velocidade escalar da 
extremidade inferior da roda (no ponto P) é zero e a velocidade escalar na extremidade 
superior (ponto P`) é 2vCM, maior que em qualquer outra parte da roda. 
 
 
Fonte: Halliday, Fundamentos de Física, 8ª Edição 
 
 
 
 
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Energia Cinética de Rolamento 
 
Encarando o rolamento sem deslizamento como uma rotação pura em torno do 
eixo instantâneo, do ponto de vista de um observador estacionário: 
 
 
 
 
 
 
 
 é o momento de inércia da roda em relação a um eixo passando por P. 
De acordo com o teorema dos eixos paralelos: 
 . 
Substituindo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como: 
 
Obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A energia cinética do corpo rígido é a soma da energia cinética de rotação em 
torno do CM com a energia cinética associada ao movimento de translação do CM. 
Um objeto em rolamento possui dois tipos de energia cinética: uma energia 
cinética de rotação (
 
 
 
 ) associado a rotação em torno do centro de massa e uma 
energia cinética de translação (
 
 
 
 ) associado a translação do centro de massa. 
 
Exemplo: Determine a energia cinética de uma roda (forma de disco) de massa 
170 kg e com uma velocidade de 1233 km/h. 
 
As Forças do Rolamento 
 
Se uma roda rola com velocidade constante ela não tende a deslizar no ponto de 
contato com a superfície e, portanto não está sujeito a uma força de atrito. Entretanto de 
uma força age sobre a roda para aumentar ou diminuir sua velocidade essa força produz 
uma aceleração do centro de massa na direção do movimento. Essa aceleração faz 
com que a roda gire mais depressa ou mais devagar, o que significa que ela causa uma 
aceleração angular . Esta aceleração tende a fazer a roda deslizar no ponto de contato 
com a superfície. Assim uma força de atrito deve agir para se opor a essa tendência. 
Se a roda não desliza, a força de atrito é estático e o movimento é um rolamento 
suave. Nesse caso, podemos relacionar a aceleração linear à aceleração angular 
derivando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a roda desliza quando a força age sobre ela, a força de atrito que atua sobre o 
ponto de contato com a superfície é uma força de atrito cinético, e nesse caso, o 
movimento não é rolamento suave e a equação acima não se aplica. Vamos apenas 
discutir rolamento suave. 
Sem atrito = deslizamento 
Com atrito = rolamento 
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Portanto o atrito é a força responsável pelo movimento de rolamento. 
Quando temos atrito estático (sem deslizamento no ponto de contato) se 
considera que não há perda de energia no sistema, ou seja, que o sistema é conservativo. 
 
Rolando em um Plano Inclinado 
 
Vamos obter uma expressão para a aceleração de um corpo redondo rolando 
suavemente para baixo ao longo de um eixo x em uma rampa inclinada de ângulo , 
usando uma versão linear (F = m.a) e angular ( ) da segunda lei de Newton. 
 
 
Fonte: Halliday, Fundamentos de Física, 8ª Edição 
 
Na figura estão todas as forças que atuam no corpo redondo. Aplicando a lei de 
Newton, obtemos: 
 
 
Esta equação possui duas incógnitas, e . 
Agora usamos a forma angular da segunda lei de Newton para descrever a 
rotação do corpo em torno de um eixo horizontal passando pelo centro de massa. Mas 
para isso usaremos a equação escrita na forma para escrever os torques sobre 
o corpo em relação a esse eixo. A força de atrito possui braço de alavanca R e, 
portanto produz um torque , que é positivo, pois faz o corpo girar no sentido anti-
horário. As forças Fg e FN possuem braços de alavanca nulos em relação ao centro de 
massa e, portanto produzem torques nulos. Assim podemos escrever a forma angular da 
segunda lei de Newton ( ) em relação a um eixo horizontal passando pelo centro de 
massa como: 
 
 
Esta equação possui duas incógnitas, e . 
Como o corpo está rolando suavemente, podemos usar a equação 
para relacionar as incógnitas e . Entretanto devemos ter cuidado, pois neste caso 
 é negativa (sentido negativo do eixo x) e é positiva (sentido anti-horário). Assim, 
devemosfazer: 
 
 
 
 
Explicitando , obtemos: 
 
20 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na equação , temos: 
 
 
 
 
 
 
Podemos utilizar essa equação para calcular a aceleração de qualquer corpo que 
role suavemente em um plano inclinado que faz um ângulo com a horizontal, basta 
conhecermos o momento de inércia do centro de massa do objeto estudado. 
 
Exemplo: Uma bola uniforme, de massa M = 6,00 kg e raio R, rola suavemente, a 
partir do repouso, descendo uma rampa inclinada de ângulo = 30,0°. 
 
a) A bola desce uma distância vertical h = 1,20 m para chegar à base da rampa. 
Qual é a sua velocidade ao chegar à base da rampa? 
b) Quais são o módulo e a orientação da força de atrito que age sobre a bola 
quando ela desce a rampa rolando? 
 
Lista de Exercícios 
 
1) Durante um intervalo de tempo t, a turbina de um gerador gira um ângulo 
 , onde a , b e c são constantes. 
 
a) Determine a expressão para sua velocidade angular. 
b) Determine a expressão para sua aceleração angular. 
 
2) Uma roda tem oito raios de 30 cm. Está montada sobre um eixo fixo e gira a 
2,5 rev/s. Você pretende atirar uma flecha de 20 cm de comprimento através da roda, 
paralelamente ao eixo, sem que a flecha colida com qualquer raio. Suponha que tanto a 
flecha quanto os raios são muito finos. Qual a velocidade mínima que a flecha deve ter? 
 
 
 
 
3) Um prato de toca-discos, rodando a 33 1/3 rev/min, diminui e pára 30 s após o 
motor ser desligado. 
 
a) Determine a sua aceleração angular (uniforme) em rev/min². 
b) Quantas revoluções o motor realiza neste intervalo? 
 
4) Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso, com aceleração 
angular constante, até alcançar a rotação de 10 rev/s. Depois de completar 60 
revoluções, a sua velocidade angular é de 15 rev/s. 
 
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a) Calcule a aceleração angular. 
b) Calcule o tempo necessário para completar as 60 revoluções. 
c) Calcule o tempo necessário para alcançar a rotação de 10 rev/s. 
d) Calcule o número de revoluções desde o repouso até a velocidade de 10 rev/s. 
 
5) Uma certa moeda de massa M é colocada a uma distância R do centro de um 
prato de um toca discos. O coeficiente de atrito estático é µE. A velocidade angular do 
toca discos vai aumentando lentamente até w0, quando, neste instante, a moeda 
escorrega para fora do prato. Determine w0 em função das grandezas M, R, g e µE. 
 
 
6) Um carro parte do repouso e percorre uma trajetória circular de 30 m de raio. 
Sua velocidade aumenta na razão constante de 0,5 m/s². 
 
 
a) Qual o módulo da sua aceleração linear resultante, depois de 15 s? 
b) Que ângulo o vetor aceleração resultante faz com o vetor velocidade do carro 
nesse instante? 
 
 
7) Quatro polias estão conectadas por duas correias conforme mostrado na figura 
a seguir. A polia A (rA= 15 cm) é a polia motriz e gira a 10 rad/s. A polia B (rB= 10 cm) 
está conectada à A pela correia 1. A polia B' (rB'= 5 cm) é concêntrica à B e está 
rigidamente ligada à ela. A polia C (rC = 25 cm) está conectada à polia B' pela correia 2. 
 
22 
 
 
 
a) Calcule a velocidade linear de um ponto na correia 1. 
b) Calcule a velocidade angular da polia B. 
c) Calcule a velocidade angular da polia B'. 
d) Calcule a velocidade linear de um ponto na correia 2. 
e) Calcule a velocidade angular da polia C. 
 
8) Duas partículas de massa m cada uma, estão ligadas entre si e a um eixo de 
rotação em O, por dois bastões delgados de comprimento L e massa M cada um, 
conforme mostrado na figura a seguir. O conjunto gira em torno do eixo de rotação com 
velocidade angular w. 
Determine algebricamente a expressão para o momento de inércia do conjunto 
em relação a O. 
 
 
9) Numa máquina de Atwood, um bloco tem massa 500 g e o 
outro 460 g. A polia, que está montada sobre um suporte horizontal sem 
atrito, tem um raio de 5 cm. Quando ela é solta, o bloco mais pesado cai 
75 cm em 5 s. A corda não desliza na polia. 
 
a) Qual a aceleração de cada bloco? 
b) Qual a tensão na corda que suporta o bloco mais pesado? 
c) Qual a tensão na corda que suporta o bloco mais leve? 
d) Qual a aceleração angular da polia? 
e) Qual o seu momento de inércia? 
 
10) A figura a seguir mostra dois blocos de massa m suspensos nas extremidades 
de uma haste rígida, de peso desprezível, de comprimento L = L1 + L2 , com L1 = 20 cm e 
L2 = 80 cm . A haste é mantida na posição horizontal e então solta. Calcule a aceleração 
dos dois blocos quando eles começam a se mover. 
 
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11) Dois blocos idênticos, de massa M cada uma, estão ligados por uma corda de 
massa desprezível, que passa por uma polia de raio R e de momento de inércia I. A corda 
não desliza sobre a polia; desconhece-se existir ou não atrito entre o bloco e a mesa; não 
há atrito no eixo da polia. Quando esse sistema é liberado, a polia gira de um ângulo θ 
num tempo t, e a aceleração dos blocos é constante. 
 
a) Qual a aceleração angular da polia? 
b) Qual a aceleração dos dois blocos? 
c) Quais as tensões na parte superior e inferior da corda? 
Todas essas respostas devem ser expressas em função de M, I, R, θ, g e t. 
 
 
12) Um bastão fino de comprimento L e massa m está 
suspenso livremente por uma de suas extremidades. Ele é 
puxado lateralmente para oscilar como um pêndulo, passando 
pela posição mais baixa com uma velocidade angular w. 
 
a) Calcule a sua energia cinética ao passar por esse 
ponto. 
b) A partir desse ponto, qual a altura alcançada pelo 
seu centro de massa? Despreze o atrito e a resistência do ar. 
 
13) Um prato de toca discos está girando no plano xy a 45 ver/min, no sentido 
horário quando visto de cima. O eixo z coincide com o eixo de rotação com +z para cima. 
Neste referencial, determine wz em unidades de rad/s. 
 
14) Dê a equação da posição angular do toca discos do exercícios 13, quando 
está girando a velocidade constante de 45 ver/min. A coordenada angular inicial e o = 1,2 
rad. Determine em t = 2,4 s. 
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15) Suponha que após desligado, o prato de toca discos do exercício 13, venha a 
parar em um intervalo de tempo de 1,7 s. 
 
a) Determine uma equação para a coordenada angular do prato como função 
do tempo, enquanto ele está diminuindo a velocidade para parar. Suponha que a 
aceleração angular seja constante. Faça to = 0 e o = 0. 
b) Qual a variação da coordenada angular do parto entre o instante to = 0 e o 
instante em que o prato para? 
 
16) Uma criança está em um carrossel, a uma distância de 2,1 m do eixo vertical 
de rotação. Em determinado instante, o carrossel está girando em sentido anti-horário 
quando visto de cima, a uma velocidade angular de 0,42 rad/s; esta velocidade angular 
está decrescendo de modo que α = 0,14 rad/s². Em relação a criança determine: 
 
a) A velocidade tangencial; 
b) A aceleração tangencial; 
c) A aceleração radial; 
d) O módulo da aceleração. 
Tome o plano xy horizontal e o eixo z ao longo do eixo de rotação com +z para 
cima. 
 
17) A figura mostra um corpo rígido composto por duas partículas de massa m 
ligadas por uma barra de comprimento L e massa desprezível. 
 
 
 
a) Qual é o momento de inércia ICM em relação a um eixo passando pelo centro 
de massa e perpendicular a barra como mostra a figura? 
b) Qual é o momento de inércia I do corpo em relação a um eixo passando pela 
extremidade esquerda da barra e paralelo ao primeiro eixo? 
 
18) Um carro de 1000 kg tem quatro rodas de 10 kg. Quando o carro está em 
movimento, que fração de energia cinética total se deve a rotação das rodas em torno dos 
respectivos eixos? Suponha que as rodas têm o mesmo momento de inércia que discos 
uniformes da mesma massa e tamanho. Por que não épreciso conhecer o raio das 
rodas? 
 
19) Na figura, uma bola maciça rola suavemente a partir do repouso (começando 
na altura H = 6,0 m) até deixar a parte horizontal no fim da pista, a uma altura h = 2,0 m. A 
que distância horizontal do ponto A a bola toca o chão? 
 
 
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Referências 
 
Fundamento de Física, volume 1: mecânica / David Halliday, Robert Resnick, 
Jearl Walker – 8ª ed. – Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
Fundamento de Física, volume 1: mecânica / David Halliday, Robert Resnick, 
Jearl Walker – 4ª ed. – Rio de Janeiro: LTC, 2004. 
 
Física, volume 1 / Frederick J. Keller, W. Edward Gettys, Malcolm J. Skove - São 
Paulo: Makron Books, 1997. 
 
<http://www.fisica.ufpb.br/~romero/pdf/11_rotacao.pdf> acesso em: 20/02/2016 
 
<http://midia.cmais.com.br/> acesso em: 06/10/2015 
 
<http://disciplinas.stoa.usp.br/> acesso em: 06/10/2015 
 
<http://ciencia.hsw.uol.com.br/> acesso em: 06/10/2015