1 - Exercícios de Álgebra I São Miguel - Matrizes 3

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ 1 
Professor Manoel Gustavo Nogueira Vidal gustavob612@hotmail.com 
1. Sendo 



=
≠
= j i se 1,
j i se ,0ijS , construa a matriz 
[ ] 4x3ijaA = para a qual ijS.2ji3ija += . 
 
2. Determine o número b, Rb ∈ , para que a matriz: 






= b2b
b23A seja simétrica. 
 
3. Prove que para toda matriz [ ]
n x mijaA = tem-se: 
A
ttA =





 
 
4. Sejam matrizes A e B de mesma ordem, se R∈α , prove 
que: 
B.A.)BA.( α+α=+α 
 
5. Sejam as matrizes A e B, de mesma ordem, m x n. Prove 
que: tBtAt)BA( +=+ 
 
6. Seja a matriz A, quadrada de ordem n, prove que tAA + 
é simétrica. 
 
7. Determine os números reais a, b, c, d, x, y e z para que a 
matriz 








−−
−
=
c4z
4y2b1x
32a
A seja anti-simétrica. 
 
8. Uma matriz A, quadrada, diz-se involutiva quando 
I2A = . Uma matriz diagonal, de ordem 2 é involutiva, 
determine-a: 
 
9. Sejam matrizes [ ]
n x mijaA = e [ ] p x njkaB = , prove 
que tA.tBt)AB( = 
 
10. As matrizes A e B são quadrados e de mesma ordem n. 
Prove que: AA.tB)nI (B .tA +=


 + 
 
11. Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, é simétrica; P 
é uma matriz de ordem m x n. Prove que a matriz 
P.A.tPB = é simétrica. 
 
12. Uma matriz quadrada, não singular, diz-se ortogonal 
quando tA1A =− 
a) Verifique que a matriz 




= o coso sen
o sen-o cosA é ortogonal. 
b) Se as matrizes, não singulares, A e B, são ortogonais 
então A.B é matriz ortogonal. 
c) Se a matriz, inversível, A é ortogonal, então a matriz 1A− é 
ortogonal. 
13. Sendo A, B e C matrizes quadradas e inversível, demonstre que: 
1A.1B.1C1)ABC( −−−=− 
 
14. Para as matrizes A, B e C, simplifique: 
B.
1
C.1B.
1
A.B.1CA.1B.C
−





 −
−





 −−
 
 
15. A e B são matrizes inversíveis e comutam. Verifique que 1A− e 
1B− também comutam. 
 
16. Demonstre que se A é não singular e A.B = A.C, então B = C. 
 
17. As matrizes I + A e I – A são inversíveis. Verifique que se 
1)AI).(AI(B −−+= então )tAI.(1)tAI(tB +−−= 
 
18. A matriz quadrada A é inversível. Para p ∈N*, prove que:
 
p1A
1pA 




 −
=
−






 
 
19. Suponha que P.A.1PB −= . Demonstre que P.mA.1PmB −= , 
para m ∈ N*. 
 
20. Mostre que uma matriz 2 x 2: 




= dc
baA é inversível se e 
somente se 0bcad ≠−=∆ e que 




−
−
∆
=
−
ac
bd11A 
 
21. A é uma matriz não singular. Se A é simétrica então 1A− é 
simétrica. Demonstre! 
 
22. Sejam as matrizes [ ] 2x3ijaA = e [ ] 3x2ijbB = tais que 
2jiija +−= e 1ji2ijb −+= . Seja , determine 32C e 13C . 
 
23. Se as matrizes 




03
21
 e 




dc
ba
 comutam, qual a relação entre a, 
b, c e d? 
 
24. Demonstre que: 
n
o coso sen-
o seno cos




 = 



− )o.ncos()o.nsen(
)o.nsen()o.ncos(
 
 
25. Sejam matrizes [ ]
mxnijaA = , [ ]mxnijbB = e [ ]nxpijcC = 
Demonstre que: (A + B).C = A.B + B.C 
 
26. A matriz A, é quadrada de ordem n e é simétrica. P é uma matriz 
de ordem m x n. Demonstre que a é matriz. P.A.tPB = é simétrica. 
 
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Professor Manoel Gustavo Nogueira Vidal gustavob612@hotmail.com 
27. A e B são matrizes quadradas de ordem n. demonstre que 
( )A.Btr)B.A(tr = . 
 
28. A, B e C são matrizes quadradas de ordem n. Se a matriz 
C é anti-simétrica, demonstre que: 
C3A.B
t
C3tB.tA −=




 + 
29. A é matriz quadrada. Verifique que: 
a) a matriz 




 += tAA
2
1S é simétrica 
b) a matriz 





−=
tAA
2
1K é anti-simétrica 
c) Deduza que toda matriz quadrada pode ser expressa como 
a soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-
simétrica. 
 
30. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n, não nulas, 
tais que A.B = 0; dizemos que A e B são divisores de zero. 
seja A uma matriz quadrada. Se A2A = , dizemos que A 
idempotente. 
a) A matriz quadrada C é idempotente e não nula. Verifique 
que as matrizes C e C – I são divisores de zero. 
b) Se a matriz A é involutiva mostre que ( )AI
2
1S += e 
( )AI
2
1T −= são matrizes idempotente. Verifique então que 
S.T = 0 
 
31. Determine os reais x, y, z para que a matriz 












=
zyx
2
1
2
10
001
A seja ortogonal. 
 
32. A, B e C são matrizes de ordem n, inversíveis. 
Determine a matriz x: A.1Cx.1B.A −=




 −