APOSTILA DE DERIVADAS

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APOSTILA
DE
DERIVADAS
ESTUDO DAS DERIVADAS
Razão Incremental
Consideremos duas grandezas, x e y, que variam de forma tal que yé uma função de x, isto é,y= f(x)e que é definida e contínua num conjunto D.
Fixando um valor e fazendo x variar (aumentar ou diminuir) de (lê-se: delta x), teremos:
A esse valor denominamos incremento da variávelx
Se y = f(x) e x varia de , então, a função y = f(x) também variará (aumentará ou diminuirá) de (lê-se: delta y) e teremos:
A esse valor ,denominamos incremento da funçãoy = f(x).
Exemplo: 
 Seja a função f(x) = 2x + 10
 Se x passa de 3para 8, por exemplo, temos:
Observação: Pelo exemplo dado, observamos, facilmente, que:
Definição de razão incremental
Denomina-se razão incremental da funçãoy = f(x) relativa ao ponto , a expressão 
Assim, temos:
Exemplo:
 Calcular a razão incremental da função f(x) = 2x + 3 relativa ao ponto 
Resolução:
Como f(x) = 2x + 3, , teremos: 
Logo,
Atividades:
1) Calcule a razão incremental:
a)da função relativa ao ponto 
b)da função relativa ao ponto 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO
Denomina-se derivada de uma funçãoy = f(x) no ponto , que se indica por o limite finito, caso exista, da razão incremental da função, quando 
Daí
Pode-se, então, escrever:
Observações:
- Se a função y = f(x) admite derivada em um ponto , dizemos que a função é derivável nesse ponto.
- A derivada em um ponto , quando existe, é única.
- Quando a razão Incremental da função, relativa ao ponto , tem por limite , dizemos que a funçãoy = f(x)não tem derivada nesse ponto.
Vejamos como determinar a derivada de uma função y = f(x)no ponto , aplicando a definição.
1º exemplo:
Determinar a derivada de no ponto x = 5.
Resolução:
1ª maneira:
Logo, f’(5) = 30.
2ª maneira:
Logo, f’(5) = 30
2º exemplo:
Dado calcular f’(2).
Resolução:
Logo, f’(2) = 2
3º exemplo:
Dado , calcular a derivada de f(x), se existir, no ponto x = 0.
Resolução:
Logo, dizemos que não tem derivada no ponto x = 0, isto é, não existe f’(0).
DERIVADAS FUNDAMENTAIS
Nesta unidade, estudaremos o cálculo das derivadas, de modo a obtermos regras de derivação que irão nos permitir calcular a derivada de uma função f(x), sem termos que aplicar a definição, o que facilitará, e muito, o nosso trabalho
Vejamos, pois, algumas derivadas fundamentais.
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Seja k uma constante.
Considere f’(x) a derivada de f(x).
Logo teremos:
1) Função constante: 
Exemplos:
1) 
2) 
2) Função identidade: 
3) Função potência: 
Exemplos:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Observação:
Exemplos:
1) 
2) 
Atividades:
1 - Calcule a derivada das seguintes funções:
1.1) f(x) = 5
1.2) f(x) = – 2
1.3) f(x) = x 
1.4) 
1.5) 
1.6) 
1.7) 
1.8) 
1.9) 
1.10) 
1.11) 
1.12) 
1.13)
1.14)
2) Determine a derivada das funções, dado um ponto:
2.1)
2.1)
2.3)
2.4)
4 - Função trigonométrica:
Função seno: 
Função cosseno: 
Exemplos:
1) 
2) 
3) Determine a derivada das funções:
3.1)
3,2)
3.3)
3.4)
4) Determine a derivada de uma função num determinado ponto:
4.1)
4.2)
4.3)
4.4)
5 - Função exponencial: 
Exemplos:
1) 
2) 
5) Determine as derivadas das seguintes funções:
5.1)
5.2)
5.3)
5.4)
6 – Função logarítmica:
 (base e)
Exemplos:
1) 
2) 
6) Calcule as derivadas das seguintes funções:
6.1)
6.2)
6.3)
6.4)
6.5)
6.6)
6.7)
6.8)
6.9)
6.10)
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DAS DERIVADAS
Consideremos u(x) e v(x) funções deriváveis no ponto x.
Sejam:
funções que também sejam deriváveis no ponto x
Então são válidas as seguintes regras de derivação:
DERIVADA DA SOMA OU DA DIFERENÇA
Exemplos:
7) Determine a derivada das seguintes funções:
7.1)
7,2)
7.3)
7.4)
7.5)
 DERIVADA DO PRODUTO
Exemplo:
8) Determine a derivada das seguintes funções
8.1)
8.2)
8.3)
8.4)
8.5)
 DERIVADA DO QUOCIENTE 
Exemplo:
9 -Calcule a derivada do produto e a derivada do quociente das seguintes funções:
9.1)
9.2)
9.3)
9.4)
9.5)
DERIVADA DA POTÊNCIA DE UMA FUNÇÃO
Exemplos:
10) Calcule a derivada das seguintes potências:
10.1)
10.2)
10.3)
10.4)
10.5)
FORMULÁRIO
	Função
	Derivada
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	.........
APLICAÇÃO DAS DERIVADAS
Interpretação Geométrica das Derivadas
Observando o gráfico cartesiano de uma função y = f(x), teremos uma importante interpretação da noção de derivada:
x
y
y
x
A
B
s
t
C
	
Na figura, temos:
s reta secante à curva
t reta tangente à curva no ponto 
 (considerando o triângulo retângulo ABC)
Observando que, quando , o ponto B tenderá ao ponto A e a reta secante s tenderá à reta tangente t; como conseqüência, o ângulo tenderá para , e teremos:
Como:
coeficiente angular da reta t
Teremos:
Ou seja:
Daí, podemos afirmar que:
A derivada da função no ponto , quando existe, é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico cartesiano da função no ponto de abscissa .
Como conseqüência, podemos afirmar que a existência da derivada de f(x) no ponto implica a existência de uma reta tangente à curva no ponto de coordenadas sendo o coeficiente angular tangente a 
Nestas condições, podemos dizer que a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto é:
Exemplos:
1) Determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função 
Logo, m = 2
2) Determinar o coeficiente angular da reta ao gráfico da função no ponto (2 , 1)
11 - Aplicação das derivadas:
11.1) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (1 , 1).
11.2) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa x = 0.
11.3) Verifique se 2 é raiz dupla da equação 
12 - Aplicação na Física
 Quando estudamos Cinemática, podemos observar que a posição S de um ponto material que se desloca sobre uma curva pode ser determinada em cada instante t.
 Assim, S é uma função de tindicamos por S = S(t), chamada função horária do ponto.
	
0
S
Observando o gráfico acima, e supondo conhecida a definição de velocidade, teremos:
Então para calcular a velocidade do móvel no instante , temos:
Considerando a definição de derivada, podemos afirmar que a velocidade de um ponto móvel num instante é igual à derivada da função horária no instante em que , isto é:
1º Exemplo:Um ponto em movimento obedece à equação horária (nas unidades: S em metros e t em segundos). Determinar a velocidade do móvel no instantet = 4s.
Resolução:
Logo, a velocidade é de 11 m/s.
2º Exemplo:Um móvel descreve uma curva segundo a função horária Determinar a velocidade do móvel no instante 
Resolução:
Logo, a velocidade no instante pedido é de 
Atividades:
12.1) Um ponto móvel se desloca obedecendo à função horária . Determine a velocidade do ponto móvel no instante 
12.2) Um ponto se desloca descrevendo uma curva segundo a função horária (t em segundos e S em metros). Determine a velocidade do ponto no instante t = 10s.