AULA 03 - ESTATISTICA - ICMS SP

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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 1 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
AULA 3 
 
 
 
VII MEDIDAS SEPARATRIZES ................................................................................................................ 3 
 
 
VIII FORMAS DE APRESENTAÇÃO DOS DADOS AGRUPADOS EM CLASSES........................... 53 
 
1 Histograma.............................................................................................................................................. 53 
 
2 Polígono de freqüências.......................................................................................................................... 67 
 
IX ASSIMETRIA ............................................................................................................................................ 69 
 
1 Noções de assimetria............................................................................................................................... 69 
 
2 Formas da curva de freqüência. ............................................................................................................. 73 
 
LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSOS ................................................................................................... 82 
 
 
GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSOS ......................................................................................... 99 
 
 
ANEXO .............................................................................................................................................................. 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 2 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
Antes da matéria nova, vamos às correções. 
 
Eu mando as aulas para o Ponto, que dá uma última formatada no arquivo, passa para 
pdf, e disponibiliza no site. Assim, pode ser que a numeração de página que eu vou 
indicar seja ligeiramente diferente da que vocês têm aí. 
 
O erro foi na página 5 da aula 2. Eu escrevi: 
 
Como regra geral, se tivermos ‘n’ elementos, podemos dizer que: 
 
n 
∑ f i = n 
i =1 
 
Para o caso acima, ‘n’ vale 10 (são dez salários pesquisados). Então, ficamos com: 
 
10 
∑ f i = ? 
i 1= 
 
O que significa mesmo a expressão acima? Significa que queremos somar valores (pois 
há um símbolo de somatório). Que valores? Valores de if (freqüência absoluta simples). 
 
Quais valores de f i ? Aqueles para os quais ‘i’ vai de 1 até 10. 
 
10 
∑ f i = 
i 1= 
 
 
f1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f8 + f 9 + f10 
 
 
10 
∑ f i = 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 
i 1= 
 
 
 
Mas o correto seria: 
 
Como regra geral, se tivermos ‘n’ elementos, podemos dizer que: 
 
∑ f i = n 
 
Para o caso acima, ‘n’ vale 10 (são dez salários pesquisados). Então, ficamos com: 
 
∑ f = n 
i 
 
O que significa mesmo a expressão acima? Significa que queremos somar valores (pois 
há um símbolo de somatório). Que valores? Valores de 
if (freqüência absoluta simples). 
 
Quais valores de 
 
de 1 até 7). 
f i ? Como são 7 valores de 
 
X i , temos 7 valores de 
 
f i (ou seja, ‘i’ vai 
 
 
7 
∑ f i = 
i 1= 
 
 
f1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 
 
 
7 
∑ f i = 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 
i 1= 
 
 
 
Vamos analisar com calma o erro cometido. 
 
Se são ‘n’ elementos e se somarmos todas as freqüências, realmente o valor da soma 
será igual a n. 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 3 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
No exemplo acima, onde temos 10 elementos, somando todas as freqüências obtemos, 
de fato, o número 10. 
 
Então qual o problema? 
 
O problema é que temos 10 elementos (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7), mas não temos dez 
valores de X i . Temos apenas 7. São eles: 
 
X 1 = 1; 
 
X 2 = 2 ; 
 
X 3 = 3 , 
 
X 4 = 4 , 
 
X 5 = 5 , 
 
X 6 = 6 , 
 
X 7 = 7 
 
Consequentemente, temos sete valores de freqüência. São elas: 
 
f1 = 1 ; 
 
f 2 = 3 ; 
 
f 3 = 1 , 
 
f 4 = 2 , 
 
f 5 = 1 , 
 
f 6 = 1 , 
 
f 7 = 1 
 
10 
Portanto, na hora de somar todos os valores de freqüência, não podemos escrever ∑ f i . 
i =1 
Esta simbologia significa que queremos somar dez valores de freqüência. Mas não há dez 
valores de freqüência. Há apenas 7. 
 
Então, para somar todos os valores de freqüência, neste caso, deveríamos escrever: 
 
7 
∑ f i = ? 
i 1= 
 
E o resultado seria: 
 
7 
∑ f i = 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 
i 1= 
 
 
 
A correção a ser feita na aula passada é essa. Na hora de somar todas as freqüências, ‘i’ 
vai de 1 até 7. 
 
Vamos à matéria de hoje! 
 
 
 
VII MEDIDAS SEPARATRIZES 
 
Medidas separatrizes são medidas que separam os dados de formas bem específicas. 
 
Uma medida separatriz que nós já estudamos é a mediana. Quando a vimos pela 
primeira vez, dissemos que ela era uma medida de tendência central. Ela, assim como a 
média e a moda, fornece pontos em torno dos quais os dados “giram”. 
 
Além de ser uma medida de tendência central, ela também é uma medida separatriz. 
Isto porque ela separa os dados de uma forma bem específica. Sendo a mediana o termo 
do meio, ela deixa metade dos dados à sua esquerda e a outra metade à sua direita. 
 
O nosso ROL do começo do curso (pesquisa salarial no bairro Nova Vila) era: 1, 2, 2, 2, 
3, 4, 4, 5, 6, 7. 
 
A mediana foi calculada com sendo 3,5. 
 
Ora, temos 5 valores menores que 3,5 (são eles: 1, 2, 2, 2, 3). E temos outros 5 valores 
maiores que 3,5 (4, 4, 5, 6, 7). 
Por isto a mediana é uma medida separatriz. Ela separa os dados em duas partes iguais. 
E esta foi a única medida separatriz que nós vimos. 
 
Outra medida separatriz é o quartil. São três quartis, dividindo a seqüência de dados em 
quatro partes iguais (em quatro partes com o mesmo número de termos). 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 4 
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O primeiro quartil separa a seqüência de dados de forma que à sua esquerda fiquem 
25% dos valores e à sua direita 75%. Assim, o primeiro quartil é o valor que não é 
superado por 25% das observações. 
 
O segundo quartil coincide com a mediana, deixando 50% dos valores de cada lado. 
 
O terceiro quartil deixa à sua esquerda 75% dos valores e à sua direita 25%. Logo, o 
terceiro quartil é o valor que não é superado por 75% das observações. 
 
 
Outra medida separatriz é o decil. São nove decis que dividem a série em dezpartes 
iguais. 
 
O primeiro decil deixa à sua esquerda 10% dos valores; à sua direita 90% (ou seja, não 
é superado por 10% das observações). O segundo decil deixa à sua esquerda 20% dos 
valores; à sua direita 80%. E assim por diante. 
 
O quinto decil coincide com a mediana, deixando 50% dos valores de cada lado. 
 
 
A última medida separatriz que veremos é o percentil. O primeiro percentil deixa à sua 
esquerda 1% dos valores e à sua direita 99% (ou seja, não é superado por 1% das 
observações). O segundo percentil deixa à sua esquerda 2% dos valores e à sua direita 
98%. E assim por diante. O qüinquagésimo percentil coincide com a mediana, deixando 
50% dos valores de cada lado. 
 
 
Então, resumindo as medidas separatrizes que estudaremos, temos: a mediana, os 
quartis, os decis, os percentis. 
 
 
Quando os dados estão em ROL ou agrupados por valor, o cálculo das medidas 
separatrizes pode ser meio complicado. 
 
Para a mediana, nós vimos que bastava identificar o termo central. Ou, caso o conjunto 
tivesse um número par de termos, bastava identificar os dois termos centrais e fazer a 
média. 
 
Para as demais medidas, a maneira de calcular varia bastante. Costumo dizer que “vai do 
gosto do freguês”. Talvez por isso dificilmente caia em prova. Em seguida, veremos 
alguns exercícios de concursos, tirados de provas específicas para a área de estatística. 
Antes, vamos ver um exemplo. Neste ponto específico, vou utilizar a mesma idéia 
apresentada no livro “Estatística Aplicada à Economia, Administração e Contablidade”, 
dos autores John Freund e Gary Simon. Os autores trabalham com um exemplo 
envolvendo quartis, demonstrando que “há vasto campo para a arbitrariedade na 
definição do quartil inferior Q1 e do quartil superior Q3”. 
 
Então é isso. O exemplo abaixo é uma adaptação dos exemplos do livro citado. 
 
 
 
Estamos pesquisando as alturas das crianças de uma escola. 
 
Selecionamos doze crianças. Medimos suas alturas, obtendo o seguinte rol (valores em 
metros): 
 
1,40; 1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56. 
 
 
São doze valores. Se vamos dividir o ROL em quatro partes iguais, cada parte terá três 
elementos. Ficaremos com: 
 
 
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1,40; 1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56 
 
 
 
Acima temos as quatro partes de três elementos. Portanto, quatro partes iguais. 
 
Neste exemplo, uma forma de determinar os quartis poderia ser a que segue: tomamos 
os números que ficam perto das “fronteiras” entre as partes e fazemos a média entre 
eles. 
 
A primeira parte termina no 1,44. A segunda parte começa no 1,45. Fazendo a média 
 
entre eles temos: 
 
 ,1 44 + ,1 45 = ,1 445 2 
 
Assim, o primeiro quartil seria 1,445 (
 1
Q 
 
= ,1 445 ). 
 
A segunda parte termina no 1,47. A terceira parte começa no 1,49. Fazendo a média 
 
entre eles temos: 
 
 ,1 47 + ,1 49 = ,1 48 2 
 
O segundo quartil (que coincide com a mediana) é 1,48 ( Q2 = ,1 48 ). 
 
A terceira parte termina no 1,52. A quarta parte começa no 1,53. Fazendo a média entre 
eles temos: 
 
1 
52, 
 
 
 
+ 1 53, = 1 525, 2 
 
E o terceiro quartil é igual a 1,525 (
 3
Q 
 
= 1 525, ). 
 
Pronto, descobrimos os três quartis. Três valores que separam a série de dados em 
quatro partes iguais. 
 
 
1,40; 1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56 
 
 
Q1=1,445 Q2=1,48 Q3=1,525 
 
 
Agora vamos mudar a situação. Em vez de 12 crianças, medimos altura de apenas 11. A 
criança mais baixa, com 1,40, não foi analisada. O novo ROL, com 11 termos, fica: 
 
1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56. 
 
E agora? 11 não é múltiplo de 4. Como separar a seqüência em quatro partes iguais? Bom, 
o segundo quartil sempre coincide com a mediana. Agora temos um número ímpar de 
elementos. Há um termo do meio, que é o sexto. A mediana é igual a 1,49. Portanto, o 
segundo quartil também é igual a 1,49. 
O problema é achar os demais quartis. 
Neste caso, podemos pensar que: 
 
· à direita do primeiro quartil existem três vezes mais termos que à sua esquerda; à 
esquerda do terceiro quartil existem três vezes mais termos que à sua direita; 
 
· o número de elementos entre Q1 e Q2 é igual ao número de elementos à esquerda de 
Q1, que é igual ao número de elementos à direita de Q3; 
 
· metade dos dados está entre Q1 e Q3. 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 6 
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Quando a seqüência tinha 12 termos (múltiplo de quatro) todas estas propriedades 
foram satisfeitas (pode conferir). 
 
Agora, quando a seqüência tem apenas 11 termos, não é possível fazer com que todas 
sejam observadas ao mesmo tempo. 
 
Adotando a segunda propriedade, poderíamos determinar os quartis do seguinte modo: 
 
 
1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56 
 
 
Q1=1,45 Q2=1,49 Q3=1,53 
 
Mas observe que as demais propriedades não foram satisfeitas. 
 
Pois bem, este mesmo problema enfrentado com os quartis acontece com todas as 
demais medidas separatrizes (decis e percentis). Foi por isso que não estudamos as 
medidas separatrizes nas aulas anteriores, quando vimos dados em ROL e agrupados por 
valor. 
 
Talvez, devido a este tipo de problema, não seja comum a cobrança de tais medidas em 
provas de concursos (para dados em ROL ou agrupados por valor). 
 
No caso específico de quartis, ainda se vê cobrança vez ou outra (seguem exemplos na 
seqüência, tirados de provas voltadas para a área de estatística). E o método que se 
costuma utilizar para determinar o valor dos quartis é sempre o mesmo e acaba 
correspondendo à aplicação da segunda propriedade. O segundo quartil divide a 
seqüência em duas partes iguais. Consideramos que o primeiro quartil é a mediana da 
primeira parte. E o terceiro quartil é a mediana da segunda parte. 
 
 
 
 
EC 1 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS 
 
 
AFC/CGU - 2008. Área: Estatística e cálculos atuariais. [ESAF] 
 
[Conjunto de dados da questão anterior: 58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 
73, 5 e 56]. 
 
Dado o conjunto de dados da questão anterior, determine a amplitude interquartilica Q3 
– Q1. 
a) 33. 
b) 37. 
c) 40. 
d) 46. 
e) 51. 
 
 
 
Vamos obter o ROL. 
 
ROL: 5, 9, 12, 17, 21, 28, 31, 44, 56, 57, 58, 63, 73, 88, 95. 
 
 
 
Amplitude interquartílica ou intervalo interquartil nada mais é que a diferença entre o 
terceiro quartil ( 3Q ) e o primeiro 
quartil 
( 1Q ) . 
 
Este conceito é muito importante, pois não são raras as questões que exigem seu 
conhecimento. 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 7 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
Amplitude interquartílica (ou intervalo interquartílico): 
Diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. 
 
 
 
Vamos encontrar os quartis Q3 e Q1. 
 
O primeiro quartil é o valor que deixa à sua esquerda 25% dos dados e à sua esquerda 
75%. 
O terceiro quartil é o valor que deixa à sua esquerda 75% dos dados e à sua direita 25%. 
Só que a série tem 15 dados. 25% de 15 é um número quebrado. Da mesma forma, 
75% de 15 também não é um número inteiro. Como fazer? 
 
Nestes casos, como já dissemos, há diferentes formas de se encontrar os quartis. Vai “do 
gosto do freguês”. A forma necessária para resolver a questão era: 
 
 
 
Primeiro: encontramos a mediana. 
 
A mediana deste conjunto nós já calculamos naaula 1, em que resolvemos um outro 
exercício da mesma prova. Foi lá no EC 17. A mediana é 44. A mediana separa os dados 
em duas partes iguais (com sete termos cada uma). 
Segundo: assumimos que o primeiro quartil é a mediana da primeira parte. 
A primeira parte tem os seguintes termos: 
 
5, 9, 12, 17, 21, 28, 31. 
São sete termos. O do meio é o quarto (=17). 
O primeiro quartil é igual a 17. 
 
Q1 = 17 
 
 
Terceiro: assumimos que o terceiro quartil é a mediana da segunda parte. 
A segunda parte tem os seguintes termos: 
 
56, 57, 58, 63, 73, 88, 95 
São sete termos. O do meio é o quarto. 
O terceiro quartil é 63. 
 
Q3 = 63 
 
A amplitude interquartílica fica: 
 
Q3 −
 1
Q 
 
= 63 − 17 = 46 
 
 
 
Resposta: D 
 
 
 
Mais um exemplo: 
 
 
EC 2 
 
Analista CVM 2001 [ESAF] 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 8 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Uma firma distribuidora de eletrodomésticos está interessada em estudar o 
comportamento de suas contas a receber em dois meses consecutivos. Com este 
objetivo, seleciona, para cada mês, uma amostra de 50 contas. As observações 
amostrais constam da tabela seguinte: 
Valor (R$) Freqüência de março Freqüência de abril 
1.000,00 6 10 
3.000,00 13 14 
5.000,00 12 10 
7.000,00 15 13 
9.000,00 4 - 
11.000,00 - 3 
 
Assinale a opção que corresponde ao intervalo interquartílico, em reais, para o mês de 
março. 
a) 3.250,00 
b) 5.000,00 
c) 4.000,00 
d) 6.000,00 
e) 2.000,00 
 
 
Intervalo interquartílico corresponde à diferença entre o terceiro quartil e o primeiro 
quartil. 
 
 
 
 
Valor (R$) Freqüência de março Freqüência acumulada de março 
1.000,00 6 6 
3.000,00 13 19 
5.000,00 12 31 
7.000,00 15 46 
9.000,00 4 50 
 
Vamos encontrar a mediana. 
São 50 termos. Temos dois elementos centrais: o 25º e o 26º. 
O 19º termo é igual a 3.000. 
O 20º, o 21º, o 22º, .... e o 31º termo são iguais a 5.000. Portanto, 
o 25º e o 26º termos são iguais a 5.000. A mediana fica: 
 
D = 5.000 
 
A mediana divide o conjunto de dados em duas partes. A primeira parte tem 25 termos. 
O termo do meio é o 13º. 
 
O 13º termo é igual a 3.000. Assumimos que a mediana da primeira parte é o primeiro 
quartil. 
 
Q1 = 3.000 
 
A segunda parte tem 25 termos. O do meio é o 13º. 
 
O 1º termo da segunda parte é o 26º termo da seqüência inteira. 
Portanto, o 13º termo da segunda parte é o 38º termo da seqüência inteira. 
O 38º termo é igual a 7.000. 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 9 
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Vamos assumir que a mediana da segunda parte corresponde ao terceiro quartil. 
 
Q3 = 7 000. 
 
Logo, o intervalo interquartil fica: 
 
Q3 −
 1
Q 
 
= 7 
000. 
 
− 3 
000. 
 
= 4 000. 
 
Resposta: C. 
 
 
Pronto. Vimos exemplos de exercícios de cálculo de medidas separatrizes para dados em 
ROL e dados agrupados por valor. Pelas dificuldades já comentadas, acaba sendo um 
assunto pouco cobrado. De qualquer modo, faço alguns comentários adicionais em 
anexo. 
 
O que realmente cai em prova, e cai bastante, é o cálculo de medidas separatrizes para 
dados agrupados em classes. Eu diria que, de toda a estatística descritiva, este é o 
assunto mais importante, justamente porque é o mais cobrado em concursos. 
 
A representação dos dados na forma “agrupados em classes” é comum quando o número 
de observações é muito grande. Nestas situações, os problemas que vimos na 
determinação das medidas separatrizes tornam-se irrelevantes. Especialmente 
considerando-se que nem acesso a todos os dados nós temos (ou seja, obrigatoriamente 
considerações têm que ser feitas). Quando os dados estão agrupados em classes, não há 
mais “vasto campo de arbitrariedade” na determinação dos quartis (ou dos decis, ou dos 
percentis). O método é sempre o mesmo. 
 
Para resolver exercícios de medidas separatrizes para dados agrupados em classes, 
utilizamos interpolação linear. Vai funcionar mais ou menos assim. 
 
Precisamos trabalhar com valores de freqüências acumuladas (não importa se absolutas 
ou relativas, importa que sejam acumuladas). Neste ponto a conta é diferente de média 
e moda. Lembram? Para média e moda sempre usamos freqüências simples. Para 
medidas separatrizes (incluindo mediana) é o contrário: freqüências acumuladas. 
 
Para determinados valores de freqüências acumuladas, saberemos muito bem quais os 
valores da nossa seqüência de dados são correspondentes. Para outros, não. Estes 
outros valores nós determinaremos por meio da interpolação linear. 
 
Novamente: se tivéssemos que apontar um tópico de estatística descritiva como o mais 
cobrado em concursos, seria exatamente este. O cálculo de medidas separatrizes para 
dados agrupados em classes utilizando interpolação linear. Vamos a alguns exercícios 
para ver como fica. 
 
 
EC 3 
AFRF – 2003 [ESAF] 
Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. 
Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X 
que não é superado por cerca de 80% das observações. 
a) 10.000 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 10 
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b) 12.000 
c) 12.500 
d) 11.000 
e) 10.500 
 
 
Questão da ESAF. A pergunta pode ser resumida como: qual o valor do oitavo decil? Ou 
seja, quer se saber qual valor deixa à sua esquerda 80% dos dados. Ou ainda, qual valor 
não é superado por 80% das observações. 
 
O primeiro passo é verificar se as freqüências dadas são acumuladas. Para medidas 
separatrizes, sempre devemos utilizar freqüências acumuladas. Não importa se forem 
absolutas ou relativas. Basta que sejam acumuladas. Lembre que aqui é o contrário do 
cálculo para média e moda. Para média e moda sempre utilizamos freqüências simples. No 
caso, o exercício já deu as freqüências acumuladas. Não temos que fazer nenhuma 
transformação. 
 
Antes de responder à pergunta, vamos relembrar um pouco do significado de uma tabela 
de freqüências acumuladas. Observe a linha em vermelho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que ela significa? 
 
 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
 
 
O que significa dizer que a freqüência acumulada da classe 8.000 – 10.000 é igual a 77? 
Significa que temos 77 valores de X nesta classe ou nas classes anteriores. Significa que 
temos 77 valores de X entre 2.000 e 10.000. 
 
E se a pergunta fosse: qual o valor que não é superado por 77% das observações? Se a 
pergunta fosse essa, não precisaríamos fazer nenhuma conta. Bastaria olhar direto na 
tabela. 
 
Se 77 valores de X estão entre 2.000 e 10.000, concluímos que o valor de X que não é 
superado por 77% das observações é justamente 10.000. 
 
 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
 
O valor 10.000 não é superado por 77% 
observações 
 
 
E se a pergunta fosse: qual o valor nãoé superado por 89% das observações? 
Novamente, não precisaríamos fazer nenhuma conta. Bastaria olhar na tabela. Veja a 
linha em vermelho. 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 11 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
Temos 89 valores entre 2.000 e 12.000. Ou seja, 12.000 não é superado por 89% das 
observações. 
 
 
Classes Freqüências 
Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
 
O valor 12.000 não é superado por 89% 
observações 
 
O problema é que a pergunta foi qual o valor não é superado por 80% das observações. 
E na coluna de freqüências acumuladas não temos o valor 80. Logo, não temos como 
saber qual é o valor de X que não é superado por 80% das observações. 
 
O que faremos? Vamos “chutar”. Vamos fazer uma consideração. Vamos considerar que o 
gráfico dos valores de freqüências acumuladas versus valores de X se comporta como um 
conjunto de segmentos de reta. 
 
Neste curso nós não vamos ficar desenhando gráficos de segmentos de reta. Vamos só 
utilizar o resultado destes gráficos. 
 
 
Classes Freqüências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
 
Sabemos que o valor 10.000 corresponde a uma freqüência acumulada de 77. Sabemos 
que o valor 12.000 corresponde a uma freqüência acumulada de 89. A pergunta é: quem 
corresponde a 80? (vamos chamar de Z) 
 
Sabemos que 80 está entre 77 e 89. Portanto, o valor que a ele corresponde tem que 
estar entre 10.000 e 12.000. 
 
 
 
 
10.000 77 10.000 corresponde a 77 
Z = ? 80 Quem corresponde a 80? 
12.000 89 12.000 corresponde a 89 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 12 
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Na interpolação linear, nós vamos fazer o seguinte. Fazemos a segunda linha menos a 
primeira. Fazemos a terceira linha menos a primeira. 
Primeira linha 10.000 77 
Segunda linha Z 80 
Terceira linha 12.000 89 
 
 
 
Subtraindo, ficamos com: 
 
 
 
 
 
 
 
Z − 10.000 
12.000 − 10.000 
 
 
 
 
80 − 77 
89 − 77 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que as diferenças das linhas de baixo com a linha de cima 
são proporcionais. 
 
 Z − 10 000. = 80 − 77 12 
000. 
− 10 
000. 
89 − 77 
 
 
 
Isolando o Z, temos: 
 
 
Z = 10 000. 
 
 
Z = 10 500. 
 
+ 2 000. × 3 12 
 
 
Concluindo: O valor 10.500 não é superado por 80 observações. 
Resposta: letra E. 
 
 
Antes de passarmos para o próximo exercício, vamos mostrar graficamente o que foi 
feito. 
 
Para os dados fornecidos, podemos construir a seguinte tabela de freqüências 
acumuladas: 
 
 
Valores F 
2.000 0 
4.000 5 
6.000 16 
8.000 42 
10.000 77 
12.000 89 
14.000 100 
 
 
 
Podemos plotar estes valores num gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 13 
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100 
 
80 
 
60 
 
40 
 
20 
 
0 
0 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 
 
Valores 
 
 
 
 
Ou seja, para alguns valores, sabemos exatamente as respectivas freqüências 
acumuladas. Mas não sabemos qual valor corresponde à freqüência acumulada 80 (ou 
qual o oitavo decil). 
 
Assim, supomos que o gráfico acima é composto por diversos segmentos de retas que 
unem os pontos conhecidos. 
 
 
 
100 
 
80 
 
60 
 
40 
 
20 
 
0 
0 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 
 
Valores 
 
 
Com esta suposição, passamos a ter, para qualquer freqüência acumulada, a respectiva 
observação. E vice-versa. 
 
Esta suposição de que o gráfico é formado por segmentos de reta é justamente a 
interpolação linear. O gráfico acima é por vezes chamado de ogiva de Galton. E a 
interpolação linear acaba sendo chamada de interpolação da Ogiva. 
 
Mas estes são só nomes diferentes para a mesma coisa. 
 
Assim, em vez de resolvermos o exercício da forma como fizemos, poderíamos trabalhar 
diretamente com o gráfico. Mas como ficar desenhando gráfico é meio trabalhoso, vou 
fazer uma vez só. 
 
A pergunta é: qual valor corresponde à freqüência acumulada 80? 
 
 
 
 
 
 
 
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100 
 
80 
 
60 
 
40 
 
20 
 
0 
0 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 
 
Valores 
Z=? 
 
 
 
 
Ou ainda: qual o valor de Z da figura acima? 
 
Vamos analisar apenas uma parte do gráfico. Vamos olhar apenas para o último 
segmento de reta. 
 
 
 
89 
 
 
86 
 
 
83 
 
 
80 
 
 
77 
10.000 12.000 
 
Z=? 
 
Valores 
 
 
 
 
Podemos visualizar dois triângulos no gráfico acima. O primeiro, menor, destacado em 
verde: 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 15 
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A altura deste triângulo é igual a 3 (=80-77). A base deste triângulo é igual a 
( Z − 10.000 ). 
 
Há um outro triângulo, maior, destacado em laranja: 
 
 
 
A altura deste triângulo maior é 12 (=89-77). 
Sua base é igual a 2.000 (=12.000 – 10.000). 
Esses dois triângulos são semelhantes. 
Portanto, a relação entre as alturas é igual à relação entre as bases. 
Assim: 
 
 base _ triangulo _ verde = altura _ triangulo _ verde base _ triangulo _ laranja 
 
Z − 10 000. = 3 
altura _ triangulo _ laranja 
 
 
 
2 000. 12 
 
E foi exatamente desta igualdade que partimos para resolver o problema. Ou seja, esta 
igualdade nada mais é que o resultado da semelhança de triângulos, triângulos estes 
obtidos por causa da interpolação linear. 
 
Aqui no curso on line, acho que não é muito proveitoso ficar resolvendo os exercícios 
diretamente no gráfico. Portanto, nos próximos exercícios de concursos, faremos o 
primeiro procedimento visto, achando as três linhas, subtraindo as duas de baixo pela de 
cima. 
 
 
EC 4 
AFRF/2002-2 [ESAF] 
 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
 
Classes Freqüência ( f ) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
 
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89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. 
a) 71,04 
b) 65,02 
c) 75,03 
d) 68,08 
e) 70,02 
 
 
 
Questão da ESAF. 
 
A pergunta é: qual a mediana? Ou seja, temos que calcular o valor que deixa à sua 
esquerda 50% das observações. Ou ainda: o valor que não é superado por 50% das 
observações. 
 
Antes de começar qualquer conta, vejamos as freqüências fornecidas. São freqüências 
simples. 
 
Temos que passá-las para freqüências acumuladas. 
 
 
Classes Freqüência simples 
( f ) 
 
 
Freqüência acumulada 
(F) 
29,5-39,54 4 
39,5-49,5 8 12 
49,5-59,5 14 26 
59,5-69,5 20 46 
69,5-79,5 26 72 
79,5-89,5 18 90 
89,5-99,5 10 100 
 
 
 
Não temos o valor 50 na coluna de freqüências acumuladas. 
 
E se a pergunta fosse: qual o valor que não é superado por 46 observações? A resposta 
seria: 69,5. Sem fazer contas. Basta a leitura da tabela. 
 
Se a pergunta fosse: qual o valor que não é superado por 72 observações? A resposta 
seria: 79,5. Também, sem contas. 
 
 
Classes Freqüência acumulada 
(F) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 12 
49,5-59,5 26 
59,5-69,5 46 
69,5-79,5 72 
79,5-89,5 90 
89,5-99,5 100 
 
Mas a pergunta é sobre o valor que não é superado por 50 observações. Este dado não 
tem na tabela. Mas sabemos que 50 está entre 46 e 72. Portanto, o valor procurado está 
entre 69,5 e 79,5. 
 
 
69,5 46 69,5 corresponde a 46 
Z 50 Quem corresponde a 50? 
79,5 72 79,5 corresponde a 72 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 17 
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Primeira linha 69,5 46 
Segunda linha Z 50 
Terceira linha 79,5 72 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
Z − 69 5, 
 
 
 
 
50 − 46 
79 5, − 69 5, 72 − 46 
 
Essas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 69 5, = 50 − 46 79 5, − 69 5, 72 − 46 
 
 
Z = 69 5, 
 
 
+ 10 × 4 � 71 04, 
26 
 
Resposta: A. 
 
Para fugir do denominador 26, dava para aproximar a fração. Ficaria assim: 
 
 
Z = 69 5, 
 
 
+ 10 × 4 � 69 5, 
26 
 
+ 10 × 4 = 69 5, 
25 
 
+ 8 = 69 5, 
5 
 
 
+ 1 6, 
 
 
 
= 7110, 
 
 
Quando trocamos o denominador 26 por 25, nós aumentamos um pouco o valor de Z. 
Portanto, Z é, na verdade, um pouco menor que 71,10. 
 
 
 
Vejamos a questão a seguir, ligeiramente diferente. 
 
 
EC 5 
 
Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC] 
 
Considere a tabela abaixo que mostra a distribuição de salários (em reais) de 160 
funcionários de determinada empresa, com suas respectivas freqüências relativas 
acumuladas. 
 
Classes em reais Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
Utilizando a interpolação linear, o número de funcionários que ganham salários menores 
ou iguais a R$ 1.700,00 é: 
a) 96 
b) 84 
c) 72 
d) 64 
e) 56 
 
 
E se a pergunta fosse qual o valor de freqüência acumulada corresponde a 1.400? Neste 
caso, não precisaríamos fazer contas. A resposta seria 30%. 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 18 
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E se a pergunta fosse: qual o valor de freqüência acumulada corresponde a 1.800? 
Também não precisaríamos de contas. A resposta seria 70%. 
 
 
Classes em reais Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
 
 
Só que queremos saber o valor de freqüência acumulada que corresponde a 1.700. 
Sabemos que 1.700 está entre 1.400 e 1.800. Logo, o valor de freqüência acumulada 
correspondente deve estar entre 30% e 70%. 
 
 
 
 
1.400 30% 1.400 corresponde a 30% 
1.700 W 1.700 corresponde a quem? 
1.800 70% 1.800 corresponde a 70% 
 
 
Primeira linha 1.400 30% 
Segunda linha 1.700 W 
Terceira linha 1.800 70% 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
1.700 − 1.400 
 
 
 
 
W − 0 3, 
1.800 − 1.400 0 7, − 0 3, 
 
Fazendo as razões: 
 
1 
700. 
 
 
− 1 400. = 
 
W − 0 3, 
 
1 
800. 
− 1 
400. 
0 7, − 0 3, 
 
Isolando o W: 
 
W = ,0 4 × 300 + 0 
3, 400 
 
 
 
 
= 0 6, 
 
 
Ou seja, sabemos que a freqüência acumulada correspondente a 1.700 é de 60%. O que 
isso significa? Que 60% das pessoas ganham R$ 1.700,00 ou menos. 
 
Como foram entrevistados 160 funcionários, temos: 
 
 60 ×160 = 96 
100 
 
96 funcionários ganham R$ 1.700 ou menos. 
 
 
 
Resposta: A. 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 19 
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EC 6 
 
Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC] 
 
Considere a tabela abaixo que mostra a distribuição de salários (em reais) de 160 
funcionários de determinada empresa, com suas respectivas freqüências relativas 
acumuladas. 
 
Classes em reais Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
 
O valor absoluto da diferença entre a mediana, obtida por interpolação linear, e a média 
aritmética dos salários, em reais, é [considere que você já sabe que a média é 1580]: 
a) 20 
b) 80 
c) 100 
d) 200 
e) 300 
 
 
A média desta seqüência de dados nós já achamos. Ela vale 1580 (ver EC 4 da aula 
passada). 
 
Passemos à mediana de X. 
Classes em reais Freqüência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
 
 
 
Podemos montar o seguinte quadro: 
 
 
1400 30% 1400 corresponde a 30% 
D 50% Quem corresponde a 50%? 
1800 70% 1800 corresponde a 70% 
 
Olha como a questão veio generosa. 50% está exatamente no meio, entre 30% e 70%. 
Consequentemente, a mediana (=D) estará bem no meio entre 1400 e 1800. 
 
D = 1400 + 1800 = 1600 2 
 
De todo modo, vamos manter o procedimento de sempre. 
 
 
Primeira linha 1400 30% 
Segunda linha D 50% 
Terceira linha 1800 70% 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 20 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
Fazendo as razões: 
 
 D − 1400 = 50 − 30 
 
 
 
 
 
D − 1400 
1800 − 1400 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 − 30 
70 − 30 
 
 
 
 
 
1800 − 1400 
 
Isolando o D: 
70 − 30 
 
 
 
D = 400 × 20 + 1400 = 1600 
40 
 
A diferença entre a mediana e a média é: 
 
D − X 
 
= 1600 − 1580 = 20 
 
Resposta: A. 
 
 
 
EC 7 
 
Fiscal ICMS/PA – 2002 [ESAF] 
 
A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a 
uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do 
departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com 
as extremidades das classes salariais. 
 
Classes F 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
 
Assinale a opção que corresponde ao valor z, obtido por interpolação da ogiva, que, 
estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y. 
a) 82,0 
b) 80,0 
c) 83,9 
d) 74,5 
e) 84,5 
 
 
As freqüências fornecidas são acumuladas. Como o problema é de medidas separatrizes, 
não precisamos fazer nenhuma transformação. 
 
O valor Z que não é superado por 80% das observações é o oitavo decil. Ou ainda, o 80º 
percentil. 
 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 21 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
São 50 observações ao todo. Como sabemos disto? Basta ver a última linha de 
freqüência acumulada. Lembrem-se de que o último valor de freqüência acumulada é 
sempre igual a n. Portanto, n = 50 . São 50 valores na amostra. 
 
80% de 50 é igual a 40. Assim, queremos saber qual o valor Z que não é superado por 
40 observações. 
 
Se a pergunta fosse sobre o valor que não é superado por 45 observações, não 
precisaríamos fazer conta. A resposta seria 89,5. Bastava consultar a tabela fornecida. 
 
Se a pergunta fosse qual o valor que não é superado por 36 observações, também 
bastaria consulta direta à tabela. A resposta seria 79,5. 
 
Masa pergunta foi qual o valor que não é superado por 40 observações. E 40 não tem na 
nossa coluna de freqüência acumulada. Vamos, portanto, fazer a interpolação linear. 
Classes F 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
79,5 36 79,5 corresponde a 36 
Z 40 Quem corresponde a 40??? 
89,5 45 89,5 corresponde a 45 
 
 
 
 
Primeira linha 79,5 36 
Segunda linha Z 40 
Terceira linha 89,5 45 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Z – 79,5 40 – 36 
89,5 – 79,5 45 - 36 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 79 5, = 40 − 36 89 5, − 79 5, 45 − 36 
 
Z − 79 5, = 4 10 9 
 
Z = 40 + 79 5, 
9 
 
Resposta: C. 
 
 
= 83 944, 
 
 
 
 
Para fugir do denominador 9 dava para aproximar a fração. 
 
Z = 40 + 79 5, 
9 
 
� 40 + 79 5, 
10 
 
 
= 83 5, 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 22 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Quando nós trocamos o denominador 9 por 10, nós diminuímos um pouco o valor de Z. 
Portanto, na verdade, Z é um pouco maior que 83,5. 
 
 
 
 
EC 8 
 
Fiscal ICMS PI - 2001 [ESAF] 
 
A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência obtida de uma amostra aleatória dos 
salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são acumuladas. 
Classes de salário Freqüências 
5.000 – 6.500 12 
6.500 – 8.000 28 
8.000 – 9.500 52 
9.500 – 11.000 74 
11.000 – 12.500 89 
12.500 – 14.000 97 
14.000 – 15.000 100 
 
Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é 
ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa 
estimativa. 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 9.500,00 
c) R$ 12.500,00 
d) R$ 11.000,00 
e) R$ 11.500,00 
 
 
As freqüências fornecidas são acumuladas. Como o problema é de medidas separatrizes, 
não precisamos fazer nenhuma transformação. 
 
O valor Z que não é superado por 79% das observações é o 79º percentil. 
 
São 100 observações ao todo. Como sabemos disto? Basta ver a última linha de 
freqüência acumulada. Lembrem-se de que o último valor de freqüência acumulada é 
sempre igual a n. Portanto, n = 100 . São 100 valores na amostra. 
 
79% de 100 é igual a 79. Assim, queremos saber qual o valor Z que não é superado por 
79 observações. 
 
Se a pergunta fosse qual o valor que não é superado por 74 observações, não 
precisaríamos fazer conta. A resposta seria 11.000. Direto, sem fazer contas. Bastava 
consultar a tabela fornecida. 
 
Se a pergunta fosse qual o valor que não é superado por 89 observações, também 
bastaria consulta direta à tabela. A resposta seria 12.500. 
 
Mas a pergunta foi qual o valor que não é superado por 79 observações. E 79 não tem na 
nossa coluna de freqüência acumulada. Vamos, portanto, fazer a interpolação linear. 
 
 
Classes de salário Freqüências 
5.000 – 6.500 12 
6.500 – 8.000 28 
8.000 – 9.500 52 
9.500 – 11.000 74 
11.000 – 12.500 89 
12.500 – 14.000 97 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 23 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
14.000 – 15.000 100 
 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.000 74 11.000 corresponde a 74 
Z 79 Quem corresponde a 79??? 
12.500 89 12.500 corresponde a 89 
 
Antes de continuarmos as contas, olha só que interessante. 79 está entre 74 e 89. 
Portanto, o número que corresponde a 79 (que estamos chamando de Z) está entre 
11.000 e 12.500. 
 
Pronto. Só aí já eliminamos as alternativas A, B, C e D. A resposta só pode ser letra E. 
 
 
 
Continuando com a resolução: 
Primeira linha 11.000 74 
Segunda linha Z 79 
Terceira linha 12.500 89 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Z – 11.000 79-74 
12.500 – 11.000 89 - 74 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 11 000. = 79 − 74 12 
500. 
− 11 
000. 
89 − 74 
 
Z − 11 000. = 5 1 500. 15 
 
Z = 500 + 11.000 = 11.500 
 
Resposta: E. 
 
 
 
EC 9 
 
Auditor ISS/Recife - 2003 [ESAF] 
 
O quadro seguinte apresenta a distribuição de freqüências da variável valor do aluguel 
(X) para uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo 
município. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a 
opção que corresponde à estimativa do valor Z tal que a freqüência relativa de 
observações de X menores ou iguais a Z seja 80%. 
Classes R$ Freqüências 
350 – 380 3 
380 – 410 8 
410 – 440 10 
440 – 470 13 
470 – 500 33 
500 – 530 40 
530 – 560 35 
560 – 590 30 
590 – 620 16 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 24 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
a) 530 
b) 560 
c) 590 
d) 578 
e) 575 
 
 
620 - 650 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No fundo, o que se pede é o oitavo decil (ou ainda, o octogésimo percentil). Ou seja, é 
um problema de medidas separatrizes, que é resolvido por interpolação linear, baseada 
em freqüências acumuladas. 
 
Foram fornecidas freqüências simples. Precisamos passá-las para acumuladas. 
Classes R$ Freqüências 
Simples 
Freqüências 
Acumuladas 
Memória de 
cálculo 
350 – 380 3 3 =3 
380 – 410 8 11 =3+8 
410 – 440 10 21 =11+10 
440 – 470 13 34 =21+13 
470 – 500 33 67 =34+33 
500 – 530 40 107 =67+40 
530 – 560 35 142 =107+35 
560 – 590 30 172 =142+30 
590 – 620 16 188 =172+16 
620 – 650 12 200 =188+12 
 
 
São 200 observações ao todo. 
 
80% de 200 é igual a 160. Assim, queremos saber qual o valor Z que não é superado por 
160 observações. 
 
Se a pergunta fosse qual o valor que não é superado por 142 observações, não 
precisaríamos fazer conta. A resposta seria 560. Consulta direta à tabela. 
 
Se a pergunta fosse qual o valor que não é superado por 172 observações, também 
bastaria consulta direta à tabela. A resposta seria 590. 
 
Mas a pergunta foi qual o valor que não é superado por 160 observações. E 160 não tem 
na nossa coluna de freqüência acumulada. Vamos, portanto, fazer a interpolação linear. 
Classes R$ Freqüências 
Acumuladas 
350 – 380 3 
380 – 410 11 
410 – 440 21 
440 – 470 34 
470 – 500 67 
500 – 530 107 
530 – 560 142 
560 – 590 172 
590 – 620 188 
620 - 650 200 
 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
560 142 560 corresponde a 142 
Z 160 Quem corresponde a 160??? 
590 172 590 corresponde a 172 
 
Antes de continuarmos as contas, vamos tentar arriscar uma resposta, por meio de 
contas mais rápidas. 
 
E se a pergunta fosse: que corresponde a 157? 
 
157 está bem no meio entre 142 e 172. 
 
Portanto, o número que corresponde a 157 está bem no meio entre 560 e 590. 
 
� + 
O número que corresponde a 157 é 575 , pois: 575 = 560 590 � 
� 2 � 
 
Mas nós estamos procurando quem corresponde a 160. 
 
160 é um pouquinho maior que 157. 
Portanto, o número que corresponde a 160 deve ser um pouquinho maior que 575. 
Já descartamos as letras A, B e E. 
 
Um bom chute é a letra D, que de fato é a resposta. 
 
 
 
Vamos continuar com a resolução usual: 
 
 
Primeira linha 560 142 
Segunda linha Z 160 
Terceira linha 590 172 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Z-560 160-142 
590-560 172-142 
 
A interpolação linear nos diz queestas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 560 = 160 − 142 590 − 560 172 − 142 
 
Z − 560 = 18 30 30 
 
Z = 18 + 560 = 578 
 
Resposta: D. 
 
 
 
AFRF/96 [ESAF] 
Texto para as questões EC 10 e EC 11 
Distribuição de Freqüências das Idades dos funcionários da Empresa Alfa, em 1/1/90. 
Classes 
de 
idades 
(anos) 
if Ptos 
médios 
( X i ) 
 
 37X 
i − 
5 
 
 
 
d= i 
 
 
d i × f i 
 
 
 
id 
2 
 
 
 
× f i 
 
 
 
id 
3 
 
 
 
f× i 
 
 
 
id 
4 
 
 
 
× f i 
 
 
 
19,5-24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162 
24,5-29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144 
29,5-34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 26 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
34,5-39,5 29 37 0 0 0 0 0 
39,5-44,5 18 42 1 18 18 18 18 
44,5-49,5 12 47 2 24 48 96 192 
49,5-54,5 7 52 3 21 63 189 567 
TOTAL 100 16 206 154 1106 
 
 
 
EC 10 
 
AFRF 96 [ESAF] 
Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1/1/90. 
a) 35,49 
b) 35,73 
c) 35,91 
d) 37,26 
e) 38,01 
 
Foram fornecidas freqüências simples. Precisamos passar para freqüências acumuladas. 
Classes de idades (anos) f i iF Memória de cálculo 
19,5-24,5 2 2 =2 
24,5-29,5 9 11 =2+9 
29,5-34,5 23 34 =11+23 
34,5-39,5 29 63 =34+29 
39,5-44,5 18 81 =63+18 
44,5-49,5 12 93 =81+12 
49,5-54,5 7 100 =93+7 
 
Precisamos saber qual o valor não é superado por 50% das observações (=mediana). 
Como são 100 observações, precisamos saber qual valor não é superado por 50 
observações. 
Classes de idades (anos) 
iF 
19,5-24,5 2 
24,5-29,5 11 
29,5-34,5 34 
34,5-39,5 63 
39,5-44,5 81 
44,5-49,5 93 
49,5-54,5 100 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
34,5 34 34,5 corresponde a 34 
Z 50 Quem corresponde a 50??? 
39,5 63 39,5 corresponde a 63 
 
 
Primeira linha 34,5 34 
Segunda linha Z 50 
Terceira linha 39,5 63 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
Z-34,5 50-34 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 27 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
39,5-34,5 63-34 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 34 5, = 50 − 34 39 5, − 34 5, 63 − 34 
 
Z − 34 5, = 16 5 
 
 
Z = 34 5, 
 
29 
 
+ 80 � ,37 26 
29 
 
Note que o denominador 29 atrapalha as contas. 
 
Tentando fugir do denominador 29, podemos aproximar a fração: 
 
 
Z = 34 5, 
 
 
+ 80 � 34 5, 
29 
 
+ 80 � 34 5, 
30 
 
 
+ 2 
66, 
 
 
 
= 37 16, 
 
 
Quando trocamos o denominador 29 por 30, nós diminuímos um pouco o valor de Z. 
Portanto, na verdade, Z é um pouco maior que 37,16. 
 
Resposta: D 
 
EC 11 
 
AFRF 96 [ESAF] 
 
Sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em 1/1/96. Marque a 
opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1/1/96 
a) 35,49 
b) 36,44 
c) 41,49 
d) 41,91 
e) 43,26 
 
 
 
Agora nem precisa fazer muita conta. 
 
Se todos os valores foram aumentados em seis anos, a mediana também é aumentada 
em seis anos. 
 
A nova mediana fica: 37,26+6= 43,26 
 
Resposta: E 
 
Algumas propriedades que vimos para média valem para mediana e moda. 
 
Se adicionarmos ou subtrairmos uma constante c em todos os valores da série de dados, 
a mediana e a moda sofrem a mesma alteração. 
 
Se multiplicarmos ou dividirmos todos os dados por uma constante c, a mediana e a 
moda sofrem a mesma alteração. 
 
O detalhe é que estas propriedades (aplicadas à mediana e moda) raramente são 
exigidas em prova. O que cai mesmo é saber as propriedades para a média. Este 
exercício do AFRF 96 é que foi uma exceção. 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 28 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
EC 12 
 
AFRF/2002-1 [ESAF] 
 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de 
valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. 
a) 138,00 
b) 140,00 
c) 136,67 
d) 139,01 
e) 140,66 
 
 
Quinto decil é sinônimo de mediana. É o valor que não é superado por 50% das 
observações. 
 
Foram dadas freqüências acumuladas. Não importa que sejam relativas. Basta que sejam 
acumuladas. Podemos começar a resolver a questão. 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
130 40 130 corresponde a 40 
Z 50 Quem corresponde a 50??? 
150 70 150 corresponde a 70 
 
 
Primeira linha 130 40 
Segunda linha Z 50 
Terceira linha 150 70 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Z-130 50-40 
150-130 70-40 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 29 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 130 = 50 − 40 150 − 130 70 − 40 
 
Z − 130 = 10 20 30 
 
Z = 130 + 20 � 136 66, 
30 
 
Resposta: C. 
Note que 50 está a uma distância de 10 em relação a 40 (50-40=10). 
E 50 está a uma distância de 20 em relação a 70 (70-50=20). 
 
A primeira distância é metade da segunda. 
 
Por isso, a distância de Z em relação a 130 (=6,66) é metade da distância de Z em 
relação a 150 (=13,34). 
 
 
EC 13 
 
AFRF - 2001 [ESAF] 
 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma 
amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação 
linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 
7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. 
a) 180 
b) 120 
c) 150 
d) 160 
e) 130 
 
 
 
Foram dadas freqüências acumuladas. Não precisamos fazer nenhuma transformação. 
 
Se a pergunta fosse: quantos empregados, na amostra feita, têm salários menores ou 
iguais a R$ 6.000, a resposta seria: 12. Basta consulta à tabela. 
 
Se a pergunta fosse: quantos empregados, na amostra feita, têm salários menores ou 
iguais a R$ 9.000,00, a resposta seria: 30. Novamente, basta consulta à tabela. 
 
Mas a pergunta foi:quantos funcionários têm salários menores ou iguais a R$ 7.000,00. 
Para este valor não temos informação na tabela. Precisamos fazer uma interpolação 
linear. 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 30 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
6 12 6 corresponde a 12 
7 W 7 corresponde a quem??? 
9 30 9 corresponde a 30 
 
 
Primeira linha 6 12 
Segunda linha 7 W 
Terceira linha 9 30 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
7-6 W-12 
9-6 30-12 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
7 − 6 = W − 12 9 − 6 30 − 12 
 
18 + 12 = W 
3 
 
W = 18 
 
OU seja, na amostra selecionada, 18 funcionários têm salários menores ou iguais a R$ 
7.000,00. 
 
Só que não tem nenhuma opção com 18. Erramos em alguma coisa?? 
 
Não, nós não erramos nada. Os cálculos feitos foram todos referentes à amostra de 10% 
dos funcionários. Dentro desta amostra, 18 pessoas têm salários menores ou iguais a R$ 
7.000,00. 
 
Só que a pergunta do exercício foi outra. Considerando toda a empresa (e não apenas a 
amostra feita), quantos funcionários têm salários menores ou iguais a R$ 7.000,00? 
(contando inclusive os que não foram pesquisados). 
 
Nós só sabemos os salários daqueles que foram pesquisados. Ou seja, para responder à 
questão, vamos “dar um chute”. Vamos considerar que a proporção de pessoas que 
ganham salários menores ou iguais a R$ 7.000,00 seja a mesma, tanto na amostra, 
quanto na população. 
 
É como se fôssemos fazer uma regra de três: 
 
 
 
Em 10% dos funcionários ...... 18 funcionários ganham menos de 7 mil 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 31 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
 
Em 100% dos funcionários ...... X ganham menos de 7 mil 
 
 
 
10% ---- 18 
 
100% ---- X 
 
 
 
Multiplicando cruzado: 
 
X ×10 = 18 ×100 � X 
 
Resposta: A 
 
 
 
 
= 180 
 
 
 
 
EC 14 
 
Analista IRB 2006 [ESAF] 
 
No campo estatístico, ogivas são: 
 
a) polígonos de freqüência acumulada 
b) polígonos de freqüência acumulada relativa ou percentual. 
c) histograma de distribuição de freqüência 
d) histograma de distribuição de freqüência relativa ou percentual 
e) o equivalente à amplitude do intevalo. 
 
 
Nós vimos que o gráfico de freqüência acumulada também é chamado de ogiva. 
Resposta: A 
 
 
 
Texto para as questões EC 15 e EC 16 
 
Analista MPU 2004 – Área Pericial. Especialidade: Estatística [ESAF] 
 
A distribuição de freqüências de determinado atributo X é dada na tabela abaixo. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
Classes Freqüências 
2.000 – 4.000 18 
4.000 – 6.000 45 
6.000 – 8.000 102 
8.000 – 10.000 143 
10.000 – 12.000 51 
12.000 – 14.000 41 
EC 15 
Analista MPU 2004 – Área Pericial. Especialidade: Estatística [ESAF] 
Assinale a opção que corresponde à amplitude interquartílica. 
a) 4.500,1 
b) 6.200,2 
c) 3.000,4 
d) 3.162,6 
e) 2.400,0 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 32 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Foram dadas freqüências simples. Precisamos de freqüências acumuladas. 
 
 
Classes Freqüências 
Simples 
 
 
Freqüências 
acumuladas 
2.000 – 4.000 18 18 
4.000 – 6.000 45 63 
6.000 – 8.000 102 165 
8.000 – 10.000 143 308 
10.000 – 12.000 51 359 
12.000 – 14.000 41 400 
 
Encontremos o terceiro quartil. O terceiro quartil é o valor que não é superado por 75% 
das observações. 
 
75% de 400 equivale a 300. 
Classes Freqüências 
acumuladas 
2.000 – 4.000 18 
4.000 – 6.000 63 
6.000 – 8.000 165 
8.000 – 10.000 308 
10.000 – 12.000 359 
12.000 – 14.000 400 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.000 165 8.000 corresponde a 165 
Z 300 Quem corresponde a 300??? 
10.000 308 10.000 corresponde a 308 
 
 
Primeira linha 8.000 165 
Segunda linha Z 300 
Terceira linha 10.000 308 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Z – 8.000 300-165 
10.000 – 8.000 308-165 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 8 000. = 300 − 165 10 
000. 
− 8 
000. 
308 − 165 
 
Z − 8 000. = 135 2 
000
. 
143 
 
Z = 135 × 2 000. + 8 000. 143 
 
O terceiro quartil vale: 
 
3Q = 
135 × 2 000. + 8 000. 143 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 33 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Encontremos o primeiro quartil. O primeiro quatil é o valor que não é superado por 25% 
das observações. 25% de 400 equivale a 100. 
Classes Freqüências 
Acumuladas 
2.000 – 4.000 18 
4.000 – 6.000 63 
6.000 – 8.000 165 
8.000 – 10.000 308 
10.000 – 12.000 359 
12.000 – 14.000 400 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.000 63 6.000 corresponde a 63 
Z 100 Quem corresponde a 100??? 
8.000 165 8.000 corresponde a 165 
 
 
Primeira linha 6.000 63 
Segunda linha Z 100 
Terceira linha 8.000 165 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
Z – 6.000 100-63 
8.000-6.000 165-63 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 6 000. = 100 − 63 8 
000. 
− 6 
000. 
165 − 63 
 
Z − 6 000. = 2 000. 
 
37 
102 
 
 
Z = 6 
000. 
 
 
+ 37 × 2 000. 102 
 
O primeiro quartil é igual a: 
 
 
1Q = 6 
000. 
 
 
+ 37 × 2 000. 102 
 
A amplitude interquartílica é igual à diferença entre o terceiro e o primeiro quartis. 
 
3Q − Q1 
 
 
 
= 8 
000. 
 
 
+ 135 × 2 000. − 6 
000. 143 
 
− 37 × 2 000. 102 
 
Q3 −
 1
Q 
 
= 3162 62, 
 
Resposta: D. 
 
Questão chata, hein. Com muita conta pra fazer. A ESAF muitas vezes exagera nas 
contas. 
Vejamos uma solução “alternativa”, fazendo aproximações. 
Vamos começar pelo terceiro quartil. 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 34 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Tínhamos o seguinte quadro: 
8.000 165 8.000 corresponde a 165 
Z 300 Quem corresponde a 300??? 
10.000 308 10.000 corresponde a 308 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
Primeira linha 8.000 165 
Segunda linha Z 300 
Terceira linha 10.000 308 
 
Procuramos quem corresponde a 300. Mas 300 é bem próximo de 308. 300 é um 
pouquinho menor que 308. 
 
Sabemos que 308 corresponde a 10.000. 
 
Portanto, o número que corresponde a 300 deve ser bem próximo a 10.000. O número 
que corresponde a 300 deve ser um pouquinho menor que 10.000. 
 
Vamos aproximar? 
 
Vamos dizer que o terceiro quartil é aproximadamente 10.000. 
 
Q3 � 10 000. 
Agora vamos para o primeiro quartil. 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
6.000 63 6.000 corresponde a 63 
Z 100 Quem corresponde a 100??? 
8.000 165 8.000 corresponde a 165 
 
 
Primeira linha 6.000 63 
Segunda linha Z 100 
Terceira linha 8.000 165 
 
 
Z – 6.000 100-63 
8.000-6.000 165-63 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 6 000. = 100 − 63 8 
000. 
− 6 
000. 
165 − 63 
 
Z − 6 000. = 2 000. 
 
37 
102Z = 6 
000. 
 
 
+ 37 × 2 000. 102 
 
O denominador 102 é muito ruim. Vamos aproximar? Vamos trocá-lo por 100. 
 
 
Z � 6 
000. 
 
 
+ 37 × 2 000. = 6 
000. 100 
 
 
+ 37 × 20 = 6 740. 
 
 
O primeiro quartil vale, aproximadamente, 6.740. 
 
Q1 � 6.740 
 
A amplitude interquartílica fica, aproximadamente, igual a: 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Q3 −
 1
Q 
 
 
� 10 
000. 
 
 
− 6 
740. 
 
 
= 3 260. 
 
E a alternativa mais próxima é a letra D. 
 
 
EC 16 
 
Analista MPU 2004 – Área Pericial. Especialidade: Estatística [ESAF] 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor de X que não é superado por 
80% das observações do atributo X 
a) 12.000 
b) 10.000 
c) 10.471 
d) 9.000 
e) 11.700 
 
 
 
 
Oitenta por cento de 400 corresponde a 320. 
 
Assim, estamos buscando pelo valor que não é superado por 320 observações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
Classes Freqüências 
acumuladas 
2.000 – 4.000 18 
4.000 – 6.000 63 
6.000 – 8.000 165 
8.000 – 10.000 308 
10.000 – 12.000 359 
12.000 – 14.000 400 
 
 
10.000 308 10.000 corresponde a 308 
Z 320 Quem corresponde a 320??? 
12.000 359 12.000 corresponde a 359 
 
 
Primeira linha 10.000 308 
Segunda linha Z 320 
Terceira linha 12.000 359 
 
Antes de continuarmos as contas, olha que detalhe interessante. 
 
320 está entre 308 e 359. 
 
Portanto, o número que corresponde a 320 (que estamos chamando de Z), está entre 
10.000 e 12.000. Já dá para descartar as letras A, B e D. 
 
320 está mais próximo de 308 do que de 359. 
Portanto, Z está mais próximo de 10.000 do que de 12.000. 
Com isso, descartamos a letra E e ficamos com a letra C. 
 
De todo modo, vamos continuar com a resolução de sempre. 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Z – 10.000 320-308 
12.000-10.000 359-308 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 10 000. = 320 − 308 12 
000. 
− 10 
000. 
359 − 308 
 
Z − 10 000. = 12 2 
000. 
 
 
Z = 2 
000. 
 
51 
 
× 12 + 10 
000. 
51 
 
 
 
� 10 
470. 
 
 
 
 
58, 
 
Note como o denominador 51 dificulta as contas. 
Vamos tentar “fugir” dele. 
 
Aproximando a fração: 
 
 
Z = 2 
000. 
 
 
× 12 + 10 
000. 
51 
 
 
� 2 
000. 
 
 
× 12 + 10 
000. 
50 
 
 
= 10 480. 
 
 
Quando trocamos o denominador 51 por 50, nós aumentamos um pouco o valor de Z. 
Portanto, na verdade Z, é um pouco menor que 10.480. 
 
Resposta: C 
 
 
Texto para as questões EC 17 e EC 18. 
Analista IRB 2004 [ESAF] 
 
As questões EC 17 e EC 18 dizem respeito à distribuição de freqüências conforme o 
quadro abaixo, no qual não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
Classe Freqüência acumulada 
129,5 – 139,5 4 
139,5 – 149,5 12 
149,5 – 159,5 26 
159,5 – 169,5 46 
169,5 – 179,5 72 
179,5 – 189,5 90 
189,5 – 199,5 100 
 
 
EC 17 
 
Analista IRB 2004 [ESAF] 
Assinale a opção que corresponde ao oitavo decil 
a) 179,5 
b) 189,5 
c) 183,9 
d) 184,5 
e) 174,5 
 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
O oitavo decil é o valor que não é superado por 80% das observações. 
 
Como foram dadas freqüências acumuladas, não precisamos fazer nenhuma 
transformação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
Classe Freqüência acumulada 
129,5 – 139,5 4 
139,5 – 149,5 12 
149,5 – 159,5 26 
159,5 – 169,5 46 
169,5 – 179,5 72 
179,5 – 189,5 90 
189,5 – 199,5 100 
 
 
179,5 72 179,5 corresponde a 72 
Z 80 Quem corresponde a 80??? 
189,5 90 189,5 corresponde a 90 
 
 
Primeira linha 179,5 72 
Segunda linha Z 80 
Terceira linha 189,5 90 
 
Antes de iniciarmos as contas, vamos olhar as alternativas. Z está entre 179,5 e 189,5. 
Já descartamos as letras A e B. 
 
81 está no exatamente no meio entre 72 e 90. 
 
O número que corresponde a 81, portanto, está bem no meio entre 179,5 e 189,5. Logo, o 
número que corresponde a 81 é 184,5. 
 
80 é um pouquinho menor que 81. 
 
Portanto, o número que corresponde a 80 (que estamos chamando de Z), é um 
pouquinho menor que 184,5. 
Descartamos a letra D. E entre as letras C e E, ficamos com certeza com a letra C. 
Retomemos nossa resolução usual. 
 
Subtraindo as linhas: 
Z – 179,5 80-72 
189,5-179,5 90-72 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 Z − 179 5, = 80 − 72 189 5, − 179 5, 90 − 72 
 
Z − 179 5, = 8 10 18 
 
 
Z = 179 5, 
 
 
+ 80 � 183 94, 
18 
Note como a fração 80/18 não é muito “amigável”. 
Aproximando a fração: 
 
 
Z = 179 5, 
 
 
+ 80 � 179 5, 
18 
 
+ 81 = 179 5, 
18 
 
+ 9 = 179 5, 
2 
 
 
+ 4 5, 
 
 
 
= 184 
 
 
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PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Quando nós trocamos o numerador 80 por 81, nós aumentamos um pouco o valor de Z. 
Z é na verdade um pouco menor que 184. 
 
Resposta: C 
 
 
 
EC 18 
 
Analista IRB 2004 [ESAF] 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, do número de 
observações menores ou iguais ao valor 164. 
a) 46 
b) 26 
c) 72 
d) 35 
e) 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
Classe Freqüência acumulada 
129,5 – 139,5 4 
139,5 – 149,5 12 
149,5 – 159,5 26 
159,5 – 169,5 46 
169,5 – 179,5 72 
179,5 – 189,5 90 
189,5 – 199,5 100 
 
 
159,5 26 159,5 corresponde a 26 
164 W 164 corresponde a quem??? 
169,5 46 169,5 corresponde a 46 
 
 
Primeira linha 159,5 26 
Segunda linha 164 W 
Terceira linha 169,5 46 
Novamente, antes de iniciarmos as contas, vamos ver as alternativas. 
W está entre 26 e 46. Já descartamos as letras A, B, C e E. 
 
E marcamos a letra D. 
Marcada a resposta correta, vejamos as contas. 
Subtraindo as linhas: 
164-159,5 W-26 
169,5-159,5 46-26 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
 164 − 159 5, = W − 26 169 5, − 159 5, 46 − 26 
 
4 5, = W − 26 10 20 
 
 
 
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W = 4 5, × 20 + 26 = 9 + 26 = 35 
10 
 
Resposta: D 
 
 
 
EC 19 
 
AFRF - 2002-2 – [ESAF] 
 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
 
Classes Freqüência ( f ) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população 
com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. 
a) 700 
b) 638 
c) 826 
d) 995 
e) 900 
 
 
 
Questão um pouco mais trabalhosa, pois precisamos fazer duas interpolações. 
 
Primeira interpolação:vamos encontrar quantas observações são menores ou iguais a 
95,5. 
 
Para tanto, precisamos das freqüências acumuladas. 
Classes Freqüência ( f ) Freqüência 
acumulada (F) 
29,5-39,5 4 4 
39,5-49,5 8 12 
49,5-59,5 14 26 
59,5-69,5 20 46 
69,5-79,5 26 72 
79,5-89,5 18 90 
89,5-99,5 10 100 
 
 
Classes Freqüência 
acumulada (F) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 12 
49,5-59,5 26 
59,5-69,5 46 
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69,5-79,5 72 
79,5-89,5 90 
89,5-99,5 100 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
89,5 90 89,5 corresponde a 90 
95,5 W 95,5 corresponde a quem??? 
99,5 100 99,5 corresponde a 100 
 
 
Primeira linha 89,5 90 
Segunda linha 95,5 W 
Terceira linha 99,5 100 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
95,5-89,5 W-90 
99,5-89,5 100-90 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
95 5, 
99 5, 
 
− 89 5, = − 89 5, 
 
W − 90 
100 − 90 
 
6 = W − 90 � W = 96 10 10 
 
 
 
Segunda interpolação: vamos encontrar quantas observações são menores ou iguais a 
50,5. 
Classes Freqüência 
acumulada (F) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 12 
49,5-59,5 26 
59,5-69,5 46 
69,5-79,5 72 
79,5-89,5 90 
89,5-99,5 100 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
49,5 12 49,5 corresponde a 12 
50,5 W’ 50,5 corresponde a quem??? 
59,5 26 59,5 corresponde a 26 
 
 
Primeira linha 49,5 12 
Segunda linha 50,5 W’ 
Terceira linha 59,5 26 
 
 
 
Subtraindo as linhas: 
 
 
 
 
 
 
 
50,5-49,5 W’-12 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 41 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
59,5-49,5 26-12 
 
 
 
A interpolação linear nos diz que estas diferenças são proporcionais: 
 
50 5, 
 
 
− 49 5, = W ' 12− 59 5, − 49 5, 26 − 12 
 
 1 = W '−12 � W ' = ,13 4 
10 14 
 
Ou seja, 13,4 observações são menores ou iguais a 50,5. 
 
Eu sei que não faz sentido falar em 13,4 observações (pois deveríamos apenas ter 
números naturais quando nos referimos a observações). Mas tudo bem, continuemos o 
exercício. 
 
Feitas as duas interpolações, sabemos que: 
 
96 observações são menores ou iguais a 95,5. Isto na amostra de tamanho 100. Na 
população de tamanho 1.000, são 960 observações menores ou iguais a 95,5. É como se 
fôssemos fazer uma regra de três, a exemplo da que fizemos no EC 13 (fl.29). 
Na amostra de tamanho 100 .... 96 observações são menores ou iguais a 95,5. 
Na população de tamanho 1.000 ... X observações são menores ou iguais a 95,5 
 
X ×100 = 96 ×1.000 � X 
 
= 960 
 
 
Sabemos também que 13,4 observações são menores ou iguais a 50,5. Isto na amostra 
de tamanho 100. Na população de tamanho 1.000 são 134 observações menores ou 
iguais a 50,5. Basta fazer outra regra de três. 
 
Na amostra de tamanho 100 ...... 13,4 observações são menores ou iguais a 50,5 
 
Na população de tamanho 1.000 .... X’ observações são menores ou iguais a 50,5 
 
X '×100 = ,13 4 
×1 000. 
 
� X ' = 134 
 
 
 
Assim, sabemos que, na população, temos 960 observações menores ou iguais a 95,5. 
Destas 960, 134 são menores ou iguais a 50,5. 
 
Portanto, 826 (=960-134) observações são menores ou iguais a 95,5 e maiores que 
50,5. 
Resposta: C. 
 
Muita conta, né? 
Vamos ver uma solução alternativa, fazendo aproximações. 
Na primeira interpolação nós tínhamos: 
 
 
Primeira linha 89,5 90 
Segunda linha 95,5 W 
Terceira linha 99,5 100 
 
 
 
Sabemos que 94,5 está bem no meio entre 89,5 e 99,5. 
 
Portanto, ele corresponde a 95, que está bem no meio entre 90 e 100. 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 42 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
95,5 é um pouquinho maior que 94,5. 
 
Logo, o número que corresponde a 95,5 (que estamos chamando de W) é um pouquinho 
maior que 95. 
 
Vamos aproximar? 
 
W � 95 
 
Na segunda interpolação nós tínhamos: 
49,5 12 49,5 corresponde a 12 
50,5 W’ 50,5 corresponde a quem??? 
59,5 26 59,5 corresponde a 26 
 
49,5 corresponde a 12. 
 
50,5 é um pouquinho maior que 49,5. 
 
Portanto, o número que corresponde a 50,5 (que estamos chamando de W’) é um pouco 
maior que 12. 
 
Vamos aproximar? 
 
W ' � 12 
 
E a diferença entre os resultados das interpolações fica: 
 
W − W ' = 95 − 12 = 83 
 
Isso na amostra. 
 
Na população, temos que multiplicar esse valor por 10. 
 
83 ×10 = 830 
 
E novamente marcamos a letra C. 
 
 
EC 20 
 
Técnico Municipal de Nível Superior – Estatística – Prefeitura Municipal de Vila Velha 
[CESPE] 
 
Uma prefeitura registrou o aumento do valor venal V (em R$ por metro quadrado) de 
200 imóveis localizados em certo bairro residencial, conforme apresentado na tabela a 
seguir: 
 
 
Valor V (R$/m2) Número de imóveis 
V = 0 80 
0 < V ≤ 10 50 
10 < V ≤ 20 35 
20 < V ≤ 30 25 
30 < V ≤ 50 10 
Total 200 
 
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
 
99. A mediana, que é igual a R$ 25,00/m2, divide os 50% valores mais baixos dos 50% 
valores mais altos. 
 
 
 
Questão do CESPE. 
 
Como as freqüências fornecidas são simples, calculemos as freqüências acumuladas. 
 
 
 
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CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA PARA ICMS/SP 43 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
 
Valor V (R$/m2) f F 
V = 0 80 80 
0 < V ≤ 10 50 130 
10 < V ≤ 20 35 165 
20 < V ≤ 30 25 190 
30 < V ≤ 50 10 200 
 
Note que na primeira linha nem temos realmente uma classe. Sabemos que todas as 80 
observações da primeira linha são exatamente iguais a 0. Não é uma classe, é um valor 
único. 
 
A pergunta é sobre a mediana. Ou seja, o valor que não é superado por 100 observações 
(= 50% de 200). 
 
Sabemos que a freqüência acumulada que corresponde ao valor 0 é 80. A freqüência 
acumulada que corresponde ao valor 10 é 130. 
 
Sabemos que 100 está entre 80 e 130. Portanto, o valor procurado está entre 0 e 10. 
 
 
0 80 0 corresponde a 80 
Z 100 Quem corresponde a 100? 
10 130 10 corresponde a 130 
 
 
 
Ora, se sabemos que 0 < Z < 10, concluímos que o valor procurado não pode ser igual a 
25. Portanto, a questão está incorreta. 
 
 
 
EC 21 
Analista Previdenciário Pleno – Área de Estatística – Paraná Previdência – 2002 [CESPE] 
Texto II 
 
Em estudos previdenciários, é importante avaliar estatisticamente o tempo de sobrevida 
dos beneficiários. O tempo de sobrevida, em geral, depende do perfil do beneficiário, que 
abrange um conjunto de características como idade, espécie de benefícios (aposentadoria 
por idade, invalidez etc.), tipo de clientela (urbana/rural) etc. Para um estudo realizado 
acerca do tempo de sobrevida de beneficiários com um certo perfil, foram obtidos os 
resultados apresentados na tabela abaixo. 
Tempo de sobrevida T em 
anos 
0≤ T < 5 5≤ T < 
10 
10≤T< 20 20≤T< 40 Total 
 
Freqüência de 
beneficiários falecidos 
(%) 
20 40 30 10 100 
 
 
 
Com base nos estudos obtidos para o estudo apresentado no texto II, julgue o item que 
se segue. 
 
1. O primeiro quartil da distribuição é inferior a 5 anos. 
 
 
 
 
Outra questão do CESPE. Também, não precisa de muita conta. Foram fornecidas 
freqüências